2.2动量-2025年高考物理二轮复习素养升级

专题一 力与运动 2.2动量 【命题分析】 1. 碰撞模型 • 区分弹性碰撞（动能守恒）与非弹性碰撞 • 掌握速度临界条件（完全非弹性碰撞共速） • 注意速度方向的正负处理 2. 弹簧模型 • 动量守恒与弹性势能转化的综合 • 临界点分析（最大压缩/伸长时刻） 3. 板块模型 • 摩擦力作用下的动量守恒判断 • 相对位移与摩擦生热计算 【素养要求】 1. 强化三大基础 • 准确理解动量定理的矢量性 • 明确动量守恒的适用条件（系统、方向） • 熟记弹性碰撞的"一动碰一静"结论式 2. 构建知识网络 将动量与动能定理、机械能守恒、圆周运动等建立联系，掌握能量-动量双守恒问题的解题路径。 3. 典型题型训练 重点突破： • 多物体多过程问题（建议用时：15分钟/题） • 含弹簧的临界问题 • 流体冲击模型（微元法应用） 4. 关注创新题型 研究近3年新高考省份试题，特别注意： • 真实实验情境题（如DIS实验数据处理） • 理论联系实际类问题（如汽车碰撞测试分析） 1．（2025·浙江·高考真题）如图所示，光滑水平地面上放置完全相同的两长板A和B，滑块C（可视为质点）置于B的右端，三者质量均为。A以的速度向右运动，B和C一起以的速度向左运动，A和B发生碰撞后粘在一起不再分开。已知A和B的长度均为0.75m，C与A、B间动摩擦因数均为0.5，则（　　） A．碰撞瞬间C相对地面静止 B．碰撞后到三者相对静止，经历的时间为0.2s C．碰撞后到三者相对静止，摩擦产生的热量为 D．碰撞后到三者相对静止，C相对长板滑动的距离为0.6m 【答案】D 【解析】A．碰撞瞬间C相对地面向左运动，选项A错误； B．向右为正方向，则AB碰撞过程由动量守恒 解得 v1=1m/s 方向向右；当三者共速时 可知 v=0 即最终三者一起静止，可知经历的时间 选项B错误； C．碰撞到三者相对静止摩擦产生的热量 选项C错误； D．碰撞到三者相对静止由能量关系可知 可得 选项D正确。 故选D。 2．（2024·安徽·高考真题）在某装置中的光滑绝缘水平面上，三个完全相同的带电小球，通过不可伸长的绝缘轻质细线，连接成边长为d的正三角形，如图甲所示。小球质量为m，带电量为，可视为点电荷。初始时，小球均静止，细线拉直。现将球1和球2间的细线剪断，当三个小球运动到同一条直线上时，速度大小分别为、、，如图乙所示。该过程中三个小球组成的系统电势能减少了，k为静电力常量，不计空气阻力。则（    ） A．该过程中小球3受到的合力大小始终不变 B．该过程中系统能量守恒，动量不守恒 C．在图乙位置，， D．在图乙位置， 【答案】D 【解析】AB．该过程中系统动能和电势能相互转化，能量守恒，对整个系统分析可知系统受到的合外力为0，故动量守恒；当三个小球运动到同一条直线上时，根据对称性可知细线中的拉力相等，此时球3受到1和2的电场力大小相等，方向相反，故可知此时球3受到的合力为0，球3从静止状态开始运动，瞬间受到的合力不为0，故该过程中小球3受到的合力在改变，故AB错误； CD．对系统根据动量守恒 根据球1和2运动的对称性可知，解得 根据能量守恒 解得 故C错误，D正确。 故选D。 重点一动量定理及其应用 1.冲量的三种计算方法 公式法 I=Ft适用于求恒力的冲量 动量定理法 多用于求变力的冲量或F、t未知的情况 图像法 F-t图线与时间轴围成的面积表示力的冲量，若F与t成线性关系，也可直接用平均力求解 2.动量定理 (1)公式：FΔt=mv'-mv (2)应用技巧： ①研究对象可以是单个物体，也可以是多个物体组成的系统。 ②表达式是矢量式，需要规定正方向。 ③匀变速直线运动，如果题目不涉及加速度和位移，用动量定理比用牛顿第二定律求解更简捷。 ④在变加速运动中F为Δt时间内的平均力。 ⑤电磁感应问题中，利用动量定理可以求解时间、电荷量或导体棒的位移。 例题1. 质量为的物体，以初速度沿固定斜面开始上滑，到达最高点后再次返回到原出发点时速度大小为，假设物体在斜面上运动时受到的摩擦力大小不变，则（　　） A．整个过程中合力的冲量大小为 B．整个过程中摩擦力冲量的矢量和为零 C．上滑过程中重力的冲量比下滑过程中重力的冲量大 D．上滑过程和下滑过程中支持力的冲量均不为零 【答案】D 【解析】A．以沿斜面向下为正方向，根据动量定理有 故A错误； B．设物体上滑过程时间为t1，下滑回到出发点时间为t2，位移大小为x，则得 可知 整个过程中摩擦力冲量的矢量和为 故B错误； C．上滑过程中重力的冲量为mgt1, 下滑过程中重力的冲量为mgt2，由于t1< t2，则上滑过程中重力的冲量比下滑过程中重力的冲量小，故C错误； D．上滑过程和下滑过程中支持力一直存在，冲量均不为零，故D正确。 故选D。 训练1. 如图所示，足够长的平行光滑金属导轨水平放置，宽度为，一端连接阻值为的电阻。导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为。质量为的导体棒放在导轨上，长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好，导轨和导体棒的电阻均可忽略不计。给导体棒一个向右的初速度，并以此时刻作为计时起点，在求导体棒的速度随时间变化的函数关系时，可与放射性元素的原子核发生衰变的情形作类比。放射性元素的原子核发生衰变时，单位时间内发生衰变的原子核个数与现存的，未衰变的原子核个数成正比：，其中为比例常数，“-”表示原子核个数减少，上述方程的解为：，其中为时刻未衰变的原子核个数，为时刻未衰变的原子核个数。