18.1 专题特训（六）构造平行四边形解题的常见类型-【拔尖特训】2024-2025学年八年级下册数学（人教版）

42 专题特训（六）　构造平行四边形解题的常见类型 ▶ “答案与解析”见P21 类型一 证线段相等或平分 1. (2024·宁波期末)如图,在▱ABCD 中,点E 在边BC 上,点F 在边AD 上,AF=CE,EF 与对角线BD 相交于点O,连接BF. (1) 求证:O 是BD 的中点. (2) 若EF⊥BD,▱ABCD 的周长为24,则 △ABF 的周长为 . (第1题) 2. (2023·盐城期末)如图,在▱ABCD 中,AE⊥ BC,CF⊥AD,DN=BM.求证: (1) BE=DF. (2) EF 与MN 互相平分. (第2题) 类型二 构造平行四边形求线段的长 答案讲解 3. 如图,在△ABC 中,∠A=45°,D,E 分别是AB,AC 上的点,BE=CD, BD=4,CE=42,∠BFD=60°,则 CD 的长为 . (第3题) (第4题) 答案讲解 4. 如图,在△ABC 中,∠BAC=60°, BC=7,D 是边AB 上一点,AC= BD,E 是CD 的中点,则AE 的长 为 . 5. (2024·锦州期末)如图①,线段AB,CD 所 在直线交于点O,其所夹锐角为α.小明可以 作出以点A,B,C,D 其中的三个点为顶点 (另一个顶点E 在平面内)的多个平行四边 形,如图②③. (1) 如图④,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB= AC,点D,E 分别在CA,AB 的延长线上,且 AD=BE,∠AED=15°,求证:DE=BC. 提示: 方法一:过点E 作EF∥BC,且EF=BC,连 接CF,DF,将证明DE=BC 转化为证明 DE=EF; 方法二:过点C作CF∥DE,且CF=DE,连接 BF,EF,将证明DE=BC 转化为证明BC= CF. 请你依照上述解题思路,任选一种方法,写出 证明过程. (2) 如图⑤,在Rt△ABC 中,∠C=90°,E 为 AC 上一点,D 为CB 延长线上的一点,且 AE=BC,AC=BD,连接DE 交AB 于点 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级下 43 G,求∠AGE 的度数. (3) 如图⑥,在△ABC 中,∠C=45°,D,E 分 别是边BC,AC 上的点,且AD⊥BE 于点 H.若AE=32,BD=5,AD=35,求BE 的长. (第5题) 类型三 求最值问题 答案讲解 6. (2023·滁州凤阳期末)如图,在长 方形ABCD 中,AB=4,BC=2,G 是AD 的中点,线段EF 在边AB 上 左右滑动.若EF=1,则GE+CF 的最小 值为 ( ) (第6题) A. 4 B. 5 C. 32 D. 2+2 7. (易错易混题)如图,直线l1∥l2,l1,l2之间的 距离为8,点P 到直线l1的距离为6,点Q 到 直线l2 的距离为4,PQ=4 30,在直线l1 上有一动点A,直线l2 上有一动点B,满足 AB⊥l2.当PA+AB+BQ 的值最小时,求 PA+BQ 的值. (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十八章　平行四边形 11. (1) △OMN 为等腰三角形. 理由:取AC的中点P,连接PF,PE. ∵ E 为BC的中点, ∴ PE=12AB ,PE∥AB. ∴ ∠PEF=∠ANF. 同理,可得PF=12CD ,PF∥CD. ∴ ∠PFE=∠CME. 又∵ AB=CD, ∴ PE=PF. ∴ ∠PEF=∠PFE. ∴ ∠ONM=∠OMN. ∴ △OMN 为等腰三角形. (2) △AGD 是直角三角形. 如图,连接BD,取BD 的中点H,连 接HF,HE. ∵ F 是AD 的中点, ∴ HF∥AB,HF=12AB. ∴ ∠HFE=∠AGF. 同理,可得HE∥CD,HE=12CD. ∵ AB=CD, ∴ HF=HE. ∴ ∠HFE=∠HEF. ∵ ∠EFC=60°, ∴ ∠HEF=60°. ∴ ∠HEF=∠HFE=60°. ∴ △EHF 是等边三角形. ∴ ∠AGF = ∠HFE = ∠EFC = ∠AFG=60°. ∴ △AGF 是等边三角形. ∴ AF=GF,∠AGF=60°. ∵ F 为AD 的中点, ∴ AF=FD. ∴ GF=FD. ∴ ∠FGD=∠FDG. ∴ ∠AFG = ∠FDG + ∠FGD = 2∠FGD. ∴ ∠FGD=30°. ∴ ∠AGD=∠AGF+∠FGD=90°, 即△AGD 是直角三角形. (第11题) 专题特训（六）　构造平行 四边形解题的常见类型 1. (1) 如图,连接DE. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形. ∴ AB=DC,AD=BC,AD∥BC. ∴ FD∥BE. 又∵ AD=BC,AF=CE, ∴ FD=BE. ∴ 四边形FBED 是平行四边形. ∴ BO=OD,即O 是BD 的中点. (2) 12. (第1题) 2. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四 边形, ∴ AB=CD,∠B=∠D. ∵ AE⊥BC,CF⊥AD, ∴ ∠AEB=∠CFD=90°. ∴ △ABE≌△CDF. ∴ BE=DF. (2) 如图,连接EM,EN,NF,FM. ∵ DN=BM,∠D=∠B,DF=BE, ∴ △DFN≌△BEM. ∴ FN=EM. 