专题10 新定义型【重难点培优：知识梳理+五大题型+压轴真题】-2024-2025学年八年级数学下册人教版

专题10 新定义型重难点题型分类 【题型1：二次根式中的新定义题】 【题型2：勾股定理中的新定义题】 【题型3：平行四边形中的新定义题】 【题型4：一次函数中的新定义题】 【题型5：压轴真题】 二次根式中的新定义题题型1 1．在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数a，b，称为a，b这两个数的算术平均数． 称为a，b这两个数的几何平均数，称为a，b这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程 (1)若，则_____， _____， _____； (2)小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题： 如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示． ①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为的图形； ②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是______（把M，N，P从小到大排列，并用“”或“”号连接）． 2．对于任意两个非零实数a、b，定义运算如下： 如：，． 根据上述定义，解决下列问题： (1)______，______； (2)若，求x的值． 3．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：，求的值，可以这样解答： 因为，所以． (1)代数式中x的取值范围是______； (2)已知：，求： ①_____； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：． 4．小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： ； ． （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ，，； 再根据平方根的定义可得： ，，； 请回答下列问题： (1)归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①______；（n为正整数）=______． ② ______；当时，化简______． (2)应用：求；的值． (3)拓广：求的值． 5．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为 ，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求： ①________； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (2)代数式中的取值范围是________，最大值是________，最小值是_________； (3)计算：． 勾股定理中的新定义题题型2 1．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形． (1)若三边长分别是2，和4，则此三角形______常态三角形（填“是"或“不是”）； (2)在中，，，若是常态三角形，则______． (3)如图，在中，，，点D在线段上，连接且，若是常态三角形，求的面积． 2．定义：如果三角形中，两边的平方和等于第三边平方的2倍，那么这个三角形叫“神圣三角形”． (1)下列三角形一定是“神圣三角形”的是（    ） A．直角三角形    B．等腰三角形    C．等腰直角三角形    D．等边三角形 (2)如图1，是“神圣三角形”，且．若正方形和正方形的面积分别是8和26，则正方形的面积是______． (3)如图2，在四边形中，，，E是四边形外一点，且，．求证：是“神圣三角形”． (4)若是“神圣三角形”，且一条直角边长为，则斜边长为______． 3．定义：若两个等腰三角形的顶角之和等于，则称这两个等腰三角形互为“友好三角形“，这两个顶角的顶点互为”友好点“．    (1)已知与互为“友好三角形”，点B和点E互为“友好点”． ① 若一个内角为，则 ° ② 若一个内角为，则_____ (2)如图1，直线．直线与之间的距离为2，直线与的距离4．A，B为直线上两点，O为直线上一点，C，D为直线上两点，与互为“友好三角形”， 0为与的友好点．，，求的值． (3)在（2）的条件下，与大小保持不变，将绕着点O顺时针旋转一定角度到如图（2）位置，则旋转过程中，判断的值是否变化？并说明理由． 4．定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，那么称此图形为“手拉手全等模型”．例如，如图①，与都是等腰三角形，其中，则． (1)如图②，与都是等腰三角形，，，且，求证：． (2)如图③若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，为中上的高，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图④，在四边形中，，，，求的长． 平行四边形中的新定义题题型3 1．我们给出如下定义：把对角线互相垂直的四边形叫做“对角线垂直四边形”．如图，在四边形中，，四边形就是“对角线垂直四边形”． (1)下列四边形，一定是“对角线垂直四边形”的是______； ①平行四边形  ②矩形  ③菱形   ④正方形 (2)如图，在“对角线垂直四边形”中，点分别是边的中点，求证：四边形是矩形． 2．综合与实践 综合实践课上，老师给出了“邻等对补四边形”的定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．对于“邻等对补四边形”，同学们进行了如下研究． (1)操作判断 如图1，在边长为2的正方形中，是对角线，取一个大的直角三角板，三角板的直角顶点在射线上移动，三角板的一条直角边始终经过点，另一条直角边交射线于点，当点在边上时，四边形是邻等对补四边形吗?说明理由． (2)迁移探究 当点在边的延长线上时，以D，P，Q，C为顶点的四边形能构成邻等对补四边形吗?若能构成，写出此时的长． 3．