则导体棒的速度随时间变化的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在极短的时间内，由动量定理可得 安培力为 导体棒切割磁感线产生的电动势为 电路中的电流为 联立上式可得 整理得 结合题目中的信息可得 故选A。 重点二动量守恒定律及应用 动量守恒定律的三种表达形式 (1)m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'，作用前的动量之和等于作用后的动量之和。(常用) (2)Δp1=-Δp2，相互作用的两个物体动量的变化量等大反向。 (3)Δp=0，系统总动量的变化量为零。 例题2. 如图所示，左侧竖直墙面上固定半径为的光滑半圆环，右侧竖直墙面上与圆环的圆心等高处固定一水平光滑直杆。质量为的小球a套在半圆环上，质量为的小球b套在直杆上，两者之间用长为的轻杆通过两铰链连接。现将a从圆环的最高处静止释放，让其沿圆环自由下滑，不计一切摩擦，a、b均视为质点，取，则以下说法中正确的是（　　） A．小球a滑到与圆心等高的点时，a的速度大小为 B．小球a滑到与圆心等高的点时，a的向心加速度为 C．小球a从点下滑至杆与圆环相切的点图中未画出过程中，a、b两球组成的系统机械能、动量均守恒 D．小球a从点下滑至杆与圆环相切的点图中未画出的过程中，杆对小球b做的功约为 【答案】D 【解析】AB．当a滑到与O同高度P点时，a的速度v沿圆环切向向下，a沿杆方向速度为零，所以b的速度为零，由机械能守恒可得 解得 此时a的向心加速度 故AB错误； C．小球a从P点下滑至杆与圆环相切的Q点（图中未画出）过程中，a、b两球组成的系统只有重力对系统做功，所以，a、b两球组成的系统机械能守恒；圆弧轨道对a球的弹力存在水平方向的分力，则a、b两球组成的系统在水平方向的合外力不为0，水平方向一定不满足动量守恒，故C错误； D．杆与圆相切时，如图所示 a的速度沿杆方向，设此时b的速度为，则有 由几何关系可得 从点下滑至杆与圆环相切的点的过程，a下降的高度为 a、b两球组成的系统满足机械能守恒，则有 对b，由动能定理得 联立解得 故D正确。 故选D。 训练2. 2021年5月15日，天问一号着陆巡视器成功着陆于火星，中国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功。携带火星车的着陆器与环绕器分离后，最后阶段利用反推火箭在火星表面实现软着陆，设着陆器总质量为，极短时间内瞬间喷射的燃气质量是，为使着陆器经一次瞬间喷射燃气后，其下落的速率从减为，需要瞬间喷出的燃气速率约为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设瞬间向下喷出的燃气速度大小为，由于作用时间极短，喷射过程可认为系统动量守恒，则有 解得 C正确，ABD错误。 故选C。 重点三 碰撞模型 1.两种碰撞的特点 弹性 碰撞 举例：一动碰一静 动量守恒mv1=m1v1'+m2v2' 机械能守恒m1=m1v1'2+m2v2'2 解得 v1'=， v2'= 结论： (1)m1=m2时，v1'=0，v2'=v1，即两球碰撞后交换了速度 (2)当m1>m2时，v1'>0，v2'>0，碰后两球都沿v1方向运动，当m1≫m2时v1'=v1，v2'=2v1 (3)m1<m2时，v1'<0，v2'>0，碰后入射小球反弹，当m1≪m2时，v1'=-v1，v2'≈0 完全 非弹 性碰 撞　 碰后两球粘在一起末速度相同 动量守恒m1v1+m2v2=(m1+m2)v，机械能损失最多 损失的机械能 ΔE=m1+m2-(m1+m2) 例题3. 如图所示。上表面粗糙的长木板P放在光滑水平面上，长木板中央放置两质量大小关系未知的物块M和N，两物块与板间的动摩擦因数均相同。M和N之间有一压缩的轻弹簧（弹簧与两物块均不拴接），开始时板和两物块均静止。现同时释放M、N，弹簧将两物块弹开，两物块在长木板上滑动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．M、N组成的系统总动量一定守恒 B．M、N组成的系统总动量一定不守恒 C．若长木板向左运动，则物块M的质量一定小于物块N的质量 D．若长木板向左运动，则M、N组成的系统总动量方向一定向右 【答案】D 【解析】AB．物块M和N受到长木板对它们的摩擦力大小未知，若两摩擦力大小相等，则M、N组成的系统总动量守恒，若两摩擦力大小不相等，则M、N组成的系统总动量不守恒，故AB错误； C．若长木板向左运动，则板受到的合力向左，M对板的摩擦力大于N对板的摩擦力，M的质量一定大于N的质量，故C错误； D．长木板和两物块组成的系统总动量守恒，若长木板向左运动，则M、N组成的系统总动量方向一定向右，故D正确。 故选D。 训练3. 如图所示，某超市两辆相同的手推购物车质量均为m、相距2L沿直线排列，静置于水平地面上。为节省收纳空间，工人给第一辆车一个瞬间的水平推力F使车自行运动，并与第二辆车相碰，且在极短时间内相互嵌套结为一体，以共同的速度运动了距离，恰好停靠在墙边。若车运动时受到的摩擦力恒为车重的k倍，忽略空气阻力，重力加速度为g。则工人给第一辆购物车水平推力F的冲量大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设第一辆车碰前瞬间的速度为，与第二辆车碰后的共同速度为，由动量守恒定律有 根据动能定理可得 联立解得 设第一辆车推出时的速度为，根据动能定理可得 根据动量定理，工人给第一辆购物车水平推力F的冲量大小为 故选A。 难点一 “保守型”碰撞拓展模型 图例 (水平面 光滑) 小球-弹簧模型 小球-曲面模型 小球-小球模型 达到 共速 相当于完全非弹性碰撞，系统水平方向动量守恒，满足mv0=(m+M)v共，损失的动能最多，分别转化为弹性势能、重力势能或电势能 再次 分离 相当于弹性碰撞，系统水平方向动量守恒，满足mv0=mv1+Mv2，机械能守恒，满足m=m+M 例题4. 