第01讲 矩形的性质和判定（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（浙教版）

第01讲 矩形的性质和判定 【题型1 利用矩形的性质求角度】 【题型2根据矩形的性质求线段长】 【题型3根据矩形的性质求面积】 【题型4矩形与折叠问题】 【题型5矩形的判定】 【题型6 矩形的性质与判定综合】 考点 1：矩形的性质 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2）对角线相等 （3）四个角都是直角。 注意：（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） 【题型1 利用矩形的性质求角度】 【典例1】（2025九年级下·浙江·学业考试）将两张矩形纸条按如图方式叠放．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．先根据矩形的性质得到，，再根据平行线的性质得到，，进而可求解． 【详解】解：如图， 由矩形性质，得，， ∴，， ∴， 故选：B． 【变式1-1】（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，四边形是矩形，对角线，相交于点，过点作的垂线交于点．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形内角和性质，先由矩形的性质得，则，，再结合过点作的垂线交于点，得出，最后进行角的运算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵过点作的垂线交于点， ∴， ∴， 故选：B 【变式1-2】（24-25九年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图，直线，矩形的顶点在直线上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键. 延长交于点，根据平行线的性质，得到，根据矩形的性质得到，根据直角三角形的性质计算即可得到答案. 【详解】解：如图，延长交于点， ， ， 矩形， ， ， ， ， 故选：C. 【变式1-3】（23-24八年级下·天津南开·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，根据题意，则，点是对角线的交点，则，根据等边对等角，则，，再根据，等边三角形的三线合一，即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 故选：C． 【题型2根据矩形的性质求线段长】 【典例2】（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，在矩形中，点C的坐标为，则的长为（   ） A．3 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，两点之间距离公式，解题的关键是矩形对角线相等． 利用矩形对角线相等得到，再由两点之间距离公式求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 故选：C． 【变式2-1】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，在矩形中，对角线，交于点，若，则的长为（    ） A．3 B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质，根据矩形的对角线互相平分且相等进行解答即可． 【详解】解：∵在矩形中，对角线，交于点O， ∴，， ∵， ∴． 故选：A． 【变式2-2】（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点．若，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，根据题意可得是等腰直角三角形，则，根据，即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，的平分线交于点． ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴， 故选：C． 【变式2-3】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，，若，，则的长为（    ）． A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．由直角三角形的性质可求，由勾股定理可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，F为的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【题型3根据矩形的性质求面积】 【典例3】（23-24八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，矩形面积为40，点在边上，，，垂足分别为．若，则（    ）． A．4 B．2.5 C．5 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积公式，令与相交于点，连接，由矩形的性质得出，，结合，计算即可得出答案，熟练掌握矩形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，令与相交于点，连接， ， ∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形面积为40， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3-1】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，由矩形的性质可证明，即可求解． 【详解】解：作于，交于． 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ，，，，， ， ， 故选：C． 【变式3-2】（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形，并使其最小内角为，则这个四边形周长不变，面积变为原来的 ． 【答案】一半//0.5 【分析】主要考查了平行四边形的面积公式和基本性质，直角三角形中，的角对的直角边等于斜边的一半．作出高构造含有的直角三角形是解题关键． 过点作于点，在直角三角形中，，可得，再由平行四边形面积公式可得面积为矩形面积的一半． 【详解】解：如图，过点作于点， 在直角三角形中， ∵ ∴， ． 故答案为：一半． 【变式3-3】（22-23八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，在矩形中，过对角线上一点分别作，，其中点，，、分别在边、、、上，记四边形的面积为，四边形的面积为，则与的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质．由矩形的性质可得，，，由题意可证四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，可得，，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ∴，，， ∵，， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，， ，， ， 故答案为：． 【题型4矩形与折叠问题】 【典例4】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，将矩形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线F处．若，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，勾股定理，解题的关键是掌握折叠的性质．根据矩形的性质和勾股定理可得，，根据折叠可得，进而得到，设，则，在中根据勾股定理即可求解． 【详解】在矩形中， ， ， ∴， ， 根据折叠可得： ， ∴， 设， 则， ， ， 在中： ， 解得： ， 故选A 【变式4-1】（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，四边形为一矩形纸带，点、分别在边、上，将纸带沿折叠，点A、D的对应点分别为，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查折叠性质及平行线性质，结合已知条件求得是解题的关键．结合已知条件，利用折叠性质求得的度数，然后利用平行线性质即可求得答案． 