第16章 二次根式 复习-【拔尖特训】2024-2025学年八年级下册数学（人教版）

可以 合 并,∴ m+n+1=2, 3m-n=3, 解 得 m=1, n=0. 8. ∵ x2-2y+5y=8+45, ∴ (x2-2y-8)+(y-4)5=0. ∵ x,y都是有理数, ∴ x2-2y-8,y-4也是有理数. ∵ 5是无理数, ∴ x2-2y-8=0,y-4=0. ∴ x=±4,y=4. ∴ 当x=4,y=4时,x+y=4+ 4=8; 当x=-4,y=4时,x+y=(-4)+ 4=0. ∴ x+y的值是8或0. 9. A [解析]依题意,得 y-x≥0, x-z≥0, x3(y-x)3≥0, x3(z-x)3≥0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得x=0. ∵ x3(y-x)3 + x3(z-x)3 = y-x- x-z,∴ y- -z= 0.∴ y=-z.∴ 把x=0,y=-z代 入x3 +y3 +z3 -3xyz,得 0+ (-z)3+z3-0=0. 10. 2 [解析] ∵ a= 3+5,b= 3-5,∴ a2=(3+5)2=3+ 5,b2=(3-5)2=3- 5,ab= 3+5· 3-5= (3+5)(3-5)=4=2. ∵ (a-b)2=a2+b2-2ab=3+5+ 3-5-2×2 =3+3-4+5-5 = 2,∴ a-b=± 2.∵ 3+ 5>3- 5,∴ 3+5> 3-5.∴ a>b. ∴ a-b>0.∴ a-b=2. 11. 5 5- 11 11 [解析]由题意,可知 x>0.∵ x+1 x =2,等式两边同时 平方,得 x+ 1x =2 ,∴ 原 式 = 1 x+1x+3 - 1 x+1x+9 = 55- 11 11 . 12. (1) 方程可化为 18- 6x= 2 30-26x. 移项、合并同类项,得 6x=2 30- 18. 系数化为1,得x=25-3. (2) 由题意,得x+y=43,xy= (23-2)(23+2)=8. ∴ x2-xy+y2=(x+y)2-3xy= (43)2-3×8=48-24=24. 13. 原式=5 2x- 2x+2 2x= 6 2x. 当x=4时,原式=6× 2×4= 122. 14. x+2+ 4x+x2 x+2- 4x+x2 = (x+2+ 4x+x2)(x+2+ 4x+x2) (x+2- 4x+x2)(x+2+ 4x+x2) = (x+2)2+2(x+2) 4x+x2+4x+x2 (x+2)2-(4x+x2) = x2+4x+4+2(x+2)4x+x2+4x+x2 x2+4x+4-4x-x2 = 2x2+8x+4+2(x+2) 4x+x2 4 = x2+4x+2+(x+2) 4x+x2 2 . ∵ x=1 a - a, ∴ x=1a-2+a. ∴ x+2=1a+a. ∴ x2+4x+2=(x+2)2-2=a2+ 1 a2 ,x2+4x=(x+2)2-4=a2+ 1 a2-2. ∵ x≥0, ∴ 1 a - a≥0,即1 a ≥ a. ∴ 1 a≥a. ∴ 原式= a2+1a2+ 1 a+a a2+1a2-2 2 = a2+1a2+ 1 a+a 1a-a 2 2 = a2+1a2+ 1 a+a 1a-a 2 = a2+1a2+ 1 a2-a 2 2 = 2 a2 2= 1 a2. 第十六章复习 ［知识体系构建］ a(a≥0) a(a≥0) (a≥0) 最简二次根式 不含分母 开得尽方 ［高频考点突破］ 典例1 2018 [解析] ∵ |2017- m|+ m-2018=m,∴ m - 2018≥0,解得 m≥2018.∴ m- 2017+ m-2018=m.化 简,得 m-2018=2017,∴ m-2018= 20172.∴ m-20172=2018. [跟踪训练] 1. 由题意,得x-1≥0 且1-x≥0, ∴ x≥1且x≤1. ∴ x=1. ∴ y=2. ∴ x+1 y-1 =2. 典例2 (1) -a;1-b. (2) 由题图,可知-2<a<-1,0< b<1, ∴ a+1<0,a+b<0. ∴ (a+1)2 + b2 - (a+b)2 = 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 |a+1|+|b|-|a+b|=-a-1+ b+a+b=2b-1. [跟踪训练] 2. ∵ |x-3|+ x2+8x+16=7, ∴ |x-3|+|x+4|=7. ∴ 易得-4≤x≤3. ∴ 2|x+4|- (2x-6)2=2(x+ 4)-|2x-6|=2(x+4)-(6-2x)= 4x+2. 