18.1 第3课时 平行四边形的判定-【拔尖特训】2024-2025学年八年级下册数学（人教版）

解得x=65.∴ EH= 32x= 33 5 , BE =4-x = 4- 65 = 14 5. ∵ ∠BAC=90°,∴ 在Rt△ABO 中, 由勾股定理,得OB= AB2+AO2= 22+(3)2=7.∵ EO⊥BD,∴ 在 Rt△EBO 中,由勾股定理,得EO= BE2-OB2 = 145 2 -(7)2 = 21 5 .∵ EH⊥BA,EO⊥BO,EO≠ EH,∴ ∠ABE≠∠EBO.故③错误. ∵ S△ABE S△BOE = 1 2AB ·EH 1 2OB ·EO = 1 2×2× 33 5 1 2×7× 21 5 = 67 ,∴ S△ABE ∶ S△BOE=6∶7.故④错误.综上所述, 正确的是①②. (第7题) 8. 60 9. 120 13 [解析]如图,设 MN 与BC 交于点O,连接AO,过点O 作OH⊥ AC于点H.∵ 四边形 MCNB 是平 行四边形,∴ O 为BC的中点,MN= 2MO.∵ AB=AC=13,BC=10, ∴ AO ⊥BC,CO =OB =5.在 Rt△AOC中,由勾股定理,得AO= AC2-CO2 = 132-52 =12. ∵ S△AOC= 1 2AO ·CO=12AC · OH,∴ OH=AO ·CO AC = 60 13. 易知当 MO 的长最小时,MN 的长取得最小 值.∵ 当点M 与点H 重合时,MO 的 长最小,为60 13 ,∴ MN 长的最小值为 2×6013= 120 13. (第9题) 10. (1) 如图①,连接BD 交AC 于 点O. ∵ 四边形ABCD 和四边形EBFD 都 是平行四边形, ∴ AB∥CD,AB=CD,OA=OC, OE=OF. ∴ 易得∠BAE=∠DCF,AE=CF. ∴ △ABE≌△CDF. ∴ ∠ABE=∠CDF. (2) 成立. 理由:如图②,连接 BD 交 AC 于 点O. ∵ 四边形ABCD 和四边形EBFD 都 是平行四边形, ∴ BE∥DF,BE=DF,OA=OC, OE=OF. ∴ 易得∠BEA=∠DFC,AE=CF. ∴ △ABE≌△CDF. ∴ ∠ABE=∠CDF. (第10题) 11. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四 边形,对角线AC,BD 相交于点O, ∴ AB∥CD,OA=OC,OB=OD. ∴ ∠OAE=∠OCF,∠E=∠F. ∴ △AOE≌△COF. ∴ OE=OF. (2) ∵ AB=2AE, ∴ S△AOB=2S△AOE=2. ∴ S△BOE=3. ∵ OB=OD, ∴ S△DOE=S△BOE=3. ∴ S△DEB=6. ∵ △AOE≌△COF, ∴ S△AOE=S△COF=1. 同理,可得S△DFB=6. ∴ S四边形BEDF=S△DEB+S△DFB=12. 过平行四边形对角线交点的 直线的特点归纳 (1) 过平行四边形对角线交点 的直线与平行四边形的对边所在 直线相交所得到的新线段被平行 四边形对角线的交点平分. (2) 过平行四边形对角线交点 的直线平分平行四边形的面积. 第3课时 平行四边形的判定 1. D 2. 8 3. (1) ∵ AE⊥BD,CF⊥BD, ∴ ∠AEB=∠CFD=90°. ∵ AB=CD,BE=DF, ∴ △ABE≌△CDF. (2) ∵ △ABE≌△CDF, ∴ AE=CF. ∵ AE⊥BD,CF⊥BD, ∴ AE∥CF, ∴ 四边形AECF 是平行四边形. 4. B 5. C [解析]∵ EB⊥BC,ED⊥CD, ∴ ∠EBC=∠EDC=90°.∵ ∠E= 55°,∴ 在四边形EBCD 中,∠C= 360°- ∠EBC - ∠EDC - ∠E = 125°.∵ 四边形ABCD 为平行四边 形,∴ ∠A=∠C=125°. 6. 4 [解析] 如图,共能作出4个平 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 81 行四边形. (第6题) 7. 