18.1 第1课时 平行四边形的边、角性质-【拔尖特训】2024-2025学年八年级下册数学（人教版）

34 18.1　平行四边形 第1课时 平行四边形的边、角性质 ▶ “答案与解析”见P15 1. (2024·南 京鼓楼期末)如图,在▱ABCD 中,AE⊥BC 于点E,AF⊥CD 于点F.若 AE=4,AF=6,且▱ABCD 的周长为40,则 ▱ABCD 的面积为 ( ) A. 24 B. 36 C. 40 D. 48 (第1题) (第2题) 2. (2024·泰州靖江期末)如图,在平面直角坐 标系中,▱ABCD 三个顶点A,C,D 的坐标 分别为(-1,-2),(5,2),(1,1),则顶点B 的坐标为 . 3. (2024·常州期中)如图,在▱ABCD 中,E 为 边BC 上的一点,且 AB=AE,连接 AC, DE. (1) 求证:△ABC≌△EAD. (2) 若∠B=65°,∠EAC=25°,求∠AED 的 度数. (第3题) 4. (2024· 咸阳期末)如图,在▱ABCD 中, ∠ADC 的平分线交BC 于点E,过点C 作 CF⊥DE,垂足为F.若CF=BE=6,DE= 16,则AD 的长为 ( ) A. 16 B. 14 C. 13 D. 8 (第4题) (第5题) 5. (2024·浙江)如图,在▱ABCD 中,AC,BD 相交于点O,AC=2,BD=23.过点A 作 AE⊥BC 于点E,记BE 的长为x,BC 的长 为y.当x,y的值发生变化时,下列代数式的 值不变的是 ( ) A. x+y B. x-y C. xy D. x2+y2 6. (2023·扬州江都期中)如图,在▱ABCD 中, AB=15,AD=14,AC=13,则▱ABCD 的 面积为 . (第6题) (第7题) 7. (2023·南阳卧龙二模)如图,在▱ABCD 中, AB=6,∠ABC=60°,∠ABC 的平分线交 AD 于点E,交对角线AC 于点F,过点A 作 AG⊥BE 于点G.若AF=4,则GF 的长为 . 8. (2023·西安模拟)如图,在▱ABCD 中,AB= 6,BC=8,∠B=60°,E 是BC 的中点,EF⊥ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级下 第十八章　平行四边形 35 AB 于点F,则△DEF 的面积为 . (第8题) 答案讲解 9. (2024·绍兴期中)如图,▱ABCD 的 对角线AC,BD 交于点O,AE 平分 ∠BAD,交BC于点E,∠ADC=60°. (1) 求证:AB=AE. (2) 若AB BC=m (0<m<1),AC=43,连 接OE. ① 若m=12 ,求▱ABCD 的面积. ② 设 S四边形OECD S△AOD =k ,试求k与m 之间满足的 关系. (第9题) 答案讲解 10. (2024· 宁 波 期 中)如 图,在 ▱ABCD 中,AD=4,∠A=60°,E 是边DC 延长线上的一点,连接 BE,以BE 为边作等边三角形BEF,连接 FC,则FC长的最小值是 ( ) (第10题) A. 3 B. 2 C. 6 D. 23 11. (易错易混题)在▱ABCD 中,∠ABC= 120°,D 是等边三角形DEF 的一个顶点, DE 与AB 相交于点M,DF 与BC 相交于 点N(不包括线段的端点),连接BD. (1) 如图①,若AB=BC,求证:BD=BM+ BN. (2) 如图②,若BC=2AB,过点D 作DH⊥ BC 于点H,求证:∠BDC=90°. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十八章　平行四边形 ∠B=∠C=∠D=90°. 由折叠的性质可知,AD=AM,CF= DF= MF = 12CD =2 ,∠D = ∠AMF=90°,∠DAF=∠MAF, ∴ AB=AM,∠AMP=90°. 又∵ AP=AP, ∴ Rt△ABP≌Rt△AMP. ∴ ∠BAP=∠MAP,BP=MP. ∴ ∠PAF = ∠MAP + ∠MAF = 1 2∠BAM+ 1 2∠DAM= 1 2∠BAD= 45°. 设 BP=x,则 PC=4-x,PF= PM+MF=x+2. ∴ 在 Rt△PCF 中,CF2+PC2= PF2,即22+(4-x)2=(x+2)2,解 得x=43. ∴ BP 的长为43. (2) 若AM=AD=8,由折叠的性质 可知,AM=AB=6,6≠8, ∴ 此种情况不存在. 如图①,若AM=DM,则易得点M 在 AD 的垂直平分线上. 