易错点07 应用万有引力定律估算天体质量和密度 讲义 -2024-2025学年高一下学期物理人教版（2019）必修第二册复习易错微专题讲练

易错点07 应用万有引力定律估算天体质量和密度 一、易错点分析 1、模型构建与公式选择 易错点：不能准确判断天体运动模型，选错公式。例如，将卫星椭圆轨道运动误当作匀速圆周运动处理，直接使用适用于匀速圆周运动的公式。 2、隐含条件挖掘 易错点：忽略题目中的隐含条件，如地球表面重力加速度g、天体半径R与轨道半径r的关系等。 在一些问题中，会隐含地球表面重力加速度g与万有引力的关系，即mg＝G（R为地球半径），可由此得出GM = gR2，这是一个常用的结论。 二、万有引力定律 F＝G，式中G为引力常量，在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力。引力常量由英国物理学家卡文迪什在实验室中比较准确地测出。 测定G值的意义：①引力常量的普适性成了万有引力定律正确性的有力证据；②使万有引力定律有了真正的实用价值。 （1）．万有引力的特点 普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力 相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上 宏观性 地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用 （2）应用万有引力定律的注意事项 在以下三种情况下可以直接使用公式F＝G计算： ①求两个质点间的万有引力：当两物体间距离远大于物体本身大小时，物体可看成质点，公式中的r表示两质点间的距离。 ②求两个质量分布均匀的球体间的万有引力：公式中的r为两个球心间的距离。 ③一个质量分布均匀球体与球外一个质点间的万有引力：r指质点到球心的距离。 (3)对于两个不能看成质点的物体间的万有引力，不能直接用万有引力公式求解，切不可依据F＝G得出r→0时F→∞的结论，违背公式的物理含义。 (4)在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0. 三、万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果： 一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向． 地面上物体的重力随纬度的升高而变大。 在南北两极和赤道上重力和引力的方向是一致的。在地球两极处重力就是引力，在赤道上，重力和引力不等，但在一条直线上。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R. (2)在两极上：G＝mg0. (3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和． 越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg. （3）重力与高度的关系 由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为在地面附近：mg＝G。若距离地面的高度为h，则mg′＝G(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度)，可得g′＝＝g，所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小。 .所以＝. 四、天体质量、密度的计算 使用方法 已知量 利用公式 表达式 备注 质量的计算 　 利用运行天体 r、T G＝mr M＝ 只能得到中心天体的质量 r、v G＝m M＝ v、T G＝m G＝mr M＝ 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ M＝ 密度的计算 利用运行天体 r、T、R G＝mr M＝ρ·πR3 ρ＝ 当r＝R时ρ＝ 利用近地卫星只需测出其运行周期 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ M＝ρ·πR3 ρ＝ 五、估算天体质量、密度时的注意事项与易错点 (1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。 (2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近运动的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。 (3)在考虑中心天体自转问题时，只有在两极处才有＝mg。 题型一、利用运行天体 [例题1] （2025•青白江区模拟）2024年10日21时50分，中国在西昌卫星发射中心成功将卫星互联网高轨星03星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。