18.1 第4课时 三角形的中位线-【拔尖特训】2024-2025学年八年级下册数学（人教版）

∵ 把条件“AE=CF”改为“BE= DF”后,不能证明BE∥DF 或DE= BF, ∴ 四边形BFDE 不是平行四边形. 第4课时 三角形的中位线 1. B 2. D 3. 7 4. 连接BE. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥CD,AB=CD,O 为AC 的 中点. ∵ CE=CD, ∴ AB=CE. 又∵ AB∥CE, ∴ 四边形ABEC是平行四边形. ∵ F 为▱ABEC 对角线AE,BC 的 交点, ∴ F 为BC的中点. 又∵ O 为AC的中点, ∴ OF 是△ABC的中位线. ∴ AB=2OF. ∵ AB=CD=CE, ∴ DE=CD+CE=4OF. 证明线段倍增关系的方法 由于三角形的中位线等于三 角形第三边的一半,因此当需要证 明某一线段是另一线段的一半或 者两倍,且题目中出现了中点时, 经常先证明这个一半的线段是某 三角形的中位线,再用三角形的中 位线定理来证明. 5. D 6. A [解 析]在 Rt△ABC 中, ∵ ∠C=90°,AC=6,BC=8,∴ 由勾 股定理,得AB= AC2+BC2=10. ∵ D,E 分别为边CA,CB 的中点, ∴ DE 是△ABC 的中位线.∴ DE∥ AB,DE=12AB=5.∴ ∠DFA= ∠BAF.∵ AF 平 分 ∠BAC, ∴ ∠DAF=∠BAF.∴ ∠DFA= ∠DAF.∴ DF=DA=12AC= 1 2× 6=3.∴ EF=DE-DF=2. 7. 12 5 [解析]连接CM.∵ D,E 分 别为CN,MN 的 中 点,∴ DE 为 △CMN 的中位线.∴ DE=12CM. 当CM⊥AB 时,CM 的长最小,此时 DE 的长也最小.在Rt△ABC中,由 勾股定理,得AB= AC2+BC2= 62+82=10,∵ S△ABC= 1 2AB · CM = 12 AC · BC,∴ CM = AC·BC AB = 24 5.∴ DE=12CM= 12 5. ∴ DE长的最小值是125. 8. 5 [解析] ∵ ∠ABC=2∠C= 60°,∴ ∠C =30°.∵ BD 平 分 ∠ABC,∴ ∠ABD=∠DBC=30°. ∴ ∠BDC=120°.如图,取BD 的中 点G,连接EG,FG.∵ E,F 分别是 AD,BC 的中点,∴ EG∥AB,EG= 1 2AB ,FG ∥CD,FG = 12CD. ∴ ∠EGD=∠ABD=30°,∠FGD= 180°-∠BDC=60°.∴ ∠EGF=90°. ∵ CD =2AB =4,∴ AB =2. ∴ EG=12AB=1 ,FG=12CD=2. ∴ EF= EG2+FG2= 12+22=5. (第8题) 9. (1) ∵ CD 平分∠ACB, ∴ ∠ACD=∠BCD. ∵ EF∥BC, ∴ ∠FEC=∠BCD. ∴ ∠ACD=∠FEC. ∴ EF=CF. ∵ AE⊥CD, ∴ ∠AEC=90°. ∴ ∠EAC+∠ACD=90°,∠AEF+ ∠FEC=90°. ∴ ∠EAC=∠AEF. ∵ ∠BAC=80°,AB=AC=4, ∴ ∠ACB=∠ABC=50°. ∵ EF∥BC, ∴ ∠AFE=50°. ∴ ∠AEF=∠EAC=65°. (2) 由(1)知,∠EAC=∠AEF, ∴ AF=EF. 又∵ FE=CF, ∴ AF=CF,即F 是AC的中点. ∵ G 是BC的中点, ∴ FG 是△ABC的中位线. ∴ FG=12AB= 1 2×4=2. 10. 5 [解析] ∵ F,G,H 分别是 DE,BE,BC 的中点,∴ FG∥DB, GH ∥EC.∴ ∠DBE = ∠FGE, ∠EGH = ∠AEG.∴ ∠FGH = ∠FGE + ∠EGH = ∠ABE + ∠BEA=180°-∠A=180°-90°= 90°.如图,连接FM,HM.∵ M,H 分 别是CD 和BC 的中点,∴ MH∥ BD,MH=12BD=4. 又∵ G,F 分 别为BE,DE 的中点,∴ GF∥BD, GF= 12BD.∴ MH∥GF,MH = GF.