第01讲 多边形（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（浙教版）

第01讲 多边形 【题型 1 多边形及正多边形的概念判断】 【题型 2 多边形的对角线】 【题型 3 多边形的内角和】 【题型4 多边形的外角和】 【题型 5 截角问题】 【题型 6 多边形内角和和外角和-平行线】 【题型 7 多边形内角和和外角和-角平分线】 【题型 8 多边形内角和和外角和的实际应用】 【题型 9 多边形内角和和外角和的综合应用】 【题型10 密铺问题】 知识点1：多边形 （1） 多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。 （2）正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 【题型 1 多边形及正多边形的概念判断】 【典例1】下列长度的两条线段与长度为2，5的线段首尾依次相连能组成四边形的是（    ） A．1，1 B．1，8 C．1，2 D．2，3 【变式1-1】下列图形中，属于多边形的是（　　） A．  B．  C．  D．   【变式1-2】定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】下列说法中，正确的个数是（　　） ①等腰三角形是正多边形； ②等边三角形是正多边形； ③长方形是正多边形； ④正方形是正多边形． A．1 B．2 C．3 D．4 知识点2：多边形的对角线 n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数： 【题型 2 多边形的对角线】 【典例2】过多边形的一个顶点出发可以引出2024条对角线，则这个多边形的边数是（    ）． A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【变式2-1】从多边形的一个顶点出发可以引出条对角线，这个多边形的边数为（　　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式2-2】过六边形的每个顶点都有n条对角线，则n的值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【变式2-3】若一个多边形从一个顶点最多能引出5条对角线，则这个多边形是 ． 知识点3：多边形的内角和与外角和 （1）n 边形的内角和公式： （n-2）×180°； （2）正多边形的每个内角 知识点4：多边形的外角和 （1）n 边形的外角和： 360° （2）正多边形每个外角的度数： 【题型 3 多边形的内角和】 【典例3】一个八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】一个n边形的内角和是，则n的值是（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式3-2】八边形的内角和是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型4 多边形的外角和】 【典例4】正六边形每一个外角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式4-2】五边形的外角和为 度． 【变式4-3】在剪纸活动中，小花同学想用一张长方形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与长方形的边重合，如图所示，则的大小是 度． 知识点4：截角问题 n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n+1边形 【题型 5 截角问题】 【典例5】将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（     ） A． B． C．或 D．或或 【变式5-1】一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，原多边形的边数是（    ）． A．8或9或10 B．7或8或9 C．6或7或8 D．5或6或7 【变式5-2】一个多边形截去一个角后，形成一个七边形，那么原多边形边数为（   ）． A．6 B．6或7 C．6或8 D．6或7或8 【变式5-3】若一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形内角和为，则原多边形的边数（    ） A．12 B．11或12 C．12或13或14 D．11或12 或13 知识点 5： 多边形的内角和和外角和的综合应用 平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。 【题型6 多边形内角和和外角和-平行线】 【典例6】如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（　 　） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，在五边形中，，，，则的大小为（    ） A．70° B．75° C．80° D．85° 【变式6-2】如图，将透明直尺叠放在正五边形上，若正五边形有两个顶点恰好落在直尺的边上，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，五边形是正五边形，若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【题型 7 多边形内角和和外角和-角平分线】 【典例7】如图，正五边形，平分，平分正五边形的外角，则（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，在四边形中，的角平分线与的角平分线相交于点P，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，在五边形中，分别平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，在正六边形中，连接平分，交延长线于点G，则为（    ）    A． B． C． D． 