我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边形”． (1)在我们学过的下列四边形①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中，是“宁美四边形”的是___________（填序号）； (2)如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连、．求证：四边形是“宁美四边形”； 4．新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”． (1)如图1，四边形是“等腰四边形”，为“界线”，若，，则______； (2)如图2，四边形中，，，，． ①试说明四边形是“等腰四边形”； ②如图3，点在线段上，，过点作于点，过点作于点，则的最大值为______； (3)若在“等腰四边形”中，，，且为“界线”，请直接写出的度数为______． 5．定义：对角线相等且所夹锐角为的四边形叫“等线四边形”． 如图1，四边形为“等线四边形”，即． 判定探究： (1)下列语句能判断四边形是“等线四边形”的是 ．（填序号） ①对角线所夹锐角为的平行四边形； ②对角线所夹锐角为的矩形； ③对角线所夹锐角为，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形． (2)性质探究：以为边，向下构造等边三角形，连接，如图2，请直接写出与的大小关系； (3)请判断与的大小关系，并说明理由； 一次函数中的新定义题题型4 1．阅读理解： 材料一：对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若且，则称点是线段的“完美等距点”． 材料二：在平面直角坐标系中，我们通常用下面的公式求两点间的距离，如果，，那么． 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知3个点：，则这三点中，线段的“等距点”是________，线段的“完美等距点”是________； (2)若，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； (3)当，是否存在这样的点，使点是线段的“等距点”，也是线段的“完美等距点”？若存在，请直接写出所有符合的点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为．对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“关联点”． (1)如图，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，则_____．在点，，，中，矩形的“关联点”是_____； (2)如图，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为．若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”，求的取值范围． 3．对于平面直角坐标系内的任意两点，，定义它们之间的“直角距离”为．对于平面直角坐标系内的任意两个图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的“直角距离”有最小值，那么称这个最小值为图形M、N间的“直角距离”，记作． (1)已知、，则_______，_______； (2)已知、，若，则t的取值范围是_______； (3)已知，若坐标平面内的点P满足，则在图中画出所有满足条件的点P所构成的图形，该图形的面积是_______． 压轴真题题型5 1．（2024秋•海州区校级期中）用“☆”定义新运算，对于任意实数a，b，都有a☆b，例如：7☆4，那么3☆（﹣7）＝ 　 　． 2．（2024秋•建宁县期中）如果一个三角形三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为，①古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式，我国南宋时期数学家秦九韶（约1202﹣约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式，②这两个公式实质上是同一个公式，所以也称①为海伦—秦九韶公式． （1）设a，b，c为△ABC的三边，当a＝4，b＝5，c＝6时，求S△ABC的面积． （2）请你对公式②进行变形，推导出公式①． 3．（2024秋•雨城区校级期末）定义：我们将（）与（）称为一对“对偶式”．因为（）（）＝（）2﹣（）2＝a﹣b，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知1，求的值，可以这样解答： 因为（）×（）＝（）2﹣（）2＝18﹣x﹣11+x＝7， 所以7． （1）已知：8，求的值； （2）结合已知条件和第①问的结果，解方程：8； （3）计算：． 4．（23-24八年级上·北京门头沟·期末）对于平面直角坐标系中的线段及点，给出如下定义： 如果点满足，那么点就是线段的“关联点”．其中，当时，称为线段的“远关联点”；当时，称为线段的“近关联点”． (1)如图1，当点坐标分别为和时，在，，，中，线段的“近关联点”有_______． (2)如图2，点的坐标为，点在轴正半轴上，． ①如果点在轴上，且为线段的“关联点”，那么点的坐标为_______； ②如果点为线段的“远关联点”，那么点的纵坐标的取值范围是_______． 5．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）【课题学习】 通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．如果我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边的平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． （1）根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？