16.1 二次根式&专题特训（一）二次根式的非负性应用-【拔尖特训】2024-2025学年八年级下册数学（人教版）

2 16.1　二次根式 第1课时 二次根式的定义 ▶ “答案与解析”见P1 1. (2024·武 威凉州段考)在式子 3,a+1 (a<-3),y2 (y>0),-2x(x<0)中,属 于二次根式的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. (2024·驻马店汝南期末)若a是任意实数, 则下列二次根式中,一定有意义的是 ( ) A. a B. a2+1C. 1 a2 D. a+3 3. (2023· 黄冈黄梅期中)若y= x-3+ 6-2x-4有意义,则点P(x,y)在 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. (2024·德州模拟)当x=1时,二次根式 10-x的值为 . 5. (2023·商丘柘城期中)已知x,y 为等腰三 角形的两条边长,且x,y 满足y= 2-x+ 3x-6+3,则 该 等 腰 三 角 形 的 周 长 为 . 6. 已知实数m,n满足等式m= 9+18n. (1) 当m=6时,求n的值. (2) 若m,n都是正整数,求n的最小值. 7. (2024·淮北期末)已知 3x-6+ 6-3x+ y=2024,则 2024xy的值为 ( ) A. 20243 B. 20242 C. 2024 D. 2025 8. 若y= 4-x2的最大值为m,最小值为n,则 m+n= . 9. (2024·常德期末)若 4x6-|x| 有意义,则x 的 取值范围是 . 答案讲解 10. (2023·南通期中)若实数a,b在 数轴上对应点的位置如图所示,且 满足 a+4+|b-2|=b-2,b为 整数,则a+b的值为 . (第10题) 11. ★已知2x-4与3x-1是a 的平方根, b-3与|c+2|互为相反数,d= e-2+ 2-e-3有意义.求a+b+c+d+e的平 方根. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级下 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋注:标“★”的题目设有“方法归纳”或“易错警示”,详见“答案与解析”. 第十六章　二次根式 3 第2课时 二次根式的性质 ▶ “答案与解析”见P1 1. (2024·洛阳期中)下列计算中,正确的是 ( ) A. (-3)2=-3 B. 81=±9 C. - 25=-5 D. -7=-7 2. (2023·莆田期中)已知n是正整数,28n是 整数,则n的最小值是 ( ) A. 0 B. 2 C. 3 D. 7 3. 如果 (a-2)2=2-a,那么a的取值范围是 ( ) A. a<2 B. a≤2 C. a>2 D. a≥2 4. (2023·荆门期中)已知 a2=1,(- 2)2= b,则 (a+b)2的值为 ( ) A. 1 B. 3 C. 1或3 D. -1或-3 5. (2024·芜湖期中)如果一个三角形的三边长 分别为3,a,7,那么 (a-4)2- (a-11)2 化简后的结果为 . 6. (易错易混题)如果 x3+3x2=x x+3,那 么x的取值范围是 . 7. 有这样一道题:“化简:a+ a2-2a+1.”甲 同学给出如下解答过程:a+ a2-2a+1= a+ (a-1)2=a+a-1=2a-1.甲同学的 解答过程是否正确? 若不正确,请你写出正 确的解答过程. 8. (2024·汕头期中)若x,y 为实数,且y< 2-x+ x-2+3,则 化 简|3-y|- y2-8y+16的结果是 ( ) A. -3 B. 1 C. -11 D. -1 9. (2024·临沂期中)若实数x 满足|x-3|+ x2+8x+16=7,则 化 简 2|x+4|- (2x-6)2的结果是 . 10. (2023· 南 充 一 模)化 简:(3-a)2+ (a-3)2= . 11. 若(a)2=5,b2= (-2)2,则a+b的值 为 . 12. 