典例3 ∵ x(x+ y)=3y· (x+5y), ∴ x-2 xy-15y=0. ∴ (x+3y)(x-5y)=0. ∵ x,y为正数, ∴ x+3y>0. ∴ x-5y=0. ∴ x=5y,即x=25y. ∴ 2x+ xy+3y x+ xy-y =50y+5y+3y25y+5y-y= 58y 29y=2. [跟踪训练] 3. (1) 20cm. (2) ∵ 长方形的长、宽之比为4∶3, ∴ 设长方形的长为4xcm,宽为3xcm. ∴ 4x·3x=360,解得x2=30. ∵ x>0, ∴ x= 30. ∴ 4x=4 30,3x=3 30. ∵ 大正方形的边长为20cm,202= 400,(4 30)2=480,400<480, ∴ 20<4 30. ∴ 沿此大正方形边的方向剪出一个 长方形,不能使剪出的长方形的长、宽 之比为4∶3,且面积为360cm2. ［综合素能提升］ 1. A 2. C 3. D 4. C 5. > 6. -1 [解析] 由题意,得2024- 2023m = 2023 - 2024m,解 得 m=-1. 7. 121X11 8. (1) 原式=3-12 + 5-3 2 + …+ 2025- 2023 2 = 2025 2 - 1 2 = 45 2- 1 2=22. (2) ∵ a= m+1- m m+1+ m = ( m+1- m)2 ( m+1+ m)( m+1- m) = 2m+1-2 m2+m, b= m+1+ m m+1- m = ( m+1+ m)2 ( m+1- m)( m+1+ m) = 2m+1+2 m2+m, ∴ a+b=4m+2,ab=1. ∵ a+b+2ab=800, ∴ 4m+2+2×1=800,解 得 m=199. (3) ∵ 15+x2 - 26-x2 =1, ∴ ( 15+x2 - 26-x2)2=1. ∴ 15+x2-2 (15+x2)(26-x2)+ 26-x2=1. ∴ (15+x2)(26-x2)=20. 设 15+x2+ 26-x2=t(t>0), ∴ t2=( 15+x2+ 26-x2)2= 15+x2 +2 (15+x2)(26-x2)+ 26-x2=41+2×20=81. ∴ t=9或t=-9(不合题意,舍去), 即 15+x2+ 26-x2的值为9. 第十七章　勾股定理 17.1　勾股定理 第1课时 勾股定理及其验证 1. C 2. B 3. 5或4 4. (1) ∵ 直角三角形较短的直角边 长为1 2×2a=a ,较长的直角边长为 2a+3, ∴ 大正方形的边长为 a2+(2a+3)2= 5a2+12a+9. (2) 由(1),可知大正方形的面积为 5a2+12a+9. ∴ 当a=3时,该大正方形的面积是 5×32+12×3+9=90. 5. D 6. A [解析] ∵ 四边形ABGF 是正 方形,∴ AB=AF,∠BAN=∠F= 90°.∴ ∠FAM + ∠BAC =90°. ∵ ∠ACB = 90°,∴ ∠ABN + ∠BAC=90°.∴ ∠ABN=∠FAM. ∵ BA = AF,∠BAN = ∠F, ∴ △BAN≌ △AFM.∴ S△BAN = S△AFM. ∴ S四边形FNCM = S△ABC. ∴ S空白部分 =S正方形ABGF -2S△ABC. ∴ AB2-2× 12AC ·BC=13①. ∵ AC+BC=7,∴ (AC+BC)2= 72,即AC2+BC2+2AC·BC=49. ∵ AB2 =AC2 +BC2,∴ AB2 + 2AC·BC=49②.由 ① 和 ②,得 AB2=25,∴ AB=5(负值已舍去). 7. D 8. 34 [解析]∵ 四边形ABCD 为 “垂 美 四 边 形”,∴ BD ⊥ AC. ∴ ∠AEB= ∠AED = ∠BEC = ∠DEC=90°.在Rt△AED 中,AE2+ DE2=AD2 =9;在Rt△BEC 中, BE2+CE2=BC2=25.∴ AE2+ DE2+BE2+CE2=9+25=34.在 Rt△AEB 中,AE2+BE2=AB2;在 Rt△CED 中,CE2 +DE2 =CD2. ∴ AB2+CD2=AE2+DE2+BE2+ CE2=34. 9. 5 3 [解 析]在Rt△ABC 中, ∠C=90°,BC=4,AB=5,由勾股定 理,得AC= AB2-BC2=3.过点 D 作DE⊥AB 于点E.