【题型 8 多边形内角和和外角和的实际应用】 【典例8】如图，随着科技的不断进步，人工智能机器人逐渐走进人们的生活，在完成某项任务时，机器人小胖从点O出发，沿直线前进8米后向左转，再沿直线前进8米向左转相同的度数，……照这样走下去，当机器人小胖第一次回到了出发点时，共走过了160米，则机器人小胖每次转过的角度n的值为（       ） A．10 B．18 C．20 D．30 【变式8-1】如图，小亮从点出发前进，向右转，再前进，又向右转，……这样他以3m/s的速度匀速的一直走下去，他第一次回到出发点时，一共走了（   ）s．    A．24 B．40 C．80 D．240 【变式8-2】“花影遮墙，峰峦叠窗”，空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．如图是窗棂中的部分图案．若，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型 9 多边形内角和和外角和的综合应用】 【典例9】如图，在七边形中，，的延长线交于点O，外角的和等于，则的度数是 ． 【变式9-1】一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原多边形的边数是为 ． 【变式9-2】一个多边形内角和的度数比外角和的度数的倍多度，则多边形的边数为 【变式9-3】若一个多边形的内角和与外角和之差为，那么此多边形的边数为 ． 【题型10 密铺问题】 【典例10】用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．下列图形中不能与正三角形镶嵌整个平面的是（   ） A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．正十二边形 【变式10-1】用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做平面镶嵌问题．如图，利用相同边长的正三角形可以进行平面镶嵌．请问下列图形或图形组合无法进行平面镶嵌的是(   ) A．全等三角形 B．正方形 C．正三角形 D．正五边形 【变式10-2】用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖叫做平面镶嵌，下列正多边形的组合不可以用来平面镶嵌的是（    ） A．正三角形和正方形 B．正三角形与正六边形 C．正方形与正八边形 D．正六边形与正八边形 【变式10-3】在下列结论中，不正确的是（   ） A．用正三角形能够进行平面镶嵌 B．用正四边形能够进行平面镶嵌 C．用正五边形能够进行平面镶嵌 D．用正六边形能够进行平面镶嵌 1、 单选题 1．若一个多边形每一个内角都为，则这个多边形的边数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在正五边形中，延长，交于点F，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在六边形中，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知某多边形的内角和等于外角和的2倍，则该多边形的边数是（    ） A．6 B．7 C．4 D．5 5．在春节灯谜会上，主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，如图，与为该正多边形的一组相邻边，小亮量得，则这个正多边形的边数为（  ） A．9 B．10 C．11 D．12 6．如图，以正方形的边向外作正六边形，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，小明从A点出发，前进到点B处后向右转，再前进到点C处后又向右转，……，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，、、、是五边形的4个外角，若，则 ． 9．如图1所示的冰裂纹窗棂在古建筑中被广泛应用，图2是这种窗棂中的部分图案．若，则的度数为 ． 10．如图，以正六边形的边向内作正方形，则的度数为 ． 11．如图，五边形中，，、、分别是、、的外角，则等于 ． 12．如图，小明从点出发沿直线前进，到达点后，向左转角度，再沿直线前进，到达点后，又向左转角度，…，照这样走下去，第一次回到出发点，小明共走了，则每次向左转的度数为 ． 13．如图是由射线组成的平面图形，若，则 ． 14．如图，正六边形的边长为，是对角线，则是 ．    15．如图，一束平行光线照射到正五边形上，若，则 16．如图，作五边形中，的延长线相交于点F．若，则等于 度．    17．如图，点是正六边形内的一点，连接，若平分，，则 ． 三、解答题 18．如图，在五边形中，，求图中的度数．    学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 多边形 【题型 1 多边形及正多边形的概念判断】 【题型 2 多边形的对角线】 【题型 3 多边形的内角和】 【题型4 多边形的外角和】 【题型 5 截角问题】 【题型 6 多边形内角和和外角和-平行线】 【题型 7 多边形内角和和外角和-角平分线】 【题型 8 多边形内角和和外角和的实际应用】 【题型 9 多边形内角和和外角和的综合应用】 【题型10 密铺问题】 知识点1：多边形 （1） 多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。 （2）正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 【题型 1 多边形及正多边形的概念判断】 【典例1】下列长度的两条线段与长度为2，5的线段首尾依次相连能组成四边形的是（    ） A．1，1 B．1，8 C．1，2 D．2，3 【答案】D 【分析】此题考查了多边形的构成特点，正确理解多边形的构成特点是解题的关键．将每个选项中的四条线段进行比较，任意三条线段的和都需大于另一条线段的长度，由此可组成四边形，据此解答． 