17.2 勾股定理的逆定理-【拔尖特训】2024-2025学年八年级下册数学（人教版）

22 17.2　勾股定理的逆定理 第1课时 勾股定理的逆定理 ▶ “答案与解析”见P8 1. (2024·吕梁期末)下列正方形网格中,每个 小正方形的边长都是1,三角形的顶点都在 格点(网格线的交点)上,则下列三角形中,属 于直角三角形的是 ( ) A. B. C. D. 2. (2024·武威凉州期末)下列各组数中,属于 勾股数的是 ( ) A. 4,5,6 B. 1,2,3 C. 7,24,25 D. 2,3,5 3. “两直线平行,同旁内角互补”的逆命题为 ,这个逆命 题是 (填“真”或“假”)命题. 4. (2024·北京西城期中)如图,网格内每个小 正方形的边长都是1个单位长度,点A,B, C,D 都在格点(网格线的交点)上,AB 与 CD 相 交 于 点 P,则 ∠BPD 的 度 数 为 . (第4题) 5. 已知△ABC 的三边长a=m-n(m>n>0), b=m+n,c=2 mn. (1) 求证:△ABC 是直角三角形. (2) 利用(1)中的结论,写出两组m,n的值, 并写出三角形的三边长(要求三角形的三边 长均为整数). 6. (2023·贵州期末)如图,在△ABC 中,AB= 5,BC=4,AC=3,I为△ABC 各内角平分线 的交点,过点I作AB 的垂线,垂足为H,则 IH 的长为 ( ) (第6题) A. 1 B. 3 2 C. 2 D. 5 2 7. ★(2023·长沙期中)在△ABC 中,BC=a, AB=c,AC=b,则不能作为判定△ABC 是 直角三角形的条件的为 ( ) A. ∠A=∠B+∠C B. (a+b)(a-b)=c2 C. a∶b∶c=3∶4∶5 D. ∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级下 23 8. (2024·张家口二模)如图,在网格图(每个小 方格均是边长为1的正方形)中,以AB 为一 边作直角三角形ABC,要求顶点C 在格点 上,则图中不符合条件的点是 ( ) A. C1 B. C2 C. C3 D. C4 (第8题) (第9题) 答案讲解 9. 如图,在四边形ABCD 中,∠ABC= 90°,AB=3,BC=4,CD=5,AD= 52,则BD 的长为 . 10. 发现:如果两个连续的正整数的和可以表示 成某一个正整数的平方,那么以这三个正整 数为边长的三角形是直角三角形. 验证:如12+13=25=52,请判断以12,13, 5为边长的三角形是直角三角形. 探究:设两个连续的正整数m 和m+1的和 可以表示成正整数n的平方,请证明“发现” 中的结论. 应用:寻找一组含正整数9,且满足“发现” 中的结论的数. 答案讲解 11. 如图,在四边形ABCD 中,∠DAB= 30°,E 为AB 的中点,DE⊥AB 于 点E,DE= 3,BC=2,CD = 4.求: (1) ∠ABC 的度数. (2) CE 的长. (第11题) 答案讲解 12. 如图,在Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,CD⊥AB 于点D,设AC=b, BC=a,AB=c,CD=h(a,b,c,h 均大于0). (1) 求证:a+b<c+h. (2) 判断以a+b,h,c+h为三边长的三角 形的形状,并说明理由. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十七章　勾股定理 24 第2课时 勾股定理及其逆定理的应用 ▶ “答案与解析”见P9 1. (2024·宣城模拟)如图,某自动感应门的正 上方A 处装着一个感应器,该感应器离地面 的高度AB 为2.5米,一名学生站在C 处,感 应门自动打开了,此时这名学生与感应门之 间的距离BC 为1.2米,头顶与感应器之间 的距离AD 为1.5米,则这名学生的身高 CD 为 ( ) A. 0.9米B. 1.3米 C. 1.5米 D. 1.6米 (第1题) (第2题) 2. (2024· 保 定 期 末)如图所示为一块地, ∠ADC=90°,AD=12m,CD=9m,AB= 25m,BC=20m,则这块地的面积为 ( ) A. 92m2 B. 93m2 C. 96m2 D. 90m2 3. 