18.1 专题特训（七）构造中位线解题-【拔尖特训】2024-2025学年八年级下册数学（人教版）

44 专题特训（七）　构造中位线解题 ▶ “答案与解析”见P22 类型一 中点四边形 1. (2023· 台 州 仙 居 期 末)如图,在四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别为边AB,BC, CD,DA 的中点. (1) 求证:四边形EFGH 是平行四边形. (2) 若四边形ABCD 的对角线互相垂直且 它们的乘积为48,求四边形EFGH 的面积. (第1题) 类型二 构造三角形 2. 如图,在四边形ABCD 中.AC⊥BC,AD∥ BC,BD 为∠ABC 的平分线,BC=6,AC= 8.若E,F 分别是BD,AC 的中点,则EF 的 长为 ( ) (第2题) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 答案讲解 3. 如图,正方形ABCD、正方形AEFG 的边长分别为4,1,将正方形AEFG 绕点A 旋转,连接DF,M 是DF 的 中点,连接CM,则线段CM 长的最大值为 . (第3题) 4. 如图,B 为线段AC 上任意一点,F 为线段 AC 的中点,分别以AB,BC 为边向AC 的同 侧作等边三角形ABD 和等边三角形BCE, M,N 分别为AD,CE 的中点,连接FM, FN. (1) 当点B 在AC 上运动时. ① 求证:FM=FN. ② 求∠MFN 的度数. (2) 若AB=4,BC=6,求FM 的长. (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级下 45 类型三 与角平分线结合 5. 如图,在△ABC 中,D 是边BC 的中点,AE 是∠BAC 的平分线,AE⊥CE 于点E,连接 DE.若AB=7,DE=1,则AC的长是 ( ) A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 (第5题) (第6题) 答案讲解 6. 如图,在△ABC中,CF,BE 分别平分 ∠ACB 和∠ABC,过点A 作AD⊥ CF,交 CF 的延长线于点D,作 AG⊥BE,交BE 的延长线于点G,连接DG. 若AB=9,AC=8,BC=7,则DG 的长为 ( ) A. 5.5 B. 5 C. 6 D. 6.5 7. 如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB= 13,BC=5,AD,BE 分 别 平 分 ∠BAC, ∠ABC,∠ADC=∠BEC=90°,连接DE,求 DE 的长. (第7题) 类型四 取中点构造 答案讲解 8. 如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC= 90°,AB=3,AC=4,平面上有一点 P,连接AP,CP,且PC=2,取AP 的中点M,连接BM,则BM 长的最小值为 ( ) (第8题) A. 10 B. 65 5 C. 13-1 D. 23 9. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,CA=CB,E, F 分别为CA,CB 上的点,且CE=CF,M, N 分别为AF,BE 的中点.若 AE=1,求 MN 的长. (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十八章　平行四边形 明如下: ∵ ∠BAC=90°,AB=AC, ∴ ∠ABC=∠ACB=45°. 