已知高轨卫星03星绕地球近似做圆周运动，卫星距离地面高度为h，环绕周期为T，已知引力常量为G，地球半径为R。则下列说法正确的是（　　） A．03星运行的线速度大于7.9km/s B．03星运行的线速度大小为 C．地球的质量为 D．地球的密度为 [例题2] （2025•黔南州二模）现已发现海王星共有14颗卫星，其中有一颗卫星（海卫四）绕海王星做匀速圆周运动的轨道半径近似认为是海王星半径的两倍，其周期为T，把海王星看作是质量均匀分布的球体，引力常量为G，则海王星的密度可表示为（　　） A． B． C． D． [例题3] （2025•合肥模拟）2024年11月3日，神舟十八号载人飞船与空间站组合体成功分离，航天员叶光富、李聪、李广苏踏上回家之旅。空间站组合体距离地面的高度为h，运动周期为T，绕地球的运动可视为匀速圆周运动。已知万有引力常量为G，地球半径为R，根据以上信息可知（　　） A．悬浮在空间站内的物体，不受力的作用 B．地球的质量 C．地球的密度 D．神舟十八号飞船与空间站组合体分离后做离心运动 题型二、利用天体表面重力加速度 [例题4] （2025•泉州开学）宇宙中有数万亿个星系，每个星系包含数百万到数千亿颗恒星，某星系中有一颗质量分布均匀的行星，其半径为R，将一质量为m的物块悬挂在弹簧测力计上，在该行星极地表面静止时，弹簧测力计的示数为F；在赤道表面静止时，弹簧测力计的示数为F。已知引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．该行星的密度为 B．该行星的质量为 C．该行星赤道处的重力加速度为 D．该行星的自转周期为 [例题5] （多选）（2025•日照一模）将一质量为m的物体放在地球赤道上时，该物体的重力为mg0；将该物体放在地球的北极点时，该物体的重力为mg。地球可视为质量分布均匀的球体，地球的半径为R。已知引力常量为G，下列判断正确的是（　　） A．地球的质量为 B．地球的自转周期为 C．地球的平均密度为 D．地球同步卫星的高度为 [例题6] （2024春•和平区校级期中）由于地球有自转，所以在地球表面不同的纬度上重力加速度数值一般不同，纬度越高则重力加速度越大。假设地球可视为质量均匀分布的规则球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0、在赤道的大小为g，地球自转周期为T，则地球半径可表示为（　　） A． B． C． D． [练习1] （2024•辽宁学业考试）地球绕太阳运行可视为匀速圆周运动，已知地球公转周期为T，地球到太阳距离为r，太阳的半径为R，引力常量为G。则太阳密度的表达式为（　　） A． B． C． D． [练习2] （2024•城中区校级模拟）如图所示，人造卫星P（可视为质点）绕地球做匀速圆周运动。在卫星运动轨道平面内，过卫星P作地球的两条切线，两条切线的夹角为θ＝60°，若卫星P绕地球运动的周期为T，引力常量为G。则地球的密度为（　　） A． B． C． D． [练习3] （2024•中原区一模）4月10日，包括中国在内，全球多地天文学家同步公布人类史上首张黑洞照片，照片中是室女座巨椭圆星系M87的黑洞照片，这是黑洞存在最直接的视觉证据。黑洞的发现是由全球200多位科学家，历时十年，从全球四大洲8个观测点共同合作完成的成果，这也表明当今世界合作才会共赢，单边主义只会越走越窄。黑洞是一个非常致密的天体，会形成强大的引力场，连光也无法逃脱，根据天体物理学知识，物体从某天体上的逃逸速度为其环绕速度的倍，引力常量G＝6.67×10﹣11N•m2•kg﹣2，光速c＝3×108m/s，已知某“黑洞”的半径为5×108m。则该“黑洞”的质量为（结果保留两位有效数字）（　　） A．3.4×1034kg B．3.4×1035kg C．4.3×1034kg D．4.3×1035kg [练习4] （2024•辽宁模拟）嫦娥七号探测器将于2026年前后发射，准备在月球南极登陆。假设嫦娥七号探测器在登陆月球之前环绕月球表面做匀速圆周运动，如图所示。已知嫦娥七号的运动周期为T1，轨道半径约等于月球球体的半径，月球绕地球近似做匀速圆周运动的周期为T2，轨道半径为月球球体半径的k倍，引力常量为G。根据题中所给信息，下列说法正确的是（　　） A．可以估测地球的质量 B．可以估测月球的密度 C．周期T2与周期T1满足k3 D．地球的质量与月球的质量之比等于 [练习5] （2024秋•双城区校级期中）中国计划在2030年前实现载人登月。一宇航员在地球的表面上以一定的速度竖直跳起，能跳到的最大高度为h1，若他在另一星球a的表面上以相同的速度竖直跳起，能跳到的最大高度为h2。