16.3 二次根式的加减-【拔尖特训】2024-2025学年八年级下册数学（人教版）

n3 n2-1=n n n2-1. (4) 答案不唯一,如 6635=6 6 35. 15. ∵ 数较大,且有相同的部分, ∴ 设x=987654321. ∴ A= x(x+3)= x2+3x,B= (x+2)(x+1)= x2+3x+2. ∵ x2+3x<x2+3x+2, ∴ x2+3x< x2+3x+2. ∴ A<B. 第2课时 二次根式的除法 1. B 2. B 3. C 4. 15 3 5. (1) 当h=50时,t1= 50 5 = 10;当h=100时,t2= 100 5 = 20=25. (2) ∵ t2 t1= 25 10 =2, ∴ t2是t1的2倍. (3) 当t=2.5时, h5 =2.5 ,解得 h=31.25. ∴ 该物体下落的高度是31.25m. 6. C 7. C 8. C [解析] 1 3-5 = 3+5 (3-5)(3+5) =3+59-5= 3+5 4 , 故 ① 正 确.∵ F (x)= x, b F(4)-F(3)- c F(3)+F(4)=43+ 4,∴ b 2-3 - c 2+3 =43+4. ∴ (2+3)b-(2- 3)c=43+4. ∴ 2(b-c)+ 3(b+c)=43+4. ∵ b,c为有理数,∴ 2(b-c)=4, b+c=4, 解 得 b=3, c=1. ∴ b=3c.故 ② 正 确. ∵ F(43-m)-F(11-m)=4,即 43-m- 11-m=4, ∴ (43-m- 11-m)(43-m+ 11-m )= 4 × ( 43-m + 11-m),即43-m-(11-m)= 4 × ( 43-m + 11-m ). ∴ 43-m+ 11-m=32÷4=8. 即F(43-m)+F(11-m)=8.故③ 正确.综上所述,正确的是①②③,有 3个. 9. 43 3 10. 9 [解析] ∵ 最简二次根式 2a-43a+b 与 a-b 可 以 合 并, ∴ 2a-4=2,3a+b=a-b,解得a= 3,b= -3.∴ 2a-b=2×3- (-3)=9. 11. (1) 原式=57. (2) 原式=-9x2y xy. 二次根式的乘除混合运算的 注意点 (1) 运算顺序:如果没有括号, 那么从左向右依次进行运算;如果 有括号,那么先算括号里面的. (2) 运算结果:要求结果是最 简二次根式或整式. 12. (1) 两名同学的解法都正确. (2) ∵ 10= 707= 70 7 =ba , ∴ 4.9 = 4910 = 49×10 10×10 = 7 10 10= 7b 10a. 13. (1) 由题意,得m= 1 25 =15 , n=4=2, ∴ 数对(25,4)的一组“对称数对”为 1 5 ,2 与 2,15 . (2) 由题意,得m=1 3 = 33 ,n= y, ∵ 数对(3,y)的一组“对称数对”的两 个数对相同, ∴ m=n. ∴ 3 3= y. ∴ y= 1 3. (3) 由题意,得1 a = 3,b=33或 1 a =33,b=3, ∴ a=13 ,b=27或a=127 ,b=3. ∴ ab=9或ab=19. 16.3　二次根式的加减 第1课时 二次根式的加减 1. C 2. D 3. B 4. -32 5 5. ±1 6. (1) 原式=0.45. (2) 原式=2.5. 7. B 8. C [解析] 由题意,得AB-BC< AC<AB+BC,即 3+ 2-(3- 2)<AC< 3+ 2+ 3- 2. ∴ 22<AC<23.∵ 8<9<12, ∴ 22<3<23.∴ 四个选项中,只 有选项C符合题意. 9. B 10. 0 11. 存在. 由题意,得 a+b= 108=63, ∵ a,b是正整数,a>b, ∴ a>b. ∴ a=53,b= 3或 a=43, b=23. ∴ a=75,b=3或a=48,b=12. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 第2课时 二次根式的混合运算 1. B 2. B 3. D 4. 22 5. (1) 原式=3+2. (2) 原式=3. 关于二次根式混合运算的 做题方法 (1) 在进行二次根式混合运算 的过程中,可以先把每个二次根式 看成一个单项式,多个被开方数不 同的二次根式的和或差看成多项 式,再类比整式运算法则进行计 算,二次根式混合运算的结果应写 成最简二次根式或整式的形式. (2) 进行二次根式的计算时, 能用乘法公式的要尽量使用乘法 公式,以最大程度简化计算过程. 