过点M 作EF⊥AD 于点E,交BC于 点F,则易得EF⊥BC. ∴ 易得AE=12AD=4. ∴ 在Rt△EMA 中,由勾股定理,得 EM= AM2-AE2=25. 易知EF=AB=6,AE=BF=4. ∴ MF=EF-EM=6-25. 设BP=x,则PM=x,PF=4-x. 在 Rt△PMF 中,由 勾 股 定 理,得 PM2=PF2+MF2,即 x2=(4- x)2+(6-25)2,解得x=9-35. ∴ BP 的长为9-35. 如图②,若 AD=DM,过点 M 作 EF⊥AD 于点E,交BC 于点F,则易 得EF⊥BC. 在Rt△AME 和Rt△MDE 中,由勾 股 定 理,得 EM2 =AM2 -AE2, EM2=DM2-DE2, ∴ AM2-AE2=DM2-(AD-AE)2. ∴ 62-AE2=82-(8-AE)2,解得 AE=94. ∴ EM= AM2-AE2=3 554 . 易知EF=AB=6,AE=BF=94 , ∴ MF=EF-EM=6-3 554 . 设BP=y,则PM=y,PF= 9 4-y. 在 Rt△PMF 中,由 勾 股 定 理,得 PM2 = PF2 + MF2,即 y2 = 9 4-y 2 + 6-3 554 2 ,解得y= 16-2 55. ∴ BP 的长为16-2 55. 综上所述,BP 的长为9-35或16- 2 55. (第6题) 第十八章　平行四边形 18.1　平行四边形 第1课时 平行四边形的边、 角性质 1. D 2. (3,-1) 3. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四 边形, ∴ AD∥BC,AD=BC. ∴ ∠EAD=∠AEB. 又∵ AB=AE, ∴ ∠B=∠AEB. ∴ ∠B=∠EAD. ∴ △ABC≌△EAD. (2) 由(1)知,∠B=∠AEB. ∵ ∠B=65°, ∴ ∠BAE=180°-65°-65°=50°. ∴ ∠BAC=∠BAE+∠EAC=50°+ 25°=75°. ∵ △ABC≌△EAD, ∴ ∠BAC=∠AED=75°. 4. A [解析] ∵ 四边形ABCD 是平 行四边形,∴ AD=BC,AD∥BC. ∴ ∠ADE=∠CED.∵ ∠ADC 的平 分线 交 BC 于 点 E,∴ ∠ADE= ∠CDE.∴ ∠CDE = ∠CED. ∴ CE=CD.∵ CF⊥DE,∴ EF= 1 2DE=8 ,∠CFE=90°.∴ CE= CF2+EF2=10.∴ AD=BC= BE+CE=16. 5. C [解析] 如图,过点D 作DH⊥ BC,交BC 的延长线于点H,∵ 四边 形ABCD 是平行四边形,∴ DC= AB,AD∥BC.∵ DH⊥BC,AE⊥ BC,∴ DH=AE.∴ Rt△DCH≌ Rt△ABE.∴ CH=BE=x.∵ BC= y,∴ EC=BC-BE=y-x,BH= BC+CH=y+x.∵ 在Rt△ACE 中,AE2=AC2-EC2,在Rt△BDH 中,DH2=BD2-BH2,∴ 22-(y- x)2=(23)2-(y+x)2.∴ xy=2. ∴ xy的值不变. (第5题) 6. 168 [解析]过点A 作AE⊥BC 于点E.∵ 四边形ABCD 是平行四边 形,∴ AD=BC=14.设BE=x,则 EC=14-x.在Rt△ABE 中,AB2- BE2=AE2,在Rt△AEC 中,AC2- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51 EC2=AE2,∴ 152-x2=132-(14- x)2,解 得 x = 9.∴ AE = AB2-BE2 = 152-92 =12. ∴ ▱ABCD 的面积=BC·AE= 14×12=168. 7. 7 [解析]∵ ∠ABC=60°,BE 平分∠ABC,∴ ∠ABE=∠CBE= 1 2∠ABC= 1 2×60°=30°.∵ AG⊥ BE,∴ ∠AGB = ∠AGE =90°. ∴ AG=12AB= 1 2×6=3.∵ AF= 4,∴ 在Rt△AGF 中,由勾股定理,得 GF= AF2-AG2= 42-32=7. 8. 83 [解析]如图,延长DC,FE 交于点G.∵ 四边形ABCD 是平行四 边 形,∴ AB ∥CD,AB =CD. ∴ ∠B=∠ECG.∵ E 是BC 的中 点,∴ BE=CE=12BC= 1 2×8=4. 在 △BEF 和 △CEG 中, ∠B=∠ECG, BE=CE, ∠BEF=∠CEG, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BEF ≌ △CEG.∴ BF=CG.