现有两根铁棒,它们的长分别为2m和3m. 如果想焊一个直角三角形铁架,那么第三根 铁棒的长为 m. 4. 小明计划制作一架小型飞机模型,如图所示 的四边形材料是飞机垂直尾翼,小明测量发 现AB=13cm,AD=5cm,∠DBC=90°, BC=16cm,CD=20cm.根据设计要求需保 证AD∥BC.请判断该尾翼是否符合设计要 求,并说明理由. (第4题) 5. (2024·德州期末)如图,某港口P 位于南北 延伸的海岸线上,东面是大海,甲、乙两艘轮 船同时离开港口P,各自沿固定方向航行.甲 轮船每小时航行12nmile,乙轮船每小时航行 16nmile,它们离开港口P1h后,分别到达 A,B 两个位置,且AB=20nmile.若甲轮船 沿着北偏东60°的方向航行,则乙轮船的航行 方向是 ( ) A. 北偏西30° B. 南偏东30° C. 南偏东60° D. 南偏西60° (第5题) (第6题) 6. (易错易混题)如图,有A,B,C,D 四个城镇 (A,D,C 三个城镇在同一条直线上),它们之 间(除B,C 两个城镇外)都有笔直的公路连 接,公共汽车行驶于城镇之间,其票价与路程 成正比.已知各城镇之间的公共汽车票价为 A—B:10元;A—C:12.5元;A—D:8元; B—D:6元;C—D:4.5元.为了使B,C 两 个城镇之间的交通更为便捷,有关部门打算 在它们之间建设笔直的公路,则按上述标准, B,C 两个城镇之间的公共汽车票 价为 元. 7. (2024·无锡期末)如图,在一条东西走向的 河流一侧有一村庄C,河边原有两个取水点 A,B,其中AB=CA.由于某种原因,由C 到 A 的路现在已经不通,该村庄为方便村民取 水,决定在河边新建一个取水点H(点A,B, H 在同一条直线上),并新建一条路CH,测 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级下 25 得CB= 13千 米,CH =3千 米,HB= 2千米. (1) CH 是不是从村庄C 到河边最近的路? 请说明理由. (2) 求新路CH 比原路CA 短多少千米. (第7题) 8. 如图,有一块四边形绿地ABCD,AB=12m, BC=5m,DE⊥AC 于点E,DE=4m, △ACD 的面积是26m2. (1) 试判断△ABC 的形状,并说明理由. (2) 求这块四边形绿地ABCD 的面积. (第8题) 答案讲解 9. 设a,b,c是一个三角形三条边的 长,且a是最长边的长,我们可以利 用a,b,c之间的关系来判断这个三 角形的形状:① 若a2=b2+c2,则该三角形 是直角三角形;② 若a2>b2+c2,则该三角 形是钝角三角形;③ 若a2<b2+c2,则该三 角形是锐角三角形.例如:若一个三角形的三 边长分别是4,5,6,则最长边的长是6,由于 62=36<42+52,故由上面③可知,该三角形 是锐角三角形.请根据上述内容,解答下列 问题. (1) 若一个三角形的三边长分别是6,7,8,则 该三角形是 三角形. (2) 若一个三角形的三边长分别是5,12,x, 且这个三角形是直角三角形,则x 的值为 . (3) 若一个三角形的三边长分别是m2-n2, 2mn,m2+n2,请判断这个三角形的形状并说 明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十七章　勾股定理 以点A 为圆心、100米为半径画弧交 MN 于 点B,C,连 接 AB,AC,则 AB=AC=100米. 又∵ AH⊥BC, ∴ BH=CH. 在Rt△ABH 中,BH= AB2-AH2= 1002-802=60(米). ∴ BC=2BH=120米. ∴ 学校受到影响的时间为120 5 = 24(秒). (第8题) 9. 2.6 能 10. 如图,过点A 作AE⊥OM 于点 E,过点B 作BF⊥OM 于点F,易得 四边形ACME、四边形FMDB 为长 方形. ∴ AE=CM,BF=DM. 