6. D [解析]对于 A选项,(2+ 1)-(2+1)=0,即当x=2+1时, 添上“-”,其结果为有理数;对于B选 项,(2+1)×(2-1)=1,即当x= 2-1时,添上“×”,其结果为有理 数;对于 C选项,(2+1)×(1- 2)=1-2=-1,即当x=1- 2时, 添上“×”,其结果为有理数;对于D 选项,(2+1)+2 2=3 2+1, (2+1)-22=1- 2,(2+1)× 22=4+22,(2+1)÷2 2= 2+2 4 ,∴ D选项符合题意. 7. C [解析]∵ x=1+ 5,∴ x- 1=5.∴ x2-2x-6=(x-1)2- 7=(5)2-7=5-7=-2. 8. 6 [解 析]∵ (2+ 3)2 = (2)2+2× 2× 3+(3)2=5+ 26,(2+ 3)2=5+2 a,∴ 5+ 26=5+2a.∴ a=6. 9. x<22+6 10. 7 [解析] 7+5 7-5 = (7+5)(7+5) (7-5)(7+5) =12+2 352 = 6+ 35.∵ 11<6+ 35<12,∴ 易 得a=11,b= 35-5. ∴ b2+10b+a+28= (b+5)2+a+3= 35+14=7. 11. (1) 原式=72. (2) 原式=9-36. 12. ∵ x=12 (7+3), y= 1 2 (7-3), ∴ x+y= 1 2 (7+ 3)+12 (7- 3)= 7,xy = 1 2 (7+ 3)× 1 2 (7-3)=14× (7-3)=1. (1) x2+3xy+y2=(x+y)2+xy= (7)2+1=8. (2) x y+ y x= x2+y2 xy = (x+y)2-2xy xy = (7)2-2×1 1 =5. 13. (1) 答 案 不 唯 一,如3+ 2; 3-2. (2) -25和25是共轭实数.a=0, b=2. (3) 设这两个共轭实数为a+b m和 a-b m. ∵ 这两个共轭实数的和为10,差的绝 对值为43, ∴ (a+b m)+(a-b m)=10, |(a+b m)-(a-b m)|=43. ∴ 2a=10,|2b m|=43. ∴ a=5,b=2或b=-2(不合题意, 舍去),m=3. ∴ 这两个共轭实数是5+23和 5-23. 14. (1) 3+22. (2) ∵ 点B 关于点A 对称的点为C, ∴ x=1-(2-1)=2-2. ∴ x+2x =2- 2+ 2 2-2 =2- 2+ 2 (2+2) (2-2)(2+2) =2- 2+ 4+22 2 =2-2+2+2=4. 专题特训（二）　利用二次 根式的概念和性质求值 1. C 2. C 3. A [解析] ∵ △ABC的三边长分 别为2,5,m,∴ 5-2<m<5+2,即 3<m<7.∴ m-3>0,m-7<0. ∴ (m-3)2- m2-14m+49= (m-3)2 - (m-7)2 =|m- 3|-|m-7|=m-3+m-7= 2m-10. 4. - -x [解析] 由题意,得x≠ 0且-x3≥0.∴ x<0.∴ 原式= 1 x x 2·(-x)=1x ·|x|· -x= 1 x ·(-x)· -x=- -x. 5. -1<a≤0或-4<a≤-3 [解析]由题意,得4-x≥0,x-a- 2≥0,∴ a+2≤x≤4.∵ 满足条件的 所有整数x 的值之和是9,∴ x=4, 3,2或x=4,3,2,1,0,-1.∴ 1<a+ 2≤2或-2<a+2≤-1.∴ -1< a≤0或-4<a≤-3. 6. 由 4a-b+1+ 13b-4a-3= 0,得 4a-b+1=0, 1 3b-4a-3=0 , 解得 a=-1,b=-3. ∴ 原 式 = -2× 3÷ 13 = -2×3=-6. 7. A [解析]∵ 48=43,最简二 次根式m+n+13m-n与二次根式 48 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 10 16.3　二次根式的加减 第1课时 二次根式的加减 ▶ “答案与解析”见P3 1. (2024·阜阳期末)下列运算结果正确的是 ( ) A. 2+2=4 B. 2+2=22 C. 3+3=23 D. 33-3=3 2. 如果 75- 12=ab,那么ab 的值是( ) A. 6 B. 9 C. 12 D. 27 3. 计算3 2 1 3+ 1 248- 75 4 的结果是 ( ) A. 2 B. 0 C. -3 D. 3 4. (2023·新泰期中)计算:5 15+ 1 25- 45= . 5. (2024·烟台期末)若 162与最简二次根式 m2+1可以合并,则m 的值为 . 6. 