18.1 第2课时 平行四边形的对角线性质-【拔尖特训】2024-2025学年八年级下册数学（人教版）

36 第2课时 平行四边形的对角线性质 ▶ “答案与解析”见P17 1. (2024·贵州)如图,▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O,则下列结论中,一定正确 的是 ( ) A. AB=BC B. AD=BC C. OA=OB D. AC⊥BD (第1题) (第3题) 2. (易错易混题)(2023·石家庄一模)平行四边 形的两条对角线的长分别为a 和b,一边长 为12,则a和b的值可能是 ( ) A. 8和7 B. 9和15 C. 13和14 D. 10和38 3. (2024·邯郸期末)如图,在▱ABCD 中,对角 线AC,BD 相交于点O,OE⊥BD 交AD 于 点E,连接BE.若▱ABCD 的周长为18,则 △ABE 的周长为 . 4. 如图,在▱ABCD 中,对角线AC,BD 相交于 点O,分别过点A,C 作AE⊥BD,CF⊥BD, 垂足分别为E,F,AC 平分∠DAE. (1) 若∠AOE=50°,求∠ACB 的度数. (2) 求证:AE=CF. (第4题) 5. 如图,▱ABCD 的对角线AC,BD 相交于点 O,▱ABCD 的周长为30,直线EF 过点O, 且与AD,BC 分别交于点E,F.若OE=5, 则四边形ABFE 的周长是 ( ) A. 30 B. 25 C. 20 D. 15 (第5题) (第6题) 6. (2024·渭南华阴期末)如图,▱ABCD 的对 角线AC 与BD 相交于点O,AB⊥AC.若 AB=2,∠ACB=30°,则BD 的长是 ( ) A. 23 B. 27 C. 43 D. 47 答案讲解 7. (2023· 宁波余姚期中)如图,在 ▱ABCD 中,对角线AC,BD 相交 于点O,AB=2,BC=4,∠ABC= 60°,点E 在AD 上,点F 在BC 上,EF 经过 点O,连接BE,△ABE 的周长等于▱ABCD 周长的一半.有下列说 法:① AO= 3; ② EF⊥BD;③ ∠ABE=∠EBO;④ S△ABE∶ S△BOE=5∶7.其中,正确的是 ( ) A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ③④ (第7题) (第8题) 8. (2024·杭州期末)如图,在等腰三角形BDE 中,BE=DE=55,四边形ABCD 是平行四 边形,连接AE,CE,AE⊥CE,CE=103, BD=3AE,则△BDE 的面积为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级下 37 答案讲解 9. 如图,在△ABC 中,AB=AC=13, BC=10,M 是边AC 上任意一点, 连接 MB,以 MB,MC 为邻边作 ▱MCNB,连接MN,则MN 长的最小值为 . (第9题) 10. 如图①,四边形ABCD 和四边形EBFD 都 是平行四边形,点E,F 在▱ABCD 的对角 线AC 上. (1) 求证:∠ABE=∠CDF. (2) 如图②,若点E,F 不在对角线AC 上, 而在对角线AC 所在的直线上,则∠ABE= ∠CDF 是否还成立? 请说明理由. (第10题) 11. ★如图①,在▱ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,过点O 的直线EF 分别交边 AD,BC 于点E,F,易证OE=OF(不需要 证明). (1) 如图②,在▱ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,过点O 的直线EF 分别交边 BA,DC 的 延 长 线 于 点 E,F,求 证: OE=OF. (2) 如图③,连接图②中的DE,BF,其他条 件不变.若AB=2AE,△AOE 的面积为1, 求四边形BEDF 的面积. ① ② ③ (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十八章　平行四边形 ∴ ∠ADM=∠BDN. 在△ADM 和△BDN 中, ∠A=∠DBN, AD=BD, ∠ADM=∠BDN, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADM≌△BDN. ∴ AM=BN. ∴ BD=AB=AM+BM=BN+BM, 即BD=BM+BN. (2) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∠ABC=120°, ∴ AB=DC,∠A=∠C=60°. ∵ DH⊥BC,∠C=60°, ∴ ∠DHC=∠DHB=90°, ∠HDC=30°. 