计算: (1) 52-(-6)2. (2) 2×8- (-3)2+3 -13 2 . (3) (-1)101+(π-3)0+ 12 -1 - (1-2)2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十六章　二次根式 4 13. ★已知a,b,c 是△ABC 的三边长,化简: (a+b+c)2- (b+c-a)2+ (c-b-a)2. 14. 阅读材料,解答问题. 化简:(1-3x)2-|1-x|. 解:由隐含条件1-3x≥0,得x≤13 , ∴ 1-x>0. ∴ 原式=(1-3x)-(1-x)=1-3x-1+ x=-2x. 按照材料中的解法,试化简: (x-3)2- (2-x)2. 答案讲解 15. 若实数a,b 满足 a2-2a+1+ 25-10a+a2 =10-|b+4|- |b-2|,则a2+b2 的最大值为 . 答案讲解 16. 已知x 为实数且x2+3x+1= 0.求: (1) x+1x 的值. (2) x2+ 1(x-1)2-2x+3- 4 x-1 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级下 5 　　　　专题特训（一）　二次根式的非负性应用 ▶ “答案与解析”见P2 类型一 利用被开方数的非负性求解 1. (2024·潍坊期末)若 -2m+4有意义,则m 的取值范围是 ( ) A. m≤2 B. m≠2 C. m≥2 D. m>2 2. (2024·聊城期末)若y= x-5+ 5-x+ 3,则xy的值为 ( ) A. -15 B. -9 C. 9 D. 15 3. (2023·六盘水钟山期末)若a满足|2023- a|+ a-2024=a,则a-20232的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2023 D. 2024 答案讲解 4. (2024· 南 充 期 末)若a,b 满足 |2023-a|-(b-2024)2024-b= c-2025+ 2025-c,则c 2-a2 b 的值为 ( ) A. 4 B. 8 C. 2024 D. 4048 5. (2024·武威期中)若a,b 为实数,且b= a2-1+ 1-a2+a a+1 ,c2=a+3,求ab+c 的值. 类型二 根据二次根式的值的非负性求解 6. (2024· 宜 春 期 末)如果|a+b+1|+ a-2b+4=0,那么(a+b)2024 的值为 . 答案讲解 7. (2023·哈尔滨期末)若实数a,b满 足a2+ 2b+4-2a+1=0,则b-a 的值为 . 8. (2024·福州期中)若实数a,b,c满足(a- 5)2+ b-5+|c- 5|=0,则abc的值为 . 类型三 在代数式求值中的应用 9. (2024·无锡宜兴段考)已知-1<a<4,则化 简 1+2a+a2- a2-8a+16的结果是 ( ) A. -3 B. 3 C. 2a-3 D. 3-2a 10. 已 知 3x+y-z-8 + x+y-z = x+y-2023+ 2023-x-y,求(z-y)2 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十六章　二次根式 第十六章　二次根式 16.1　二次根式 第1课时 二次根式的定义 1. C 2. B 3. D 4. 3 5. 7或8 [解析]要使y= 2-x+ 3x-6+3有意义,则2-x≥0且 3x-6≥0,解得x=2.∴ y=3.当等 腰三角形的三边长为2,2,3时,符合 三角形的三边关系,此时三角形的周 长为2+2+3=7;当等腰三角形的三 边长为2,3,3时,符合三角形的三边 关系,此时三角形的周长为2+3+ 3=8.综上所述,该等腰三角形的周长 为7或8. 6. (1) ∵ m= 9+18n=6, ∴ 9+18n=36,解得n=1.5. (2) ∵ 正整数 m,n 满足等式m= 9+18n= 9(1+2n), ∴ 易得当1+2n=9时,m,n都是正 整数,此时n 最小,即n 的最小值 为4. 7. B [解析]根据题意,易得x=2, y=2024,∴ 2024xy= 2024×2×2024=20242. 