【详解】， ， 由折叠性质可得：， ， ， 故选：D． 【变式4-2】（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，矩形沿着直线折叠，使点C落在点处，，，则的长度为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，根据折叠的性质，得出DE＝BE是解决问题的关键． 根据折叠和矩形的性质，可以得出，得到，在中，利用勾股定理可求出的长，进而得到答案． 【详解】解：由折叠得，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 解得，， ∴． 故选：B． 【变式4-3】（23-24八年级下·云南大理·期中）如图所示，在矩形中，，，若将矩形沿折叠，使点落在边的点处，则线段的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理．根据折叠的性质及矩形的性质可得：，，由勾股定理计算出，得到，设，则，由勾股定理得：，得到，求出的值即可． 【详解】解：四边形是长方形，，， ，，， 由折叠的性质可得：，， ， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， 故选：C． 考点2：矩形的判定 ※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）四个角都相等的四边形是矩形。 【题型5矩形的判定】 【典例5】（24-25九年级上·全国·期中）如图，在中，，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交于的延长线于点，且，连接． (1)求证：是的中点； (2)求证：四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）可证，得出，进而根据，得出是中点的结论； （2）若，则是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知；而与平行且相等，故四边形是平行四边形，又，则四边形是矩形． 【详解】（1）证明：是的中点， ∵， ， ， 又， ，即是的中点； （2）证明：，， 四边形是平行四边形 ，， 即 四边形是矩形． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质、矩形的判定等知识综合运用，熟记特殊平行四边形的判定方法是解题的关键． 【变式5-1】（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查矩形的判定定理、菱形的定义和菱形的判定定理等知识，由平行四边形的性质得，则，而，所以，推导出，则四边形是菱形，可判断A不符合题意；由四边形是平行四边形，且，可推导出四边形是矩形，可判断B符合题意；由四边形是平行四边形，且，可证明四边形是菱形，可判断C不符合题意；由四边形是平行四边形，且，可判断四边形是菱形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形，但不一定是矩形， 故A不符合题意； 四边形是平行四边形，且， 四边形是矩形， 故B符合题意； 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形，但不一定是矩形， 故C不符合题意； 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形，但不一定是矩形， 故D不符合题意， 故选：B． 【变式5-2】（23-24八年级下·河南商丘·期末）如图，在中，对角线与相交于点 O，添加下列条件后不能判定为矩形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形与菱形的判定，掌握矩形的判定方法是关键．根据矩形的判定方法进行分析即可． 【详解】解：A、，由一个角为直角的平行四边形是矩形知，为矩形，故此选项不符合题意； B、，由对角线相等的平行四边形是矩形可知，为矩形，故此选项不符合题意； C、不能判定为矩形，故此选项符合题意； D、∵ ∴， ∵中，， ∴， 由对角线相等的平行四边形是矩形可知，为矩形，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式5-3】（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，在中，，点、分别是边、的中点，延长到，使得，试判断四边形的形状，并说明理由．    【答案】矩形；理由见解析 【分析】此题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、等腰三角形的性质等知识．先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再利用三线合一证明，即可证明四边形是矩形． 【详解】解：四边形是矩形 理由如下：是中点， ， 又， 四边形是平行四边形； ，是中点， ， ， 四边形是矩形． 【题型6矩形的性质与判定综合】 【典例6】（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，两点分别在边，上，连接，，，，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若平分，且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质与判定、平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质得到，，，由得到，进而得到，再通过证明得到，最后利用矩形的判定即可证明； （2）根据角平分线的定义得到，再利用平行线的性质得到，则有，由（1）中的结论可得，，设，在和利用勾股定理建立方程，解方程求出的值即可解答． 【详解】（1）证明：， ，，， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形为矩形． （2）解：， ，，， 平分， ， ， ， ， ， 由（1）中的结论得，，，四边形为矩形， ，， 设，则， 在中，， 在中，， ， 解得：， 的长为． 【变式6-1】（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图，在中，，平分，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若是边长为4的等边三角形，相交于点O，在上截取，连接，求线段的长及四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)；四边形的面积为 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理等知识点的应用，题目是一道综合性比较强的题目，难度适中． （1）根据平行四边形判定得出平行四边形，再根据矩形判定推出即可； （2）分别求出、、、的长，再求出三角形和三角形的面积，即可求出答案． 【详解】（1）证明：且， 四边形是平行四边形， 在中，，平分， ， ， 四边形是矩形； （2）解：是等边三角形，边长为4， ，，， 四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴，， ， ， 过作于， 则， ∵， ， ． 【变式6-2】（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，在中，，点D是的中点，点F是的中点，，连结并延长交于点E，连结． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形； (3)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，再证明四边形是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得，则，然后由矩形的判定即可得出结论； （3）证明，再由等边三角形的性质得，，然后由勾股定理得，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中，， ∴； （2）证明：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （3）解：由（2）知，四边形是矩形， ∵，， ∴， ∵为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 【变式6-3】（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）平行四边形中，过点D作于点E，点F在上，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，且，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)20． 