【详解】解：A、∵， ∴长度为1，1与长度为2，5的线段首尾依次相连不能组成四边形，故不符合题意； B、∵， ∴长度为1，8与长度为2，5的线段首尾依次相连不能组成四边形，故不符合题意； C、∵， ∴长度为1，2与长度为2，5的线段首尾依次相连不能组成四边形，故不符合题意； D、∵， ∴长度为2，3与长度为2，5的线段首尾依次相连不能组成四边形，故符合题意； 故选：D． 【变式1-1】下列图形中，属于多边形的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据多边形的定义，即可求解． 【详解】解：A、不属于多边形，故本选项不符合题意； B、不属于多边形，故本选项不符合题意； C、属于多边形，故本选项符合题意； D、不属于多边形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多边形，熟练掌握由条线段首尾顺次连接而成的封闭图形是多边形是解题的关键． 【变式1-2】定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查多边形，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义在网格中找出符合条件的点的位置即可，理解“邻等四边形”的定义是正确解题的关键． 【详解】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义可得： ， 所有符合条件的点共有个，即图形中的、、， 故选：C． 【变式1-3】下列说法中，正确的个数是（　　） ①等腰三角形是正多边形； ②等边三角形是正多边形； ③长方形是正多边形； ④正方形是正多边形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的定义，根据各个边各个内角都相等的图形叫正多边形直接逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 等腰三角形不是正多边形，故①错误不符合题意， 等边三角形是正多边形，故②符合题意， 长方形不是正多边形，故③错误不符合题意， 正方形是正多边形，故④符合题意， 故选：B． 知识点2：多边形的对角线 n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数： 【题型 2 多边形的对角线】 【典例2】过多边形的一个顶点出发可以引出2024条对角线，则这个多边形的边数是（    ）． A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．根据边形从一个顶点出发可引出条对角线即可解题． 【详解】解：∵多边形从一个顶点出发可引出2024条对角线， ∴， 解得． 故选：D． 【变式2-1】从多边形的一个顶点出发可以引出条对角线，这个多边形的边数为（　　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了多边形对角线的计算，根据多边形中，从一个顶点出发可以引出条对角线的计算方法即可求解． 【详解】解：根据题意，设多边形的边数为， ∴， 解得，， ∴这个多边形的边数为9， 故选：B ． 【变式2-2】过六边形的每个顶点都有n条对角线，则n的值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【分析】本题考查多边形的对角线问题，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是，据此求解即可． 【详解】解：对角线的数量（条）； 故选：A． 【变式2-3】若一个多边形从一个顶点最多能引出5条对角线，则这个多边形是 ． 【答案】八边形 【分析】本题主要考查多边形的对角线，熟练掌握任意n边形从一个顶点出发可以引条对角线是解决本题的关键．根据多边形的一个顶点引出的对角线的条数与边数的关系解决此题． 【详解】解：∵任意n边形从一个顶点出发可以引条对角线， 则该多边形的边数为：， 故答案为：八边形． 知识点3：多边形的内角和与外角和 （1）n 边形的内角和公式： （n-2）×180°； （2）正多边形的每个内角 知识点4：多边形的外角和 （1）n 边形的外角和： 360° （2）正多边形每个外角的度数： 【题型 3 多边形的内角和】 【典例3】一个八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是银题的关键． 根据n边形内角和公式为，把代入公式计算即可． 【详解】解： 故选：B． 【变式3-1】一个n边形的内角和是，则n的值是（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查了多边形内角和定理，根据公式列方程，求解即可． 【详解】由题意得，， 解得， 故选：C． 【变式3-2】八边形的内角和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．根据多边形内角和公式即可求解． 【详解】解：八边形的内角和为：， 故选：C． 【变式3-3】如图，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形外角的性质，可得与、的关系，、、的关系，根据多边形的内角和，可得答案． 本题考查了三角形外角的性质及多边形内角和定理，熟练掌握三角形外角的性质及多边形内角和定理是解答此题的关键． 【详解】解：如图，设、相交于点O，延长交于点G．      由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得：，． ∴， ∴ ． 故选B． 【题型4 多边形的外角和】 【典例4】正六边形每一个外角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的外角和，根据多边形的外角和等于求解即可． 【详解】解：． 故选B． 【变式4-1】若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的内角与外角的关系．解题的关键是熟记正多边形的边数与外角的关系． 正多边形的外角和是，这个正多边形的每个外角相等，因而用外角和除以外角的度数，就得到外角的个数，外角的个数就是多边形的边数，据此求解即可． 