16.2 二次根式的乘除-【拔尖特训】2024-2025学年八年级下册数学（人教版）

∴ x+1x=-3. (2) x2+ 1(x-1)2-2x+3- 4 x-1= x2-2x+1+2+ 1(x-1)2- 4 x-1= x-1+ 1x-1 2 - 4x-1= x-1+ 1 x-1 - 4 x-1. 由(1),知x+1x=-3 , ∴ x<0. ∴ x-1<0,1x-1<0. ∴ 原式=1-x+ 11-x+ 4 1-x=1- x+ 51-x= (1-x)2+5 1-x = 1-2x+x2+5 1-x = x2-2x+6 1-x . ∵ x2+3x+1=0, ∴ x2=-3x-1. ∴ 原式=-3x-1-2x+61-x = 5-5x 1-x=5. 专题特训（一）　二次根式的 非负性应用 1. A 2. D 3. D 4. A [解析]由题意,得 c-2025≥0, 2025-c≥0, ∴ c=2025.∴ |2023- a|+(2024-b)2024-b=0.∴ 易 得2023-a=0,2024-b=0.∴ a= 2023,b = 2024.∴ c2-a2 b = 20252-20232 2024 =4. 5. 由题意,得 a2-1≥0, 1-a2≥0, a+1≠0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得a=1. ∴ b=12 ,c2=4. ∴ c=±4. 当c=4时,ab+c=92 ; 当c=-4时,ab+c=-72. 综上所述,ab+c的值为92 或-72. 6. 1 7. -3 [解析]∵ a2+ 2b+4- 2a+1=0,∴ (a-1)2+ 2b+4=0. ∵ (a-1)2≥0, 2b+4≥0,∴ a- 1=0,2b+4=0,解得a=1,b=-2. ∴ b-a=-2-1=-3. 8. 25 [解 析]∵ (a- 5)2 + b-5+|c- 5|=0,∴ 易得a- 5=0,b-5=0,c- 5=0.∴ a= 5,b=5,c=5.∴ abc=(5)2×5= 25. 9. C [解析]∵ -1<a<4,∴ 原 式= (a+1)2- (a-4)2=|a+ 1|-|a-4|=a+1+a-4=2a-3. 10. 由题意,得 x+y-2023≥0, 2023-x-y≥0, ∴ x+y=2023. ∴ 3x+y-z-8+ x+y-z=0. 又∵ 3x+y-z-8≥0, x+y-z≥0, ∴ 3x+y-z-8=0, x+y-z=0, x+y=2023, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x=4, y=2019, z=2023. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ (z-y)2=(2023-2019)2=16. 16.2　二次根式的乘除 第1课时 二次根式的乘法 1. D 2. A 3. 10 4. 21 5. -2≤x≤3 6. (1) 原式=206. (2) 原式=-53 30. 7. A [解析]∵ 90=3 10, 800=202, 180=65,∴ k= 3,m=2,n=5.∴ m<k<n. 8. A [解析] m= - 33 × (-2 21)=23 3×21= 2 3× 37=27= 28.∵ 25< 28< 36,∴ 5< 28<6,即5<m<6. 9. D [解析] ∵ x3y≥0,y<0, ∴ x≤0.∴ 原式=|x|· xy= -x xy. 10. > 比较两个二次根式大小的方法 (1) 转化成比较两个被开方数 的大小,即先将根号外的正因数平 方后移到根号内,再比较移后的被 开方数的大小,被开方数大的,其 算术平方根也大. (2) 先将正的两个二次根式分 别平方计算出结果,再比较大小. 依据是正数越大,其算术平方根也 越大. (3) 若两个二次根式外有负 号,则结论相反. 11. 43ab3 12. 43 13. (1) -56=- 25×6=- 150, -65=- 36×5=- 180. ∵ 150<180, ∴ 150< 180. ∴ - 150>- 180,即-5 6> -65. (2) (37)2=63,(45)2=80. ∵ 63<80, ∴ 37<45. ∴ 37+1<45+1. 14. (1) 5 524. (2) n+ nn2-1=n n n2-1 (n≥2). (3) ∵ n≥2, ∴ n+ nn2-1 = n3-n+n n2-1 = 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 n3 n2-1=n n n2-1. (4) 答案不唯一,如 6635=6 6 35. 15. ∵ 数较大,且有相同的部分, ∴ 设x=987654321. ∴ A= x(x+3)= x2+3x,B= (x+2)(x+1)= x2+3x+2. ∵ x2+3x<x2+3x+2, ∴ x2+3x< x2+3x+2. ∴ A<B. 第2课时 二次根式的除法 1. B 2. B 3. C 4. 15 3 5. (1) 当h=50时,t1= 50 5 = 10;当h=100时,t2= 100 5 = 20=25. (2) ∵ t2 t1= 25 10 =2, ∴ t2是t1的2倍. (3) 当t=2.5时, h5 =2.5 ,解得 h=31.25. ∴ 该物体下落的高度是31.25m. 6. C 7. C 8. C [解析] 1 3-5 = 3+5 (3-5)(3+5) =3+59-5= 3+5 4 , 故 ① 正 确.