地球、星球a均视为球体，地球与星球a的半径之比为k，不考虑两星球自转的影响，则地球与星球a的平均密度之比为（　　） A． B． C． D． [练习6] （2024•海南）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（　　） A． B． C． D． [练习7] （2024秋•九龙坡区校级期中）二十四节气的命名反映了季节、物候现象和气候变化，节气早在《淮南子》中就有记载。地球沿椭圆轨道绕太阳运行时，所处不同位置对应的中国节气如图所示（2025年），太阳在椭圆的一个焦点上，下列说法正确的是（　　） A．地球在夏至运行速度最小，在冬至运行速度最大 B．地球在夏至和冬至绕太阳公转时，相同时间内转过的角度相等 C．地球绕太阳公转到夏至时加速度最大 D．根据地球的公转周期和太阳与地球之间的距离可估算出地球的质量 [练习8] （2024秋•武邑县校级月考）如图甲所示，一颗绕月球做匀速圆周运动的卫星，动量的大小为p，与月面的距离为h，此卫星对月球的张角为 60°；如图乙所示，一颗绕火星做匀速圆周运动的探测器，动能为Ek此探测器对火星的张角也为60°，已知月球的第一宇宙速度为v0，火星的质量为m0，火星的半径为R0，万有引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．月球的半径为1.5h B．卫星的动能为 C．探测器的质量为 D．探测器受到的万有引力为 [练习9] （2024秋•辽宁月考）与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，已知地球的公转半径为R，公转周期为T，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．小行星甲与太阳的连线和小行星乙与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等 B．小行星乙在远日点的加速度大小等于地球公转的加速度大小 C．小行星甲的公转周期为 D．太阳的密度为 [练习10] （2024春•沙坪坝区校级期中）“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，周期为T，速度大小为v。已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响，下列选项正确的是（　　） A．月球的平均密度为 B．月球的平均密度为 C．月球表面重力加速度为 D．月球表面重力加速度为 [练习11] （2024春•盐城期末）如图所示为木星和它的卫星。下列对木星的卫星进行测量中不能求得木星质量的是（　　） A．轨道半径和线速度 B．运动周期和角速度 C．运动周期和线速度 D．轨道半径和运动周期 [练习12] （2024春•香坊区校级期末）在星球P和星球Q的表面，以相同的初速度v0竖直上抛一小球，小球在空中运动时的v﹣t图像分别如图所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体，星球P的半径是星球Q半径的3倍，则星球P和星球Q的密度之比为（　　） A．3：1 B．1：1 C．1：3 D．1：9 [练习13] （2024•五华区校级模拟）距离地球大约600光年的行星开普勒22﹣b很有可能是一颗宜居行星，其表面温度约为22℃，它围绕一颗和太阳非常相似的恒星公转。该行星半径为地球半径的2.4倍，其公转周期约为290天，其准确质量还未能得知。假设其密度与地球相同，不考虑星球的自转。下列说法正确的是（　　） A．开普勒22﹣b的质量是地球质量的5.76倍 B．地球表面重力加速度为开普勒22﹣b表面重力加速度的2.4倍 C．开普勒22﹣b的第一宇宙速度是地球的第一宇宙速度的2.4倍 D．开普勒22﹣b的公转轨道半径为地球公转轨道半径的3.6倍 学科网（北京）股份有限公司 $$ 易错点07 应用万有引力定律估算天体质量和密度 一、易错点分析 1、模型构建与公式选择 易错点：不能准确判断天体运动模型，选错公式。例如，将卫星椭圆轨道运动误当作匀速圆周运动处理，直接使用适用于匀速圆周运动的公式。 2、隐含条件挖掘 易错点：忽略题目中的隐含条件，如地球表面重力加速度g、天体半径R与轨道半径r的关系等。 在一些问题中，会隐含地球表面重力加速度g与万有引力的关系，即mg＝G（R为地球半径），可由此得出GM = gR2，这是一个常用的结论。 二、万有引力定律 F＝G，式中G为引力常量，在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力。引力常量由英国物理学家卡文迪什在实验室中比较准确地测出。 测定G值的意义：①引力常量的普适性成了万有引力定律正确性的有力证据；②使万有引力定律有了真正的实用价值。 （1）．