【详解】解：∵正多边形的外角和等于， ∴这个正多边形的边数． 故选：B． 【变式4-2】五边形的外角和为 度． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的外角和定理．根据多边形的外角和等于解答． 【详解】解：一个五边形的外角和是． 故答案为：360． 【变式4-3】在剪纸活动中，小花同学想用一张长方形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与长方形的边重合，如图所示，则的大小是 度． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角与外角，正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和公式是解题的关键． 根据正五边形的内角和公式和邻补角的性质即可得到结论． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点4：截角问题 n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n+1边形 【题型 5 截角问题】 【典例5】将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（     ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和，找出五边形纸片剪去一个角出现的情况，再根据边形内角和公式得出多边形的内角和，即可解题． 【详解】解：如图，将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是或或， 其中四边形内角和为，五边形内角和为，六边形内角和为， 得到的多边形的内角和是或或， 故选：D． 【变式5-1】一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，原多边形的边数是（    ）． A．8或9或10 B．7或8或9 C．6或7或8 D．5或6或7 【答案】B 【分析】根据切后的内角和可以求出切后的多边形边数，然后又知一个多边形切去一个角可得到的多边形有三种可能，分别是比原边数少1，相等，多1．所以可求得原多边形边数． 【详解】解：设切去一角后的多边形为n边形．根据题意得： ． 解得∶． 因为一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1， 所以原多边形的边数可能为7、8或9． 故选：B 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和问题，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键． 【变式5-2】一个多边形截去一个角后，形成一个七边形，那么原多边形边数为（   ）． A．6 B．6或7 C．6或8 D．6或7或8 【答案】D 【分析】本题主要考查了截一个多边形，一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变，据此画图利用数形结合的思想求解即可． 【详解】解：如图所示，六边形，七边形和八边形截去一个角后都可以形成七边形， ∴原多边形边数为6或7或8， 故选：D．    【变式5-3】若一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形内角和为，则原多边形的边数（    ） A．12 B．11或12 C．12或13或14 D．11或12 或13 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1可得答案，理解截取一个角后多边形的边数的变化情况是解本题的关键． 【详解】解：设多边形截去一个角后的边数为n， 则， 解得， ∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1， ∴原来多边形的边数是11或12或13． 故选D． 知识点 5： 多边形的内角和和外角和的综合应用 平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。 【题型6 多边形内角和和外角和-平行线】 【典例6】如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的内角和、外角和的综合应用，平行线的性质．熟练掌握多边形的外角和是，是解题的关键． 如图，求出正六边形的一个内角和一个外角的度数，得到，，平行线的性质，得到，三角形的外角的性质，得到，进而求出的度数． 【详解】解：如图：    ∵正六边形的一个外角的度数为：， ∴正六边形的一个内角的度数为：， 即：，， ∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 【变式6-1】如图，在五边形中，，，，则的大小为（    ） A．70° B．75° C．80° D．85° 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，平行线的性质，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．先根据多边形的内角和公式求出五边形的内角和，根据得到，即可求出的大小． 【详解】解：由五边形的内角和公式得， ∵， ∴， ∴． 故选：C 【变式6-2】如图，将透明直尺叠放在正五边形上，若正五边形有两个顶点恰好落在直尺的边上，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形内角和，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识；先求出正五边形每一个内角的度数等于，根据“两直线平行，同位角相等”可得，进而根据三角形内角和等于求出的度数即可． 【详解】解：如图， ∵正五边形内角和， ∴， ∵， ∴． ∴在中，， 故选：C． 