∵ F (x)= x, b F(4)-F(3)- c F(3)+F(4)=43+ 4,∴ b 2-3 - c 2+3 =43+4. ∴ (2+3)b-(2- 3)c=43+4. ∴ 2(b-c)+ 3(b+c)=43+4. ∵ b,c为有理数,∴ 2(b-c)=4, b+c=4, 解 得 b=3, c=1. ∴ b=3c.故 ② 正 确. ∵ F(43-m)-F(11-m)=4,即 43-m- 11-m=4, ∴ (43-m- 11-m)(43-m+ 11-m )= 4 × ( 43-m + 11-m),即43-m-(11-m)= 4 × ( 43-m + 11-m ). ∴ 43-m+ 11-m=32÷4=8. 即F(43-m)+F(11-m)=8.故③ 正确.综上所述,正确的是①②③,有 3个. 9. 43 3 10. 9 [解析] ∵ 最简二次根式 2a-43a+b 与 a-b 可 以 合 并, ∴ 2a-4=2,3a+b=a-b,解得a= 3,b= -3.∴ 2a-b=2×3- (-3)=9. 11. (1) 原式=57. (2) 原式=-9x2y xy. 二次根式的乘除混合运算的 注意点 (1) 运算顺序:如果没有括号, 那么从左向右依次进行运算;如果 有括号,那么先算括号里面的. (2) 运算结果:要求结果是最 简二次根式或整式. 12. (1) 两名同学的解法都正确. (2) ∵ 10= 707= 70 7 =ba , ∴ 4.9 = 4910 = 49×10 10×10 = 7 10 10= 7b 10a. 13. (1) 由题意,得m= 1 25 =15 , n=4=2, ∴ 数对(25,4)的一组“对称数对”为 1 5 ,2 与 2,15 . (2) 由题意,得m=1 3 = 33 ,n= y, ∵ 数对(3,y)的一组“对称数对”的两 个数对相同, ∴ m=n. ∴ 3 3= y. ∴ y= 1 3. (3) 由题意,得1 a = 3,b=33或 1 a =33,b=3, ∴ a=13 ,b=27或a=127 ,b=3. ∴ ab=9或ab=19. 16.3　二次根式的加减 第1课时 二次根式的加减 1. C 2. D 3. B 4. -32 5 5. ±1 6. (1) 原式=0.45. (2) 原式=2.5. 7. B 8. C [解析] 由题意,得AB-BC< AC<AB+BC,即 3+ 2-(3- 2)<AC< 3+ 2+ 3- 2. ∴ 22<AC<23.∵ 8<9<12, ∴ 22<3<23.∴ 四个选项中,只 有选项C符合题意. 9. B 10. 0 11. 存在. 由题意,得 a+b= 108=63, ∵ a,b是正整数,a>b, ∴ a>b. ∴ a=53,b= 3或 a=43, b=23. ∴ a=75,b=3或a=48,b=12. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 6 16.2　二次根式的乘除 第1课时 二次根式的乘法 ▶ “答案与解析”见P2 1. (2024·湖南)计算2×7的结果是 ( ) A. 27 B. 72 C. 14 D. 14 2. 设 2=a,3=b,用含a,b 的式子表示 0.54,则下列表示正确的是 ( ) A. 0.3ab B. 3ab C. 0.1ab2 D. 0.1a2b 3. (2024·天津)计算(11+1)(11-1)的结 果为 . 4. 若直角三角形的两条直角边的长分别为 6cm,14cm,则这个直角三角形的面积为 cm2. 5. 已知 (x-3)(-x-2)= 3-x· x+2, 则使等式成立的x的取值范围是 . 6. 计算: (1) 8× 15× 20. (2) -5 827× 1 1 4×3. 7. 已知k,m,n 都是整数,若 90=k· 10, 800=20 m,180=6n,则下列关于k, m,n大小关系的结论中,正确的是 ( ) A. m<k<n B. m=n<k C. m<n<k D. k<m=n 8. 已知m= - 33 ×(-221),则有 ( ) A. 5<m<6 B. 4<m<5 C. -5<m<-4 D. -6<m<-5 9. (易错易混题)(2024·嘉兴期末)化简二次根 式 x3y(y<0)的结果为 ( ) A. x x2y B. -x x2y C. x xy D. -x xy 10. ★比较大小:-33 -27(填“>” “<”或“=”). 11. (2023·眉山洪雅期末)化简:8ab× 6ab5= . 答案讲解 12. 将 一 组 数 3,6,3,23,15, 32,21,26,33,30,…, 78,9,2 21,87,310按如下 方式进行排列: 3,6,3,23,15, 32,21,26,33,30, … 78,9,221,87,310. 按这样的方式进行下去,将23所在的位置 记为(1,4),30所在的位置记为(2,5),则 在位置(4,1)上的数是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级下 7 13. (核心素养·类比思想)王老师在小结时总 结了这样一句话:“对于任意两个正整数a, b,如果a>b,那么 a>b.”