8. 2 9. x≥0且x≠6. 10. -2 [解析]由题图,可知a< b<6.∵ a+4+|b-2|=b-2, ∴ 易知a+4≥0,b-2≥0.∴ a≥ -4,b≥2.∵ b<6,∴ 2≤b<6.又 ∵ b为整数,∴ b=2.将b=2代入 a+4+|b-2|=b-2,解得a= -4.∴ a+b=-4+2=-2. 11. 由题意,得2x-4+3x-1=0或 2x-4=3x-1,b-3+|c+2|=0. ∴ x=1或x=-3,b=3,c=-2. ∴ 3x-1=2或3x-1=-10. ∴ a=4或a=100. ∵ d= e-2+ 2-e-3有意义, ∴ e-2≥0,2-e≥0. ∴ e=2. ∴ d=-3. ∴ a+b+c+d+e=4+3+(-2)+ (-3)+2=4或a+b+c+d+e= 100+3+(-2)+(-3)+2=100. ∴ a+b+c+d+e的平方根是±2或 ±10. 二次根式有意义的条件 若二次根式有意义,则被开方 数为非负数;若二次根式无意义, 则被开方数为负数.当所给式子为 单个二次根式时,列出不等式求 解;当所给式子为复合形式的式子 时,列出不等式组求解.形如 a+ -a有意义,则a=0. 第2课时 二次根式的性质 1. C 2. D 3. B 4. C 5. 2a-15 6. x≥0 [解析]∵ x3+3x2 = x x+3,∴ x≥0,x+3≥0,解得 x≥0. 7. 不正确. a+ a2-2a+1=a+ (a-1)2= a+|a-1|. 当a≥1时,原式=a+a-1=2a-1; 当a<1时,原式=a+1-a=1. 8. D 9. 4x+2 [解析] ∵ |x-3|+ x2+8x+16=7,∴ |x-3|+ |x+4|=7.∴ 易得-4≤x≤3. ∴ 2|x+4|- (2x-6)2=2(x+ 4)-|2x-6|=2(x+4)-(6-2x)= 4x+2. 10. 6-2a [解析]∵ 3-a有意 义,∴ 3-a≥0,即a≤3.∴ 原式= 3-a+|a-3|=3-a+3-a= 6-2a. 11. 3或7 [解析]∵ (a)2=5, ∴ a=5.∵ b2= (-2)2= 4= 2,b2=|b|,∴ |b|=2.∴ b=±2. 当a=5,b=-2时,a+b=3;当a= 5,b=2时,a+b=7.综上所述,a+b 的值为3或7. 12. (1) 原式=-1. (2) 原式=2. (3) 原式=3-2. 13. ∵ a,b,c是△ABC的三边长, ∴ a+b+c>0,b+c>a,b+a>c. ∴ 原式=|a+b+c|-|b+c-a|+ |c-(b+a)|=a+b+c-(b+c- a)+(b+a-c)=a+b+c-b-c+ a+b+a-c=3a+b-c. 运用 a2=|a|的注意点 运用 a2=|a|进行化简时, 其关键步骤是去绝对值符号,而去 绝对值符号的关键是判断绝对值 符号内的代数式的符号,因此一定 要先结合具体问题确定其符号,再 进行化简. 14. 由隐含条件2-x≥0,得x≤2, ∴ x-3<0. ∴ 原式=|x-3|-(2-x)=-(x- 3)-2+x=-x+3-2+x=1. 15. 41 [解析]∵ a2-2a+1+ 25-10a+a2=10-|b+4|-|b- 2|,∴ |a-1|+|a-5|=10-|b+ 4|-|b-2|.∴ |a-1|+|a-5|+ |b+4|+|b-2|=10.∵ 易知|a- 1|+|a-5|≥4,|b+4|+|b-2|≥6, ∴ |a-1|+|a-5|=4,|b+4|+|b- 2|=6.∴ 1≤a≤5,-4≤b≤2. ∴ a2+b2 的 最 大 值 为 52 + (-4)2=41. 16. (1) ∵ x2+3x+1=0, ∴ x≠0. ∴ x+3+1x=0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1 ∴ x+1x=-3. (2) x2+ 1(x-1)2-2x+3- 4 x-1= x2-2x+1+2+ 1(x-1)2- 4 x-1= x-1+ 1x-1 2 - 4x-1= x-1+ 1 x-1 - 4 x-1. 