同理,可得FM=EN. ∴ 四边形MENF 是平行四边形. ∴ EF 与MN 互相平分. (第2题) 3. 45 [解析] 如图,分别过点D, E 作AC,CD 的平行线相交于点N, 则四边形CDNE 是平行四边形,过点 N 作NH⊥AB 于点H,连接BN.则 ∠BEN=∠BFD=60°,BE=CD= EN.∴ △BEN 是 等 边 三 角 形. ∴ BN=BE=CD.∵ AC∥DN, ∴ ∠A=∠ADN=45°.∴ △HDN 是等腰直角三角形.∵ 四边形CDNE 是平行四边形,∴ DN=CE=42, ∴ 易得NH=DH=4.在Rt△NBH 中,BH=BD+DH =8,NH =4, ∴ BN = BH2+NH2 =45. ∴ CD=45. (第3题) 4. 7 2 [解析] 如图,延长AE 至点 F,使得EF=AE,连接DF,CF,BF. ∵ E 是CD 的中点,∴ CE=DE. ∴ 四边形 ACFD 是平行四边形. ∴ AC = DF,且 AC ∥ DF. ∴ ∠FDB=∠BAC=60°.∵ AC= BD,∴ DF=BD.∴ △BDF 是等边 三角形.∴ BF=BD=DF,∠DBF= 60°.∴ AC=BF.在△ABC和△BAF 中, AB=BA, ∠BAC=∠ABF AC=BF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,∴ △ABC≌ △BAF.∴ BC=AF= 7.∴ AE= 1 2AF= 7 2. (第4题) 5. (1) 方法不唯一,若选择方法一,证 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 明如下: ∵ ∠BAC=90°,AB=AC, ∴ ∠ABC=∠ACB=45°. 如图①,过点E 作EF∥BC,且EF= BC,连接CF,DF. ∴ 四边形BCFE 是平行四边形. ∴ CF=BE=AD,BE∥CF. ∴ ∠DCF=180°-∠BAC=90°. ∵ AB=AC,AD=BE, ∴ AB+BE=AC+AD,即 AE= CD. ∵ ∠BAC=90°, ∴ ∠DAE=180°-∠BAC=90°. ∴ ∠DAE=∠FCD. ∴ △DAE≌△FCD. ∴ DE=FD. ∵ EF∥BC, ∴ ∠BEF=∠ABC=45°. ∴ ∠DEF=∠AED+∠BEF=60°. ∴ △DEF 是等边三角形. ∴ DE=EF. ∴ DE=BC. (2) 如图②,过点D 作DH∥AB,且 DH=AB,连接AH,EH. ∴ 易得四边形 ABDH 是平行 四 边形. ∴ AH=BD,AH∥BD,AB=HD. ∴ ∠EAH=180°-∠C=90°. ∴ ∠CAB+∠FAH=90°. ∵ AC=BD, ∴ AH=CA. ∵ AE=CB,∠EAH=∠C=90°, ∴ △AEH≌△CBA. ∴ HE=AB,∠AHE=∠CAB. ∴ EH = DH, ∠AHE + ∠FAH=90°. ∴ ∠AFH=90°. ∴ ∠EHD=∠AFH=90°. ∴ ∠HDE=45°. ∴ 易得∠AGE=∠HDE=45°. (3) 如图③,过点B 作BF∥AD,且 BF=AD=35,连接AF,EF,过点 E 作EM⊥AF,交FA 的延长线于 点M. ∴ 四边形ADBF 是平行四边形. ∴ AF=BD=5,AF∥BD. ∴ ∠MAE=∠C=45°. ∴ 易得ME=AM=3. ∵ FM=AF+AM=5+3=8, ∴ 在Rt△EFM 中,由勾股定理,得 EF= FM2+ME2= 73. ∵ AD⊥BE 于点H, ∴ 易得∠AHE=∠FBE=90°. 在Rt△EBF中,由勾股定理,得BE= EF2-BF2= (73)2-(35)2=27. (第5题) 6. C [解析] 如图,作点G 关于AB 的对称点G',在CD 上截取CH=1, 连接HG'交AB 于点E,在EB 上截 取EF=1,此时GE+CF 的值最小. ∵ 四边形ABCD 是长方形,∴ AB∥ CD,AD=BC=2,DC=AB=4. ∵ CH=EF=1,CH∥EF,∴ 四边形 EFCH 是平行四边形.∴ EH=CF. ∵ 点G 关于AB 的对称点是G'且G 为边AD 的中点,∴ AB 垂直平分 GG'.∴ GE=G'E,AG=AG'= 1 2AD=1.∴ G'H=EG'+EH= EG+CF.∵ DC =4,AD =2, ∴ DG'=AD +AG'=2+1=3, DH =DC -CH =4-1=3. ∴ HG'= DG'2+DH2= 32+32=32,即GE+CF 的最小 值为32. (第6题) 7. 如图,过点P 作PE⊥l1 于点E, 延长PE 交l2 于点F,在PF 上截取 PC=8,连接 QC 交l2 于点 B,作 BA⊥l1于点A,连接PA,此时PA+ AB+BQ 的值最小.过点Q 作QD⊥ PF,交PF 的延长线于点D. 在Rt△PQD 中,∵ 易得∠D=90°, PQ=4 30,PD=PE+EF+DF= 6+8+4=18, ∴ DQ = PQ2-PD2 =2 39, CD=PD-PC=18-8=10. ∵ 易得AB=PC=8,AB∥PC, ∴ 四边形ABCP 是平行四边形. ∴ PA=BC. ∴ PA+BQ=CB+BQ=QC= DQ2+CD2 = (2 39)2+102 = 16. (第7题) 专题特训（七）　构造 中位线解题 1. (1) 连接BD. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22