∴ 四边形FGHM 为平行四边 形.∵ G,H 分别是BE,BC 的中点, ∴ GH=12EC=3.∵ ∠FGH=90°, ∴ ∠GHM= 90°. ∴ GM = GH2+MH2= 32+42=5. (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 02 11. (1) △OMN 为等腰三角形. 理由:取AC的中点P,连接PF,PE. ∵ E 为BC的中点, ∴ PE=12AB ,PE∥AB. ∴ ∠PEF=∠ANF. 同理,可得PF=12CD ,PF∥CD. ∴ ∠PFE=∠CME. 又∵ AB=CD, ∴ PE=PF. ∴ ∠PEF=∠PFE. ∴ ∠ONM=∠OMN. ∴ △OMN 为等腰三角形. (2) △AGD 是直角三角形. 如图,连接BD,取BD 的中点H,连 接HF,HE. ∵ F 是AD 的中点, ∴ HF∥AB,HF=12AB. ∴ ∠HFE=∠AGF. 同理,可得HE∥CD,HE=12CD. ∵ AB=CD, ∴ HF=HE. ∴ ∠HFE=∠HEF. ∵ ∠EFC=60°, ∴ ∠HEF=60°. ∴ ∠HEF=∠HFE=60°. ∴ △EHF 是等边三角形. ∴ ∠AGF = ∠HFE = ∠EFC = ∠AFG=60°. ∴ △AGF 是等边三角形. ∴ AF=GF,∠AGF=60°. ∵ F 为AD 的中点, ∴ AF=FD. ∴ GF=FD. ∴ ∠FGD=∠FDG. ∴ ∠AFG = ∠FDG + ∠FGD = 2∠FGD. ∴ ∠FGD=30°. ∴ ∠AGD=∠AGF+∠FGD=90°, 即△AGD 是直角三角形. (第11题) 专题特训（六）　构造平行 四边形解题的常见类型 1. (1) 如图,连接DE. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形. ∴ AB=DC,AD=BC,AD∥BC. ∴ FD∥BE. 又∵ AD=BC,AF=CE, ∴ FD=BE. ∴ 四边形FBED 是平行四边形. ∴ BO=OD,即O 是BD 的中点. (2) 12. (第1题) 2. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四 边形, ∴ AB=CD,∠B=∠D. ∵ AE⊥BC,CF⊥AD, ∴ ∠AEB=∠CFD=90°. ∴ △ABE≌△CDF. ∴ BE=DF. (2) 如图,连接EM,EN,NF,FM. ∵ DN=BM,∠D=∠B,DF=BE, ∴ △DFN≌△BEM. ∴ FN=EM. 同理,可得FM=EN. ∴ 四边形MENF 是平行四边形. ∴ EF 与MN 互相平分. (第2题) 3. 45 [解析] 如图,分别过点D, E 作AC,CD 的平行线相交于点N, 则四边形CDNE 是平行四边形,过点 N 作NH⊥AB 于点H,连接BN.则 ∠BEN=∠BFD=60°,BE=CD= EN.∴ △BEN 是 等 边 三 角 形. ∴ BN=BE=CD.∵ AC∥DN, ∴ ∠A=∠ADN=45°.∴ △HDN 是等腰直角三角形.∵ 四边形CDNE 是平行四边形,∴ DN=CE=42, ∴ 易得NH=DH=4.在Rt△NBH 中,BH=BD+DH =8,NH =4, ∴ BN = BH2+NH2 =45. ∴ CD=45. (第3题) 4. 7 2 [解析] 如图,延长AE 至点 F,使得EF=AE,连接DF,CF,BF. ∵ E 是CD 的中点,∴ CE=DE. ∴ 四边形 ACFD 是平行四边形. ∴ AC = DF,且 AC ∥ DF. ∴ ∠FDB=∠BAC=60°.∵ AC= BD,∴ DF=BD.∴ △BDF 是等边 三角形.∴ BF=BD=DF,∠DBF= 60°.∴ AC=BF.在△ABC和△BAF 中, AB=BA, ∠BAC=∠ABF AC=BF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,∴ △ABC≌ △BAF.∴ BC=AF= 7.