在 Rt△BEF 中,∵ EF⊥AB,∴ ∠BFE=90°. ∵ ∠B =60°,∴ ∠FEB =30°. ∴ BF = 12BE = 2.∴ EF = BE2-BF2=23.∵ CG=BF= 2,CD=AB=6,∴ DG=CG+CD= 2+6=8.∵ EF⊥AB,AB∥CD, ∴ EG⊥DG.∴ S△DEF = 1 2EF · DG=12×23×8=83. (第8题) 9. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边 形,∠ADC=60°, ∴ ∠ABC=∠ADC=60°, ∠BAD=120°. ∵ AE 平分∠BAD, ∴ ∠BAE=∠EAD=60°. ∴ △ABE 是等边三角形. ∴ AB=AE. (2) ① ∵ AB BC=m= 1 2 , ∴ AB=12BC. ∴ AE=BE=12BC. ∴ AE=CE. ∵ △ABE 是等边三角形, ∴ ∠AEB=60°. ∴ ∠ACE=∠CAE=30°. ∴ ∠BAC=90°. ∵ AC=43, ∴ 易得AB=4. ∴ ▱ABCD 的面积=2S△ABC=2× 1 2AB ·AC=4×43=163. ② ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ S△AOD=S△BOC,S△BOC= 1 2S△BCD. ∵ △ABE 是等边三角形, ∴ BE=AB=mBC. ∵ 易知△OBE 的边BE 上的高等于 △BCD 的 边 BC 上 的 高 的 一 半, BE=mBC, 设△BCD 的边BC上的高为h,BC的 长为b, ∴ S△BCD = bh 2 ,S△OBE = 1 2× h 2× mb=mbh4 . ∴ S四边形OECD=S△BCD-S△OBE= bh 2- mbh 4 = 1 2- m 4 bh. ∵ 易知S△AOD= 1 2× h 2×b= bh 4 , ∴ S四边形OECD S△AOD = 12 - m4 bh× 4 bh=k. ∴ 2-m=k,即m+k=2. 10. D [解析] 如图,延长AB 到点 G,使BG=BC,连接EG,过点G 作 GH⊥DE,交DE 的延长线于点H, 过点 C 作CM ⊥BG,垂 足 为 M, ∴ ∠BMC=90°.∵ 四边形ABCD 是 平行四边形,∴ AD=BC=4,CD∥ AB,AD∥BC.∴ ∠CBM=∠A= 60°.∴ ∠BCM=90°-∠CBM=30°. ∴ BM=12BC=2 ,且易得CM= 23.∵ CD∥AB,∴ 易得 CM = GH=23.∵ △BEF 是等边三角 形,∴ BF = BE,∠FBE =60°. ∴ ∠FBE - ∠CBE = ∠CBG - ∠CBE,即 ∠FBC = ∠EBG.又 ∵ BC=BG,∴ △FBC≌ △EBG. ∴ FC=EG.∴ 当GE 的长最小时, FC 的长也最小.∵ 当点E 与点H 重 合时,GE 的长最小,此时GE=GH= 23.∴ FC长的最小值为23. (第10题) 11. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四 边形, ∴ AD∥BC,AD=BC,AB=CD. ∵ ∠ABC=120°, ∴ ∠A=∠C=60°. ∵ AB=BC, ∴ AB=BC=CD=AD. ∴ △ABD,△BDC都是等边三角形. ∴ ∠A=∠DBN =60°,∠ADB= 60°,AD=BD. ∵ △DEF 是等边三角形, ∴ ∠EDF=60°. ∴ ∠ADB=∠EDF,即∠ADM + ∠MDB=∠BDN+∠MDB. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 61 ∴ ∠ADM=∠BDN. 在△ADM 和△BDN 中, ∠A=∠DBN, AD=BD, ∠ADM=∠BDN, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADM≌△BDN. ∴ AM=BN. ∴ BD=AB=AM+BM=BN+BM, 即BD=BM+BN. (2) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∠ABC=120°, ∴ AB=DC,∠A=∠C=60°. ∵ DH⊥BC,∠C=60°, ∴ ∠DHC=∠DHB=90°, ∠HDC=30°. 设CH=x,则DC=2x,易得DH= 3x. ∴ BC=2AB=2DC=4x. ∴ BH=BC-CH=3x. 在Rt△BDH 中,由 勾 股 定 理,得 BD= BH2+DH2=23x. ∴ 易得BD2+DC2=BC2. ∴ △BCD 是 直 角 三 角 形,且 ∠BDC=90°. 