______（填“是”或“不是”）； （2）若某三角形的三边长分别为1，，2，则该三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据； （3）在中，三边长分别为，且，，则这个三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据； 探究： 在中，，，，，且．若是奇异三角形，求． 6．（24-25八年级上·广东深圳·期中）我们定义一种新的三角形—魅力三角形，三角形三边满足其中两边的平方和等于第三边平方的倍（为正整数）的三角形叫做魅力三角形．例如：三边分别为，，，，所以为魅力三角形． (1)新知理解： ①请你判断：等腰直角三角形是否为魅力三角形？________（填“是”或“不是”） ②已知某三角形三边长为，，，判断该三角形是否为魅力三角形，若是，求出的值；若不是，请说明理由． (2)知识探究： 在中，已知三条边长分别是、、，且，．若此三角形是魅力三角形，求出的的值． (3)知识拓展： 在中，，，，，且，若是魅力三角形，且，求的值． 7．（24-25九年级上·河南南阳·期中）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“等对角四边形”进行研究．定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形” (1)操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是“等对角四边形”的有 （填序号）． (2)探究证明 如图2，在中，，为斜边上的中线，过点D作交于点E，判断四边形是否“等对角四边形”，并说明理由． (3)拓展延伸 如图3，在中，，，，作角平分线，在边上取点E，使四边形是“等对角四边形”，请直接写出的长． 8．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做“优乐三角形”．例如：某三角形三边长分别是3，6和，因为，所以这个三角形是“优乐三角形”． (1)若三边长分别是2，3和，则此三角形______“优乐三角形”（填“是”或“不是”）； (2)若是“优乐三角形”，则此三角形的三边长之比为______（请按从小到大排列）； (3)如图，中，，，点D为的中点，连接，若是“优乐三角形”，求的长． 9．（23-24八年级下·上海长宁·期末）定义：如果梯形的一个内角等于其它三个内角中的两个内角之和，那么称这个梯形为“加和角梯形”，这个内角称为“加和角” (1)如图1，在梯形中，，点E为边上一点，四边形为菱形，点E为边中点，求证：梯形为“加和角梯形”， (2)在“加和角梯形”中，为“加和角”，． ①如图2，如果，垂足为点O，，求梯形的周长； ②如图3，如果，点E为边中点，过点E作交边于点F，，点G在边上使得是以为腰的等腰三角形，求的长． 10．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）定义：在平面直角坐标系中，点是某函数图象上的一点，作该函数图象中自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于或等于的部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于点的“友好函数”． 例如：图是函数的图象，则它关于点的“友好函数”的图象如图所示，且它的“友好函数”的解析式为． (1)直接写出函数关于点的“友好函数”的解析式． (2)如图，点M是函数的图象上的一点，设点的横坐标为，是函数关于点的“友好函数”． 当时，若函数的函数值取值范围是，直接写出自变量的取值范围________； 如图，当以点、、、为顶点的矩形与函数的图象只有个公共点时，直接写出的取值范围________． (3)当中的函数的图象与矩形有且仅有一个公共点时，在函数上是存在一点，使是以为直角边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标________； 当中“主题干”中的函数的对称轴左侧图象与中矩形的边所围成的三角形图形中，其面积为时，直接写出点的坐标________． 11．（24-25九年级上·北京昌平·期中）定义：对于平面直角坐标系xOy中的两个图形，，图形上的任意一点与图形上的任意一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离．若图形与图形的距离小于等于1，称这两个图形互为“近邻图形”． (1)已知点，点． ①如图1，在点，，中，与线段AB互为“近邻图形”的是______． ②如图2，将线段向下平移2个单位，得到线段，连接，，若直线与四边形互为“近邻图形”，求的取值范围； (2)如图3，在正方形EFGH中，已知点，点，若直线与正方形互为“近邻图形”，直接写出的取值范围． 12．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）阅读理解：在平面直角坐标系中，给出如下定义： 定义一：若有三点，，，且，则称点是，的轴美点； 定义二：若函数图像上存在某点到轴和轴的距离中，其中一个距离是另一个距离的2倍，则称点为该函数的“倍美点”，此函数称为“倍美函数”，如点是函数图像上的点，所以函数是“倍美函数”，点是该函数的“倍美点”．像、等则是特殊的“倍美函数”． 根据以上材料，完成下列问题： (1)已知函数与轴和轴分别相交于点A，，若有三点、、，则其中是A、“轴美点”的是__________．（只填字母） (2)已知两点、． ①请说明点、的“轴美点”在函数上； ②在①的条件下，若“倍美函数”上存在点，使得点既是，“轴美点”，又是此函数的“倍美点”，求出的值． (3)已知“倍美函数”，是否存在整数使得该函数恰好具有三个“倍美点”？若存在，直接写出值和“倍美点”坐标；若不存在，简要说理． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 新定义型重难点题型分类 【题型1：二次根式中的新定义题】 【题型2：勾股定理中的新定义题】 【题型3：平行四边形中的新定义题】 【题型4：一次函数中的新定义题】 【题型5：压轴真题】 二次根式中的新定义题题型1 1．在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数a，b，称为a，b这两个数的算术平均数． 