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，等角对等边，勾股定理等等： （1）先由平行四边形的性质得到，再由即可证明四边形是平行四边形，再根据即可证明四边形是矩形； （2）先证明，得到，再由勾股定理求出，则矩形的面积为． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：， ， 平分， ， ， ， 在中，，， ， 矩形的面积为． 一、单选题 1．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在中，，，点D为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵，点D为的中点， ∴， 故选A． 2．（23-24八年级下·广西防城港·期末）如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是（    ） A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题关键．根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，为此要测量两组对边是否相等，根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形为矩形，所以还要测量它们的两条对角线是否相等； 【详解】解：如图， ∵两组对边的长度分别相等，，， ∴四边形为平行四边形， 又∵测量它们的两条对角线相等，， ∴平行四边形为矩形． 故选择B． 3．（22-23八年级下·黑龙江绥化·期末）矩形中，对角线相交于点O，如果，那么的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质证得，根据三角形的内角和定理即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理等知识，掌握矩形的性质是解题的关键． 4．（22-23八年级下·广东韶关·期末）把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为．若，，则的长为（    ）    A．3 B．4 C．4.8 D．5 【答案】D 【分析】根据长方形的性质得出，，由折叠的性质可得：，设，则，根据勾股定理得出：，解方程即可得出答案． 【详解】解：∵长方形中，， ∴，， 由折叠的性质可得：， 设，则， 根据勾股定理得出：， 解得：，即， 故选：D． 【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键． 二、填空题 5．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，，点在上，四边形是矩形，且，连接交于点，连接．则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键． 根据矩形性质得，根据得为等边三角形，则，由此为等边三角形，则，进而得，然后在中由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：四边形是矩形，对角线，交于点， ， ， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ． 故答案：． 6．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使、；然后摆放成如图②四边形；将直角尺紧靠窗框的一个角（如图③）调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学原理是： ． 【答案】 矩 有一个角是直角的平行四边形是矩形 【分析】本题考查的是平行四边形和矩形的判定，根据两组对边相等的四边形是平行四边形和有一个角是直角的平行四边形是矩形，作答即可． 【详解】因为、， 所以窗框是平行四边形， 当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，即有一个角是直角的平行四边形是矩形． 故答案为：矩，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 7．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作，点E恰好为的中点，，则矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握矩形的对角线相等且平分，是解题的关键．先证明是等边三角形，求出，进而求出，利用即可得解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵，点E恰好为的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴，， ∴矩形的面积为； 故答案为：． 8．（2022·青海·中考真题）如图矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，首先证明，由此可得出，则可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∴ , 又 ∴， ∴ ∴ 故答案为：3 9．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，矩形中，，点P在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点Q，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】由矩形，可得，由勾股定理得，，则，，由，可得，则，，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，，， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边对等角，等角对等边．熟练掌握矩形的性质，勾股定理，等边对等角，等角对等边是解题的关键． 三、解答题 10．（2024·山东济南·模拟预测）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，垂足分别为E，F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解决问题的关键． 根据矩形的性质求出，根据推出即可证得结论． 【详解】证明：四边形是矩形， ． ，， ．． ， ， ． 11．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，已知点E、F在的对角线上，且于点E，． 求证： (1)； (2)四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质． （1）利用平行四边形的性质得到，，再利用即可证明； （2）由，推出，，由邻补角的性质求得，得到，据此即可证明四边形为矩形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 12．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理： （1）利用平行四边形的性质和平行线的性质分析可得，从而求证四边形是矩形； （2）利用勾股定理求得的长度，从而利用矩形和平行四边形的性质求出的长度，再根据梯形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：在中，， 在平行四边形中，， 在矩形中，， ∴四边形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 矩形的性质和判定 【题型1 利用矩形的性质求角度】 【题型2根据矩形的性质求线段长】 【题型3根据矩形的性质求面积】 【题型4矩形与折叠问题】 【题型5矩形的判定】 【题型6 矩形的性质与判定综合】 考点 1：矩形的性质 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2）对角线相等 （3）四个角都是直角。 注意：（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） 【题型1 利用矩形的性质求角度】 【典例1】（2025九年级下·浙江·学业考试）将两张矩形纸条按如图方式叠放．若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，四边形是矩形，对角线，相交于点，过点作的垂线交于点．