18.2 专题特训（十）利用特殊四边形的性质巧解动态问题-【拔尖特训】2024-2025学年八年级下册数学（人教版）

AE= AD2+DE2= 42+22=25. 由(1),可得NE=2.5, ∴ BN=2.5. ∴ CN=BC-BN=1.5. ∵ S正方形ABCD =BC2=16,S△ABN = 1 2AB ·BN = 12 ×4×2.5=5 , S△CEN= 1 2CN ·CE=12×1.5×2= 1.5,S△ADE= 1 2AD ·DE=12×4× 2=4, ∴ S△AEN =S正方形ABCD -S△ABN - S△CEN-S△ADE=16-5-1.5-4=5.5. ∵ NG⊥AE, ∴ S△AEN= 1 2AE ·NG. ∴ NG= 2S△AEN AE = 2×5.5 25 =11510 . (3) 如图,连接BM,EM. 由折叠的性质,可知AM=FM,AB= FE,∠BAM=∠EFM, ∴ △ABM≌△FEM. ∴ BM=EM. 设AM=y,则DM=4-y. 在Rt△ABM 中,由 勾 股 定 理,得 BM2=AB2+AM2,即BM2=42+y2. 在Rt△DEM 中,由勾股定理,得EM2= DM2+DE2,即EM2=(4-y)2+22. ∵ BM=EM, ∴ BM2=EM2. ∴ 42+y2=(4-y)2+22,解得y=0.5. ∴ AM 的长为0.5. (第9题) 专题特训（十）　利用特殊 四边形的性质巧解动态问题 1. C [解析] 设▱ABCD 的边BC 上的高为h,∴ S▱ABCD =BC·h. ∵ S△BCE = 1 2BC ·h,∴ S△BCE = 1 2S▱ABCD. 如图,过点F 作FM⊥BC 于点 M.∴ S△BFC = 1 2BC ·FM. ∴ △CHE 的面积与△BFH 的面积 之差为(S△CHE+S△BHC)-(S△BFH+ S△BHC)= 1 2S▱ABCD-S△BFC. 又∵ 点 F 从点B 出发向点A 运动时FM 的 长逐渐增大,∴ △CHE 的面积与 △BFH 的面积之差的变化情况是一 直变小. (第1题) 2. (1) ① 如图①,过点G 作GP⊥ CD,垂足为P. ∵ 在 ▱ABCD 中,AD ⊥ AC, AD=AC, ∴ △ACD 是等腰直角三角形. ∴ ∠ADC=∠ACD=45°. ∵ ∠CPG=90°, ∴ △GCP 是等腰直角三角形. ∴ CP=PG. ∵ CG=2, ∴ 易得PG=CP=2. ∵ ∠CDE=30°, ∴ DG=2PG=22. ∴ DP= DG2-PG2=6. ∴ CD=DP+CP=6+2. ∵ 易 得 AC2+AD2 = 2AD = CD=2+6, ∴ AC=AD=1+3. ∴ ▱ABCD 的面积为AC·AD= (1+3)2=4+23. ② 如图②,延长CF 交DA 的延长线 于点T. ∵ CH⊥DE, ∴ ∠CHD=90°. ∵ ∠DAG = ∠CHG = 90°, ∠AGD=∠CGH, ∴ ∠GDA=∠GCH. ∵ ∠DAG=∠CAT=90°,AD=AC, ∴ △DAG≌△CAT. ∴ DG=CT,AG=AT. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AD=BC,AD∥BC. ∴ ∠ACB=∠CAD=90°. ∵ AD=AC, ∴ AC=BC. ∴ ∠B=∠CAB=45°. ∵ ∠CAT=90°, ∴ ∠GAF=∠TAF=45°. ∵ AF=AF, ∴ △GAF≌△TAF. ∴ GF=TF. ∴ DG=CT=CF+TF=CF+FG. (2) 当点E 在线段AB 上时,如图③, 延长CF 交DA 的延长线于点T. ∵ HG=HF,FG=2,CH⊥DE, ∴ 易得GH=HF=1. ∵ AD⊥AC,AD=AC, ∴ ∠CFG=∠EGF=∠DCA=45°. ∴ ∠DCA + ∠ACF = ∠CFG + ∠ACF,即∠DCT=∠AGF. 