如图①,过点E 作EF∥BC,且EF= BC,连接CF,DF. ∴ 四边形BCFE 是平行四边形. ∴ CF=BE=AD,BE∥CF. ∴ ∠DCF=180°-∠BAC=90°. ∵ AB=AC,AD=BE, ∴ AB+BE=AC+AD,即 AE= CD. ∵ ∠BAC=90°, ∴ ∠DAE=180°-∠BAC=90°. ∴ ∠DAE=∠FCD. ∴ △DAE≌△FCD. ∴ DE=FD. ∵ EF∥BC, ∴ ∠BEF=∠ABC=45°. ∴ ∠DEF=∠AED+∠BEF=60°. ∴ △DEF 是等边三角形. ∴ DE=EF. ∴ DE=BC. (2) 如图②,过点D 作DH∥AB,且 DH=AB,连接AH,EH. ∴ 易得四边形 ABDH 是平行 四 边形. ∴ AH=BD,AH∥BD,AB=HD. ∴ ∠EAH=180°-∠C=90°. ∴ ∠CAB+∠FAH=90°. ∵ AC=BD, ∴ AH=CA. ∵ AE=CB,∠EAH=∠C=90°, ∴ △AEH≌△CBA. ∴ HE=AB,∠AHE=∠CAB. ∴ EH = DH, ∠AHE + ∠FAH=90°. ∴ ∠AFH=90°. ∴ ∠EHD=∠AFH=90°. ∴ ∠HDE=45°. ∴ 易得∠AGE=∠HDE=45°. (3) 如图③,过点B 作BF∥AD,且 BF=AD=35,连接AF,EF,过点 E 作EM⊥AF,交FA 的延长线于 点M. ∴ 四边形ADBF 是平行四边形. ∴ AF=BD=5,AF∥BD. ∴ ∠MAE=∠C=45°. ∴ 易得ME=AM=3. ∵ FM=AF+AM=5+3=8, ∴ 在Rt△EFM 中,由勾股定理,得 EF= FM2+ME2= 73. ∵ AD⊥BE 于点H, ∴ 易得∠AHE=∠FBE=90°. 在Rt△EBF中,由勾股定理,得BE= EF2-BF2= (73)2-(35)2=27. (第5题) 6. C [解析] 如图,作点G 关于AB 的对称点G',在CD 上截取CH=1, 连接HG'交AB 于点E,在EB 上截 取EF=1,此时GE+CF 的值最小. ∵ 四边形ABCD 是长方形,∴ AB∥ CD,AD=BC=2,DC=AB=4. ∵ CH=EF=1,CH∥EF,∴ 四边形 EFCH 是平行四边形.∴ EH=CF. ∵ 点G 关于AB 的对称点是G'且G 为边AD 的中点,∴ AB 垂直平分 GG'.∴ GE=G'E,AG=AG'= 1 2AD=1.∴ G'H=EG'+EH= EG+CF.∵ DC =4,AD =2, ∴ DG'=AD +AG'=2+1=3, DH =DC -CH =4-1=3. ∴ HG'= DG'2+DH2= 32+32=32,即GE+CF 的最小 值为32. (第6题) 7. 如图,过点P 作PE⊥l1 于点E, 延长PE 交l2 于点F,在PF 上截取 PC=8,连接 QC 交l2 于点 B,作 BA⊥l1于点A,连接PA,此时PA+ AB+BQ 的值最小.过点Q 作QD⊥ PF,交PF 的延长线于点D. 在Rt△PQD 中,∵ 易得∠D=90°, PQ=4 30,PD=PE+EF+DF= 6+8+4=18, ∴ DQ = PQ2-PD2 =2 39, CD=PD-PC=18-8=10. ∵ 易得AB=PC=8,AB∥PC, ∴ 四边形ABCP 是平行四边形. ∴ PA=BC. ∴ PA+BQ=CB+BQ=QC= DQ2+CD2 = (2 39)2+102 = 16. (第7题) 专题特训（七）　构造 中位线解题 1. (1) 连接BD. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22 ∵ E,H 分别为边AB,DA 的中点, ∴ EH∥BD,EH=12BD. ∵ F,G 分别为边BC,CD 的中点, ∴ FG∥BD,FG=12BD. ∴ EH∥FG,EH=FG. ∴ 四边形EFGH 是平行四边形. (2) 连接AC. 