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图，直线，矩形的顶点在直线上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24八年级下·天津南开·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【题型2根据矩形的性质求线段长】 【典例2】（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，在矩形中，点C的坐标为，则的长为（   ） A．3 B． C． D．4 【变式2-1】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，在矩形中，对角线，交于点，若，则的长为（    ） A．3 B． C． D．6 【变式2-2】（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点．若，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式2-3】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，，若，，则的长为（    ）． A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【题型3根据矩形的性质求面积】 【典例3】（23-24八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，矩形面积为40，点在边上，，，垂足分别为．若，则（    ）． A．4 B．2.5 C．5 D．10 【变式3-1】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（  ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形，并使其最小内角为，则这个四边形周长不变，面积变为原来的 ． 【变式3-3】（22-23八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，在矩形中，过对角线上一点分别作，，其中点，，、分别在边、、、上，记四边形的面积为，四边形的面积为，则与的大小关系是 ． 【题型4矩形与折叠问题】 【典例4】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，将矩形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线F处．若，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．2 【变式4-1】（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，四边形为一矩形纸带，点、分别在边、上，将纸带沿折叠，点A、D的对应点分别为，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，矩形沿着直线折叠，使点C落在点处，，，则的长度为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式4-3】（23-24八年级下·云南大理·期中）如图所示，在矩形中，，，若将矩形沿折叠，使点落在边的点处，则线段的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D． 考点2：矩形的判定 ※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）四个角都相等的四边形是矩形。 【题型5矩形的判定】 【典例5】（24-25九年级上·全国·期中）如图，在中，，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交于的延长线于点，且，连接． (1)求证：是的中点； (2)求证：四边形为矩形． 【变式5-1】（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24八年级下·河南商丘·期末）如图，在中，对角线与相交于点 O，添加下列条件后不能判定为矩形的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，在中，，点、分别是边、的中点，延长到，使得，试判断四边形的形状，并说明理由．    【题型6矩形的性质与判定综合】 【典例6】（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，两点分别在边，上，连接，，，，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若平分，且，，求的长． 【变式6-1】（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图，在中，，平分，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若是边长为4的等边三角形，相交于点O，在上截取，连接，求线段的长及四边形的面积． 【变式6-2】（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，在中，，点D是的中点，点F是的中点，，连结并延长交于点E，连结． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形； (3)若，求四边形的面积． 【变式6-3】（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）平行四边形中，过点D作于点E，点F在上，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，且，求矩形的面积． 一、单选题 1．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在中，，，点D为的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广西防城港·期末）如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是（    ） A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 3．（22-23八年级下·黑龙江绥化·期末）矩形中，对角线相交于点O，如果，那么的度数是（　　）    A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·广东韶关·期末）把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为．若，，则的长为（    ）    A．3 B．4 C．4.8 D．5 二、填空题 5．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，，点在上，四边形是矩形，且，连接交于点，连接．则 ． 6．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使、；然后摆放成如图②四边形；将直角尺紧靠窗框的一个角（如图③）调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学原理是： ． 7．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作，点E恰好为的中点，，则矩形的面积为 ． 8．（2022·青海·中考真题）如图矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为 ． 9．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，矩形中，，点P在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点Q，连接，则的长为 ． 三、解答题 10．（2024·山东济南·模拟预测）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，垂足分别为E，F．求证：． 11．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，已知点E、F在的对角线上，且于点E，． 求证： (1)； (2)四边形为矩形． 12．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$