由(1),知x+1x=-3 , ∴ x<0. ∴ x-1<0,1x-1<0. ∴ 原式=1-x+ 11-x+ 4 1-x=1- x+ 51-x= (1-x)2+5 1-x = 1-2x+x2+5 1-x = x2-2x+6 1-x . ∵ x2+3x+1=0, ∴ x2=-3x-1. ∴ 原式=-3x-1-2x+61-x = 5-5x 1-x=5. 专题特训（一）　二次根式的 非负性应用 1. A 2. D 3. D 4. A [解析]由题意,得 c-2025≥0, 2025-c≥0, ∴ c=2025.∴ |2023- a|+(2024-b)2024-b=0.∴ 易 得2023-a=0,2024-b=0.∴ a= 2023,b = 2024.∴ c2-a2 b = 20252-20232 2024 =4. 5. 由题意,得 a2-1≥0, 1-a2≥0, a+1≠0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得a=1. ∴ b=12 ,c2=4. ∴ c=±4. 当c=4时,ab+c=92 ; 当c=-4时,ab+c=-72. 综上所述,ab+c的值为92 或-72. 6. 1 7. -3 [解析]∵ a2+ 2b+4- 2a+1=0,∴ (a-1)2+ 2b+4=0. ∵ (a-1)2≥0, 2b+4≥0,∴ a- 1=0,2b+4=0,解得a=1,b=-2. ∴ b-a=-2-1=-3. 8. 25 [解 析]∵ (a- 5)2 + b-5+|c- 5|=0,∴ 易得a- 5=0,b-5=0,c- 5=0.∴ a= 5,b=5,c=5.∴ abc=(5)2×5= 25. 9. C [解析]∵ -1<a<4,∴ 原 式= (a+1)2- (a-4)2=|a+ 1|-|a-4|=a+1+a-4=2a-3. 10. 由题意,得 x+y-2023≥0, 2023-x-y≥0, ∴ x+y=2023. ∴ 3x+y-z-8+ x+y-z=0. 又∵ 3x+y-z-8≥0, x+y-z≥0, ∴ 3x+y-z-8=0, x+y-z=0, x+y=2023, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x=4, y=2019, z=2023. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ (z-y)2=(2023-2019)2=16. 16.2　二次根式的乘除 第1课时 二次根式的乘法 1. D 2. A 3. 10 4. 21 5. -2≤x≤3 6. (1) 原式=206. (2) 原式=-53 30. 7. A [解析]∵ 90=3 10, 800=202, 180=65,∴ k= 3,m=2,n=5.∴ m<k<n. 8. A [解析] m= - 33 × (-2 21)=23 3×21= 2 3× 37=27= 28.∵ 25< 28< 36,∴ 5< 28<6,即5<m<6. 9. D [解析] ∵ x3y≥0,y<0, ∴ x≤0.∴ 原式=|x|· xy= -x xy. 10. > 比较两个二次根式大小的方法 (1) 转化成比较两个被开方数 的大小,即先将根号外的正因数平 方后移到根号内,再比较移后的被 开方数的大小,被开方数大的,其 算术平方根也大. (2) 先将正的两个二次根式分 别平方计算出结果,再比较大小. 依据是正数越大,其算术平方根也 越大. (3) 若两个二次根式外有负 号,则结论相反. 11. 43ab3 12. 43 13. (1) -56=- 25×6=- 150, -65=- 36×5=- 180. ∵ 150<180, ∴ 150< 180. ∴ - 150>- 180,即-5 6> -65. (2) (37)2=63,(45)2=80. ∵ 63<80, ∴ 37<45. ∴ 37+1<45+1. 14. (1) 5 524. (2) n+ nn2-1=n n n2-1 (n≥2). (3) ∵ n≥2, ∴ n+ nn2-1 = n3-n+n n2-1 = 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2