万有引力的特点 普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力 相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上 宏观性 地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用 （2）应用万有引力定律的注意事项 在以下三种情况下可以直接使用公式F＝G计算： ①求两个质点间的万有引力：当两物体间距离远大于物体本身大小时，物体可看成质点，公式中的r表示两质点间的距离。 ②求两个质量分布均匀的球体间的万有引力：公式中的r为两个球心间的距离。 ③一个质量分布均匀球体与球外一个质点间的万有引力：r指质点到球心的距离。 (3)对于两个不能看成质点的物体间的万有引力，不能直接用万有引力公式求解，切不可依据F＝G得出r→0时F→∞的结论，违背公式的物理含义。 (4)在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0. 三、万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果： 一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向． 地面上物体的重力随纬度的升高而变大。 在南北两极和赤道上重力和引力的方向是一致的。在地球两极处重力就是引力，在赤道上，重力和引力不等，但在一条直线上。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R. (2)在两极上：G＝mg0. (3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和． 越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg. （3）重力与高度的关系 由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为在地面附近：mg＝G。若距离地面的高度为h，则mg′＝G(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度)，可得g′＝＝g，所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小。 .所以＝. 四、天体质量、密度的计算 使用方法 已知量 利用公式 表达式 备注 质量的计算 　 利用运行天体 r、T G＝mr M＝ 只能得到中心天体的质量 r、v G＝m M＝ v、T G＝m G＝mr M＝ 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ M＝ 密度的计算 利用运行天体 r、T、R G＝mr M＝ρ·πR3 ρ＝ 当r＝R时ρ＝ 利用近地卫星只需测出其运行周期 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ M＝ρ·πR3 ρ＝ 五、估算天体质量、密度时的注意事项与易错点 (1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。 (2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近运动的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。 (3)在考虑中心天体自转问题时，只有在两极处才有＝mg。 题型一、利用运行天体 [例题1] （2025•青白江区模拟）2024年10日21时50分，中国在西昌卫星发射中心成功将卫星互联网高轨星03星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。已知高轨卫星03星绕地球近似做圆周运动，卫星距离地面高度为h，环绕周期为T，已知引力常量为G，地球半径为R。则下列说法正确的是（　　） A．03星运行的线速度大于7.9km/s B．03星运行的线速度大小为 C．地球的质量为 D．地球的密度为 【解答】解：A、地球的第一宇宙速度7.9km/s是卫星的最大环绕速度，则03星运行的线速度小于第一宇宙速度7.9km/s，故A错误； B、地球半径为R，03星距离地面高度为h，则03星的轨道半径r＝R+h，03星运行的线速度大小为v，故B错误； C、设地球和03星的质量分别为M和m，03星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得Gm（R+h） 解得M，故C正确； D、地球的体积为V，地球的密度为ρ，解得ρ，故D错误。 故选：C。 [例题2] （2025•黔南州二模）现已发现海王星共有14颗卫星，其中有一颗卫星（海卫四）绕海王星做匀速圆周运动的轨道半径近似认为是海王星半径的两倍，其周期为T，把海王星看作是质量均匀分布的球体，引力常量为G，则海王星的密度可表示为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设海王星的质量为M，半径为R，海卫四的质量为m，则海卫四绕海王星做匀速圆周运动的轨道半径为2R，根据万有引力提供向心力可得，得，则海王星得密度，故BCD错误，A正确； 故选：A。 [例题3] （2025•合肥模拟）2024年11月3日，神舟十八号载人飞船与空间站组合体成功分离，航天员叶光富、李聪、李广苏踏上回家之旅。空间站组合体距离地面的高度为h，运动周期为T，绕地球的运动可视为匀速圆周运动。已知万有引力常量为G，地球半径为R，根据以上信息可知（　　） A．悬浮在空间站内的物体，不受力的作用 B．地球的质量 C．地球的密度 D．神舟十八号飞船与空间站组合体分离后做离心运动 【解答】解：A、悬浮在空间站内的物体，仍受地球的引力作用，故A错误； B、根据万有引力提供向心力，则有：m（R+h） 可解得地球的质量：M，故B正确； C、根据密度计算公式可得：ρ，其中V 解得地球的密度：ρ，故C错误； D、神舟十八号飞船与空间站组合体分离后返回地球，故将做向心运动，故D错误。 故选：B。 题型二、利用天体表面重力加速度 [例题4] （2025•泉州开学）宇宙中有数万亿个星系，每个星系包含数百万到数千亿颗恒星，某星系中有一颗质量分布均匀的行星，其半径为R，将一质量为m的物块悬挂在弹簧测力计上，在该行星极地表面静止时，弹簧测力计的示数为F；在赤道表面静止时，弹簧测力计的示数为F。已知引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．该行星的密度为 B．该行星的质量为 C．该行星赤道处的重力加速度为 D．该行星的自转周期为 【解答】解：AB、物块在该行星极地表面静止时，万有引力等于重力，即mg极＝F 解得该行星的质量为：M 根据密度计算公式可得：ρ，其中V，解得：ρ，故AB错误； C、在赤道表面静止时，弹簧测力计的示数为F，则有：F＝mg赤，解得：g赤，故C错误； D、在赤道上表面静止时，万有引力和重力的合力提供向心力，则有：FF＝mR 解得该行星的自转周期为：T，故D正确。 故选：D。 [例题5] （多选）（2025•日照一模）将一质量为m的物体放在地球赤道上时，该物体的重力为mg0；将该物体放在地球的北极点时，该物体的重力为mg。地球可视为质量分布均匀的球体，地球的半径为R。已知引力常量为G，下列判断正确的是（　　） A．地球的质量为 B．地球的自转周期为 C．地球的平均密度为 D．地球同步卫星的高度为 【解答】解：ABC、在北极时，Gmg，在赤道时，Gmg0＝mR，联立知，地球的质量M，地球的自转周期 T＝2π ，则地球的密度ρ，故AC正确，B错误； D、地球同步卫星运行的周期等于地球自转的周期，由牛顿第二定律： Gm（R+h），解得地球同步卫星的高度h＝（）R，故D正确。 故选：ACD。 [例题6] （2024春•和平区校级期中）由于地球有自转，所以在地球表面不同的纬度上重力加速度数值一般不同，纬度越高则重力加速度越大。假设地球可视为质量均匀分布的规则球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0、在赤道的大小为g，地球自转周期为T，则地球半径可表示为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设地球半径为R，在两极有，在赤道上有，联立解得R，故B正确，ACD错误。 故选：B。 [练习1] （2024•辽宁学业考试）地球绕太阳运行可视为匀速圆周运动，已知地球公转周期为T，地球到太阳距离为r，太阳的半径为R，引力常量为G。则太阳密度的表达式为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设太阳的密度为ρ，则 M 地球绕太阳公转，由万有引力提供向心力得 r 联立解得太阳的密度为 故ABC错误，D正确。 故选：D。 [练习2] （2024•城中区校级模拟）如图所示，人造卫星P（可视为质点）绕地球做匀速圆周运动。在卫星运动轨道平面内，过卫星P作地球的两条切线，两条切线的夹角为θ＝60°，若卫星P绕地球运动的周期为T，引力常量为G。则地球的密度为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设卫星P绕地球运动的半径为r，地球半径为R，根据万有引力提供向心力 解得 根据几何关系有 地球的体积为 地球的密度为 故B正确，ACD错误； 故选：B。 [练习3] （2024•中原区一模）4月10日，包括中国在内，全球多地天文学家同步公布人类史上首张黑洞照片，照片中是室女座巨椭圆星系M87的黑洞照片，这是黑洞存在最直接的视觉证据。黑洞的发现是由全球200多位科学家，历时十年，从全球四大洲8个观测点共同合作完成的成果，这也表明当今世界合作才会共赢，单边主义只会越走越窄。黑洞是一个非常致密的天体，会形成强大的引力场，连光也无法逃脱，根据天体物理学知识，物体从某天体上的逃逸速度为其环绕速度的倍，引力常量G＝6.67×10﹣11N•m2•kg﹣2，光速c＝3×108m/s，已知某“黑洞”的半径为5×108m。