如图所示，在水平面上放置一个质量为M的滑块，滑块的一侧AB是一个半径为R的弧形凹槽，A点切线水平。一个质量为m的小球以水平初速度从A点冲上滑块，重力加速度为g，不计一切摩擦。下列说法正确的是（　　） A．滑块和小球组成的系统总动量不守恒 B．滑块和小球组成的系统机械能不守恒 C．若，小球恰能到达滑块M上的B点 D．若小球能从B点离开滑块M，则小球到达滑块最高点B时，小球和滑块的水平方向速度相等 【答案】A 【解析】A．滑块和小球组成的系统水平方向合力为零，所以水平方向动量守恒，但是整体的合力不为零，所以系统的总动量不守恒，故A正确； B．不计一切摩擦，只有重对系统做功。所以系统机械能守恒，故B错误； C．当小球刚好到达B点，系统水平方向动量守恒有 系统机械能守恒有 解得 故C错误； D．若小球能从B点离开滑块M，则小球水平方向的分速度大于滑块水平方向的分速度，小球离开滑块M后做斜抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，则小球到达滑块最高点B时，小球只有水平方向的分速度，则小球的速度大于滑块的水平方向速度，故D错误。 故选A。 训练4. 如图所示，弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为的光滑弧形槽静止在足够大的光滑水平面上，底部与水平面平滑相切，一个质量也为的小球从槽顶部由静止下滑，假设小球与弹簧组成的系统在相互作用的全过程无机械能损失，则（　　） A．在下滑过程中，小球对槽的作用力做正功 B．在以后的运动过程中，小球和槽的动量始终守恒 C．被弹簧反弹前后，小球动量大小和方向均发生改变 D．被弹簧反弹后，小球一定能返回到槽上 【答案】A 【解析】A．在下滑过程中，槽的动能增加，重力势能不变，机械能增加，小球对槽的作用力做正功，故A正确； B．在以后的运动过程中，小球和槽的水平方向动量始终守恒，故B错误； C．小球与弹簧组成的系统在相互作用的全过程无机械能损失，被弹簧反弹前后，小球速度大小不变，方向相反，小球动量大小不变，方向发生改变，故C错误； D．小球和槽的水平方向动量守恒，小球和槽分离时小球的速度若小于等于槽的速度，被弹簧反弹后，小球速度大小和与槽分离时的速度大小相等，则小球不能返回到槽上，故D错误。 故选A。 难点二 “耗散型”碰撞拓展模型 图例 (水平面 或水平 导轨光滑) 未穿出 未滑离 达到共速 达到共速 相当于完全非弹性碰撞，满足mv0=(m+M)v共，损失的动能最多，分别转化为内能或电能 例题5. 为了研究多层钢板在不同模式下的防弹效果，建立如下简化模型。如图所示，两个完全相同的钢板A、B厚度均为d，质量均为m。第一次把A、B焊接在一起静置在光滑水平面上，质量也为m的子弹水平射向钢板A，恰好将两钢板击穿。第二次把A、B间隔一段距离水平放置，子弹以同样的速度水平射向A，穿出后再射向B，且两块钢板不会发生碰撞。设子弹在钢板中受到的阻力为恒力，不计子弹的重力，子弹可视为质点。下列说法正确的是（　　） A．第一次子弹射出B时，A的位移为d B．第一次子弹穿过A、B所用时间之比为 C．第二次子弹不能击穿钢板B，进入钢板B的深度为 D．第一次、第二次整个系统损失的机械能之比为 【答案】D 【解析】A．设第一次子弹穿过A、B时共同速度为v，对系统由动量守恒有 此过程对A和B有 对子弹有 解得 故A错误； B．第一次子弹相对A、B做匀减速直线运动，恰击穿时相对末速度为0，根据逆向思维，可以将看成子弹相对A、B做初速度为0的反向匀加速直线运动，穿过B、A的相对位移相等，根据连续相邻相等位移之内的时间间隔比例规律可知，穿过B、A的时间之比为，所以穿过A、B所用时间之比为，故B错误； C．设子弹的初速度为，受到的阻力大小为f，第一次穿过A、B时共同速度为v，对系统由动量守恒有 由能量守恒有 解得 第二次子弹穿过A时，设子弹速度为，A的速度为u，假设不能穿透B，最后与B的共同速度为，进入B的深度为，对子弹和A由动量守恒有 由能量守恒有 解得 对子弹和B，由动量守恒有 由能量守恒有 解得 假设成立，故C错误； D．第一次系统损失的机械能 第二次系统损失的机械能 第一次、第二次系统损失的机械能之比为 故D正确。 故选D。 训练5. 长为L、质量为M的平板小车停在光滑水平面上，质量为m的木块（可视为质点，）以速度滑上小车的左端，如图甲所示，最后随小车一起运动；若小车以速度向左运动，将木块轻轻放在小车左端，如图乙所示，最终也随小车一起运动。则（　　） A．两种情况中木块相对小车滑行的距离相等 B．两种情况中木块最终随小车运动的速率相等 C．两种情况中木块与小车间摩擦产生的热不相等 D．两种情况中木块相对小车滑行的时间不相等 【答案】A 【解析】ABC．根据动量守恒定律和能量关系，甲图中 乙图中 因 可知 选项A正确，BC错误； D．对滑块由动量定理，对甲 对乙 解得 可知 选项D错误。 故选A。 （建议用时：30分钟） 一、单选题 1．如图所示为跳台滑雪雪道的简化示意图，AO段为助滑道和起跳区，OB段为倾角为的着陆坡。运动员从助滑道的起点A由静止开始滑下，到达O点时以速度起跳，最后落在着陆坡面上的C点。已知的方向与水平方向的夹角也为a，O、C间距离为s。不计一切阻力，运动员可视为质点，则运动员从O点运动到C点的过程中（　　） A．最高点速度为0 B．重力的冲量大小 C．上升阶段处于超重状态 D．相同时间内速度的变化量不同 【答案】B 【解析】A．由斜抛运动特点可知，运动员在竖直方向做匀变速运动，水平方向做匀速直线运动，最高点竖直速度为0，水平速度为，故A错误； B．