2或3 [解析]设点P,Q 运动的 时间为ts.依题意,得CQ=2tcm, BQ=(6-2t)cm,AP=tcm,PD= (9-t)cm.∵ AD∥BC,∴ ① 当 BQ=AP 时,四边形APQB 是平行四 边形,即6-2t=t,解得t=2;② 当 CQ=PD 时,四边形CQPD 是平行四 边形,即2t=9-t,解得t=3.综上所 述,经过2s或3s时,线段PQ 将四边 形ABCD 截出一个平行四边形. 8. (1) ∵ ∠ACB=90°,BD∥AC, ∴ ∠DBC=180°-∠ACB=90°. ∴ ∠DBE+∠ABC=90°. ∵ DE=DB, ∴ ∠DEB=∠DBE. ∴ ∠BDE=180°-2∠DBE=180°- 2(90°-∠ABC)=2∠ABC. (2) 如图,过点F 作FH⊥EF,交BA 的延长线于点H. ∵ EF⊥DE, ∴ ∠AEF+∠DEB=90°. ∵ ∠ABC+∠DBE=90°, ∠DEB=∠DBE, ∴ ∠AEF=∠ABC,即 ∠HEF= ∠ABC. ∵ EF=BC,∠EFH=∠BCA=90°, ∴ △HEF≌△ABC. ∴ ∠H=∠BAC=∠FAH, HE=AB. ∴ HE-AE=AB-AE,即AH= BE. ∵ BD∥AC, ∴ ∠DBE = ∠DEB = ∠BAC = ∠FAH=∠H. 在△FAH 和△DBE 中, ∠FAH=∠DBE, AH=BE, ∠H=∠DEB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △FAH≌△DBE. ∴ FA=DB. ∵ FA∥BD, ∴ 四边形ABDF 为平行四边形. (第8题) 9. C [解析] 如图,延长BC到点G, 使CG=BD,作直线FG,过点B 作 BH⊥FG 于点H.∵ ∠ACB=90°, AC=3,BC=4,∠DAC=30°,∴ 易 得CD= 3.∴ CG=BD=4- 3. ∴ BG=BC+CG=4+4- 3=8- 3.∵ 四边形BCFE 是平行四边形, ∴ BC∥EF,BC=EF.∵ DG∥EF, DG=CG+CD=BD+CD=BC= EF,∴ 四边形DGFE 是平行四边形. ∴ FG∥DE.∴ 点F 在经过点G 且 与DE 平行的直线上运动,∠BHG= 90°,∠BGH = ∠ADG = 90°- ∠DAC=60°.∴ ∠GBH =90°- ∠BGH=30°.∴ GH=12BG= 1 2× (8- 3)=4- 32.∴ 易得 BH= 43- 32.∵ BF≥BH,∴ BF≥ 43- 32.∴ BF 长 的 最 小 值 为 43-32. (第9题) 10. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四 边形, ∴ AB=CD,AB∥CD. ∴ ∠BAE=∠DCF. 又∵ AE=CF, ∴ △BAE≌△DCF. ∴ BE=DF,∠AEB=∠CFD. ∴ 180°-∠AEB=180°-∠CFD,即 ∠BEF=∠DFE. ∴ BE∥DF. 又∵ BE=DF, ∴ 四边形BFDE 是平行四边形. (2) 四边形BFDE 还是平行四边形. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AB=CD,AB∥CD. ∴ ∠BAE=∠DCF. ∵ BE⊥AC,DF⊥AC, ∴ ∠BEA=∠DFC=90°,BE∥DF. ∴ △BAE≌△DCF. ∴ BE=DF. ∴ 四边形BFDE 是平行四边形. (3) 四边形BFDE 不是平行四边形. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 91 ∵ 把条件“AE=CF”改为“BE= DF”后,不能证明BE∥DF 或DE= BF, ∴ 四边形BFDE 不是平行四边形. 第4课时 三角形的中位线 1. B 2. D 3. 