则该“黑洞”的质量为（结果保留两位有效数字）（　　） A．3.4×1034kg B．3.4×1035kg C．4.3×1034kg D．4.3×1035kg 【解答】解：设“黑洞”的半径为R，质量为M，物体的环绕速度为v。 根据万有引力提供向心力得 Gm 可得v 根据题意以及逃逸速度的意义可知，v＝c，即c，代入数据解得M≈3.4×1035kg，故ACD错误，B正确 故选：B。 [练习4] （2024•辽宁模拟）嫦娥七号探测器将于2026年前后发射，准备在月球南极登陆。假设嫦娥七号探测器在登陆月球之前环绕月球表面做匀速圆周运动，如图所示。已知嫦娥七号的运动周期为T1，轨道半径约等于月球球体的半径，月球绕地球近似做匀速圆周运动的周期为T2，轨道半径为月球球体半径的k倍，引力常量为G。根据题中所给信息，下列说法正确的是（　　） A．可以估测地球的质量 B．可以估测月球的密度 C．周期T2与周期T1满足k3 D．地球的质量与月球的质量之比等于 【解答】解：A.月球绕地球近似做匀速圆周运动的周期为T2，则有， 解得， 由于月球的半径未知，故不能求出地球的质量，故A错误； B.嫦娥七号绕月球表面做圆周运动，则有，解得， 月球的密度为 故B正确； C.开普勒第三定律是相对于同一个中心天体的，不同的中心天体该表达式不正确，故C错误； D.地球的质量与月球的质量之比等于，故D错误。 故选：B。 [练习5] （2024秋•双城区校级期中）中国计划在2030年前实现载人登月。一宇航员在地球的表面上以一定的速度竖直跳起，能跳到的最大高度为h1，若他在另一星球a的表面上以相同的速度竖直跳起，能跳到的最大高度为h2。地球、星球a均视为球体，地球与星球a的半径之比为k，不考虑两星球自转的影响，则地球与星球a的平均密度之比为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据竖直上抛运动的规律，有 v2＝2gh 解得星球表面重力加速度为 在星球表面，根据重力等于万有引力有 其中 ，M＝ρV 联立解得星球的平均密度为 则地球与星球a的平均密度之比为 ，故A正确，BCD错误。 故选：A。 [练习6] （2024•海南）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设月球半径为R，则卫星高度h＝kR，根据牛顿第二定律 Gm（k+1）R 又M＝ρ•πR3 联立解得ρ，故ABC错误，D正确。 故选：D。 [练习7] （2024秋•九龙坡区校级期中）二十四节气的命名反映了季节、物候现象和气候变化，节气早在《淮南子》中就有记载。地球沿椭圆轨道绕太阳运行时，所处不同位置对应的中国节气如图所示（2025年），太阳在椭圆的一个焦点上，下列说法正确的是（　　） A．地球在夏至运行速度最小，在冬至运行速度最大 B．地球在夏至和冬至绕太阳公转时，相同时间内转过的角度相等 C．地球绕太阳公转到夏至时加速度最大 D．根据地球的公转周期和太阳与地球之间的距离可估算出地球的质量 【解答】解：A、由开普勒第二定律可知地球在近日点运行速度最大，在远日点夏至时运行速度最小，冬至时地球在近日点运行速度最大，故A正确； B、由开普勒第二定律可知相同时间内地球与太阳连线扫过的面积相同，因此在夏至和冬至时相同时间内转过的角度不同，故B错误； C、地球绕太阳公转到夏至时距离太阳最远，受到的引力最小，由可知，，由此可知夏至时加速度最小，故C错误； D、根据地球的公转周期和太阳与地球之间的距离可估算出中心天体太阳的质量，故D错误。 故选：A。 [练习8] （2024秋•武邑县校级月考）如图甲所示，一颗绕月球做匀速圆周运动的卫星，动量的大小为p，与月面的距离为h，此卫星对月球的张角为 60°；如图乙所示，一颗绕火星做匀速圆周运动的探测器，动能为Ek此探测器对火星的张角也为60°，已知月球的第一宇宙速度为v0，火星的质量为m0，火星的半径为R0，万有引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．月球的半径为1.5h B．卫星的动能为 C．探测器的质量为 D．探测器受到的万有引力为 【解答】解：A.设月球的半径为R，卫星对月球的张角60°，卫星与月面的距离为h，由几何关系可得，解得R＝h，故A错误； B.卫星的轨道半径为r＝R+h＝2h，由万有引力充当向心力可得，，比较可得，则卫星的线速度为，卫星的动量为p＝mv，动能为，联立可得 ，故B正确； C.同理可得探测器的轨道半径为r0＝2R0，探测器的动能为，由万有引力充当向心力可得，联立解得，故C错误； D.探测器受到的万有引力为，解得，故D错误。 故选：B。 [练习9] （2024秋•辽宁月考）与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，已知地球的公转半径为R，公转周期为T，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．