同理(1) ②, 得∠ATC=∠AGF, FG=FT= 2,DG=CF+GF= CF+FT. ∴ ∠ATC=∠DCT. ∴ △CDT 是等腰三角形. ∴ CH=HT=1+2. ∴ DG=CT=2+22. 当点E 在射线BA 上时,如图④,设 AD 与CF 交于点T,连接ET,易得 △ACT≌△ADG. ∴ ∠ATC=∠AGE,AT=AG. ∵ ∠CAB = 180°- ∠ADC - ∠DAC=45°, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 73 ∴ ∠GAF=45°. ∴ ∠TAF=∠GAF=45°. ∵ AF=AF, ∴ △ATF≌△AGF. ∴ ∠AFT=∠AFG. ∵ ∠AED = ∠GEF,∠DAE = ∠HGF=45°, ∴ ∠AFG=∠ADE=∠AFT. ∵ CD∥BF, ∴ ∠AFT=∠DCT. ∴ ∠ADE=∠DCT. ∴ ∠AGE = ∠ATC = ∠ADC + ∠DCT = ∠ADC + ∠ADE = ∠CDG. ∴ △CDG 是等腰三角形. ∵ CF⊥DG, ∴ DH=HG=1. ∴ DG=DH+HG=2. 综上所述,DG 的长为2+22或2. (第2题) 3. D [解析] 如图,作点F 关于BC 的对称点F',作点E 关于CD 的对称 点E',连接E'F'交BC于点G,交CD 于点H,连接EH,FG.∴ FG=F'G, EH=E'H.∴ 四边形EFGH 的周 长=EF+FG+GH+HE=EF+ F'G+GH+HE'≥EF+E'F'.∴ 当 E',H,G,F'四点共线时,四边形 EFGH 的周长有最小值.∵ AB=4, AF=2,∴ BF=2.∴ BF'=2. ∴ AF'=6.∵ AD =6,AE =4, ∴ DE=2.∴ DE'=2.∴ AE'=8.在 Rt△AE'F'中,E'F'= AF'2+AE'2= 62+82 =10.在 Rt△AEF 中,EF= AF2+AE2= 22+42=25.∴ 四边形 EFGH 周长的最小值为25+10. (第3题) 4. (1) ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ CD=AB,∠D=90°, ∴ DE= AE2-AD2= 52-32=4. ∴ EC=DC-DE=1. (2) 如图,过点A 作AM∥EF,交PB 于点M. ∴ ∠PEF=∠PAM. ∵ P 是AE 的中点, ∴ EP=AP. 又∵ ∠EPF=∠APM, ∴ △EPF≌△APM. ∴ EF=AM,PF=PM. ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ AB∥CD. ∴ ∠DEP=∠BAP. ∴ ∠DEP - ∠PEF = ∠BAP - ∠PAM,即∠DEF=∠MAB. ∵ α=∠APF=∠DEF+∠EAB,且 ∠APF=∠EAB+∠PBA, ∴ ∠DEF=∠PBA. ∴ ∠MAB=∠PBA. ∴ MB=MA. ∴ MB=EF. ∴ FB=FM+MB=FP+PM+ EF=2FP+FE. (第4题) 5. D [解析] ∵ 四边形ABCD 是菱 形,∴ AC⊥BD.∵ A(-3,0),B(0, 4),∴ OA=3,OD=OB=4.∴ AB= BC=CD=AD= 32+42=5.∵ 点 P 从点C出发,以每秒5个单位长度 的速度沿C→D→A→B→C 的方向 运动,∴ 点P 的运动轨迹每4秒一个 循环,2025÷4=506……1.∴ 第 2025秒时点F 的坐标与第1秒时点 F 的坐标相同,第1秒时点P 在点D 处.如图,过点F 作FG⊥x轴于点G. ∵ ∠OEF+∠OED=90°,∠ODE+ ∠OED=90°,∴ ∠OEF=∠ODE, 即∠ODE=∠GEF.又∵ ∠DOE= ∠EGF = 90°,且 DE = EF, ∴ △ODE≌△GEF.∴ OD=GE= 4,OE=GF=6.