7 4. 连接BE. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥CD,AB=CD,O 为AC 的 中点. ∵ CE=CD, ∴ AB=CE. 又∵ AB∥CE, ∴ 四边形ABEC是平行四边形. ∵ F 为▱ABEC 对角线AE,BC 的 交点, ∴ F 为BC的中点. 又∵ O 为AC的中点, ∴ OF 是△ABC的中位线. ∴ AB=2OF. ∵ AB=CD=CE, ∴ DE=CD+CE=4OF. 证明线段倍增关系的方法 由于三角形的中位线等于三 角形第三边的一半,因此当需要证 明某一线段是另一线段的一半或 者两倍,且题目中出现了中点时, 经常先证明这个一半的线段是某 三角形的中位线,再用三角形的中 位线定理来证明. 5. D 6. A [解 析]在 Rt△ABC 中, ∵ ∠C=90°,AC=6,BC=8,∴ 由勾 股定理,得AB= AC2+BC2=10. ∵ D,E 分别为边CA,CB 的中点, ∴ DE 是△ABC 的中位线.∴ DE∥ AB,DE=12AB=5.∴ ∠DFA= ∠BAF.∵ AF 平 分 ∠BAC, ∴ ∠DAF=∠BAF.∴ ∠DFA= ∠DAF.∴ DF=DA=12AC= 1 2× 6=3.∴ EF=DE-DF=2. 7. 12 5 [解析]连接CM.∵ D,E 分 别为CN,MN 的 中 点,∴ DE 为 △CMN 的中位线.∴ DE=12CM. 当CM⊥AB 时,CM 的长最小,此时 DE 的长也最小.在Rt△ABC中,由 勾股定理,得AB= AC2+BC2= 62+82=10,∵ S△ABC= 1 2AB · CM = 12 AC · BC,∴ CM = AC·BC AB = 24 5.∴ DE=12CM= 12 5. ∴ DE长的最小值是125. 8. 5 [解析] ∵ ∠ABC=2∠C= 60°,∴ ∠C =30°.∵ BD 平 分 ∠ABC,∴ ∠ABD=∠DBC=30°. ∴ ∠BDC=120°.如图,取BD 的中 点G,连接EG,FG.∵ E,F 分别是 AD,BC 的中点,∴ EG∥AB,EG= 1 2AB ,FG ∥CD,FG = 12CD. ∴ ∠EGD=∠ABD=30°,∠FGD= 180°-∠BDC=60°.∴ ∠EGF=90°. ∵ CD =2AB =4,∴ AB =2. ∴ EG=12AB=1 ,FG=12CD=2. ∴ EF= EG2+FG2= 12+22=5. (第8题) 9. (1) ∵ CD 平分∠ACB, ∴ ∠ACD=∠BCD. ∵ EF∥BC, ∴ ∠FEC=∠BCD. ∴ ∠ACD=∠FEC. ∴ EF=CF. ∵ AE⊥CD, ∴ ∠AEC=90°. ∴ ∠EAC+∠ACD=90°,∠AEF+ ∠FEC=90°. ∴ ∠EAC=∠AEF. ∵ ∠BAC=80°,AB=AC=4, ∴ ∠ACB=∠ABC=50°. ∵ EF∥BC, ∴ ∠AFE=50°. ∴ ∠AEF=∠EAC=65°. (2) 由(1)知,∠EAC=∠AEF, ∴ AF=EF. 又∵ FE=CF, ∴ AF=CF,即F 是AC的中点. ∵ G 是BC的中点, ∴ FG 是△ABC的中位线. ∴ FG=12AB= 1 2×4=2. 10. 5 [解析] ∵ F,G,H 分别是 DE,BE,BC 的中点,∴ FG∥DB, GH ∥EC.∴ ∠DBE = ∠FGE, ∠EGH = ∠AEG.∴ ∠FGH = ∠FGE + ∠EGH = ∠ABE + ∠BEA=180°-∠A=180°-90°= 90°.如图,连接FM,HM.∵ M,H 分 别是CD 和BC 的中点,∴ MH∥ BD,MH=12BD=4. 又∵ G,F 分 别为BE,DE 的中点,∴ GF∥BD, GF= 12BD.∴ MH∥GF,MH = GF.∴ 四边形FGHM 为平行四边 形.∵ G,H 分别是BE,BC 的中点, ∴ GH=12EC=3.