由题意,得AO=OB,∠AOB=90°, ∴ ∠AOE+∠BOF=90°. ∵ BF⊥OM, ∴ ∠BFO=90°. ∴ ∠BOF+∠OBF=90°. ∴ ∠AOE=∠OBF. 又∵ AE⊥OM, ∴ ∠OEA=∠BFO=90°. ∴ △AOE≌△OBF. ∴ OE=BF,AE=OF. ∵ CD=17m, ∴ OF+OE=AE+BF =CM + DM=CD=17m. ∵ OF=OE+EF, ∴ 2OE+EF=17m. ∵ 四边形ACME、四边形FMDB 为 长方形, ∴ AC=EM,FM=BD. ∴ EF=EM-FM=AC-BD=10- 3=7(m). ∴ OE=5m. ∴ OF=OE+EF=12m. ∴ AE=12m,OM =OF+FM = 15m. 在 Rt△AOE 中,由 勾 股 定 理,得 OA= AE2+OE2=13m. ∴ 易得ON=OA=13m. ∴ MN=OM-ON=15-13=2(m). ∴ 机器人在荡绳索的过程中,最低点 离地面的高度MN 是2m. (第10题) 运用勾股定理解决实际 问题的步骤 (1) 从实际问题中抽象出几何 图形. (2) 确定要求的线段所在的直 角三角形. (3) 找准直角边和斜边. (4) 根据勾股定理建立等量关 系求得结果. 17.2　勾股定理的逆定理 第1课时 勾股定理的逆定理 1. C 2. C 3. 同旁内角互补,两直 线平行 真 4. 135° 5. (1) ∵ a=m-n(m>n>0),b= m+n,c=2 mn, ∴ a2+c2=(m-n)2+(2 mn)2= m2+n2-2mn+4mn=(m+n)2= b2,即a2+c2=b2. ∴ △ABC是直角三角形. (2) 答案不唯一,如当 m=4,n=1 时,三角形的三边长为3,4,5; 当m=9,n=4时,三角形的三边长为 5,12,13. 6. A [解析]如图,过点I 作IE⊥ AC,垂足为E,过点I作ID⊥BC,垂 足为 D,连接 CI,AI,BI.∵ I 为 △ABC 各内角平分线的交点,ID⊥ BC,IE⊥AC,IH ⊥AB,∴ IE= IH=ID.∵ AB=5,BC=4,AC=3, ∴ AC2+BC2=32+42=25,AB2= 52 =25.∴ AC2 +BC2 =AB2. ∴ △ABC 是直角三角形,∠ACB= 90°.∵ △ABC 的面积=△ACI的面 积+△BCI的面积+△ABI的面积, ∴ 1 2AC ·BC= 12AC ·IE + 1 2BC ·ID+12AB ·IH.∴ AC· BC=AC·IE+BC·ID+AB· IH.∴ 3×4=3IE+4ID+5IH. ∴ IH=1. (第6题) 7. D [解析]∵ ∠A=∠B+∠C, ∠A+∠B+∠C=180°,∴ ∠A= ∠B+∠C=90°,能判定△ABC 是直 角三角形.故选项 A 不符合题意. ∵ (a+b)(a-b)=c2,∴ a2-b2= c2,即a2=c2+b2.根据勾股定理的逆 定理,能判定△ABC 是直角三角形, 故选项B不符合题意.由a∶b∶c= 3∶4∶5,可设a=3x(x>0),b=4x, c=5x,则a2+b2=25x2=c2.根据勾 股定理的逆定理,能判定△ABC 是直 角三角形,故选项C不符合题意.由 ∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,可设 ∠A =3k,∠B =4k,∠C =5k, ∴ 3k+4k+5k=180°,解得k=15°. ∴ ∠A=45°,∠B=60°,∠C=75°. ∴ 不能判定△ABC 是直角三角形. 故选项D符合题意. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 判断直角三角形的方法 (1) 利用定义:如果已知条件 与角度有关,那么可利用三角形的 内角和定理判断,看能否得出其中 一个角的度数为90°. (2) 若已知条件与边有关,则 可通过计算得出三边的数量关系, 看是否符合较短两边的平方和等 于最长边的平方. 8. D 9. 65 [解析]如图,过点 D 作 DM⊥BC,交BC的延长线于点M,则 ∠M=90°.∴ ∠DCM+∠CDM= 90°.∵ ∠ABC=90°,AB=3,BC=4, ∴ AC2=AB2+BC2=25.∴ AC= 5.