∵ BD 平分 ∠ABC,∠C=90°,∴ CD=ED.在 Rt△BCD 和Rt△BED 中, CD=ED, BD=BD, ∴ Rt△BCD≌Rt△BED.∴ BC= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6 15 第十六章复习 ▶ “答案与解析”见P5 考点一 二次根式有意义的条件 典例1 (2024·盐城大丰期末)若|2017-m|+ m-2018=m,则m-20172= . 跟踪训练 1. (2023·合肥期中)若实数x,y 满足y= x-1+ 1-x+2,求 x+1y-1 的值. 考点二 二次根式的性质与化简 典例2 实数a,b在数轴上对应点的位置如图 所示. (1) 化 简:a2 = ; (1-b)2 = . (2) 化简:(a+1)2+ b2- (a+b)2. (典例2图) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十六章　二次根式 16 跟踪训练 2. (2023·济宁期中)若实数x 满足|x-3|+ x2+8x+16=7,化 简:2|x +4|- (2x-6)2. 考点三 二次根式的运算 答案讲解 典例3 已知x,y为正数,且 x(x+ y ) = 3y( x + 5y ), 求 2x+ xy+3y x+ xy-y 的值. 跟踪训练 3. (2024·南通崇川段考)如图,用两个边长为 200cm的小正方形拼成一个大正方形. (1) 大正方形的边长是 . (2) 若沿此大正方形边的方向剪出一个长方 形,能否使剪出的长方形的长、宽之比为4∶ 3,且面积为360cm2? (第3题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1. (2024·南京雨花二模)下列计算中,结果错 误的是 ( ) A. 2+3=5 B. 53-23=33 C. 6÷2=3 D. (-2)2=2 2. (2024·潍坊)圆柱的底面圆半径为 3,高为 1,关于该圆柱的结论正确的是 ( ) A. 底面积为3π B. 体积为π C. 侧面积为23π D. 侧面展开图的周长为2+83π 3. (2023·昭通绥江期中)若x=2+ 2023,则 代数式x2-4x+4的值为 ( ) A. -2019 B. 2019 C. -2023 D. 2023 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级下 17 4. (2023·保定满城期末)如图,点P,Q 在数轴 上对应的数分别为p,q,则下列说法中,正确 的是 ( ) (第4题) A. 点P 向右平移3个单位长度与点Q 重合 B. |p+1|<q C. p+q的相反数的整数部分是2 D. p2q=pq 5. (2024·广东段考)3-22 5-26 (填“>”“<”或“=”). 答案讲解 6. (2023· 驻 马 店 平 舆 期 末)若最 简 二 次 根 式 2024-2023m 与 2023-2024m 能够合并为一项, 则m 的值为 . 答案讲解 7. (2023·晋州期末)使用手机软件付 款时,常常需要用到密码.嘉淇学完 二次根式后,突发奇想,决定用“二 次根式法”来生成密码.例如,对于二次根式 169,计算结果为13,中间加一个字母X,就 得到一个六位密码“169X13”.按照这种生成 密码的方法,利用二次根式 121生成的六位 密码是 . 8. (2024·聊城期末)阅读下列材料,然后回答 问题. ① 进行二次根式的化简与运算时,我们有时 会碰上如 2 3+1 一样的式子,可以将其进一步 化简: 2 3+1 = 2 (3-1) (3+1)(3-1) =2 (3-1) (3)2-1 = 2(3-1) 2 = 3-1. 以上这种化简的步骤叫 做分母有理化. ② 学习数学,最重要的是学习数学思想,其 中一种数学思想叫做换元,它可以简化我们 的计算. (1) 计 算: 1 3+1 + 1 5+3 + … + 1 2025+ 2023 . (2) 已知 m 是正整数,a= m+1- m m+1+ m , b= m+1+ m m+1- m ,a+b+2ab=800,求m 的值. (3) 已 知 15+x2 - 26-x2 =1,求 15+x2+ 26-x2的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十六章　二次根式