精品解析：山东省临沂市郯城县美澳学校等2024-2025学年高一下学期3月质量监测联考数学试题

高一质量监测联考 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第五章，必修第二册到6.3节平面向量基本定理及坐标表示. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题中，正确的是（ ） A. 实数可以比较大小，向量也可以比较大小 B. 起点相同的单位向量，终点必相同 C. 长度相等但方向相反的两个向量不一定共线 D. 若向量与不共线，则与都是非零向量 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量定义即可判断A；根据单位向量的定义即可判断B；根据共线向量的定义即可判断CD. 【详解】对于A，向量是既有大小又有方向的量，故向量不能比较大小，故A错误； 对于B，因为单位向量的方向不确定，故B错误； 对于C，方向相反的两个向量一定共线，故C错误； 对于D，因为零向量与任意向量共线，故D正确. 故选：D. 2. 已知且，函数的图象恒过点，若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象恒过点，求出点坐标，利用的定义求值即可. 【详解】函数的图象恒过点，令，解得：，则. 点的坐标为； 角的终边经过点， . 故选：B. 3. 已知平面向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据向量加减法计算得出，应用数量积公式计算判断A，应用平行坐标表示判断B，应用夹角公式计算判断C，根据模长公式计算判断D. 【详解】因平面向量，满足，，则， 对于A：，所以A错误； 对于B：因为，，则，B选项错误； 对于C：，所以，C选项正确； 对于D：，所以，D选项错误. 故选：C. 4. 已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递减 C. 曲线关于点对称 D 曲线关于直线对称 【答案】C 【解析】 【分析】首先由降幂公式即可得出，根据余弦函数的周期性，单调性及对称性即可得出判断． 【详解】， 对于A，，故A正确； 对于B，当时，， 因为在单调递减，所以在上单调递减，故B正确； 对于C，，不是曲线的对称中心，故C错误； 对于D，因为，是函数的最小值，故曲线关于直线对称，D正确； 故选：C． 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，结合诱导公式即可求解. 【详解】因为，所以， 故选：A 6. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的所有取值之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将函数化简可得，将向左平移后函数变为，再结合正弦函数的对称性可得的取值 【详解】因为, 所以将向左平移后函数变为, 由的图象关于轴对称，所以, 则，且因为, 所以的可能取值有与，所以的所有取值之和为 故答案为：D 7. 已知非零向量，的夹角为，现定义一种新运算：.若在上的投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由在上的投影向量为，结合，求得，再由可得，求解即可. 【详解】在上的投影向量为， 而，所以， 所以，故， 因为，所以，即， 所以，， 所以，所以， ， 故选：A. 8. 若函数在区间上有且仅有6个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的范围求出的范围，结合正弦函数的性质列出不等式即可得结果. 【详解】因为，设，则， 因为函数在区间上有且仅有6个零点， 由图知，，解得， 即的取值范围是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 终边所在射线方向相反的两个角相差 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 C. 终边落在直线上的角的集合是 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据终边所在射线方向相反的两个角的关系即可判断A；根据扇形弧长及面积的公式即可判断B；根据终边落在直线上的角的集合判断C；根据三角函数在各象限内的符号即可判断D． 【详解】对于A，终边所在射线方向相反的两个角相差，故A正确； 对于B，设扇形的圆心角为，由扇形弧长公式得，解得， 所以扇形面积，故B正确； 对于C，终边落在直线上的角的集合是，故C错误； 对于D，因为，，所以， 所以，故D正确； 故选：ABD． 10. 《命运交响曲》是被尊称为“乐圣”的音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如果以时间为横轴，音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，若这些点在函数的图象上，且图象过最高点，相邻最大值点与最小值点之间的水平距离为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，的值域为 C. 在区间上单调递增 D. 