【变式6-3】如图，五边形是正五边形，若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质以及正多边形的性质，由平行线的性质可求得，再计算出，从而得，最后利用三角形外角的性质即可求出的度数，熟练掌握并灵活运用这些性质是解题的关键． 【详解】如图，延长交直线于点， ∵， ∴， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【题型 7 多边形内角和和外角和-角平分线】 【典例7】如图，正五边形，平分，平分正五边形的外角，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，角平分线的定义，三角形内角和定理，先根据多项式内角和定理求出，则，再由角平分线的定义得到，接着利用四边形内角和为360度求出，则，据此利用三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：如图：设交于点P， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵平分，平分正五边形的外角， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式7-1】如图，在四边形中，的角平分线与的角平分线相交于点P，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理、多边形的内角和外角，利用四边形内角和是，可以求得，然后由角平分线的性质和邻补角的定义求得的度数，所以根据的内角和定理求得的度数即可． 【详解】解： ，， ， 又 的角平分线与的角平分线相交于点P， ， ， 故选：B． 【变式7-2】如图，在五边形中，分别平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用． 根据五边形的内角和等于，由，可求的度数，再根据角平分线的定义可得与的角度和，进一步求得的度数． 【详解】解：∵五边形的内角和等于，， ∴， ∵的平分线在五边形内相交于点P， ∴， ∴． 故选：B． 【变式7-3】如图，在正六边形中，连接平分，交延长线于点G，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正六边形可得，，从而得到，得到，根据三角形内外角和关系即可得到答案． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查正六边形的性质，三角形内外角关系，解题的关键根据正六边形得到相应角度的关系． 【题型 8 多边形内角和和外角和的实际应用】 【典例8】如图，随着科技的不断进步，人工智能机器人逐渐走进人们的生活，在完成某项任务时，机器人小胖从点O出发，沿直线前进8米后向左转，再沿直线前进8米向左转相同的度数，……照这样走下去，当机器人小胖第一次回到了出发点时，共走过了160米，则机器人小胖每次转过的角度n的值为（       ） A．10 B．18 C．20 D．30 【答案】B 【分析】根据多边形的外角和等于解决此题．本题主要考查多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和等于是解决本题的关键． 【详解】解：由题意得：． 小明每次转过的角度． 故选：B 【变式8-1】如图，小亮从点出发前进，向右转，再前进，又向右转，……这样他以3m/s的速度匀速的一直走下去，他第一次回到出发点时，一共走了（   ）s．    A．24 B．40 C．80 D．240 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的应用和三角形外角和定理的应用，根据小亮从点出发最后回到出发点，可以知道正好走了一个正多边形，再根据三角形外角和为，即可求出正多边形的边数，即可求出总时间． 【详解】解：小亮从点出发最后回到出发点时，正好走了一个正多边形， 正多边形边数：， 一共走了：， 故选：C． 【变式8-2】“花影遮墙，峰峦叠窗”，空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．如图是窗棂中的部分图案．若，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形的外角和是，由多边形的外角和是进行列式计算，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 【题型 9 多边形内角和和外角和的综合应用】 【典例9】如图，在七边形中，，的延长线交于点O，外角的和等于，则的度数是 ． 【答案】40 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握多边形的外角和定理是解题的关键． 延长交于点H，根据，，得到，结合，得到，结合计算即可． 【详解】解：如图，延长交于点F， 因为，， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以． 故答案为：40． 【变式9-1】一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原多边形的边数是为 ． 【答案】8或9或10 【分析】本题考查多边形的内角和，解题关键是掌握多边形截去一个角后多边形边数可能增加1，减少1或不变．根据多边形内角和公式求出截去一角后的多边形边数，再根据截去一角后多边形的边数变化情况求解． 【详解】解：设截去一个角后，多边形的边数为， 由题意得， 解得． 因为多边形截去一角后边数可能不变，可能增加1，可能减小1， 原多边形可能为8或9或10. 故答案为：8或9或10. 【变式9-2】一个多边形内角和的度数比外角和的度数的倍多度，则多边形的边数为 【答案】 【分析】本题主要考查的是多边形的外角和是以及多边形的内角和公式，掌握公式是解题的关键．根据多边形的外角和是可得出内角和为，再根据内角和公式可以求得多边形的边数． 【详解】解：设多边形的边数为n． ∵多边形的外角和是，多边形内角和的度数比外角和的度数的倍多度， ∴可得方程， 解得． 多边形的边数为． 故答案为：25 【变式9-3】若一个多边形的内角和与外角和之差为，那么此多边形的边数为 ． 【答案】或六 【分析】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理．