由(1)知,四边形EFGH 是平行四边 形,EH∥BD,EH=12BD. ∵ G,H 分别为边CD,DA 的中点, ∴ HG∥AC,HG=12AC. 又∵ AC⊥BD, ∴ EH⊥HG. ∴ S四边形EFGH=EH·HG= 1 2BD× 1 2AC= 1 4BD ·AC=12. ∴ 四边形EFGH 的面积是12. 2. A [解 析] ∵ AC ⊥BC, ∴ ∠ACB=90°.∵ BC=6,AC=8, ∴ AB= BC2+AC2=10.∵ AD∥ BC,∴ ∠ADB=∠CBD.∵ BD 为 ∠ABC 的 平 分 线,∴ ∠ABD = ∠CBD.∴ ∠ABD = ∠ADB. ∴ AB=AD=10.如图,连接BF 并 延长,交 AD 于点G,∵ AD∥BC, ∴ ∠GAF = ∠BCF,∠AGF = ∠CBF.∵ F 是AC的中点,∴ AF= CF.∴ △AFG≌△CFB.∴ AG= CB=6.∴ DG=AD-AG=10-6= 4.∵ E 是 BD 的 中 点,∴ EF= 1 2DG=2. (第2题) 3. 2 2+25 [解析] 如图,延长DC 至点P,使CP=DC,连接PF,AP, AF.∵ M 是DF 的中点,CP=DC, ∴ CM 是△DFP 的中位线.∴ PF= 2CM.∵ 正 方 形 ABCD、正 方 形 AEFG 的边长分别为4,1,∴ 易得 AP= AD2+DP2 = 42+82 = 45,AF= 2.∵ PF≤AP+AF, ∴ PF 长 的 最 大 值 为45+ 2. ∴ CM 长的最大值为 22+25. (第3题) 4. (1) ① 如图,连接DC,AE 交于点 P,DC交FN 于点Q. ∵ △ABD 与△BCE 均 为 等 边 三 角形, ∴ AB=AD=DB,BE=CE=BC, ∠ABD=∠EBC=60°, ∴ ∠ABE=∠DBC. ∴ △ABE≌△DBC. ∴ AE=DC. ∵ M,N,F 分别是AD,CE,AC 的 中点, ∴ FM∥DC,且 FM=12DC ,FN∥ AE,且FN=12AE. ∴ FM=FN. ② 由①知,△ABE≌△DBC, ∴ ∠AEB=∠DCB. ∴ 易得∠EPC=∠EBC=60°. ∵ 易 知∠MFN +∠DQF=180°, ∠EPC=∠DQF=60°, ∴ ∠MFN=120°. (2) 如图,过点 M 作 MK⊥CA 于 点K. ∵ 易 知 ∠DAC = 60°,AM = 1 2AD=2 , ∴ 易得AK=1,MK=3. ∴ KF=12× (4+6)-1=4. ∴ MF= MK2+KF2= (3)2+42= 19. (第4题) 5. C [解析] 如图,延长CE,交AB 于点F.∵ AE 平分∠BAC,AE⊥ CE,∴ ∠EAF=∠EAC,∠AEF= ∠AEC =90°.又 ∵ AE = AE, ∴ △EAF≌ △EAC.∴ AF=AC, EF=EC.又∵ D 是边BC 的中点, ∴ BD=CD.∴ DE 是△BCF 的中 位线.∴ BF=2DE=2.∴ AC= AF=AB-BF=7-2=5. (第5题) 6. B [解析] 如图,延长AD,交CB 的延长线于点P,延长AG,交BC 的 延长线于点Q.∵ CF,BE 分别平分 ∠ACB 和 ∠ABC,∴ ∠ACD = ∠PCD,∠ABG=∠QBG.由题意,得 ∠ADC= ∠PDC=90°,∠AGB = ∠QGB =90°.∴ ∠CAP = ∠P, ∠BAG= ∠Q.∴ AC=PC=8, AB=QB=9.又∵ BC=7,∴ PQ= QB+PC-BC=9+8-7=10. ∵ AC=PC,CD 平分∠ACP,∴ D 是AP 的中点.同理,可得G 是AQ 的 中点.∴ DG 是△APQ 的中位线. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 32 ∴ DG=12PQ=5. (第6题) 7. 如图,分别延长CE,CD,交AB 于 点G,H. ∵ ∠ACB=90°,AB=13,BC=5, ∴ 在Rt△ABC中,AC= AB2-BC2= 132-52=12. ∵ AD 平分∠BAC,∠ADC=90°, ∴ AC=AH=12,CD=HD. 同理,可得BC=BG=5,CE=GE. 又∵ AH+BG-AB=GH, ∴ GH=12+5-13=4. ∵ CE=GE,CD=HD, ∴ DE=12GH= 1 2×4=2. (第7题) 8. C [解析] 如图,取AC 的中点 N,连接 MN,BN.∴ AN=CN= 1 2AC=2.∵ ∠BAN=90°,AB=3, ∴ BN= AB2+AN2= 32+22= 13.∵ M 为AP 的中点,N 为AC 的 中 点,∴ MN = 12 PC =1. ∵ BM≥BN-MN,∴ BM≥ 13- 1.∴ BM 长的最小值为 13-1. (第8题) 9. 如 图,取 AB 的 中 点 D,连 接 MD,ND. ∵ AE=1,CA=CB,CE=CF, ∴ 易得BF=AE=1. ∵ M,N 分别为AF,BE 的中点, ∴ DM 为△ABF 的中位线,DN 为 △ABE 的中位线. ∴ DM = 12BF= 1 2 ,DM∥BF, DN=12AE= 1 2 ,DN∥AE. ∵ AE⊥BF, ∴ DM⊥DN. ∴ △DMN 为等腰直角三角形. ∴ 易得MN= DM2+DN2= 22. (第9题) 18.2　特殊的平行四边形 第1课时 矩形的性质 1. D 2. 25 3. (1) ∵ DF 是AC的垂直平分线, ∴ AD=DC,∠CDE=90°. 在Rt△ABC中,AD=DC, ∴ BD=12AC. ∴ CD=BD. ∴ ∠C=∠DBC. ∵ ∠CED+∠C=90°, ∴ ∠CED+∠DBC=90°. ∵ 四边形BFGE 是矩形, ∴ OE=OB. ∴ ∠OEB=∠OBE. ∵ ∠CED=∠OEB, ∴ ∠OBE=∠CED. ∴ ∠OBE+∠DBC=90°. ∴ BD⊥BG. (2) 如图,连接AE. ∵ DE 是AC的垂直平分线, ∴ AE=EC. 在Rt△ABE 中,∵ AB=BE=1, ∴ AE= AB2+BE2=2. ∴ EC=2. ∴ BC=BE+EC=1+2. ∵ DF⊥AC,AB⊥BC, ∴ ∠CDE=∠ABC=∠EBF=90°. ∴ ∠ACB=90°-∠CED=90°- ∠FEB=∠EFB. ∵ AB=EB=1, ∴ △ABC≌△EBF. ∴ BC=BF=1+2. 在Rt△EBF中,EF= BE2+BF2= 12+(1+2)2= 4+22. (第3题) 4. C [解析]∵ 四边形ABCD 为矩 形,∴ ∠ABC= ∠BAD =90°.在 Rt△BCE 中,∵ F 为 斜 边 CE 的 中点,∴ BF=12CE=5.∴ BG= BF=5.在 Rt△ABG 中,AB=4, BG=5,由 勾 股 定 理,得 AG = BG2-AB2=3. 5. D [解析]由题意,得OE=BF= 4.∴ E(4,0).∵ 四边形OABC 为矩 形,A(9,0),C(0,3),∴ 易得B(9, 3),F(5,3).在Rt△AOC 中,由勾股 定 理,得 AC = OC2+OA2 = 32+92=3 10.又∵ 易得EF= (5-4)2+32 = 10,∴ AC · EF=3 10× 10=30. 6. 9 [解析] 取BC 的中点O,连接 OE,OF.∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ AB=CD =6,AD =BC=8, ∠BCD=90°.∵ F 是CD 的中点,O 是BC 的中点,∴ CF=3,OC=4, ∴ OF= CF2+OC2 =5.∵ O 是 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 42