然后讲解了如 下一道例题: 比较1 5200 与23的大小. 方法一:1 5 200= 1 25×200= 8 ,23= 4×3= 12. ∵ 8<12, ∴ 8< 12,即15200<23. 方法二:1 5200 2 =125×200=8 ,(23)2= 4×3=12. ∵ 8<12, ∴ 1 5200<23. 参考上面例题的解法,解答下列问题: (1) 比较-56与-65的大小. (2) 比较37+1与45+1的大小. 14. (2023·赣州期末)先来看一个有趣的现象: 223= 8 3= 22×2 3 =2 2 3. 这里根号 里的数“2”经过适当的演变,竟“跑”到了根 号的外面,我们不妨把这种现象称为“穿墙”, 具有这一性质的数还有许多,如:338= 3 38 ,4415=4 4 15 等. (1) 猜想:5524= . (2) 你能只用一个正整数n(n≥2)来表示 含有上述规律的等式吗? (3) 证明你找到的规律. (4) 请你另外再写出1个具有“穿墙”性质 的数. 答案讲解 15. 已知A= 987654321×987654324, B = 987654323×987654322, 试比较A 与B 的大小. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十六章　二次根式 8 第2课时 二次根式的除法 ▶ “答案与解析”见P3 1. (2024·重庆期末)下列式子中,是最简二次 根式的为 ( ) A. 1 2 B. 2 C. 4 D. 1 3 2. 下列各式中,计算正确的为 ( ) A. 27÷3=9 B. 48÷ 16=3 C. 20÷4=4 D. 4 3÷ 1 9=32 3. (2024·广州段考)如果 x1-x= x 1-x ,那 么x的取值范围是 ( ) A. x≥0 B. x<1 C. 0≤x<1 D. x≥0且x≠1 4. 已知x=3,y=4,z=5,则 yz÷ xy的结果 是 . 5. 高空抛物极其危险,是我们必须杜绝的行为. 据研究,高空抛出的物体下落的时间t(单位: s)和高度h(单位:m)近似满足t= h5 (不考 虑风速的影响). (1) 求从50m高空抛物到落地所需的时间 t1的值和从100m高空抛物到落地所需的时 间t2的值. (2) (1)中的t2是t1的多少倍? (3) 若从高空抛出的物体经过2.5s落地,则 该物体下落的高度是多少? 6. (2024· 宣 城 期 末)已知a= 1 2-3 ,b= 1 2+3 ,则a与b之间的数量关系是 ( ) A. a-b=0 B. a+b=0 C. ab=1 D. a2=b2 7. (2023·邢台期中改编)若某长方体的长为 26,宽为3,体积为24,则该长方体的高为 ( ) A. 21 B. 26 C. 22 D. 23 答案讲解 8. (2024·重庆九龙坡期末)若a,b为 正有理数,则有 a· a=a,(a+ b)(a-b)=a-b.令F(x)= x,有下列结论:① 1 3-5 =3+54 ;② 若 b F(4)-F(3)- c F(3)+F(4)=43+4 (其中 b,c为有理数),则b=3c;③ 若F(43-m)- F(11-m)=4,则F(43-m)+F(11-m)= 8.其中,正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 9. (2023·苏州期末)已知 a-3+ 2-b=0, 则1 a + 6 b = . 10. 若最简二次根式2a-43a+b与 a-b可以合 并,则2a-b= . 11. ★(2023·孝感云梦期末)计算: (1) 214÷328×5 2 2 7. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级下 9 (2) 2 y xy 5× -32x 3y ÷ 13 yx (x,y 均不为0). 12. (2023·信阳淮滨期中)老师在帮同学们复 习“二次根式”时,在黑板上写出一道题作为 练习: 已知7=a,70=b,用含a,b的代数式表 示 4.9. 小豪、小麦两名同学有不同的解法. 小豪:4.9= 4910= 49×10 10×10= 490 100= 7×70 10 = 7× 70 10 = ab 10. 小麦:4.9= 49×0.1=70.1. ∵ 0.1= 110= 7 70= 7 70 =ab , ∴ 4.9=70.1=7ab . 老师看完后,提出下列问题: (1) 两名同学的解法都正确吗? (2) 请你再给出一种不同于两人的解法. 答案讲解 13. (2023·聊城冠县期末)我们规定 用(a,b)表示一组数对,给出如下 定义:记m=1 a ,n=b(a>0,b> 0),将(m,n)与(n,m)称为数对(a,b)的一 组“对称数对”. 例如:数对(4,1)的一组“对称数对”为 1 2 ,1 与1,12 . (1) 求数对(25,4)的一组“对称数对”. (2) 若数对(3,y)的一组“对称数对”的两个 数对相同,求y的值. (3) 若数对(a,b)的一组“对称数对”的一个 数对是(3,33),求ab的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十六章　二次根式