运动员从O到C的水平分位移为 由于运动员在水平方向做匀速直线运动，则运动时间为 则整个过程重力的冲量为 故B正确； C．由于不计一切阻力，故运动员整个过程只受重力，加速度向下，处于失重状态，故C错误； D．运动员在空中做斜抛运动，斜抛运动是一种匀变速曲线运动，相同时间内速度的变化量相同，故D错误。 故选B。 2．中国空间站在距地面高度约的轨道上做匀速圆周运动，该轨道远在距地面的卡门线（外太空与地球大气层的分界线）之上，但轨道处依然存在相对地心静止的稀薄气体，气体与空间站前端碰后瞬间可视为二者共速。空间站安装有发动机，能够实时修正轨道。已知中国空间站离地面高度为，地球半径为，地球表面的重力加速度为，将空间站视为如图所示的圆柱体，其运行方向上的横截面积为，稀薄气体密度为，不考虑其他因素对空间站的影响，则（　　） A．考虑到气体阻力，若空间站没有进行轨道修正，其高度降低，动能减小 B．空间站的速度大小为 C．气体对空间站前端作用力大小为 D．空间站发动机的功率为 【答案】C 【解析】A．考虑到气体阻力，若空间站没有进行轨道修正，气体与空间站前端碰后瞬间可视为二者共速，可看作完全非弹性碰撞，故会损失的机械能，其高度降低，又根据牛顿第二定律 故减小时，增大，动能增大，故A错误； B．根据牛顿第二定律 又地球表面 联立解得 故B错误； C．设极短的时间内与空间站前端碰撞的稀薄气体质量为 碰撞瞬间，根据动量守恒 由于 故 对稀薄气体，根据动量定理 联立解得空间站前端对稀薄气体的作用力大小 根据牛顿第三定律知气体对空间站前端作用力大小为，故C正确； D．空间站发动机的功率为 故D错误。 故选C。 3．喷泉水柱从横截面积为的喷口持续以速度竖直向上喷出，距喷口正上方处固定一水平挡板，水柱冲击到水平挡板后，在竖直方向水的速度瞬间变为零，在水平方向朝四周均匀散开，忽略空气阻力。已知水的密度，重力加速度取。设水柱对挡板的冲击力为，则图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据质量流量守恒知，喷口处与挡板处很短的Δt时间内水柱的质量同样为，因为水流在上升过程中横截面积会扩大，从而保持质量流量不变。设很短的水柱在高度为h处，撞击玩具前水的速度为v，根据运动规律 其中 即（否则） 设水对玩具的作用力的大小为F，根据动量定理有 联立解得 根据数学关系知，D选项的图像符合题意。 故选D。 4．如图所示，弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为的光滑弧形槽静止在足够大的光滑水平面上，底部与水平面平滑相切，一个质量也为的小球从槽顶部由静止下滑，假设小球与弹簧组成的系统在相互作用的全过程无机械能损失，则（　　） A．在下滑过程中，小球对槽的作用力做正功 B．在以后的运动过程中，小球和槽的动量始终守恒 C．被弹簧反弹前后，小球动量大小和方向均发生改变 D．被弹簧反弹后，小球一定能返回到槽上 【答案】A 【解析】A．小球下滑过程中，小球与槽组成的系统机械能守恒，槽的动能增加，所以小球对槽的作用力做正功，故A正确； B．小球在槽上运动时，小球和槽组成的系统水平方向不受外力，由于小球有竖直分加速度，系统竖直方向的合外力不为零，所以系统的合外力不为零，故系统的动量不守恒，故B错误； C．被弹簧反弹后，小球速度大小不变，方向改变，所以小球动量发生改变，故C错误； D．被弹簧反弹后，小球和槽的机械能守恒。设小球离开槽时小球和槽的速度分别为和，取向右为正方向，系统在水平方向动量守恒，在水平方向，由动量守恒定律得 解得 小球被反弹后，速度大小仍为，由于小球和槽同向运动，速度大小相等，所以小球不能滑上槽，故D错误。 故选A。 5．2023年9月，“天宫课堂”第四课演示在微重力环境下不同质量钢球的对心碰撞所产生的现象。如图，在空间站中将一个质量为500g的实心钢球A放到网格布前方（相对网格布静止），一个质量为300g的钢球B从左侧以0.4m/s的水平速度与钢球A发生对心碰撞，若钢球之间的碰撞可视为弹性碰撞，以下说法正确的是（    ） A．碰撞前钢球B不受重力的作用，处于完全失重状态 B．碰撞过程中钢球B对钢球A的作用力大于钢球A对钢球B的作用力 C．碰撞后钢球B向左运动，速度大小为0.3m/s D．碰撞过程中钢球A对钢球B的冲量大小为0.15N·s，方向水平向左 【答案】D 【解析】A．钢球B虽然处于完全失重状态，但仍受重力作用，只是重力提供了B做圆周运动的向心力，故A错误； B．碰撞过程中，钢球A与钢球B之间的力为相互作用力，大小相等，方向相反，故B错误； C．由动量守恒定律可得 由能量守恒定律可得 解得 故C错误； D．对B分析，由动量定理 解得 方向水平向左 故D正确。 故选D。 6．如图所示，光滑轨道固定在水平地面上，质量均为m、相距很近的A、B两小球静置于轨道水平部分。将质量为M的小球C从轨道圆弧部分的某高度处由静止释放，设所有碰撞均为弹性碰撞，下列说法正确的是（　　） A．若，C与A仅碰撞一次 B．若，A与B仅碰撞一次 C．若，C与A可碰撞两次 D．若，A与B可碰撞两次 【答案】B 【解析】AB．质量为M的小球C从轨道圆弧部分由静止释放滑至底端的过程 取水平向右为正方向，C与A弹性碰撞,有 解得 ， A与B弹性碰撞，A与B质量相等，同理可得碰后A与B速度交换，即A停下，B以向右运动，若，则，C返回冲上曲面后再次与静止的A弹性碰撞，同理可解得 ， 易知，，A与B仅碰撞一次，C与A碰撞两次，故A错误，B正确； C．若，C与A弹性碰撞，碰后 ， 之后A与B弹性碰撞，碰后A与B速度交换，即A停下，B以向右运动，C与A仅碰撞一次，故C错误； D．