第16章 二次根式 拔尖测评-【拔尖特训】2024-2025学年八年级下册数学（人教版）

数学(人教版)八年级下 1 第十六章拔尖测评 ◎ 满分:100分 ◎ 时间:90分钟 姓名: 得分: 一、 选择题(每小题3分,共30分) 1. 下列二次根式中,可以与2合并的是 ( ) A. 12 B. 3 2 C. 2 3 D. 18 2. 若式子 1-x在实数范围内有意义,则实数x的取值范围在数轴上 表示为 ( ) A. B. C. D. 3. 实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,则 (a-b)2-(b- a-2)的化简结果是 ( ) (第3题) A. 2 B. 2a-2 C. 2-2b D. -2 4. 已知1<x<2,则化简 (x-1)2+|x-2|的结果为 ( ) A. -1 B. 1 C. 2x-3 D. 3-2x 5. 将 9 4-7 化简为a+b7的形式,其中a,b为整数,则a+b的值为 ( ) A. 5 B. 3 C. -9 D. -15 6. 射击时,子弹射出枪口时的速度可用公式v= 2as进行计算,其中 a为子弹的加速度,s为枪筒的长.如果a=5×105m/s2,s=0.64m, 那么子弹射出枪口时的速度(用科学记数法表示)为 ( ) A. 0.4×103m/s B. 0.8×103m/s C. 4×102m/s D. 8×102m/s 7. 若x-y=2-1,xy=2,则代数式(x-1)(y+1)的值为 ( ) A. 22+2 B. 22-2 C. 22 D. 2 8. 估计(25+52)× 15 的值应在 ( ) A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 9. 数学课上,老师将一个长方形的长增加23cm,宽增加73cm,就 变成了一个面积为192cm2的正方形,则原长方形的面积为 ( ) A. 18cm2 B. 20cm2 C. 36cm2 D. 48cm2 10. 如图,老师用5个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形(无重 叠、无间隔),已知小长方形的长为 18,宽为 8,小组研讨后得出 下列结论,其中不正确的是 ( ) (第10题) A. 大长方形的长为62 B. 大长方形的宽为52 C. 大长方形的周长为222 D. 大长方形的面积为80 二、 填空题(每小题4分,共20分) 11. 不等式x-2<7的正整数解的个数是 . 12. 计算: 48-3 13 ÷3= . 13. 已知-1<a<0,则 a+1a 2 -4- a-1a 2 +4= . 14. 已知x=5+3,y=5-3,则x3y+xy3的值为 . 15. 若x2-3x-1=0,则 x2+1x2-7 的值是 . 三、 解答题(共50分) 16. (8分)计算: (1) 27-2 12+2 12×6. (2) (25-52)(25+52)-(5-2)2. 17. (8分)先化简,再求值:a+ 1-2a+a2,其中a=1007.如图所示 为小亮和小芳的解答过程. (第17题) (1) 的解答过程是错误的. (2) 错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质: . (3) 先化简,再求值:a+2 a2-6a+9,其中a=-2024. 18. (8分)(1) 问题情景:请补全下面这道例题的解题过程. 例题:已知y= 2022-x+ x-2022+2023有意义,求x,y 的值. 解:由题意,得 2022-x≥0, x-2022≥0, 解得x= . ∴ y= . (2) 尝试运用:若x,y 为实数,且y> x-3+ 3-x+2, 化简:|2-y| 3y-6. (3) 拓展创新:已知n= mn-12+ 24-2mn-m+8有意义,求 m-n的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 19. (8分)小芳在解决问题:已知a= 1 2+3 ,求2a2-8a+1的值.她是 这样分析与解答的: ∵ a= 1 2+3 = 2-3(2+3)×(2-3) =2-3, ∴ (a-2)2=3. ∴ 原式=2a2-8a+8-7=2(a-2)2-7=2×3-7=-1. 