∴ OG=OE-GE= 6-4=2.∴ 点F 的坐标是(2,6). (第5题) 6. (1) ∵ 四边形ABCD 为菱形, ∴ AB∥CQ. ∴ ∠QDA=∠PAD,即∠PAE= ∠QDE. ∵ E 是边AD 的中点, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 83 ∴ AE=DE. 又∵ ∠PEA=∠QED, ∴ △APE≌△DQE. ∴ AP=DQ. ∴ 四边形APDQ 是平行四边形. (2) ① AB 的中点. ② 当点P 与点B 重合时,四边形 APDQ 是菱形. 理由:如图, ∵ 四边形ABCD 是菱形, ∠ABC=120°, ∴ AD=AB,∠DAB=60°. ∴ △ABD 为等边三角形. ∴ AB=BD,即AP=DP. 由(1),得四边形 APDQ 是平行四 边形, ∴ 四边形APDQ 是菱形. (第6题) 7. C [解析] 如图①,连接 AE. ∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ AB= BC,∠ABE = ∠BCF = 90°.又 ∵ BE=CF,∴ △ABE≌△BCF. ∴ AE=BF.∴ BF+DE 的最小值 等于AE+DE 的最小值.如图②,作 点A 关于BC的对称点H,连接BH, 则A,B,H 三点共线,连接DH,DH 与BC 交于点E,连接AE,此时D, E,H 三点共线,HE+DE 的值最小. 根据对称性可知,AE=HE,∴ AE+ DE=DH.在Rt△ADH 中,AD=1, AH=2,∴ DH= AH2+AD2= 5.∴ BF+DE 最小值为5. (第7题) 8. (1) 补全图形如图①所示. (2) 如 图 ②,连 接 AC,CE,设 ∠CDE=α. ∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ DA=DC,∠ADC=90°. ∵ 点A,E 关于DP 对称, ∴ DA=DE. ∴ DA=DC=DE. ∴ ∠DEC=∠ECD= 12 (180°- α)=90°-12α ,∠DAE=∠DEA= 1 2 (180°-90°-α)=45°-12α. ∴ ∠CEF = ∠DEC - ∠DEA = 90°-12α- 45°- 1 2α =45°. ∵ CF⊥AE, ∴ ∠CFE=90°. ∴ ∠FCE=∠CEF=45°. ∴ FC=FE. (3) FB+FD=2FA. 如图③,过点A 作AM⊥FD 交FD 的延长线于点M,AN⊥BF 于点N, 过点B 作BJ⊥AE 于点J,BK⊥FC 交FC的延长线于点K. ∵ DC=DE,DF=DF,FC=FE, ∴ △DFC≌△DFE. ∴ ∠DFC=∠DFE=12× (360°- 90°)=135°. ∴ ∠DFG=180°-∠DFE=45°. ∵ ∠BJF=∠JFK=∠K=90°, ∴ ∠JBK=∠ABC=90°. ∴ 易得∠ABJ=∠CBK. ∵ BA=BC,∠BJA=∠K=90°, ∴ △BJA≌△BKC. ∴ BJ=BK. ∵ BJ⊥FA,BK⊥FK. ∴ ∠BFJ=∠BFK=45°. ∴ ∠AFM=∠AFN=45°. ∵ ∠M=∠ANF=90°,FA=FA, ∴ △FAM≌△FAN. ∴ AM=AN. ∵ AD=AB,∠M=∠ANB=90°. ∴ Rt△AMD≌Rt△ANB. ∴ DM=BN. ∵ ∠M=∠MFN=∠ANF=90°, ∴ 四边形AMFN 是矩形. ∵ AM=AN, ∴ 四边形AMFN 是正方形. ∴ 易得AF=2FM. ∴ FB+FD=FN+BN+FM - DM=2FM=2AF. (第8题) 专题特训（十一） 四边形的综合探究 1. (1) 如图,连接AC,BD. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 93 60 专题特训（十）　利用特殊四边形的性质巧解动态问题 ▶ “答案与解析”见P37 类型一 平行四边形中的动点 1. (2023·温州期中)如图,在▱ABCD 中,点E 在AD 的延长线上,点F 在线段AB 上,依次 连接EB,EC,FC,FC 与EB 交于点H,当点 F 从点B 出发向点A 运动时(点F 不与点 B,A 重合),△CHE 的面积与△BFH 的面 积之差的变化情况是 ( ) (第1题) A. 先变小,再变大 B. 一直不变 C. 一直变小 D. 一直变大 答案讲解 2. (2024· 成都锦江期末)如图,在 ▱ABCD 中,AD⊥AC,AD=AC, E 为射线BA 上一点,直线DE 与 直线AC 交于点G,CH⊥DE 于点H,CH 的延长线与直线AB 交于点F,连接FG. (1) 当点E 在线段AB 上时. ① 若∠CDE=30°,CG=2,求▱ABCD 的 面积. ② 求证:DG=CF+FG. (2) 若HG=HF,FG=2,求DG 的长. (第2题) 类型二 矩形中的动点 3. (2024· 牡 丹 江 西 安 期 末)如图,在矩形 ABCD 中,AB=4,AD=6,AE=4,AF=2, G,H 分别是边BC,CD 上的动点,则四边形 EFGH 周长的最小值为 ( ) (第3题) A. 25+6 B. 45 C. 42+2 D. 25+10 4. (2023·重庆段考)在矩形ABCD 中,E 是 CD 上的一个动点,连接AE. (1) 如图①,若AB=AE,AB=5,AD=3,求 EC 的长. (2) 如图②,P 是AE 的中点,将直线AE 绕 点P 按顺时针方向旋转α后,恰好经过点B, 交AD 于点F,连接EF.若α=∠DEF+ ∠EAB,求证:FB=2FP+FE. (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级下 61 类型三 菱形中的动点 5. 如图,菱形ABCD 的四个顶点均在坐标轴 上,点A,B,E 的坐标分别为(-3,0),(0, 4),(6,0).P 是菱形ABCD 边上的一个动 点,连接PE,把PE 绕着点E 按顺时针方向 旋转90°得到FE,连接PF.若点P 从点C 出发,以每秒5个单位长度的速度沿C→ D→A→B→C 的方向运动,则第2025秒时, (第5题) 点F 的坐标是 ( ) A. (6,9) B. (10,-6) C. (10,6) D. (2,6) 6. (2024·商丘期末)如图,在菱形ABCD 中, ∠ABC=120°,E 是边AD 的中点,P 是边 AB 上的一个动点(不与点A 重合),连接PE 并延 长,交 CD 的 延 长 线 于 点 Q,连 接 PD,AQ. (1) 求证:四边形APDQ 是平行四边形. (2) ① 当点P 运动到 处时,四 边形APDQ 是矩形. ② 当点P 运动到何处时,四边形APDQ 是 菱形? 请说明理由. (第6题) 类型四 正方形中的动点 7. (2024·淮安盱眙期末)如图,正方形ABCD 的边长为1,E,F 分别是边BC,CD 上的动 点,且BE=CF,连接BF,DE,则BF+DE 的最小值为 ( ) (第7题) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 答案讲解 8. (2024·黄石期末)如图,在正方形 ABCD 中,动点P 从点B 运动到点 C(点P 不与点B,C 重合),连接 DP,作点A 关于直线DP 的对称点E,连接 AE 分别交DP,DC 于点G,H.过点C 作 CF⊥AE 于点F,连接DE. (1) 依题意补全图形. (2) 求证:CF=EF. (3) 连接FB,FD,用等式表示线段FA,FB, FD 之间的数量关系,并证明. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十八章　平行四边形