∵ ∠FGH=90°, ∴ ∠GHM= 90°. ∴ GM = GH2+MH2= 32+42=5. (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 02 38 第3课时 平行四边形的判定 ▶ “答案与解析”见P18 1. (2024·乐山)如图,下列条件中,不能判定四 边形ABCD 为平行四边形的是 ( ) A. AB∥DC,AD∥BC B. AB=DC,AD=BC C. AO=CO,BO=DO D. AB∥DC,AD=BC (第1题) (第2题) 2. (2024·辽宁)如图,▱ABCD 的对角线AC, BD 相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.若 AC=3,BD=5,则四边形OCED 的周长为 . 3. (2024·无锡期末)如图,在四边形ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,AB=CD, BE=DF,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为 E,F,连接CE,AF.求证: (1) △ABE≌△CDF. (2) 四边形AECF 是平行四边形. (第3题) 4. (2023·邯郸武安一模)根据图中所给的边长 及角度,下列四边形中,一定可以判定为平行 四边形的是 ( ) A. B. C. D. 5. (2023·达州渠县期末)如图,四边形ABCD 为平行四边形,EB⊥BC 于点B,ED⊥CD 于点D.若∠E=55°,则∠A 的度数是 ( ) (第5题) A. 100° B. 110° C. 125° D. 135° 6. (2024·济南期末)如图所示为由边长为2的 小等边三角形构成的“草莓”形状网格,每个 小等边三角形的顶点均为格点.线段AB 的 端点在格点上.若以AB 为边画一个平行四 边形,且另外两个顶点在格点上,则最多可画 个平行四边形. (第6题) (第7题) 7. 如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC 且AD= 9cm,BC=6cm,点P,Q 分别从点A,C 同 时出发,点P 以1cm/s的速度由点A 向点 D 运动,点Q 以2cm/s的速度由点C 向点 B 运动,则经过 s时,线段PQ 将四 边形ABCD 截出一个平行四边形. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级下 39 答案讲解 8. (2024· 泰安泰山二模)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,BD∥ AC,E 为Rt△ABC 的斜边AB 上 一点,连接DE,DE=DB,过点E 作EF⊥ DE,交CA 的延长线于点F,且EF=BC,连 接FD.求证: (1) ∠BDE=2∠ABC. (2) 四边形ABDF 为平行四边形. (第8题) 答案讲解 9. (2024· 南通如皋期末)如图,在 △ABC 中,∠ACB=90°,AC=3, BC=4,D 为BC 上一点,∠DAC= 30°,E 为射线AD 上一动点,四边形BCFE 为平行四边形,连接BF,则BF 长的最小 值为 ( ) (第9题) A. 153 4 B. 53 2 +1 C. 43-32 D. 33 2 +3 10. 如图,E,F 是▱ABCD 对角线AC 上的两 点,且AE=CF. (1) 求证:四边形BFDE 是平行四边形. (2) 若把条件“AE=CF”改为“BE⊥AC, DF⊥AC”,则四边形BFDE 还是平行四边 形吗? 为什么? (3) 若把条件“AE=CF”改为“BE=DF”, 则四边形BFDE 还是平行四边形吗? 为 什么? (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十八章　平行四边形