请你根据小芳的分析过程,解决下列问题: (1) 计算: 1 2+1 + 1 3+2 + 1 2+3 +…+ 1 2023+ 2022 . (2) 若a= 1 2-1 ,求: ① 4a2-8a-1的值. ② 3a3-12a2+9a-12的值. 20. (8分)阅读下面的材料. 学习二次根式的性质时,我们知道(a)2=a(a≥0), 例题:求 3-5+ 3+5的值. 解:设x= 3-5+ 3+5. 两边同时平方,得x2=(3-5+ 3+5)2=(3-5)2+ (3+5)2+2× 3-5× 3+5=3- 5+3+ 5+4=10,即 x2=10. ∵ 3-5+ 3+5>0, ∴ 3-5+ 3+5= 10. 请利用上述方法,求 4-7- 4+7的值. 21. (10分)已知p,q是△ABC 中∠A 和∠B 两角所对的两条边的 长,且∠A>∠B,p= n+1- n,q= n- n-1,n 为大于2 的正整数,试判断p是∠A 和∠B 中哪个角的对边长. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ∴ P 112 ,3 或 -112,3 . ② 当AB 为对角线时,点P 在点P3 的位置上. 过点P3作P3Q⊥AB 于点Q. 易得P3Q=CO=3. ∵ 点P3在第三象限, ∴ 设P3(-p,-3)(p>0). ∵ 四边形AP3BC为平行四边形, ∴ P3B=AC=5. ∴ -p- 3 2 2 +(-3-0)2=5. ∴ p= 5 2 (负值已舍去). ∴ P3 - 5 2 ,-3 . 综上所述,点P 的坐标为 112 ,3 或 -112 ,3 或 -52,-3 . (第4题) 拔尖测评 第十六章拔尖测评 一、 1. D 2. C 3. A 4. B 5. A 6. D 7. B 8. B 9. A 10. D 二、 11. 4 12. 3 13. 2a [解析]∵ -1<a<0, ∴ a+1a<0 ,a-1a>0.∴ 原式= a2+2+1a2-4- a 2-2+1a2+4= a2-2+1a2 - a 2+2+1a2 = a-1a 2 - a+1a 2 =a- 1 a+a+ 1 a=2a. 14. -112 15. 2 [解析] 当x=0时,则0-3× 0-1=-1≠0,故x≠0.∴ x2-3x- 1=0的两边同时除以x,得x-3- 1 x =0.∴ x- 1x =3.∴ x- 1 x 2 =x2+1x2-2=9.∴ x2+1x2= 11.∴ x2+1x2-7= 11-7= 4=2. 三、 16. (1) 原式=33-43+2× 6=33-43+23=3. (2) 原 式 = (25)2- (52)2 - (5)2+2× 5× 2-(2)2=20- 50-5+2 10-2=2 10-37. 17. (1) 小亮. (2) a2=-a(a<0). (3) 原式=a+2 (a-3)2 =a+ 2(3-a)=6-a,将a=-2024代入, 得原式=6+2024=2030. 18. (1) 2022;2023. (2) 由题意,得 x-3≥0, 3-x≥0, 解得x=3. ∴ y>2. ∴ |2-y| 3y-6= y-2 3(y-2)= 1 3. (3) 由题意,得 mn-12≥0, 24-2mn≥0, 解得 mn=12. ∴ n=-m+8,即m+n=8. ∴ (m-n)2=(m+n)2-4mn=64- 48=16. ∴ m-n=±4. 19. (1) 原式=2-1+3-2+2- 3+ … + 2023 - 2022 = 2023-1=177-1. (2) ∵ a= 1 2-1 =2+1, ∴ a2=(2+1)2=3+22,(a- 1)2=(2)2=2. ① 原式=4a2-8a+4-5=4(a2- 2a+1)-5=4(a-1)2-5=4×2- 5=3. ② 原式=(3a3+9a)-(12a2+12)= 3a(a2+3)-12(a2+1)=3×(2+ 1)×(6+22)-12×(4+22)=3× (62+4+6+22)-12×(4+ 22)=30+24 2-48-242= -18. 20. 设x= 4-7- 4+7. 两边同时平方,得x2=(4-7- 4+7)2=4- 7-2× 4-7× 4+7+4+ 7=4- 7-2×3+ 4+7=2,即x2=2. ∵ 4-7- 4+7<0, ∴ 4-7- 4+7=-2. 21. ∵ p= n+1- n= 1 n+1+ n ,q= n - n-1= 1 n+ n-1 , 又∵ n+1+ n> n-1+ n, ∴ p<q. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 47 又∵ ∠A>∠B, ∴ p是∠B 的对边长. 第十七章拔尖测评 一、 1. B 2. C 3. C 4. A 5. A 6. B 7. B [解析]如图,在Rt△ACD 中, ∠ACD=45°,∴ ∠CAD =45°= ∠ACD.∴ AD =CD =2cm.在 Rt△BCD 中, ∠BCD = 60°, ∴ ∠CBD=30°.∴ BC=2CD = 4cm.∴ 在Rt△BCD 中,由勾股定 理,得 BD = BC2-CD2 = 42-22=23(cm).∴ AB=BD- AD=(23-2)cm. (第7题) 8. A [解析]如图,连接FC.由题 意,易得OE 垂直平分AC.∴ AF= FC,OA = OC.∵ AD ∥BC, ∴ ∠FAO= ∠BCO.在 △FOA 和 △BOC中, ∠FAO=∠BCO, OA=OC, ∠AOF=∠COB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △FOA≌△BOC.∴ AF=CB= 3.∴ FC=AF=3,FD=AD-AF= 4-3=1.在△FDC 中,∵ ∠D=90°, ∴ CD2+DF2=FC2.∴ CD2+12= 32.∴ CD=22(负值已舍去). (第8题) 9. C [解析]如图,过点B 作BG∥ CD,使BG=CD,连接EG.∵ BG∥ CD,∴ ∠ABG = ∠CFB = α. ∵ BG2=12+42=17,BE2=12+ 42=17,EG2=32+52=34,∴ BG2+ BE2=EG2.∴ △BEG 是直角三角 形,且∠GBE =90°.∴ ∠ABE = ∠GBE+∠ABG=90°+α. (第9题) 10. B [解析]如图,作点B 关于AC 的 对 称 点 B',连 接 B'A,B'D. ∴ ∠BAC = ∠B'AC.∵ B'A = 12+32= 10,B'D= 12+32= 10,AD = 22+42 = 25, ∴ B'A=B'D,B'A2+B'D2=AD2. ∴ △AB'D 是等腰直角三角形,且 ∠AB'D =90°.∴ ∠B'AD =45°. ∴ ∠BAC + ∠DAC = ∠B'AC + ∠DAC=∠B'AD=45°. (第10题) 二、 11. 23 12. 135° 13. 96 14. 5 [解析]如图,过点 B 作 BE⊥AC 于点E,则∠BEA=90°. ∵ AB=BC=AD=5,∴ AE=CE. ∵ AC ⊥CD,∴ ∠ACD =90°. ∴ ∠CAD+∠D=90°.∵ ∠BAD= 90°,∴ ∠BAE + ∠CAD =90°. ∴ ∠BAE=∠D.又∵ AB=DA, ∠BEA=∠ACD=90°,∴ △BAE≌ △ADC.∴ AE =DC.∴ AC = 2AE=2CD.设CD=x,则AC=2x. 在 Rt△ACD 中,∵ AD=5,∠ACD= 90°,∴ x2+(2x)2=52.∴ x= 5(负 值已舍去).∴ CD=5. (第14题) 15. 3-1 [解析]如图,过点A 作 AF⊥BC 于点F.由题意,得AB= AC= 2,∴ 在Rt△ABC 中,BC= AB2+AC2=2.由题意知,△ABC 是等腰直角三角形,∴ 易得BF= CF=AF=1.由题意,得AD=BC= 2.在Rt△ADF 中,根据勾股定理,得 DF= AD2-AF2= 3.∴ CD= DF-CF=3-1. (第15题) 三、 16. (1) 由题意,可知AC+BC= 8m.易知∠A=90°, ∴ AB2+AC2=BC2. 设AC=xm,则BC=(8-x)m, ∴ 42+x2=(8-x)2,解得x=3. ∴ AC=3m,BC=5m. ∴ 旗杆在距地面3m处折断. (2) 如图,在AB 的延长线上取一点 B',连接B'D,使B'D+AD=8m. ∵ CD=1.25m, ∴ AD=AC-CD=3-1.25=1.75(m). ∴ B'D=8-1.75=6.25(m). ∴ AB'= B'D2-AD2= 6.252-1.752=6(m). ∴ 距旗杆底部周围6m的范围内有 被砸伤的危险. (第16题) 17. 在△ABC 中,AB=15,BC=14, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 57