小行星甲与太阳的连线和小行星乙与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等 B．小行星乙在远日点的加速度大小等于地球公转的加速度大小 C．小行星甲的公转周期为 D．太阳的密度为 【解答】解：A、根据开普勒第二定律可知，同一行星与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等，但小行星甲与小行星乙在不同轨道上，所以小行星甲与太阳的连线和小行星乙与太阳的连线在相同时间内扫过的面积不相等，故A错误； B、根据牛顿第二定律得 解得 由于小行星乙在远日点离太阳距离等于地球离太阳距离，所以小行星乙在远日点的加速度大小等于地球公转的加速度大小，故B正确； C、小行星甲的半长轴为a，对于小行星甲和地球，根据开普勒第三定律k得 解得小行星甲的公转周期为 ，故C错误； D、设太阳质量为M，太阳半径为R′，太阳的密度为ρ，则有 地球绕太阳公转，由万有引力提供向心力得 联立解得太阳的密度为 ，故D错误。 故选：B。 [练习10] （2024春•沙坪坝区校级期中）“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，周期为T，速度大小为v。已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响，下列选项正确的是（　　） A．月球的平均密度为 B．月球的平均密度为 C．月球表面重力加速度为 D．月球表面重力加速度为 【解答】解：AB.由万有引力提供向心力，可得，解得，月球体积，根据，得，月球平均密度为，即ρ，故A错误，B正确； CD.在月球表面，有，可得月球表面重力加速度为，解得，故CD错误。 故选：B。 [练习11] （2024春•盐城期末）如图所示为木星和它的卫星。下列对木星的卫星进行测量中不能求得木星质量的是（　　） A．轨道半径和线速度 B．运动周期和角速度 C．运动周期和线速度 D．轨道半径和运动周期 【解答】解：A、卫星围绕木星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据 可知，知道卫星的轨道半径r和线速度v能求出木星质量，故A错误； B、根据 可知，知道卫星运动周期和角速度ω不能推算出木星的质量，故B正确； C、卫星围绕木星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，已知卫星的速度和角速度，则轨道半径 根据万有引力提供向心力有 即已知运动周期和线速度，可求解木星质量M，故C错误； D、根据万有引力提供向心力有 可知，知道卫星的轨道半径和运行周期可求解木星质量M，故D错误。 故选：B。 [练习12] （2024春•香坊区校级期末）在星球P和星球Q的表面，以相同的初速度v0竖直上抛一小球，小球在空中运动时的v﹣t图像分别如图所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体，星球P的半径是星球Q半径的3倍，则星球P和星球Q的密度之比为（　　） A．3：1 B．1：1 C．1：3 D．1：9 【解答】解：根据v﹣t图像的斜率表示加速度，可知两星球表面重力加速度之比为gP：gQ＝3：1，根据物体在星球表面受到的重力等于万有引力，可得， 即得g，代入数据解得ρP：ρQ＝1：1，故ACD错误，B正确。 故选：B。 [练习13] （2024•五华区校级模拟）距离地球大约600光年的行星开普勒22﹣b很有可能是一颗宜居行星，其表面温度约为22℃，它围绕一颗和太阳非常相似的恒星公转。该行星半径为地球半径的2.4倍，其公转周期约为290天，其准确质量还未能得知。假设其密度与地球相同，不考虑星球的自转。下列说法正确的是（　　） A．开普勒22﹣b的质量是地球质量的5.76倍 B．地球表面重力加速度为开普勒22﹣b表面重力加速度的2.4倍 C．开普勒22﹣b的第一宇宙速度是地球的第一宇宙速度的2.4倍 D．开普勒22﹣b的公转轨道半径为地球公转轨道半径的3.6倍 【解答】解：A、设地球质量为M，半径为R，则开普勒22﹣b的质量为M'，根据M＝ρV＝ρ•，解得，即则开普勒22﹣b的质量为地球质量的13.824倍，故A错误； B、设地球表面重力加速度为g，则开普勒22﹣b表面重为加速度为g'，则mg，mg'，解得g'＝2.4g，即开普勒22﹣b表面重为加速度为地球表面重力加速度的2.4倍，故B错误； C、设地球的第一宇宙速度为v，则开普勒22﹣b的第一宇宙速度为v'，根据，得，，代入数据解得v'＝2.4v，故C正确； D、地球公转轨道半径为r，则开普勒22﹣b的公转轨道半径为r'，根据，解得，其中太阳的质量M太和恒星的质量M恒相等，解得r'＝0.86r，故D错误。 故选：C。 学科网（北京）股份有限公司 $$