称为a，b这两个数的几何平均数，称为a，b这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程 (1)若，则_____， _____， _____； (2)小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题： 如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示． ①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为的图形； ②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是______（把M，N，P从小到大排列，并用“”或“”号连接）． 【详解】（1）解：当时， ， ， ， 故答案为：，，； （2）①， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示： ， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示： ②由（2）①可知，，当且仅当，即时，等号成立， 都是正数， 都是正数， ， 故答案为：． 2．对于任意两个非零实数a、b，定义运算如下： 如：，． 根据上述定义，解决下列问题： (1)______，______； (2)若，求x的值． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∵， ∴； 故答案为：，； （2）当，即：时，则：，解得：， 经检验，是原方程的解， ∵， ∴（舍去）； 当，即：时，则：， ∴或（舍去）； ∴． 3．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：，求的值，可以这样解答： 因为，所以． (1)代数式中x的取值范围是______； (2)已知：，求： ①_____； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：． 【详解】（1）解：，解得：， ∴x的取值范围为． 故答案为：． （2）解：①∵， ∴． 故答案为：2． ②由题意可得：，则，解得：， 经检验，是方程的根． ∴方程的解为． 4．小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： ； ． （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ，，； 再根据平方根的定义可得： ，，； 请回答下列问题： (1)归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①______；（n为正整数）=______． ② ______；当时，化简______． (2)应用：求；的值． (3)拓广：求的值． 【详解】（1）解：①； ； 故答案为：；（n为正整数）； ②； ； 故答案为：；； （2） ； （3） ， ． 5．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为 ，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求： ①________； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (2)代数式中的取值范围是________，最大值是________，最小值是_________； (3)计算：． 【详解】（1）解：①∵， ∴； 故答案为：2 ② 由①得，已知，两式相加得到， ， 即， 则，解得， 经检验，满足题意， 即方程的解是； （2）解：由二根式有意义的条件得到， 解得， 即的取值范围是，x的最大值是10，x的最小值是2； 故答案为：，10，2 （3） 勾股定理中的新定义题题型2 1．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形． (1)若三边长分别是2，和4，则此三角形______常态三角形（填“是"或“不是”）； (2)在中，，，若是常态三角形，则______． (3)如图，在中，，，点D在线段上，连接且，若是常态三角形，求的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴三边长分别是2，和4，则此三角形是常态三角形． 故答案为：是； （2）∵是常态三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：当时， ∵， ∴， 在中，， 此时， 当时， ∵， ∴， 在Rt△ABC中，， 此时， 故的面积为或． 2．定义：如果三角形中，两边的平方和等于第三边平方的2倍，那么这个三角形叫“神圣三角形”． (1)下列三角形一定是“神圣三角形”的是（    ） A．直角三角形    B．等腰三角形    C．等腰直角三角形    D．等边三角形 (2)如图1，是“神圣三角形”，且．若正方形和正方形的面积分别是8和26，则正方形的面积是______． (3)如图2，在四边形中，，，E是四边形外一点，且，．求证：是“神圣三角形”． (4)若是“神圣三角形”，且一条直角边长为，则斜边长为______． 【详解】（1）解：设等边三角形的边长为， 则， 等边三角形是“神圣三角形”， 故选：D； （2）解：正方形和正方形的面积分别是8和26， ， 是“神圣三角形”，且， ， ， ， 故答案为：44； （3）解：连接．如图2， ， 和均为直角三角形， 在中，， 在中，， ，， ， 是“神圣三角形”； （4）解：设斜边长为，则另一边长为， 是“神圣三角形”， 或， 解得（舍去）或，（舍去）， 故斜边的长为或． 故答案为：或． 3．定义：若两个等腰三角形的顶角之和等于，则称这两个等腰三角形互为“友好三角形“，这两个顶角的顶点互为”友好点“．    (1)已知与互为“友好三角形”，点B和点E互为“友好点”． ① 若一个内角为，则 ° ② 若一个内角为，则_____ (2)如图1，直线．直线与之间的距离为2，直线与的距离4．A，B为直线上两点，O为直线上一点，C，D为直线上两点，与互为“友好三角形”， 0为与的友好点．，，求的值． (3)在（2）的条件下，与大小保持不变，将绕着点O顺时针旋转一定角度到如图（2）位置，则旋转过程中，判断的值是否变化？并说明理由． 【详解】（1）① 解：∵是等腰三角形，且一个内角为， ∴顶角为， 根据定义，得． 