将的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题设描述的正弦型函数的性质求解析式，再结合正弦函数的性质求区间值域和区间单调性判断A、B、C；根据图象平移写出解析式，应用代入法判断对称中心确定D的正误. 【详解】由题设，函数的周期满足：，解得， 且，， 即，，因，则， 所以. 对于A，，故A正确； 对于B，由可得，故，故B错误； 对于C，由可得，结合正弦函数的性质知在上单调递增，故C正确； 对于D，将的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，即得， 因，即得到的函数图象不关于点对称，故D错误. 故选：AC 11. 对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称、中心对称都能给人以美感.已知是以为斜边的等腰直角三角形，，分别以，为直径作两个半圆，得到如图所示的几何图形，是两个半圆弧上的动点，则的值可能是（ ） A. B. 1 C. 8 D. 18 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意建立标系，利用平面向量数量积的坐标表示，可得.答案 【详解】取线段的中点为，连接， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立直角坐标系，如下图： 则，，， 由图易知， 可得，， ， 易知. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知满足，则的形状一定是______.（在正三角形，等腰三角形、直角三角形、钝角三角形中选择一个正确的填入） 【答案】等腰三角形 【解析】 【分析】根据题意结合向量的数量积运算律整理可得，进而分析判定. 【详解】由题意可知： ， 因为，，可知， 则，所以一定是等腰三角形（没有充分条件判定为正三角形）. 故答案为：等腰三角形. 13. 若，则______. 【答案】－1 【解析】 【分析】利用诱导公式对进行化简，再利用三角恒等变换公式对进行化简即可得到答案. 【详解】由得，即， 所以 . 故答案为：. 14. 已知函数，若，且，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出该函数的对称中心，再由三角函数的图象与性质即可求解. 【详解】因为且，不妨设，， 由得， 当时，，当时，， 所以函数的图象关于与对称， 所以当时，取得最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知锐角的终边与单位圆相交于点. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据单位圆求得，根据三角函数的定义以及诱导公式可求解. （2）利用同角三角函数的基本关系式化简已知条件，结合两角差的正弦公式即可求解. 【小问1详解】 由题意可得， 即， 因为是锐角，所以，则， 所以，， 所以，，， 所以. 【小问2详解】 由，得，通分得到， 所以，即， 又因为，所以. 16. 已知向量，，且. （1）若，求值； （2）若，求值； （3）求与的夹角的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直的坐标运算，结合辅助角公式，即可求出结果； （2）利用向量平行的坐标运算，结合辅助角公式，即可求出结果； （3）利用坐标运算表示出向量夹角的余弦值，并得到夹角范围，利用换元法以及基本不等式即可求出结果. 【小问1详解】 由题知，因为， 所以， 所以，， 又，则. 【小问2详解】 因为， 所以， 所以，， 又，则. 【小问3详解】 由，， 且， 又， 所以， 所以， 因为，所以，， 令，则，， 令，，则， 所以， 当且仅当，即，，或时，等号成立， 所以角的最大值为. 17. 某景区每年各个月接待游客的人数近似满足周期性规律，假设一年中第个月的游客人数可以近似用函数，来表示，其中，，…，12.已知该景区每年4月游客最少，有2000人，每年游客最多时有8000人. （1）求表达式； （2）当该景区的旅游人数不少于6500时，该景区进入了一年中的“旅游旺季”，则该景区一年中进入“旅游旺季”的月份有几个月？ 【答案】（1）且； （2）5个月. 【解析】 【分析】（1）根据题设可得，解之即得函数解析式； （2）由，结合余弦型函数的单调性及周期性求的范围，即可得结果. 【小问1详解】 依题意，，即且，，解得， 故且； 【小问2详解】 令，则， 所以，则， 由，故有，即， 所以该景区一年中进入“旅游旺季”有5个月. 18. 如图，在等腰梯形中，，，是边上一点（含端点），设. （1）若，与交于点，，求的值； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三点共线，结合平面向量基本定理可得，再由三点共线，结合题意可得，结合可得答案； （2）由（1）可得关于的表达式，然后由题可得，进而可得，即可得答案. 【小问1详解】 因三点共线，则， 化简后可得，又， 由平面向量基本定理，可得. 又在等腰梯形中，可得. 又，则，则. 又，则， 又三点共线，则，由平面向量基本定理可得： ，则，， 故； 【小问2详解】 由题可得， 由（1）可得， 由图可得，如图过D，C作AB垂线，垂足分别为G，H. 因，又四边形ABCD为等腰梯形，则， 结合，可得. 