计算: (1) 0.09- 0.36+ 1-716. (2) 0.25+ 11125+ 0.49+ - 1 100 . 7. (2024·亳州段考)已知a+b=-5,ab=4, 则a ba+b a b 的值是 ( ) A. 4 B. -4 C. 2 D. -2 8. 在△ABC 中,已知AB=3+2,BC=3- 2,则AC 的长可以是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 答案讲解 9. 使等式 x+ y= 99成立的正整 数对(x,y)的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. (易错易混题)(2023·烟台莱山期末)已知 a<0,则1b ab 3-a ba= . 11. 是否存在正整数a,b(a>b),使其满足 a+b= 108? 若存在,请求出a,b 的 值;若不存在,请说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级下 11 第2课时 二次根式的混合运算 ▶ “答案与解析”见P4 1. (2024·济宁)下列运算中,正确的是 ( ) A. 2+3=5 B. 2×5= 10 C. 2÷2=1 D. (-5)2=-5 2. (2024·南昌段考)计算(5-2)2024(5+ 2)2023的结果是 ( ) A. 5+2 B. 5-2 C. 2023 D. 2024 3. (2023·安庆怀宁期中)设x,y都是负数,则 x-2xy+y可表示为 ( ) A. (x- y)2 B. (-x- -y)2 C. -(x+ y)2 D. -(-x+ -y)2 4. 有一个密码系统,其数学原理如图所示,当输 出y的值为3时,输入x的值为 . (第4题) 5. ★(2023·玉溪红塔期中)计算: (1) (3+7)(3-7)+ 92+1- 2 2 . (2) 3(6+3)-314÷7. 6. (2024·武威期中)若x 为实数,在(2+ 1)□x的“□”中添上一种运算符号(在“+” “-”“×”“÷”中选择)后,其运算的结果为有 理数,则x不可能是 ( ) A. 2+1 B. 2-1 C. 1-2 D. 22 7. (2023·成都武侯期中)已知x=1+5,则代 数式x2-2x-6的值为 ( ) A. -25-8 B. -10 C. -2 D. 25 8. (2023·保定容城一模)已知(2+3)2=5+ 2a,则a= . 9. 不等式2x-2<3x的解集是 . 10. 若代数式 7+5 7-5 的整数部分和小数部分 分别为a,b,则 b2+10b+a+28的值为 . 11. (2024·北京门头沟期中)计算: (1) 6×3-4 12+38 ÷22. (2) 48÷3- 12× 12+ (3-2)2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十六章　二次根式 12 12. (2024·武汉期中)已知x=12 (7+ 3), y= 1 2 (7-3),求下列各代数式的值: (1) x2+3xy+y2. (2) x y+ y x. 答案讲解 13. 阅读材料,并解答问题. 把形如a+b m 和a-b m(a,b 为有理数且b>0,m 为正整数且开 方开不尽,m 为最简二次根式)的两个实 数称为共轭实数. (1) 写 出 一 对 共 轭 实 数: 和 . (2) -25和25是共轭实数吗? 若是,请 指出a,b的值. (3) 若两个共轭实数的和为10,差的绝对值 为43,请求出这两个共轭实数. 答案讲解 14. (新定义)阅读材料,理解并运用材 料提供的方法解答问题. 我们将 a+b,a-b称为一对 “对偶式”.∵ (a+b)(a-b)=(a)2- (b)2=a-b,∴ 构造“对偶式”再将其相乘 可以有效地将 a+b和a-b中的“ ” 去 掉.例 如:3+3 3-3 = (3+3)(3+3) (3-3)(3+3) = (3+3)2 32-(3)2 =12+636 =2+3. 像这样,通过 分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化 去,叫做分母有理化. (1) 分母有理化 2+1 2-1 的值为 . (2) 如图,数轴上1,2对应的点分别为A, B,点B 关于点A 对称的点为C,设点C 表 示的数为x,求x+2x 的值. (第14题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级下