∴ AE= 1 2AF= 7 2. (第4题) 5. (1) 方法不唯一,若选择方法一,证 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 40 第4课时 三角形的中位线 ▶ “答案与解析”见P20 1. (2024·深圳期末)如图,AD 为△ABC 中 ∠BAC 的外角平分线,BD⊥AD 于点D,E 为BC 的中点,DE=5,AC=3,则AB 的 长为 ( ) A. 2 B. 7 C. 8 D. 15 (第1题) (第2题) 2. (2024·宿州期末)如图,在四边形ABCD 中,E,F 分别是边BC,CD 的中点.若AB= 5,AD=3,EF=2,∠CFE=46°,则∠ADC 的度数为 ( ) A. 100° B. 120° C. 128° D. 136° (第3题) 3. (2024·成都期末)如图, 在△ABC 中,∠C=90°, AC=3,P 为△ABC 外 一点,连接AP,BP,M, N 分别为AP,BP 的中 点.若MN=2,则BC 的长为 . 4. ★如图,E 为▱ABCD 的边DC 的延长线上 的一点,且CE=CD,连接AE 分别交BC, BD 于点F,G,连接AC 交BD 于点O,连接 OF.求证:DE=4OF. (第4题) 5. (2024·武威三模)如图,EF 是△ABC 的中 位线,O 是EF 上一点,且满足OE=2OF,连 接AO,BO,CO,则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为 ( ) A. 2∶1 B. 3∶2 C. 5∶3 D. 3∶1 (第5题) (第6题) 6. (2023·遵义三模)如图,在Rt△ABC 中, ∠C=90°,D,E 分别为边CA,CB 的中点, AF 平分∠BAC,交DE 于点F.若AC=6, BC=8,则EF 的长为 ( ) A. 2 B. 1 C. 4 D. 5 2 7. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC= 8,N 是边BC 上的一点,M 为边AB 上的动 点,D,E 分别为CN,MN 的中点,则DE 长 的最小值是 . (第7题) 答案讲解 8. (2024·宿州三模)如图,在四边形 ABCD 中,BD 平分∠ABC,E,F 分别是AD,BC 的中点.若CD= 2AB=4,∠ABC=2∠C=60°,则EF 的长为 . (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级下 41 9. (2024·郑州期末)如图,在等腰三角形ABC 中,∠BAC=80°,AB=AC=4,CD 平分 ∠ACB,交边AB 于点D,AE⊥CD 于点E, 过点E 作EF∥BC,交AC 于点F. (1) 求∠AEF 的度数. (2) 若G 是BC 的中点,连接 FG,求 FG 的长. (第9题) 答案讲解 10. (2024·张家港期末)如图,D,E 是 Rt△ABC 两直角边AB,AC 上的 点,连接BE,F,G,H 分别是DE, BE,BC 的中点,取CD 的中点 M,连接 GM,FG,GH.若BD=8,CE=6,则GM 的 长为 . (第10题) 11. (核心素养·推理能力)如图①,在四边形 ABCD 中,AB=CD,E,F 分别是BC,AD 的中点,连接EF 并延长,分别与BA,CD 的 延 长 线 交 于 点 M,N,则 ∠BME = ∠CNE(不必证明). (1) 如图②,在四边形ADBC 中,AB 与CD 相交于点O,AB=CD,E,F 分别是BC, AD 的中点,连接EF,分别交CD,AB 于点 M,N,判断△OMN 的形状,并说明理由. (2) 如图③,在△ABC 中,AC>AB,点D 在AC 上,AB=CD,E,F 分别是BC,AD 的中点,连接EF 并延长,与BA 的延长线 交于点G.若∠EFC=60°,连接GD,判断 △AGD 的形状并加以证明. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十八章　平行四边形