第2课时 平行四边形的 对角线性质 1. B 2. C 3. 9 [解析] ∵ 四边形ABCD 是平 行四边形,∴ OB=OD,AB=CD, AD=BC.∵ ▱ABCD 的周长为18, ∴ AB+AD=9.∵ OE⊥BD,∴ OE 是线段BD 的垂直平分线.∴ BE= ED.∴ △ABE 的周长=AB+BE+ AE=AB+ED+AE=AB+AD=9. 4. (1) ∵ AE⊥BD, ∴ ∠AEO=90°. ∵ ∠AOE=50°, ∴ 在△AEO 中,∠EAO=180°- ∠AEO-∠AOE=40°. ∵ AC平分∠DAE, ∴ ∠OAD=∠EAO=40°. ∵ 四边形ABCD 为平行四边形, ∴ AD∥BC. ∴ ∠ACB=∠OAD=40°. (2) ∵ 四边形ABCD 为平行四边形, 对角线AC,BD 相交于点O, ∴ AO=CO. ∵ AE⊥BD,CF⊥BD, ∴ ∠AEO=∠CFO=90°. 在△AEO 和△CFO 中, ∠AEO=∠CFO, ∠EOA=∠FOC, AO=CO, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEO≌△CFO. ∴ AE=CF. 5. B [解析]∵ 四边形ABCD 是平 行四边形,对角线AC,BD 相交于点 O,∴ AB=CD,AD=CB,AD∥CB, OA=OC.∴ ∠OAE=∠OCF.在 △AOE和△COF中, ∠AOE=∠COF, OA=OC, ∠OAE=∠OCF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOE≌△COF.∴ OE=OF= 5,AE=CF.∴ EF=OE+OF=5+ 5=10,AE+BF=CF+BF=CB. ∵ ▱ABCD 的周长为30,∴ 2AB+ 2CB=30,即AB+CB=15.∴ AB+ AE+BF+EF=AB+CB+EF= 15+10=25.∴ 四边形ABFE 的周长 是25. 6. B [解析] ∵ ▱ABCD 的对角线 AC与BD 相交于点O,∴ BO=DO, AO=CO.∵ AB⊥AC,∴ ∠BAC= 90°.∵ AB =2,∠ACB =30°, ∴ BC= 2AB = 4.∴ AC = BC2-AB2 = 42-22 =23. ∴ AO = 12AC = 3.∴ BO = AB2+AO2= 22+(3)2 = 7. ∴ BD=2BO=27. 7. A [解析]如图,取BC 的中点G, 连接AG,则CG=BG=12BC=2. ∵ AB=2,∴ AB=BG.∵ ∠ABC= 60°,∴ △ABG 是 等 边 三 角 形. ∴ AG = BG = CG,∠AGB = ∠BAG=60°.∴ ∠GAC=∠GCA. ∵ ∠GAC+∠GCA=∠AGB=60°, ∴ ∠GAC = ∠GCA = 30°. ∴ ∠BAC=∠BAG+∠GAC=60°+ 30°=90°.∴ 在Rt△ABC中,由勾股定 理,得 AC = BC2-AB2 = 42-22=23.∵ 四边形ABCD 是 平行四边形,∴ AO=12AC= 3. 故 ①正 确.∵ △ABE 的 周 长 等 于 ▱ABCD 周长的一半,△ABE 的周 长=AB+AE+BE,▱ABCD 周长的 一半=AB+AD,∴ AB+AE+ BE=AB+AD=AB+AE+DE. ∴ BE=DE.∵ 四边形ABCD 是平 行四边形,∴ OB=OD.在△BOE 和 △DOE 中, BE=DE, OB=OD, OE=OE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BOE≌ △DOE.∴ 易得∠BOE=∠DOE= 90°.∴ EO⊥BD,即EF⊥BD.故② 正确.如图,过点E 作EH⊥AB,交 BA 的延长线于点 H,则∠AHE= 90°.设AE=x,则BE=DE=4-x. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC.∴ ∠EAH=∠ABC= 60°.∴ ∠AEH =90°-60°=30°. ∴ AH = 12AE = 1 2x.∴ 在 Rt△AEH 中,由勾股定理,得EH= AE2-AH2 = x2- 12x 2 = 3 2x.∴ BH=AB+AH=2+12x. 在Rt△BEH 中,EH2+BH2=BE2, 即 3 2x 2 + 2+12x 2 =(4-x)2, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71