故答案为：80． ② 解：根据题意，得是等腰三角形，且一个内角为， 当，根据定义，得； 当时，，此时． 故答案为：或． （2）解：过点O作于点E，于点F， ∵直线．直线与之间的距离为2，直线与的距离4， ∴，，， ∵经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直， ∴，重合为一条直线， ∵与互为“友好三角形”， 为与的友好点． ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴．    （3）解：不变，理由如下： 延长到点N，使得，连接， ∵与互为“友好三角形”， 为与的友好点． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故， ∴， ∴． ．   4．定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，那么称此图形为“手拉手全等模型”．例如，如图①，与都是等腰三角形，其中，则． (1)如图②，与都是等腰三角形，，，且，求证：． (2)如图③若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，为中上的高，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图④，在四边形中，，，，求的长． 【详解】（1）证明：， ，即， ，， ， ； （2）解：，；理由如下： 设交于，如图： ， ，即， ，， ， ，， ，， ， 即； 为等腰直角中边上的高， ， ， ； （3）解：作，且，连接，，如图， ， ， ， ， 即， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 平行四边形中的新定义题题型3 1．我们给出如下定义：把对角线互相垂直的四边形叫做“对角线垂直四边形”．如图，在四边形中，，四边形就是“对角线垂直四边形”． (1)下列四边形，一定是“对角线垂直四边形”的是______； ①平行四边形  ②矩形  ③菱形   ④正方形 (2)如图，在“对角线垂直四边形”中，点分别是边的中点，求证：四边形是矩形． 【详解】（1）解：菱形和正方形是“对角线垂直四边形”，故③④满足题意． 故答案为：③④． （2）证明：∵点分别是边的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形． ， ， 又， ， ， ∴平行四边形是矩形． 2．综合与实践 综合实践课上，老师给出了“邻等对补四边形”的定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．对于“邻等对补四边形”，同学们进行了如下研究． (1)操作判断 如图1，在边长为2的正方形中，是对角线，取一个大的直角三角板，三角板的直角顶点在射线上移动，三角板的一条直角边始终经过点，另一条直角边交射线于点，当点在边上时，四边形是邻等对补四边形吗?说明理由． (2)迁移探究 当点在边的延长线上时，以D，P，Q，C为顶点的四边形能构成邻等对补四边形吗?若能构成，写出此时的长． 【详解】（1）解：四边形是邻等对补四边形，理由如下： 过点P作于点E，于点F，如图1所示： 依题意得：， ∵四边形是正方形，且边长为2， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， 即是的平分线， 又∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴四边形是邻等对补四边形； （2）当Q点在边的延长线上时，以D，P，Q，C为顶点的四边形能构成邻等对补四边形， 分两种情况讨论如下： ①当点P在线段上时，点Q在边的延长线上，时，四边形是邻等对补四边形，理由如下：过点P作于点E，于点F，如图2所示： 同①可证：， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是邻等对补四边形， 设， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 整理得， ∴，，（不合题意，舍去）， 由， 解得， ∴； ②当点P在的延长线上时，时， 四边形是邻等对补四边形，理由如下： 过点P作交的延长线于点E，于点F，如图3所示： 同①可证：， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是邻等对补四边形， 此时， 综上所述：当以D，P，Q，C为顶点的四边形能构成邻等对补四边形时，的长为或2． 3．我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边形”． (1)在我们学过的下列四边形①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中，是“宁美四边形”的是___________（填序号）； (2)如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连、．求证：四边形是“宁美四边形”； 【详解】（1）解：平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等， 正方形是“宁美四边形”， 故答案为：④． （2）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是“宁美四边形”； 4．新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”． (1)如图1，四边形是“等腰四边形”，为“界线”，若，，则______； (2)如图2，四边形中，，，，． ①试说明四边形是“等腰四边形”； ②如图3，点在线段上，，过点作于点，过点作于点，则的最大值为______； (3)若在“等腰四边形”中，，，且为“界线”，请直接写出的度数为______． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵四边形是“等腰四边形”，为“界线”， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 故答案为：； （2）解：①如图所示，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴四边形是“等腰四边形”； ②如图所示，连接， 由上述证明可得，四边形是“等腰四边形”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作，， 当点三点共线时，时，值最大， 故答案为； （3）解：第一种情况：如图所示，， ∵四边形是“等腰四边形”，为“界线”， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是菱形，且， ∴菱形是正方形， ∴， ∴； 第二种情况：如图所示，， ∵四边形是“等腰四边形”，为“界线”， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； 第三种情况：如图所示，， ∵四边形是“等腰四边形”，为“界线”， ∴， 设，如图所示，作于点，作点关于的对称点，连接交于点，连接，则垂直平分，， ∴， ∵，即，，，即， ∴四边形是矩形，则， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 5．定义：对角线相等且所夹锐角为的四边形叫“等线四边形”． 如图1，四边形为“等线四边形”，即． 判定探究： (1)下列语句能判断四边形是“等线四边形”的是 ．（填序号） ①对角线所夹锐角为的平行四边形； ②对角线所夹锐角为的矩形； ③对角线所夹锐角为，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形． (2)性质探究：以为边，向下构造等边三角形，连接，如图2，请直接写出与的大小关系； (3)请判断与的大小关系，并说明理由； 【详解】（1）解：对角线所夹锐角为的平行四边形的对角线不一定相等， 则不能判①是“等线四边形”； ②对角线所夹锐角为的矩形，对角线相等，且所夹锐角为，故②是“等线四边形”； ③对角线所夹锐角为，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形，则四边形的对角线相等，故③是“等线四边形”． 故答案为：②③； （2）解：是等边三角形 ，， ， 四边形是平行四边形 中， 即； （3）解：如图，过作，且，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 过点C作，交于点H， ∵， ∴． ∴， 在中，设，则， ∴， ∴ 则 ∴ 一次函数中的新定义题题型4 1．阅读理解： 材料一：对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若且，则称点是线段的“完美等距点”． 材料二：在平面直角坐标系中，我们通常用下面的公式求两点间的距离，如果，，那么． 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知3个点：，则这三点中，线段的“等距点”是________，线段的“完美等距点”是________； (2)若，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； (3)当，是否存在这样的点，使点是线段的“等距点”，也是线段的“完美等距点”？若存在，请直接写出所有符合的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴B为等距点． ∵，， ∴， ∴C为等距点． ∵，， ∴， ∴D不为等距点． ∵， ∴，，，， ∴C为完美等距点， 故答案为：B和C；C； （2）在上， ， ， ， ， 或， 设的坐标为， 或， ，， 或， 解得：或． 的坐标为或； （3）因为是的等距点，设点的坐标为， ， 为线段的“完美等距点”， ， 为等腰直角三角形， ①如图1， ， ， ，，， ， 则，， ， 解得：， 当时，      点的坐标为                               ②， ， ，，， ，    则，， ， 解得：， 当时，，                                                                 点的坐标为， 点的坐标为或． 2．在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为．对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“关联点”． (1)如图，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，则_____．在点，，，中，矩形的“关联点”是_____； (2)如图，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为．若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”，求的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， ， 到矩形的最小距离为： ，，不符合题意； 到矩形的最小距离为：，符合题意； 到矩形的最小距离为： ，，不符合题意； 到矩形的最小距离为：， 符合题意， 故 是矩形的“关联点”， 故答案为，； （2）根据题意可得，正方形上任意两点之间的最大距离为 ， 根据题意画出临界点如图所示： 当直线经过点时，为最大值， 当直线经过时，为最小值， ， 当直线经过点时， ，解得， 当直线经过时， ， 解得 ， 所以取值范围为：． 3．对于平面直角坐标系内的任意两点，，定义它们之间的“直角距离”为．对于平面直角坐标系内的任意两个图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的“直角距离”有最小值，那么称这个最小值为图形M、N间的“直角距离”，记作． (1)已知、，则_______，_______； (2)已知、，若，则t的取值范围是_______； (3)已知，若坐标平面内的点P满足，则在图中画出所有满足条件的点P所构成的图形，该图形的面积是_______． 【详解】（1）解：、， ， 设的表达式为， 将、，代入得 ， 解得：， ， 设线段上一点的坐标为，且， ， ， ， ， 即， ， ∴随x的增大而减小， ∵， ∴当时，有最小值， 最小值， ∴． 