若，C与A弹性碰撞，碰后 ， 易知，，之后A与B弹性碰撞，碰后A与B速度交换，即A停下，B以向右运动，接着C再次与A弹性碰撞，碰后 ， 易知，，A与B仅碰撞一次，C与A碰撞两次，故D错误。 故选B。 7．如图所示，小物块a、b和c静置于光滑水平地面上。现让a以速度v向右运动，与b发生正碰，然后b与c也发生正碰。若a、b、c的质量可任意选择，碰撞可以是弹性也可以是非弹性的，各种可能的碰撞后，c的最大速度为（    ） A．4v B．6v C．9v D．12v 【答案】A 【解析】设a、b、c的质量分别为、、。a与b碰撞后二者的速度分别为和，根据动量守恒定律有    ① 根据机械能守恒定律有    ② 联立①②解得    ③ 由③式可知，当时，有    ④ 设b与c碰撞后二者的速度分别为和，同理可得    ⑤    ⑥ 联立⑤⑥解得    ⑦ 由⑦式可知，当时，有    ⑧ 所以若b和c的质量可任意选择，碰后c的最大速度接近于4v。 故选A。 8．如图所示，质量为m、半径为R的四分之一光滑圆弧轨道小车静置于光滑水平面上，圆弧轨道最低点切线水平。一质量也为m的小球以水平初速度冲上小车，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．小球冲上小车的过程小球和小车组成的系统动量守恒 B．小球返回到小车左端时，小车将向左运动 C．无论小球初速度多大，小球最终都会从小车上返回 D．小球返回到小车左端后将相对地面向左做平抛运动 【答案】C 【解析】A．系统在水平方向上所受合外力为0，则系统仅在水平方向上动量守恒，故A错误； B．受力分析可知，圆弧轨道所受合力一直向右，即一直加速向右，直到分离，故B错误； C．足够大使小球飞离小车时，二者水平分速度相等，故飞出又落回，而较小时小球也会返回小车左端，故C正确； D．设小球离开小车时，小球的速度为，小车的速度为，选取向右为正方向，整个过程中动量守恒得 由机械能守恒得 联立解得 即小球与小车分离后二者交换速度，所以小球与小车分离后相对地面做自由落体运动，故D错误。 故选C。 二、多选题 9．如图所示，两个四分之一圆弧体A、B静止在光滑的水平面上。A、B的圆弧面光滑，半径分别为和，底端切线均沿水平面且靠在一起。将一可视为质点的小物块C从A的圆弧面的顶端静止释放，A、C的质量分别为和，则以下说法正确的是（　　） A．整个过程ABC组成的系统动量守恒 B．C刚滑到A底端时，C距B的圆弧面底端的水平距离为 C．C刚滑到A底端时，C的速度为 D．若C滑到A底端后，恰好能滑上B的圆弧面顶端，则B的质量为 【答案】CD 【解析】A．整个过程ABC组成的系统在水平方向动量守恒，竖直方向动量不守恒，A错误； B．设C刚滑到A底端时，A、C的水平位移的大小分别为、，根据“人船模型”有 依题意有 可得C刚滑下A时到B的圆弧面底端的距离为 故B错误； C．C刚滑到A底端时，水平方向由动量守恒定律有 由机械能守恒定律有 联立解得， 故C正确； D．C滑上B的过程，水平方向由动量守恒定律有 由机械能守恒定律有 联立解得 故D正确。 故选CD。 10．如图甲所示，光滑水平面上两物块A、B用轻质橡皮绳水平连接，橡皮绳恰好处于原长。t = 0时，A以水平向左的初速度v0开始运动，B的初速度为0，A、B运动的v − t图像如图乙所示。已知A的质量为m，0 ~ t0时间内B的位移为x0，t = 3t0时二者发生碰撞并粘在一起，则（　　） A．B的质量为2m B．橡皮绳的最大弹性势能为 C．橡皮绳的原长为 D．橡皮绳的原长为v0t0 【答案】AD 【解析】A．由图乙及动量守恒定律得 解得 故A正确； CD．由图乙知，2t0时刻橡皮绳处于原长，设此时A、B的速度分别为vA、vB，由动量守恒定律及能量守恒定律得 解得 ， 橡皮绳的原长 故C错误，D正确； B．由能量守恒定律，橡皮绳的最大弹性势能 故B错误。 故选AD。 11．如图甲所示，光滑的水平地面上静置一质量为M，半径为R光滑的圆弧体，圆心为O，一个质量为m的小球由静止释放，释放时小球和O点连线与竖直半径OA夹角为，滑至圆弧底部后与圆弧分离，此时小球相对地面的水平位移为x。改变小球释放时的角度，得到小球的水平位移x和的关系图像如图乙所示，重力加速度为g，关于小球下滑的过程，下列说法正确的是（　　） A．小球与圆弧面组成的系统动量守恒 B．圆弧体对小球做负功 C．圆弧体与小球的质量之比为 D．当为90°时，两者分离时小球的速度为 【答案】BC 【解析】A．根据动量守恒条件可知小球与圆弧面组成的系统在竖直方向合力不为0，系统在水平方向动量守恒。故A错误； B．整个系统机械能守恒，圆弧体机械能增加说明小球对圆弧体做正功，则圆弧体对小球做负功。故B正确； C．滑至圆弧底部后两物体间的相对位移大小为 根据水平方向动量守恒可得 时间相等，则上式可变形为 解得圆弧体与小球的质量之比为 故C正确； D．当为90°时，根据机械能守恒可得 又根据动量守恒定律解得两者分离时小球的速度为 故D错误。 故选BC。 12．如图所示，水平面上放置着半径为R、质量为3m的半圆形槽，AB为槽的水平直径。质量为m的小球自左端槽口A点的正上方距离为R处由静止下落，从A点切入槽内。已知重力加速度大小为g，不计一切摩擦，下列说法正确的是（　　） A．槽向左运动的最大位移为0.5R B．小球在槽中运动的最大速度为 C．小球能从B点离开槽，且上升的最大高度小于R D．若槽固定，小球在槽中运动过程中，重力做功的最大功率为 【答案】AD 【解析】A．半圆形槽和小球在水平方向动量守恒，设小球水平方向分速度大小为，槽的速度大小为，则 当小球运动到B点时，小球和槽的水平位移最大，设小球的水平位移大小为，槽的位移大小为，半圆形槽和小球运动时间相同，则 即 半圆形槽和小球在水平方向上位移大小之和，即相对位移大小为 解得 故A正确； B．小球运动到最低点时速度最大，根据动量守恒 根据机械能守恒 解得 故B错误； C．小球运动B点时，小球和槽在水平方向上速度相同，根据水平方向动量守恒，则此时小球和槽在水平方向上的速度都为零，根据小球和槽组成的系统机械能守恒，则小球上升的最大高度等于R，故C错误； D．根据 可知，当小球在竖直方向分速度最大时，重力的功率最大，设此时小球和O点连线与竖直方向的夹角为，此时速度大小为，根据动能定理 解得 则竖直方向分速度为 根据数学求极值的方法可知，当时，竖直方向分速度最大，最大值为 重力做功的最大功率为 故D正确。 故选AD。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题一 力与运动 2.2动量 【命题分析】 1. 碰撞模型 • 区分弹性碰撞（动能守恒）与非弹性碰撞 • 掌握速度临界条件（完全非弹性碰撞共速） • 注意速度方向的正负处理 2. 弹簧模型 • 动量守恒与弹性势能转化的综合 • 临界点分析（最大压缩/伸长时刻） 3. 板块模型 • 摩擦力作用下的动量守恒判断 • 相对位移与摩擦生热计算 【素养要求】 1. 强化三大基础 • 准确理解动量定理的矢量性 • 明确动量守恒的适用条件（系统、方向） • 熟记弹性碰撞的"一动碰一静"结论式 2. 构建知识网络 将动量与动能定理、机械能守恒、圆周运动等建立联系，掌握能量-动量双守恒问题的解题路径。 3. 典型题型训练 重点突破： • 多物体多过程问题（建议用时：15分钟/题） • 含弹簧的临界问题 • 流体冲击模型（微元法应用） 4. 关注创新题型 研究近3年新高考省份试题，特别注意： • 真实实验情境题（如DIS实验数据处理） • 理论联系实际类问题（如汽车碰撞测试分析） 1．（2025·浙江·高考真题）如图所示，光滑水平地面上放置完全相同的两长板A和B，滑块C（可视为质点）置于B的右端，三者质量均为。A以的速度向右运动，B和C一起以的速度向左运动，A和B发生碰撞后粘在一起不再分开。已知A和B的长度均为0.75m，C与A、B间动摩擦因数均为0.5，则（　　） A．碰撞瞬间C相对地面静止 B．碰撞后到三者相对静止，经历的时间为0.2s C．碰撞后到三者相对静止，摩擦产生的热量为 D．碰撞后到三者相对静止，C相对长板滑动的距离为0.6m 2．（2024·安徽·高考真题）在某装置中的光滑绝缘水平面上，三个完全相同的带电小球，通过不可伸长的绝缘轻质细线，连接成边长为d的正三角形，如图甲所示。小球质量为m，带电量为，可视为点电荷。初始时，小球均静止，细线拉直。现将球1和球2间的细线剪断，当三个小球运动到同一条直线上时，速度大小分别为、、，如图乙所示。该过程中三个小球组成的系统电势能减少了，k为静电力常量，不计空气阻力。则（    ） A．该过程中小球3受到的合力大小始终不变 B．该过程中系统能量守恒，动量不守恒 C．在图乙位置，， D．在图乙位置， 重点一动量定理及其应用 1.冲量的三种计算方法 公式法 I=Ft适用于求恒力的冲量 动量定理法 多用于求变力的冲量或F、t未知的情况 图像法 F-t图线与时间轴围成的面积表示力的冲量，若F与t成线性关系，也可直接用平均力求解 2.动量定理 (1)公式：FΔt=mv'-mv (2)应用技巧： ①研究对象可以是单个物体，也可以是多个物体组成的系统。 ②表达式是矢量式，需要规定正方向。 ③匀变速直线运动，如果题目不涉及加速度和位移，用动量定理比用牛顿第二定律求解更简捷。 ④在变加速运动中F为Δt时间内的平均力。 ⑤电磁感应问题中，利用动量定理可以求解时间、电荷量或导体棒的位移。 例题1. 质量为的物体，以初速度沿固定斜面开始上滑，到达最高点后再次返回到原出发点时速度大小为，假设物体在斜面上运动时受到的摩擦力大小不变，则（　　） A．整个过程中合力的冲量大小为 B．整个过程中摩擦力冲量的矢量和为零 C．上滑过程中重力的冲量比下滑过程中重力的冲量大 D．上滑过程和下滑过程中支持力的冲量均不为零 训练1. 如图所示，足够长的平行光滑金属导轨水平放置，宽度为，一端连接阻值为的电阻。导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为。质量为的导体棒放在导轨上，长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好，导轨和导体棒的电阻均可忽略不计。给导体棒一个向右的初速度，并以此时刻作为计时起点，在求导体棒的速度随时间变化的函数关系时，可与放射性元素的原子核发生衰变的情形作类比。放射性元素的原子核发生衰变时，单位时间内发生衰变的原子核个数与现存的，未衰变的原子核个数成正比：，其中为比例常数，“-”表示原子核个数减少，上述方程的解为：，其中为时刻未衰变的原子核个数，为时刻未衰变的原子核个数。则导体棒的速度随时间变化的函数关系为（    ） A． B． C． D． 重点二动量守恒定律及应用 动量守恒定律的三种表达形式 (1)m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'，作用前的动量之和等于作用后的动量之和。(常用) (2)Δp1=-Δp2，相互作用的两个物体动量的变化量等大反向。 (3)Δp=0，系统总动量的变化量为零。 例题2. 如图所示，左侧竖直墙面上固定半径为的光滑半圆环，右侧竖直墙面上与圆环的圆心等高处固定一水平光滑直杆。质量为的小球a套在半圆环上，质量为的小球b套在直杆上，两者之间用长为的轻杆通过两铰链连接。现将a从圆环的最高处静止释放，让其沿圆环自由下滑，不计一切摩擦，a、b均视为质点，取，则以下说法中正确的是（　　） A．小球a滑到与圆心等高的点时，a的速度大小为 B．小球a滑到与圆心等高的点时，a的向心加速度为 C．小球a从点下滑至杆与圆环相切的点图中未画出过程中，a、b两球组成的系统机械能、动量均守恒 D．小球a从点下滑至杆与圆环相切的点图中未画出的过程中，杆对小球b做的功约为 训练2. 2021年5月15日，天问一号着陆巡视器成功着陆于火星，中国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功。携带火星车的着陆器与环绕器分离后，最后阶段利用反推火箭在火星表面实现软着陆，设着陆器总质量为，极短时间内瞬间喷射的燃气质量是，为使着陆器经一次瞬间喷射燃气后，其下落的速率从减为，需要瞬间喷出的燃气速率约为（　　） A． B． C． D． 重点三 碰撞模型 1.两种碰撞的特点 弹性 碰撞 举例：一动碰一静 动量守恒mv1=m1v1'+m2v2' 机械能守恒m1=m1v1'2+m2v2'2 解得 v1'=， v2'= 结论： (1)m1=m2时，v1'=0，v2'=v1，即两球碰撞后交换了速度 (2)当m1>m2时，v1'>0，v2'>0，碰后两球都沿v1方向运动，当m1≫m2时v1'=v1，v2'=2v1 (3)m1<m2时，v1'<0，v2'>0，碰后入射小球反弹，当m1≪m2时，v1'=-v1，v2'≈0 完全 非弹 性碰 撞　 碰后两球粘在一起末速度相同 动量守恒m1v1+m2v2=(m1+m2)v，机械能损失最多 损失的机械能 ΔE=m1+m2-(m1+m2) 例题3. 如图所示。上表面粗糙的长木板P放在光滑水平面上，长木板中央放置两质量大小关系未知的物块M和N，两物块与板间的动摩擦因数均相同。M和N之间有一压缩的轻弹簧（弹簧与两物块均不拴接），开始时板和两物块均静止。现同时释放M、N，弹簧将两物块弹开，两物块在长木板上滑动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．M、N组成的系统总动量一定守恒 B．M、N组成的系统总动量一定不守恒 C．若长木板向左运动，则物块M的质量一定小于物块N的质量 D．若长木板向左运动，则M、N组成的系统总动量方向一定向右 训练3. 如图所示，某超市两辆相同的手推购物车质量均为m、相距2L沿直线排列，静置于水平地面上。为节省收纳空间，工人给第一辆车一个瞬间的水平推力F使车自行运动，并与第二辆车相碰，且在极短时间内相互嵌套结为一体，以共同的速度运动了距离，恰好停靠在墙边。若车运动时受到的摩擦力恒为车重的k倍，忽略空气阻力，重力加速度为g。则工人给第一辆购物车水平推力F的冲量大小为（　　） A． B． C． D． 难点一 “保守型”碰撞拓展模型 图例 (水平面 光滑) 小球-弹簧模型 小球-曲面模型 小球-小球模型 达到 共速 相当于完全非弹性碰撞，系统水平方向动量守恒，满足mv0=(m+M)v共，损失的动能最多，分别转化为弹性势能、重力势能或电势能 再次 分离 相当于弹性碰撞，系统水平方向动量守恒，满足mv0=mv1+Mv2，机械能守恒，满足m=m+M 例题4. 如图所示，在水平面上放置一个质量为M的滑块，滑块的一侧AB是一个半径为R的弧形凹槽，A点切线水平。一个质量为m的小球以水平初速度从A点冲上滑块，重力加速度为g，不计一切摩擦。下列说法正确的是（　　） A．滑块和小球组成的系统总动量不守恒 B．滑块和小球组成的系统机械能不守恒 C．若，小球恰能到达滑块M上的B点 D．若小球能从B点离开滑块M，则小球到达滑块最高点B时，小球和滑块的水平方向速度相等 训练4. 如图所示，弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为的光滑弧形槽静止在足够大的光滑水平面上，底部与水平面平滑相切，一个质量也为的小球从槽顶部由静止下滑，假设小球与弹簧组成的系统在相互作用的全过程无机械能损失，则（　　） A．在下滑过程中，小球对槽的作用力做正功 B．在以后的运动过程中，小球和槽的动量始终守恒 C．被弹簧反弹前后，小球动量大小和方向均发生改变 D．被弹簧反弹后，小球一定能返回到槽上 难点二 “耗散型”碰撞拓展模型 图例 (水平面 或水平 导轨光滑) 未穿出 未滑离 达到共速 达到共速 相当于完全非弹性碰撞，满足mv0=(m+M)v共，损失的动能最多，分别转化为内能或电能 例题5. 为了研究多层钢板在不同模式下的防弹效果，建立如下简化模型。如图所示，两个完全相同的钢板A、B厚度均为d，质量均为m。第一次把A、B焊接在一起静置在光滑水平面上，质量也为m的子弹水平射向钢板A，恰好将两钢板击穿。第二次把A、B间隔一段距离水平放置，子弹以同样的速度水平射向A，穿出后再射向B，且两块钢板不会发生碰撞。设子弹在钢板中受到的阻力为恒力，不计子弹的重力，子弹可视为质点。下列说法正确的是（　　） A．第一次子弹射出B时，A的位移为d B．第一次子弹穿过A、B所用时间之比为 C．第二次子弹不能击穿钢板B，进入钢板B的深度为 D．第一次、第二次整个系统损失的机械能之比为 训练5. 长为L、质量为M的平板小车停在光滑水平面上，质量为m的木块（可视为质点，）以速度滑上小车的左端，如图甲所示，最后随小车一起运动；若小车以速度向左运动，将木块轻轻放在小车左端，如图乙所示，最终也随小车一起运动。则（　　） A．两种情况中木块相对小车滑行的距离相等 B．两种情况中木块最终随小车运动的速率相等 C．两种情况中木块与小车间摩擦产生的热不相等 D．两种情况中木块相对小车滑行的时间不相等 （建议用时：30分钟） 一、单选题 1．如图所示为跳台滑雪雪道的简化示意图，AO段为助滑道和起跳区，OB段为倾角为的着陆坡。运动员从助滑道的起点A由静止开始滑下，到达O点时以速度起跳，最后落在着陆坡面上的C点。已知的方向与水平方向的夹角也为a，O、C间距离为s。