∵ AD=52,CD=5,∴ AC2+ CD2=AD2,AC=CD.∴ △ACD 是 等 腰 直 角 三 角 形,∠ACD =90°. ∴ ∠ACB+∠DCM=90°.∴ ∠ACB= ∠CDM.在 △ABC 和 △CMD 中, ∠ABC=∠M=90°, ∠ACB=∠CDM, AC=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC ≌ △CMD.∴ AB =CM =3,BC= MD=4.∴ BM =BC+CM =7. ∵ ∠M=90°,∴ 在 Rt△BDM 中, BD= BM2+MD2 = 72+42 = 65. (第9题) 10. 验证:∵ 52+122=169,132= 169, ∴ 52+122=132. ∴ 以12,13,5为边长的三角形是直 角三角形. 探究:由题意,得m+m+1=n2,即 n2=2m+1. ∴ m2+n2=m2+2m+1=(m+1)2. ∴ 以n,m,m+1为边长的三角形是 直角三角形. ∴ “发现”中的结论正确. 应用:∵ 40+41=92, ∴ 92+402=1681,412=1681. ∴ 92+402=412. ∴ 以9,40,41为边长的三角形是直 角三角形. 11. (1) 如图,连接BD. ∵ E 为AB 的中点,DE⊥AB, ∴ BD=AD,AE=BE. ∵ ∠DAB=30°,DE=3, ∴ ∠DBE= ∠DAB=30°,BD = AD=2DE=23. ∴ AE=BE= (23)2-(3)2=3. ∵ BC2 +BD2 =22 + (23)2 = 16=CD2, ∴ △BCD 是直角三角形, ∠CBD=90°. ∴ ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = 30°+90°=120°. (2) 如图,过点C 作CF⊥AB,交AB 的延长线于点F,则∠BFC=90°.由 (1),可得∠CBF=180°- ∠ABC=60°. ∵ ∠BFC=90°, ∴ ∠BCF=30°. ∴ BF=12BC=1. ∴ EF=BE+BF=4. 在 Rt△BCF 中,由 勾 股 定 理,得 CF= BC2-BF2=3. 在 Rt△CEF 中,由 勾 股 定 理,得 CE= EF2+CF2= 42+(3)2= 19. (第11题) 12. (1) ∵ S△ABC= 1 2ab= 1 2ch , ∴ ab=ch. ∵ 在Rt△ABC中,∠ACB=90°, ∴ a2+b2=c2. 又∵ c2<c2+h2, ∴ a2+b2<c2+h2. ∵ ab=ch, ∴ a2+b2+2ab<c2+h2+2ch. ∴ (a+b)2<(c+h)2. ∵ a,b,c,h均大于0, ∴ a+b<c+h. (2) 以a+b,h,c+h为三边长的三角 形是直角三角形. 理由:∵ (c+h)2=c2+2ch+h2, h2+(a+b)2=h2+a2+2ab+b2, a2+b2=c2,ab=ch, ∴ c2+2ch+h2=h2+a2+2ab+b2. ∴ (c+h)2=h2+(a+b)2. ∴ 以a+b,h,c+h为三边长的三角 形是直角三角形. 第2课时 勾股定理及其 逆定理的应用 1. D 2. C 3. 13或5 4. 该尾翼符合设计要求. 理由:∵ ∠DBC=90°,BC=16cm, CD=20cm, ∴ 在Rt△BCD 中,由勾股定理,得 BD= CD2-BC2= 202-162= 12(cm). ∵ 在△ABD 中,AB=13cm,AD= 5cm, ∴ AD2+BD2=AB2. ∴ △ABD 是 直 角 三 角 形,且 ∠ADB=90°. ∴ ∠ADB=∠DBC. ∴ AD∥BC. ∴ 该尾翼符合设计要求. 5. B 6. 7.5 7. (1) CH 是从村庄C 到河边最近 的路. 理由:∵ CB= 13千米,CH=3千 米,HB=2千米, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9 ∴ CB2=CH2+HB2. ∴ △BCH 是直角三角形, ∠BHC=90°. ∴ CH⊥AB. ∴ CH 是从村庄C到河边最近的路. (2) 设CA=x千米,则AB=x千米, AH=(x-2)千米. 