设CH=x,则DC=2x,易得DH= 3x. ∴ BC=2AB=2DC=4x. ∴ BH=BC-CH=3x. 在Rt△BDH 中,由 勾 股 定 理,得 BD= BH2+DH2=23x. ∴ 易得BD2+DC2=BC2. ∴ △BCD 是 直 角 三 角 形,且 ∠BDC=90°. 第2课时 平行四边形的 对角线性质 1. B 2. C 3. 9 [解析] ∵ 四边形ABCD 是平 行四边形,∴ OB=OD,AB=CD, AD=BC.∵ ▱ABCD 的周长为18, ∴ AB+AD=9.∵ OE⊥BD,∴ OE 是线段BD 的垂直平分线.∴ BE= ED.∴ △ABE 的周长=AB+BE+ AE=AB+ED+AE=AB+AD=9. 4. (1) ∵ AE⊥BD, ∴ ∠AEO=90°. ∵ ∠AOE=50°, ∴ 在△AEO 中,∠EAO=180°- ∠AEO-∠AOE=40°. ∵ AC平分∠DAE, ∴ ∠OAD=∠EAO=40°. ∵ 四边形ABCD 为平行四边形, ∴ AD∥BC. ∴ ∠ACB=∠OAD=40°. (2) ∵ 四边形ABCD 为平行四边形, 对角线AC,BD 相交于点O, ∴ AO=CO. ∵ AE⊥BD,CF⊥BD, ∴ ∠AEO=∠CFO=90°. 在△AEO 和△CFO 中, ∠AEO=∠CFO, ∠EOA=∠FOC, AO=CO, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEO≌△CFO. ∴ AE=CF. 5. B [解析]∵ 四边形ABCD 是平 行四边形,对角线AC,BD 相交于点 O,∴ AB=CD,AD=CB,AD∥CB, OA=OC.∴ ∠OAE=∠OCF.在 △AOE和△COF中, ∠AOE=∠COF, OA=OC, ∠OAE=∠OCF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOE≌△COF.∴ OE=OF= 5,AE=CF.∴ EF=OE+OF=5+ 5=10,AE+BF=CF+BF=CB. ∵ ▱ABCD 的周长为30,∴ 2AB+ 2CB=30,即AB+CB=15.∴ AB+ AE+BF+EF=AB+CB+EF= 15+10=25.∴ 四边形ABFE 的周长 是25. 6. B [解析] ∵ ▱ABCD 的对角线 AC与BD 相交于点O,∴ BO=DO, AO=CO.∵ AB⊥AC,∴ ∠BAC= 90°.∵ AB =2,∠ACB =30°, ∴ BC= 2AB = 4.∴ AC = BC2-AB2 = 42-22 =23. ∴ AO = 12AC = 3.∴ BO = AB2+AO2= 22+(3)2 = 7. ∴ BD=2BO=27. 7. A [解析]如图,取BC 的中点G, 连接AG,则CG=BG=12BC=2. ∵ AB=2,∴ AB=BG.∵ ∠ABC= 60°,∴ △ABG 是 等 边 三 角 形. ∴ AG = BG = CG,∠AGB = ∠BAG=60°.∴ ∠GAC=∠GCA. ∵ ∠GAC+∠GCA=∠AGB=60°, ∴ ∠GAC = ∠GCA = 30°. ∴ ∠BAC=∠BAG+∠GAC=60°+ 30°=90°.∴ 在Rt△ABC中,由勾股定 理,得 AC = BC2-AB2 = 42-22=23.∵ 四边形ABCD 是 平行四边形,∴ AO=12AC= 3. 故 ①正 确.∵ △ABE 的 周 长 等 于 ▱ABCD 周长的一半,△ABE 的周 长=AB+AE+BE,▱ABCD 周长的 一半=AB+AD,∴ AB+AE+ BE=AB+AD=AB+AE+DE. ∴ BE=DE.∵ 四边形ABCD 是平 行四边形,∴ OB=OD.在△BOE 和 △DOE 中, BE=DE, OB=OD, OE=OE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BOE≌ △DOE.∴ 易得∠BOE=∠DOE= 90°.∴ EO⊥BD,即EF⊥BD.故② 正确.如图,过点E 作EH⊥AB,交 BA 的延长线于点 H,则∠AHE= 90°.设AE=x,则BE=DE=4-x. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC.∴ ∠EAH=∠ABC= 60°.∴ ∠AEH =90°-60°=30°. ∴ AH = 12AE = 1 2x.∴ 在 Rt△AEH 中,由勾股定理,得EH= AE2-AH2 = x2- 12x 2 = 3 2x.∴ BH=AB+AH=2+12x. 在Rt△BEH 中,EH2+BH2=BE2, 即 3 2x 2 + 2+12x 2 =(4-x)2, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71 解得x=65.∴ EH= 32x= 33 5 , BE =4-x = 4- 65 = 14 5. ∵ ∠BAC=90°,∴ 在Rt△ABO 中, 由勾股定理,得OB= AB2+AO2= 22+(3)2=7.∵ EO⊥BD,∴ 在 Rt△EBO 中,由勾股定理,得EO= BE2-OB2 = 145 2 -(7)2 = 21 5 .∵ EH⊥BA,EO⊥BO,EO≠ EH,∴ ∠ABE≠∠EBO.故③错误. ∵ S△ABE S△BOE = 1 2AB ·EH 1 2OB ·EO = 1 2×2× 33 5 1 2×7× 21 5 = 67 ,∴ S△ABE ∶ S△BOE=6∶7.故④错误.综上所述, 正确的是①②. (第7题) 8. 60 9. 120 13 [解析]如图,设 MN 与BC 交于点O,连接AO,过点O 作OH⊥ AC于点H.∵ 四边形 MCNB 是平 行四边形,∴ O 为BC的中点,MN= 2MO.∵ AB=AC=13,BC=10, ∴ AO ⊥BC,CO =OB =5.在 Rt△AOC中,由勾股定理,得AO= AC2-CO2 = 132-52 =12. ∵ S△AOC= 1 2AO ·CO=12AC · OH,∴ OH=AO ·CO AC = 60 13. 易知当 MO 的长最小时,MN 的长取得最小 值.∵ 当点M 与点H 重合时,MO 的 长最小,为60 13 ,∴ MN 长的最小值为 2×6013= 120 13. (第9题) 10. (1) 如图①,连接BD 交AC 于 点O. ∵ 四边形ABCD 和四边形EBFD 都 是平行四边形, ∴ AB∥CD,AB=CD,OA=OC, OE=OF. ∴ 易得∠BAE=∠DCF,AE=CF. ∴ △ABE≌△CDF. ∴ ∠ABE=∠CDF. (2) 成立. 理由:如图②,连接 BD 交 AC 于 点O. ∵ 四边形ABCD 和四边形EBFD 都 是平行四边形, ∴ BE∥DF,BE=DF,OA=OC, OE=OF. ∴ 易得∠BEA=∠DFC,AE=CF. ∴ △ABE≌△CDF. ∴ ∠ABE=∠CDF. (第10题) 11. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四 边形,对角线AC,BD 相交于点O, ∴ AB∥CD,OA=OC,OB=OD. ∴ ∠OAE=∠OCF,∠E=∠F. ∴ △AOE≌△COF. ∴ OE=OF. (2) ∵ AB=2AE, ∴ S△AOB=2S△AOE=2. ∴ S△BOE=3. ∵ OB=OD, ∴ S△DOE=S△BOE=3. ∴ S△DEB=6. ∵ △AOE≌△COF, ∴ S△AOE=S△COF=1. 同理,可得S△DFB=6. ∴ S四边形BEDF=S△DEB+S△DFB=12. 过平行四边形对角线交点的 直线的特点归纳 (1) 过平行四边形对角线交点 的直线与平行四边形的对边所在 直线相交所得到的新线段被平行 四边形对角线的交点平分. (2) 过平行四边形对角线交点 的直线平分平行四边形的面积. 第3课时 平行四边形的判定 1. D 2. 8 3. (1) ∵ AE⊥BD,CF⊥BD, ∴ ∠AEB=∠CFD=90°. ∵ AB=CD,BE=DF, ∴ △ABE≌△CDF. (2) ∵ △ABE≌△CDF, ∴ AE=CF. ∵ AE⊥BD,CF⊥BD, ∴ AE∥CF, ∴ 四边形AECF 是平行四边形. 4. B 5. C [解析]∵ EB⊥BC,ED⊥CD, ∴ ∠EBC=∠EDC=90°.∵ ∠E= 55°,∴ 在四边形EBCD 中,∠C= 360°- ∠EBC - ∠EDC - ∠E = 125°.∵ 四边形ABCD 为平行四边 形,∴ ∠A=∠C=125°. 6. 4 [解析] 如图,共能作出4个平 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 81