则，， 则 ， 结合，可得. 19. 若定义域为的函数满足对于任意的，恒成立，则称为“线性对称函数”. （1）判断函数，是否为“线性对称函数”. （2）若是“线性对称函数”，证明：. （3）已知函数，判断是否存在，，使得是“线性对称函数”.若存在，求出，的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1）答案见解析； （2）证明见解析； （3）存在，，使函数是“线性对称函数”. 【解析】 【分析】（1）由线性对称函数的定义判断即可； （2）由线性对称函数的定义赋值证明即可； （3）由（2）可知，故，从而求得，若，不妨设，由，，，只要充分大时，将大于1，故，从而求得. 【小问1详解】 ，所以，， 所以，故为“线性对称函数”， ，，， 所以，故不是“线性对称函数”. 【小问2详解】 证明：若是“线性对称函数”，则， 令，则，所以. 【小问3详解】 存在使是“线性对称函数”，理由如下： 由（2）可知，故，由于， 所以，故， 若，不妨设， 由，，， 只要充分大时，将大于1， 而的值域为，故等式不可能成立， 所以必有成立，即， 因为，所以，所以， 则，此时， 则，而， 即有成立， 所以存在，，使函数“线性对称函数”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一质量监测联考 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第五章，必修第二册到6.3节平面向量基本定理及坐标表示. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题中，正确的是（ ） A. 实数可以比较大小，向量也可以比较大小 B. 起点相同的单位向量，终点必相同 C. 长度相等但方向相反的两个向量不一定共线 D. 若向量与不共线，则与都是非零向量 2. 已知且，函数的图象恒过点，若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递减 C. 曲线关于点对称 D 曲线关于直线对称 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的所有取值之和为（ ） A. B. C. D. 7. 已知非零向量，夹角为，现定义一种新运算：.若在上的投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在区间上有且仅有6个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 终边所在射线方向相反的两个角相差 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 C. 终边落在直线上的角的集合是 D. 10. 《命运交响曲》是被尊称为“乐圣”的音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如果以时间为横轴，音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，若这些点在函数的图象上，且图象过最高点，相邻最大值点与最小值点之间的水平距离为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，的值域为 C. 在区间上单调递增 D. 将的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 11. 对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称、中心对称都能给人以美感.已知是以为斜边的等腰直角三角形，，分别以，为直径作两个半圆，得到如图所示的几何图形，是两个半圆弧上的动点，则的值可能是（ ） A B. 1 C. 8 D. 18 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知满足，则的形状一定是______.（在正三角形，等腰三角形、直角三角形、钝角三角形中选择一个正确的填入） 13 若，则______. 14. 已知函数，若，且，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知锐角的终边与单位圆相交于点. （1）求的值； （2）若，求的值. 16. 已知向量，，且. （1）若，求值； （2）若，求值； （3）求与的夹角的最大值. 17. 某景区每年各个月接待游客的人数近似满足周期性规律，假设一年中第个月的游客人数可以近似用函数，来表示，其中，，…，12.已知该景区每年4月游客最少，有2000人，每年游客最多时有8000人. （1）求的表达式； （2）当该景区的旅游人数不少于6500时，该景区进入了一年中的“旅游旺季”，则该景区一年中进入“旅游旺季”的月份有几个月？ 18. 如图，在等腰梯形中，，，是边上一点（含端点），设. （1）若，与交于点，，求的值； （2）求的取值范围. 19. 若定义域为函数满足对于任意的，恒成立，则称为“线性对称函数”. （1）判断函数，是否为“线性对称函数”. （2）若是“线性对称函数”，证明：. （3）已知函数，判断是否存在，，使得是“线性对称函数”.若存在，求出，的值，若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $