专题02 勾股定理（考点串讲，3常考点+5重难点+3思想+4易错+押题预测）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（人教版）

八年级数学下学期·期中复习大串讲 串讲课件勾股定理（5考点&6题型） 人教版 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 三大常考点：知识梳理+针对训练 五大重难点 +三大思想技巧点拨+举一反三 四大易错易混经典例题 精选4道期中真题对应考点练 直角 正整 知识结构 3 1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边 为c，那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 在直角三角形中才可以运用 2.勾股定理的应用条件 一、勾股定理 3.勾股定理表达式的常见变形： a2＝c2－b2, b2＝c2－a2， A B C c a b 知识梳理 二、勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足 a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形. 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 2.勾股数 3.原命题与逆命题 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中 一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题. A B C c a b 考点1 勾股定理 1.在中， ,,,则 的长为( ) B A.5 B. C.3 D. 针对训练 2.[2024· 天津模拟] 如图，的顶点 的坐标为 ，顶点,分别在第一、四象限，且 轴， 若,，则点 的坐标是( ) D A. B. C. D. 6 3.[2024· 北京西城区期中] 如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上 形成一个长方形，以表示3的点为圆心，以长方形的对角线长为半径作 圆与数轴有两个交点，其中点 表示的数是( ) C A.5.2 B. C. D. 7 4.[2024· 浙江] 如图，正方形 由四个全等的直角 三角形 和中间一个小 正方形组成，连接.若， ，则 的长为( ) C A.5 B. C. D.4 8 5.（教材母题） 如图，图中所有的三角形都是 直角三角形，所有的四边形都是正方形，已知 ，，，，则 的值是 ( ) B A.18 B.10 C.36 D.40 9 6.[2024· 北京朝阳区期中] 如图，在中， ， ， ，，则 的长为 ( ) B A.1.5 B.2 C.3 D.4 [解析] 点拨： ， ， ， . ， ， 解得（负值已舍去）， . ， ， ， ， . 10 考点2 勾股定理的逆定理 7.[2024· 重庆铜梁区期中] 下列各组数中是勾股数的是( ) D A.，， B.1，2， C.4，5，7 D.5，12，13 8.在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是 ( ) C A. B. C. D. 11 9.下面三个定理中，存在逆定理的有( ) ①角平分线上的点到角的两边的距离相等； ②全等三角形的对应角相等； ③内错角相等，两直线平行. C A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 10.如图，在中，，，，以 为直径的 半圆过点，再分别以， 为直径向外作半圆，则阴影部分的面积 为____. 30 12 11.如图，已知等腰三角形 的底边长 ，是 上的一点，且 ， . （1）求证： ； 证明：,,， ， . 是直角三角形，且 . 13 （2）求 的面积. 解：设，则 . , . 在中， ， ， 即，解得 . . 的面积为 . 14 考点3 勾股定理及其逆定理的实际应用 12.（教材母题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水 一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何？”这是我国 数学史上的“葭生池中”问题.如图，即 ， ，，则 ( ) C A.8 B.10 C.12 D.13 15 13.（新考向数学文化）《勾股》中记载了这样一个问题：“今有开门去阃一尺不合2寸，问门广几何？”意思是：如图，推开两扇门 和，门边沿，两点到门槛的距离是1尺（1尺寸），两扇门的间隙为2寸，则门槛 长为_____寸. 101 16 14.（新情境生活应用）如图为某品牌婴儿车简化结构示意图.根据安全 标准需满足，现测得，， ， ，其中与之间由一个固定为 的零件连接 （即 ），通过计算说明该婴儿车是否符合安全标准. 17 解：在中， ，， ， 由勾股定理得 ， 在中，，， ， ， ， ， 是直角三角形， ，即 ， 该婴儿车符合安全标准. 18 题型一 一次折叠问题 1.如图，在中，， ， ，将折叠，使点落在边上的点 处，是折痕，则 的周长为( ) C A.6 B.8 C.12 D.14 题型剖析 19 2.[2024·莆田期中] 如图，， ， 将沿着直线折叠，点落在点 处， 与轴交于点，与交于点，则点 的坐 标是( ) B A. B. C. D. 20 3.如图，把一张长方形纸片沿折叠，点 与点 重合，点落在点处,连接.若长方形的长 为8， 宽 为4，求： （1）和 的长； 解： 四边形 为长方形， ,, . 由折叠得，， , 设，则 ， 在中， ， ，解得，， . 21 （2）阴影部分的面积. 解：过点作于点 ， ，， ， ， ， ， 即阴影部分的面积为 . 22 题型二 两次折叠问题 4.如图，在三角形纸片中， ，， .沿过 点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点 处；再折叠纸片，使 点与点重合，第二条折痕与的交点为，求 的长. 23 解：由折叠得， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则 ， ，解得，即 . 24 题型三 平面图形中的最短路径问题 图例 基本策略 模型一 ________________ 确定动点 所在的直线；利用对称性，将同侧的, 两点转化为异侧的两点，，则最短路径即为线段 ；常构造直角三角形 ，利用勾股定理求解 图例 基本策略 模型二 利用“垂线段最短”确定最短路径； 构造直角三角形，利用勾股定理求解 25 5.如图,正方形纸片的边长为3,点，分别在边,上,将, 分别沿，折叠，点,恰好都落在点处.已知,求 的长. 26 解：设，由折叠的性质，得, 正方 形 的边长为3， ,, . 由题意得，点，，三点共线. . 在中， , ，解得 . . 27 5.如图，在中， ,， 的平分线交于点,且，是边 上一动 点，则 的最小值为( ) C A.2 B. C.1 D. 6.[2024·天津和平区月考] 如图，在 中， ，，，为 边上一动 点，连接，与关于直线 对称，连 接，则 的最小值为( ) B A. B.1 C. D. 28 7.[2024·佛山禅城区期中] 如图，在等边三角形 中，是高，点,分别在,上， 点是边 上的动点，连接,,若，，则 的最小值为( ) B A.4 B.5 C.6 D.7 [解析] 点拨：如图，作点关于直线的对称点 ， 连接交于点，连接 ， 易知此时 的值最小，最小值为 ， 是等边三角形， 是高， , 由对称可知，, ， ， , 的最小值为5. 29 8.如图，在中，，，且，若点 在 边上（不含端点）运动，则线段 的最小值为___. [解析] 点拨：根据垂线段最短知， 当时， 的值最小， ,,, ， 当时， ， 即, , 此时 , 点在边上， 线段的最小值为 . 30 9.[2024·成都] 如图，在平面直角坐标系中，已知， ， 过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则 的最小值为___. 5 31 [解析] 点拨：如图，作点关于直线的对称点 ， 连接交直线于点，连接， ， 则，， ， ， 当,,三点共线，即点与点 重合时， 的值最小，为线段 的长， 直线轴， 轴. ，，,， ， 在 中， . 的最小值为5. 32 题型四 几何体中的最短路径问题 图例 基本策略 圆柱 __________________________________________ 将立体图形展开成平面图形， 利用“两点之间，线段最短”确 定最短路径；构造直角三角 形，利用勾股定理求解 注意：长方体不同的展开方法 构造的直角三角形的各边长不 同，因此要先分类讨论再计算 比较 33 图例 基本策略 长方体 ___________________________________________________ 将立体图形展开成平面图形， 利用“两点之间，线段最短”确 定最短路径；构造直角三角 形，利用勾股定理求解 注意：长方体不同的展开方法 构造的直角三角形的各边长不 同，因此要先分类讨论再计算 比较 阶梯 ____________________________________________________________________________ 续表 34 10.小南同学报名参加了攀岩选修课，攀岩墙近似一个 长方体的两个侧面，如图所示.他根据学过的数学知 识准确地判断出，从点攀爬到点 的最短路径长为 ( ) D A. B. C. D. 11.如图，圆柱的轴截面 是边长为4的正方形，动点 从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点 的最短 距离的平方为( ) A A. B. C. D. 35 12.[2024·武汉经开区期末] 如图，长方体的长、宽、高分别为 ， ，，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点 ，则蚂蚁爬行 的最短路径的长是______ . 36 [解析] 点拨：如图①，展开前面和上面，连接 , ；如图 ②，展开前面和右面，连接 ， ；如图③，展 开左面和上面，连接 ， . ， 最短路径的长为 . 37 13.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、 宽、高分别为，和，和 是这个台阶的两个相对的端点， 点处有一 只蚂蚁，想到 点去吃可口的食物，则这只 蚂蚁从点出发沿着台阶爬到 点的最短距离 是____ . 73 38 [解析] 点拨：将台阶展开成平面图形，连接 , 如图所示. 因为每级台阶长、宽、高分别为， 和 ， 所以 ， , 在中， , 所以最短距离是 . 39 14.如图，长方体的长和宽分别为和，高为 . 如果用一根细线从点开始经过四个侧面缠绕一圈达到点 ，那么所用 细线最短需要______ . 40 题型五 利用数形结合解决最短路径问题 15.[2024·莆田涵江区期中] 【问题背景】 在中，，，三边的长分别为，， ，求这个三 角形的面积.小蔡同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格 （每个小正方形的边长均为1），然后在网格中画出格点 （即三个顶点都在小正方形的顶点处， , , ），如图①.这样不需求 的高，借用网格就能计算出它的面积.这种求 面积的方法 叫做构图法. 41 【问题解决】 （1）借用网格计算出图①中 的面积为_ _. 42 【思维拓展】 （2）请运用构图法比较与 的大小，在图②的正方形网格 （每个小正方形的边长均为1）中画出相应的图形. 解：如图①，由图可得, , ， 由三角形的三边关系可知 ， . 43 【探索创新】 （3）已知是正数，请运用构图法求出 的最小 值.（画出相应的图形） 解：如图②， 的最小值可转 化为平面直角坐标系中轴正半轴上一点 到 , 两点的距离的和的最小值， 作关于轴的对称点，连接， ， 44 则， ， 当,,三点共线时，的值最小，最小值为 的长度. ， ， ， 的最小值为 . 45 思想 方程思想 1 如图2，△ABC是直角三角形，DE是AB的垂直平分线. 若AC＝4 cm，BC＝3 cm，求CE的长. 例 1 解题秘方：CE是Rt△EBC的直角边，设CE为x cm，则BE可用含x的代数式表示，由勾股定理列出关于x的方程，解之 即可. 思想 方程思想 1 如图2，△ABC是直角三角形，DE是AB的垂直平分线. 若AC＝4 cm，BC＝3 cm，求CE的长. 例 1 解：设CE＝x cm. ∵AC＝4 cm，∴AE＝AC－CE＝(4－x) cm. ∵ DE是AB的垂直平分线， ∴ BE＝AE＝(4－x) cm. 在Rt△EBC中，∵ CE2＋BC2＝BE2，BC＝3 cm， ∴ x2＋32＝(4－x)2，解得x＝. ∴ CE的长为cm. 1.如图，在中，，于点.若 ， ，则 的长为______. [解析] 点拨：，， . 设，则 ， 在中， ， ，解得或 （舍去）. . 在中， ， . 48 2.如图，在中，，，，把 折叠，使落在 边所在的直线上，且点的对应点为，折痕为 ，则重叠部分（阴影部分） 的面积是____. 36 [解析] 点拨：，， ， ， ， 设，由折叠的性质可得， ， . 在中， ， ，解得 ， 阴影部分的面积为 . 49 思想 转化思想 2 例 2 如图3，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是多少？ 解题秘方：求空间几何体表面的最短路程 问题，通常可将几何体表面展开，把立体 图形问题转化为平面图形问题. 思想 转化思想 2 例 2 如图3，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是多少？ 解：如图4所示是三级台阶的部分平面展开图，其为长方形， 长为20dm，宽为(2＋3)×3＝15(dm)， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理，得AB＝＝25(dm). 答：蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是25 dm. 3.如图，在桌面上放置一个正方体，正方体的棱长为，点 为一 条棱的中点，蚂蚁在正方体表面爬行，从点爬到点 的最短路程是 ( ) C A. B. C. D. 4.如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池示意图，该 型池可以 看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是 直径为 的半圆，其边缘，点在上， ，一名滑板爱好者从点滑到 点，则他滑行的最短距离约为（边缘部分的 厚度忽略不计， 取3，结果精确到 ）( ) C A. B. C. D. 52 思想 分类讨论思想 3 例 3 如图6是一块直角三角形的绿地，量得直角边BC长为6 m，AC长为8 m，现在要将原绿地扩充 成等腰三角形，且扩充的部分是以AC 为直角边的直角三角形，求扩充后的等 腰三角形绿地的周长. ②如图7 ②，当AB＝BD＝10 m 时. ∵ BC＝6m，∴ CD＝10－6＝4(m). ∴AD＝＝＝4(m). ∴ △ABD的周长＝10＋10＋4＝(20＋4)m. ③如图7 ③，当AB为底时，设AD＝BD＝x m，则 CD＝(x－ 6)m. 在Rt△ACD 中，由勾股定理，得 AD2＝AC2＋CD2，即82＋(x－6)2＝x2，解得x＝． ∴ △ABD的周长＝AD＋BD＋AB＝＋＋10＝(m). 综上所述，扩充后的等腰三角形绿地的周长为32 m或(20 ＋4)m或m. 5.[2024· 杭州萧山区期中] 在中，，， 边 上的高，则 的长为_______. 14或4 6.设直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为.若，， 均 为正整数，且 ，求满足条件的直角三角形的个数，并 求出满足条件的直角三角形的三边长. 解：由题意及勾股定理可得 ， ， ， ， 整理得，即 . 55 不妨设，，， 均为正整数， 或或 或或 当，时，；当，时， ； 当，时， . 满足条件的直角三角形有3个，三边长分别为7，24，25和8，15，17 和9，12，15. 56 易错易混 B 押题预测 61 2.[2024天津期中]三角形的三边长分别为a2＋b2，2ab， a2－b2(a，b都是正整数)，则这个三角形是(　　) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 A 62 3．[2024茂名高州期中]如图，一辆小汽车在一条城市的街路3上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30 m的C处，过了5 s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50 m，则这辆小汽车的速度是________m/s. 8 63 4. [2024枣庄期末]如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变． (1)若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米， 求男子需向右移动的距离．(结果保留根号) 64 返回 (2)在(1)的条件下，此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？ 65 12．[2024清华附中期中]在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是(　　) A．∠A＋∠B＝90° B．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 C．a∶b∶c＝3∶4∶5 D．a＝b＝1，c＝ 【点拨】依题意，在Rt△ABC中，AC＝30 m，AB＝50 m，∴根据勾股定理可得BC＝＝40 m，故小汽车的速度为＝8(m/s)． 【解】∵∠AFC＝90°，AF＝24米，CF＝7米， ∴AC＝＝25(米)．∵BF＝AF－AB＝24－18＝6(米)，∴BC＝＝＝(米)． ∴CE＝AC－BC＝(25－)米． 答：男子需向右移动的距离为(25－)米． 【解】∵需收绳的绳长为AC－CF＝25－7＝18(米)，且此人以0.5米每秒的速度收绳，∴收绳的时间为＝36(秒)＞30秒．答：该男子不能在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置． $$