不计一切阻力，运动员可视为质点，则运动员从O点运动到C点的过程中（　　） A．最高点速度为0 B．重力的冲量大小 C．上升阶段处于超重状态 D．相同时间内速度的变化量不同 2．中国空间站在距地面高度约的轨道上做匀速圆周运动，该轨道远在距地面的卡门线（外太空与地球大气层的分界线）之上，但轨道处依然存在相对地心静止的稀薄气体，气体与空间站前端碰后瞬间可视为二者共速。空间站安装有发动机，能够实时修正轨道。已知中国空间站离地面高度为，地球半径为，地球表面的重力加速度为，将空间站视为如图所示的圆柱体，其运行方向上的横截面积为，稀薄气体密度为，不考虑其他因素对空间站的影响，则（　　） A．考虑到气体阻力，若空间站没有进行轨道修正，其高度降低，动能减小 B．空间站的速度大小为 C．气体对空间站前端作用力大小为 D．空间站发动机的功率为 3．喷泉水柱从横截面积为的喷口持续以速度竖直向上喷出，距喷口正上方处固定一水平挡板，水柱冲击到水平挡板后，在竖直方向水的速度瞬间变为零，在水平方向朝四周均匀散开，忽略空气阻力。已知水的密度，重力加速度取。设水柱对挡板的冲击力为，则图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图所示，弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为的光滑弧形槽静止在足够大的光滑水平面上，底部与水平面平滑相切，一个质量也为的小球从槽顶部由静止下滑，假设小球与弹簧组成的系统在相互作用的全过程无机械能损失，则（　　） A．在下滑过程中，小球对槽的作用力做正功 B．在以后的运动过程中，小球和槽的动量始终守恒 C．被弹簧反弹前后，小球动量大小和方向均发生改变 D．被弹簧反弹后，小球一定能返回到槽上 5．2023年9月，“天宫课堂”第四课演示在微重力环境下不同质量钢球的对心碰撞所产生的现象。如图，在空间站中将一个质量为500g的实心钢球A放到网格布前方（相对网格布静止），一个质量为300g的钢球B从左侧以0.4m/s的水平速度与钢球A发生对心碰撞，若钢球之间的碰撞可视为弹性碰撞，以下说法正确的是（    ） A．碰撞前钢球B不受重力的作用，处于完全失重状态 B．碰撞过程中钢球B对钢球A的作用力大于钢球A对钢球B的作用力 C．碰撞后钢球B向左运动，速度大小为0.3m/s D．碰撞过程中钢球A对钢球B的冲量大小为0.15N·s，方向水平向左 6．如图所示，光滑轨道固定在水平地面上，质量均为m、相距很近的A、B两小球静置于轨道水平部分。将质量为M的小球C从轨道圆弧部分的某高度处由静止释放，设所有碰撞均为弹性碰撞，下列说法正确的是（　　） A．若，C与A仅碰撞一次 B．若，A与B仅碰撞一次 C．若，C与A可碰撞两次 D．若，A与B可碰撞两次 7．如图所示，小物块a、b和c静置于光滑水平地面上。现让a以速度v向右运动，与b发生正碰，然后b与c也发生正碰。若a、b、c的质量可任意选择，碰撞可以是弹性也可以是非弹性的，各种可能的碰撞后，c的最大速度为（    ） A．4v B．6v C．9v D．12v 8．如图所示，质量为m、半径为R的四分之一光滑圆弧轨道小车静置于光滑水平面上，圆弧轨道最低点切线水平。一质量也为m的小球以水平初速度冲上小车，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．小球冲上小车的过程小球和小车组成的系统动量守恒 B．小球返回到小车左端时，小车将向左运动 C．无论小球初速度多大，小球最终都会从小车上返回 D．小球返回到小车左端后将相对地面向左做平抛运动 二、多选题 9．如图所示，两个四分之一圆弧体A、B静止在光滑的水平面上。A、B的圆弧面光滑，半径分别为和，底端切线均沿水平面且靠在一起。将一可视为质点的小物块C从A的圆弧面的顶端静止释放，A、C的质量分别为和，则以下说法正确的是（　　） A．整个过程ABC组成的系统动量守恒 B．C刚滑到A底端时，C距B的圆弧面底端的水平距离为 C．C刚滑到A底端时，C的速度为 D．若C滑到A底端后，恰好能滑上B的圆弧面顶端，则B的质量为 10．如图甲所示，光滑水平面上两物块A、B用轻质橡皮绳水平连接，橡皮绳恰好处于原长。t = 0时，A以水平向左的初速度v0开始运动，B的初速度为0，A、B运动的v − t图像如图乙所示。已知A的质量为m，0 ~ t0时间内B的位移为x0，t = 3t0时二者发生碰撞并粘在一起，则（　　） A．B的质量为2m B．橡皮绳的最大弹性势能为 C．橡皮绳的原长为 D．橡皮绳的原长为v0t0 11．如图甲所示，光滑的水平地面上静置一质量为M，半径为R光滑的圆弧体，圆心为O，一个质量为m的小球由静止释放，释放时小球和O点连线与竖直半径OA夹角为，滑至圆弧底部后与圆弧分离，此时小球相对地面的水平位移为x。改变小球释放时的角度，得到小球的水平位移x和的关系图像如图乙所示，重力加速度为g，关于小球下滑的过程，下列说法正确的是（　　） A．小球与圆弧面组成的系统动量守恒 B．圆弧体对小球做负功 C．圆弧体与小球的质量之比为 D．当为90°时，两者分离时小球的速度为 12．如图所示，水平面上放置着半径为R、质量为3m的半圆形槽，AB为槽的水平直径。质量为m的小球自左端槽口A点的正上方距离为R处由静止下落，从A点切入槽内。已知重力加速度大小为g，不计一切摩擦，下列说法正确的是（　　） A．槽向左运动的最大位移为0.5R B．小球在槽中运动的最大速度为 C．小球能从B点离开槽，且上升的最大高度小于R D．若槽固定，小球在槽中运动过程中，重力做功的最大功率为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$