故答案为：3，1； （2）∵设经过点和点的表达式为， 代入得：， 解得：， ∴． ∴点O和 “直角距离”，， ∵， ∴， ∴或； 故答案为：或； （3）设点P的坐标为， ∵， ∴代入得，得∶ ，即， 当时，，即， 当时，； 当时，； 当时，，即， 当时，； 当时，； ∴如图所示，正方形即所有满足条件的点P所构成的图形， ， ， ， 故答案为：2． 压轴真题题型5 1．（2024秋•海州区校级期中）用“☆”定义新运算，对于任意实数a，b，都有a☆b，例如：7☆4，那么3☆（﹣7）＝ 　 　． 【详解】解：原式， 故答案为：． 2．（2024秋•建宁县期中）如果一个三角形三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为，①古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式，我国南宋时期数学家秦九韶（约1202﹣约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式，②这两个公式实质上是同一个公式，所以也称①为海伦—秦九韶公式． （1）设a，b，c为△ABC的三边，当a＝4，b＝5，c＝6时，求S△ABC的面积． （2）请你对公式②进行变形，推导出公式①． 【详解】解：（1）当a＝4，b＝5，c＝6时，， ∴，，， ∴； （2）∵， ∴，，， ∴， ． 3．（2024秋•雨城区校级期末）定义：我们将（）与（）称为一对“对偶式”．因为（）（）＝（）2﹣（）2＝a﹣b，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知1，求的值，可以这样解答： 因为（）×（）＝（）2﹣（）2＝18﹣x﹣11+x＝7， 所以7． （1）已知：8，求的值； （2）结合已知条件和第①问的结果，解方程：8； （3）计算：． 【详解】解：（1）∵， 且， ∴； （2）∵， ∴， 化简后两边同时平方得：4﹣x＝9， ∴x＝﹣5， 经检验：x＝﹣5是原方程的解； （3）原式 ． 4．（23-24八年级上·北京门头沟·期末）对于平面直角坐标系中的线段及点，给出如下定义： 如果点满足，那么点就是线段的“关联点”．其中，当时，称为线段的“远关联点”；当时，称为线段的“近关联点”． (1)如图1，当点坐标分别为和时，在，，，中，线段的“近关联点”有_______． (2)如图2，点的坐标为，点在轴正半轴上，． ①如果点在轴上，且为线段的“关联点”，那么点的坐标为_______； ②如果点为线段的“远关联点”，那么点的纵坐标的取值范围是_______． 【详解】（1）解：∵，， ∴A、B关于y轴对称，， ∵， ∴P点在y轴上， ∴线段的“关联点”是，，， 当时，， ∴， ∴，     ∴是线段的“近关联点”， 当时，， ∴， ∴， ∴是线段的“近关联点”， 当时，， ∴， ∴， ∴点是线段AB的“远关联点”， 故答案为：，； （2）∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ①设点P的坐标为， ∴，， ∵点在轴上，且为线段的“关联点”， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴点的坐标为． 故答案为：； ②如图所示，过点A作x轴的对称点C，过点C作的对称点D， ∴ ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∴点C和点D在的垂直平分线上 ∴， ∴线段的“关联点”在的垂直平分线 ∴由图象可得，当点的纵坐标时，点为线段的“远关联点”； ∵和关于对称 ∴是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∴点D的纵坐标为6 ∴由图象可得，当点的纵坐标时，点为线段的“远关联点”； 综上所述，点的纵坐标或时，点为线段的“远关联点”． 故答案为：或． 5．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）【课题学习】 通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．如果我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边的平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． （1）根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？______（填“是”或“不是”）； （2）若某三角形的三边长分别为1，，2，则该三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据； （3）在中，三边长分别为，且，，则这个三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据； 探究： 在中，，，，，且．若是奇异三角形，求． 【详解】解：（1）设等边三角形的边长为， ， ∴等边三角形一定是奇异三角形， 故答案为：是； (2)∵， ∴该三角形一定是奇异三角形； （3）当为斜边时，不是奇异三角形； 当为斜边时，， ∴是奇异三角形； ， ∴是奇异三角形； 拓展：中，， ， ， ， ∵是奇异三角形， ， ， ， ， ． 6．（24-25八年级上·广东深圳·期中）我们定义一种新的三角形—魅力三角形，三角形三边满足其中两边的平方和等于第三边平方的倍（为正整数）的三角形叫做魅力三角形．例如：三边分别为，，，，所以为魅力三角形． (1)新知理解： ①请你判断：等腰直角三角形是否为魅力三角形？________（填“是”或“不是”） ②已知某三角形三边长为，，，判断该三角形是否为魅力三角形，若是，求出的值；若不是，请说明理由． (2)知识探究： 在中，已知三条边长分别是、、，且，．若此三角形是魅力三角形，求出的的值． (3)知识拓展： 在中，，，，，且，若是魅力三角形，且，求的值． 【详解】（1）解：①∵当一个三角形是直角三角形时，设、为直角边，为斜边， ∴， 满足魅力三角形的定义，此时， ∴等腰直角三角形是魅力三角形， 故答案为：是； ②∵，，， 又∵， ∴该三角形是魅力三角形，； （2）①当为斜边时， ∵，， ∴， 此时，，， ∵， ∴， 又∵， ∴； ②当为直角边时， ∴， 此时，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 综上所述，的值为或或； （3）∵为直角三角形，， ∴， ①当， ∴， ∴， ∵， ∴不合题意，舍去； ②当， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（24-25九年级上·河南南阳·期中）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“等对角四边形”进行研究．