在Rt△ACH 中,AH2+CH2=CA2, 即(x-2)2+32=x2,解得x=134. ∴ CA=134 千米. ∵ CA-CH=134-3=0.25 (千米), ∴ 新路CH 比原路CA短0.25千米. 8. (1) △ABC为直角三角形. 理由:∵ DE⊥AC,DE=4m,△ACD 的面积是26m2, ∴ 易得AC=13m. ∵ AB=12m,BC=5m, ∴ AB2+BC2=AC2. ∴ △ABC为直角三角形. (2) 由(1)知,△ABC为直角三角形, ∴ S四边形ABCD =S△ABC +S△ACD = 1 2AB ·BC+26=12×12×5+26= 56(m2). ∴ 这块四边形绿地ABCD 的面积为 56m2. 9. (1) 锐角. (2) 13或 119. [解析]∵ 一个三 角形的三边长分别是5,12,x,且这个 三角形是直角三角形,∴ x2=52+ 122或122=52+x2.∴ x=13或x= 119(负值已舍去).∴ x 的值为13 或 119. (3) 这个三角形是直角三角形. 理由:∵ (m2-n2)2+(2mn)2=m4- 2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+ n4=(m2+n2)2, ∴ 这个三角形是直角三角形. 专题特训（三）　利用勾股 定理解决折叠问题 1. 42或833 [解析]分两种情况: ① 如图①,当点 F 恰好在长方形 ABCD 的对称轴MN 上时,点F 与点 M 重合,点E 与点N 重合,则BE= 1 2BC=4.∵ 四边形ABCD 是长方 形,∴ ∠B=90°.∴ 在Rt△ABE 中, 由 勾 股 定 理, 得 AE = AB2+BE2 = 42+42 =42. ② 如图②,当点 F 恰好在长方形 ABCD 的对称轴GH 上时,过点F 作 PQ∥AB,交AD 于点P,交BC 于点 Q,则易得PQ⊥AD,PQ⊥BC,PF= QF=12AB=2 ,AP=BQ.∵ 四边形 ABCD 是长方形,∴ ∠B=90°.由折 叠的性质,得AF=AB=4,BE=EF. 在 Rt△APF 中,由 勾 股 定 理,得 AP= AF2-PF2 = 42-22 = 23.∴ BQ=AP=23.设 BE= EF=x,则EQ=BQ-BE=23- x.在Rt△EFQ 中,由勾股定理,得 QF2 + EQ2 = EF2,即 22 + (23-x)2=x2,解得x=433 . ∴ BE=433 . 在Rt△ABE 中,AE= AB2+BE2 = 42+ 43 3 2 = 83 3 . 综上所述,当点F 恰好落在长 方形ABCD 的对称轴上时,折痕AE 的长是42或833 . (第1题) 2. (1) ∵ 四边形ABCD 是长方形, ∴ ∠A=∠B=90°. 设AF=m,则BF=AB-AF=4-m. 由折叠的性质,得∠FEC=∠B= 90°,EF=BF=4-m. 在Rt△EAF 中,由 勾 股 定 理,得 AE2+AF2=EF2,即22+m2=(4- m)2,解得m=32. ∴ AF 的长为32. (2) 如图,过点E 作EN⊥BC 于点 N,过点F 作FM⊥BC于点M. ∵ EN⊥BC,FM⊥BC, ∴ ∠ENG=90°,∠FMB=90°. ∴ 易得EN=AB=4,FM=AB=4, AE=BN,BM=AF. 由折叠的性质,得GE=BG=5, ∴ 在Rt△GEN 中,由勾股定理,得 GN= GE2-EN2= 52-42=3. ∴ BN=BG+GN=5+3=8. ∴ AE=BN=8. 设 AF=x,则 EF=AE-AF= 8-x. 由折叠的性质,得 FH =AF=x, HE=AB=4,∠H=∠A=90°, ∴ 在Rt△EHF 中,由勾股定理,得 FH2+HE2=EF2,即x2+42=(8- x)2,解得x=3. ∴ AF=3. ∴ BM=AF=3. ∴ MG=BG-BM=5-3=2. ∴ 在Rt△FMG 中,由勾股定理,得 FG= FM2+MG2 = 42+22 = 25. (第2题) 3. 6 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01