根据多边形的内角和公式，外角和等于列出方程求解即可． 【详解】解：设多边形的边数是， 根据题意得，， 解得． 故答案为：． 【题型10 密铺问题】 【典例10】用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．下列图形中不能与正三角形镶嵌整个平面的是（   ） A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．正十二边形 【答案】B 【分析】本题考查了平面镶嵌，掌握平面镶嵌的条件是解题的关键．判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能． 【详解】解：A．正三角形的每个内角为，正方形的每个内角为，，故正方形与正三角形的组合能镶嵌整个平面，选项不符合题意； B．正五边形不能与正三角形进行平面镶嵌，因为正五边形的内角，的整数倍与的整数倍的和不等于，选项符合题意； C．正六边形的每个内角为，，故正六边形与正三角形的组合能镶嵌整个平面，选项不符合题意； D．正十二边形的每个内角为，，故正十二边形与正三角形的组合能镶嵌整个平面，选项不符合题意． 故选：B． 【变式10-1】用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做平面镶嵌问题．如图，利用相同边长的正三角形可以进行平面镶嵌．请问下列图形或图形组合无法进行平面镶嵌的是(   ) A．全等三角形 B．正方形 C．正三角形 D．正五边形 【答案】D 【分析】本题考查了平面镶嵌(密铺)，根据判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能判断即可． 【详解】解：A选项，三角形内角和是，，能镶嵌，故该选项不符合题意； B选项，正方形的每个内角是，，能镶嵌，故该选项不符合题意； C选项，正三角形的每个内角是，，能镶嵌，故该选项不符合题意； D选项，正五边形的每个内角是，不能镶嵌，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式10-2】用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖叫做平面镶嵌，下列正多边形的组合不可以用来平面镶嵌的是（    ） A．正三角形和正方形 B．正三角形与正六边形 C．正方形与正八边形 D．正六边形与正八边形 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角，解题关键是求出各个正多边形的内角，利用它们的和为360度即可求解． 【详解】解：A. 正三角形的每一个内角为，正方形的每一个内角为，，所以能拼成，不符合题意； B. 正三角形的每一个内角为，正六边形的每一个内角为，，能拼成，不符合题意； C. 正方形的每一个内角为，正八边形的每一个内角为，，能拼成，不符合题意； D. 正六边形的每一个内角为，正八边形的每一个内角为，不能拼成，符合题意； 故选：D． 【变式10-3】在下列结论中，不正确的是（   ） A．用正三角形能够进行平面镶嵌 B．用正四边形能够进行平面镶嵌 C．用正五边形能够进行平面镶嵌 D．用正六边形能够进行平面镶嵌 【答案】C 【分析】本题考查了平面镶嵌（密铺），注意几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 根据镶嵌的条件，判断一种正多边形能否镶嵌，要看周角能否被一个内角度数整除：若能整除，则能进行平面镶嵌；若不能整除，则不能进行平面镶嵌． 【详解】解：A、正三角形的每个内角是，能整除，能够进行平面镶嵌，故不符合题意； B、正四边形每个内角都是，能整除，能够进行平面镶嵌，故不符合题意； C、正五边形每个内角是，不能整除，不能够进行平面镶嵌，故符合题意； D、正六边形每个内角是，能整除，能够进行平面镶嵌，故不符合题意； 故选：C． 1、 单选题 1．若一个多边形每一个内角都为，则这个多边形的边数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多边形的内角和，设这个多边形的边数是，根据多边形的内角和公式列方程求解即可．解题的关键是掌握多边形的内角和公式：边形的内角和等于． 【详解】解：设这个多边形的边数是， 依题意，得：， 解得：， ∴这个多边形的边数是． 故选：C． 2．如图，在正五边形中，延长，交于点F，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形的外角问题，三角形内角和定理； 先求得正多边形的外角，进而根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ， ， 故选：A． 3．如图，在六边形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多边形的外角和定理、补角的性质，熟练掌握多边形的外角和是是解题的关键．延长至点，延长至点，利用多边形的外角和是得，利用求得和，即可解决． 【详解】解：如图，延长至点，延长至点， 根据多边形的外角和为， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故选：C． 4．已知某多边形的内角和等于外角和的2倍，则该多边形的边数是（    ） A．6 B．7 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查多边形的内角和，多边形的外角和．关键是根据题意利用多边形的外角和及内角和之间的关系列出方程． n边形的内角和可以表示成，外角和为，根据题意列方程求解． 【详解】解：设多边形的边数为n，依题意，得： ， 解得， 故选：A． 5．在春节灯谜会上，主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，如图，与为该正多边形的一组相邻边，小亮量得，则这个正多边形的边数为（  ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，由题意知，，则，可求，可得外角为，由可得结论． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∴， ∴的外角度数为， ∴这个正多边形的边数为 故选：D． 6．如图，以正方形的边向外作正六边形，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角和，等边对等角，三角形内角和定理等知识．熟练掌握正多边形的内角和，等边对等角，三角形内角和定理是解题的关键． 由题意可得，，则，由题意知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵正六边形， ∴， ∴， 由题意知，， ∴， 故选：B． 7．如图，小明从A点出发，前进到点B处后向右转，再前进到点C处后又向右转，……，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形外角和问题，有理数乘法的应用，掌握正多边形的外角和为是解题关键．由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形，再根据正多边形的外角和，得出小明所走过的图形是正十八边形，即可求解． 【详解】解：由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形， 正多边形的外角和为，且每个外角都为， 正多边形的边数为，即小明所走过的图形是正十八边形， 路程为， 故选：C． 二、填空题 8．如图，、、、是五边形的4个外角，若，则 ． 【答案】299 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，理解定理是关键． 先求出与相邻的外角的度数，然后根据多边形的外角和定理即可求解． 【详解】解：∵与相邻的外角的度数是：， ∴． 故答案为：299． 9．如图1所示的冰裂纹窗棂在古建筑中被广泛应用，图2是这种窗棂中的部分图案．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形内角和定理是解题的关键． 由多边形内角和定理得，整理得，则，即可得出结论． 【详解】解：由图2可知，， 整理得：， ∴， 故答案为：． 10．如图，以正六边形的边向内作正方形，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查正多边形的性质，由正多边形的每个内角相等，求出，进而得由．解题的关键是掌握正多边形的每个内角相等． 【详解】解：∵正六边形， ∴， 又∵正方形， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，五边形中，，、、分别是、、的外角，则等于 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理．根据两直线平行，同旁内角互补得到以点、点为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：延长，， ， ， 根据多边形的外角和定理可得， ． 故答案为：． 12．如图，小明从点出发沿直线前进，到达点后，向左转角度，再沿直线前进，到达点后，又向左转角度，…，照这样走下去，第一次回到出发点，小明共走了，则每次向左转的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查正多边形外角和定理，第一次回到出发点，小明行走的路线是一个多边形，是这个多边形的外角，根据正多边形的外角和定理即可得出答案． 【详解】解：小明行走的路线是一个多边形，边数是，由于每个外角都相等，所以， 故答案为：． 13．如图是由射线组成的平面图形，若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了多边形的外角和定理，根据多边形的外角和为得到，又由，即可得到答案． 【详解】∵， 又∵， ∴， 故答案为：． 14．如图，正六边形的边长为，是对角线，则是 ．    【答案】10 【分析】本题考查了正多边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、含角的直角三角形的性质，连接，由题意得出，，，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，求出，，最后再由含角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，    ∵六边形是正六边形，边长为， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 15．如图，一束平行光线照射到正五边形上，若，则 【答案】/31度 【分析】本题考查了正多边形的内角问题以及平行线的性质，根据正多边形内角和定理求得，再利用两直线平行，同旁内角互补即可求得结论． 【详解】如图，∵正五边形， ∴， 又∵平行光线， ∴， 故答案为：. 16．如图，作五边形中，的延长线相交于点F．若，则等于 度．    【答案】40 【分析】本题考查多边形内角和，根据四边形内角和为360度，结合可得答案． 【详解】解：四边形内角和为360度， ， ， 故答案为：40． 17．如图，点是正六边形内的一点，连接，若平分，，则 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了正多边形的内角和、三角形内角和定理、角平分线的性质，先求出，再根据角平分线的性质及三角形内角和定理求得，根据即可求解，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：六边形是正六边形， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 18．如图，在五边形中，，求图中的度数．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质和多边形的内角和，需要明确的是边形的内角和等于；先根据得出的度数，再运用五边形的内角和以及其他角的度数即可求出的度数． 【详解】解：，， ． 根据多边形内角和公式：． ，，，， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$