定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形” (1)操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是“等对角四边形”的有 （填序号）． (2)探究证明 如图2，在中，，为斜边上的中线，过点D作交于点E，判断四边形是否“等对角四边形”，并说明理由． (3)拓展延伸 如图3，在中，，，，作角平分线，在边上取点E，使四边形是“等对角四边形”，请直接写出的长． 【详解】（1）解：图①中，两组对角分别为和，不符合“有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形”，则不是“等对角四边形”； 图②中，有一组对角为，另一组对角为和不相等，符合“有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形”，则是“等对角四边形”； 图③中，有一组对角为和，另一组对角为和，不符合“有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形”，则不是“等对角四边形”； 图④中，有一组对角为，另一组对角为和不相等，符合“有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形”，则是“等对角四边形”； 故答案为：②④； （2）解：∵，为斜边上的中线， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴，， 则，且， 故四边形为“等对角四边形”， （3）解：①当， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 作于点N，如图， 则， ∵平分， ∴， 设，则，， ∵， ∴，解得， 则； ②当，则，， 取的中点M，连接，如图， ∵， ∴， ∴为等边三角形， 此时，点M与上图点E重合，即， ∴， 故或 8．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做“优乐三角形”．例如：某三角形三边长分别是3，6和，因为，所以这个三角形是“优乐三角形”． (1)若三边长分别是2，3和，则此三角形______“优乐三角形”（填“是”或“不是”）； (2)若是“优乐三角形”，则此三角形的三边长之比为______（请按从小到大排列）； (3)如图，中，，，点D为的中点，连接，若是“优乐三角形”，求的长． 【详解】（1）解：∵， ∴是“优乐三角形”， 故答案为：是； （2）解：设三角形的三边长从小到大为， ∴， ∵是“优乐三角形”， ∴分，两种情况求解； 当时，（舍去）； 当时，， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：∵中，，点D为的中点， ∴， 设，则， ∵是“优乐三角形”， ∴分，，三种情况求解； 当时，， 解得，或（舍去）， ∴； 当时，， 解得，或（舍去）， ∴； 当时，， 同理； 综上所述，的长为或． 9．（23-24八年级下·上海长宁·期末）定义：如果梯形的一个内角等于其它三个内角中的两个内角之和，那么称这个梯形为“加和角梯形”，这个内角称为“加和角” (1)如图1，在梯形中，，点E为边上一点，四边形为菱形，点E为边中点，求证：梯形为“加和角梯形”， (2)在“加和角梯形”中，为“加和角”，． ①如图2，如果，垂足为点O，，求梯形的周长； ②如图3，如果，点E为边中点，过点E作交边于点F，，点G在边上使得是以为腰的等腰三角形，求的长． 【详解】（1）∵四边形为菱形， ∴， ∵点为边中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴梯形为“加和角梯形”． （2）①∵梯形中，， ∴， ∵“加和角梯形”中，为“加和角”， ∴， ∴， ∴， 分别过点、作、，垂足分别为点G，H， ∴， ∴ ∴四边形为矩形， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ； ②，， ，， 由为“加和角”， 可得， ， 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴， ∴， 由点为中点，， 则， ， I．当时， ∵ 则， 则， ∵， ∴中，， ∵， ， ∴； II．当时，过点G作于点Q，交延长线于点P，作于点R，设， 由I知， 则， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ． 综上，或． 10．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）定义：在平面直角坐标系中，点是某函数图象上的一点，作该函数图象中自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于或等于的部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于点的“友好函数”． 例如：图是函数的图象，则它关于点的“友好函数”的图象如图所示，且它的“友好函数”的解析式为． (1)直接写出函数关于点的“友好函数”的解析式． (2)如图，点M是函数的图象上的一点，设点的横坐标为，是函数关于点的“友好函数”． 当时，若函数的函数值取值范围是，直接写出自变量的取值范围________； 如图，当以点、、、为顶点的矩形与函数的图象只有个公共点时，直接写出的取值范围________． (3)当中的函数的图象与矩形有且仅有一个公共点时，在函数上是存在一点，使是以为直角边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标________； 当中“主题干”中的函数的对称轴左侧图象与中矩形的边所围成的三角形图形中，其面积为时，直接写出点的坐标________． 【详解】（1）解：如下图所示， 函数关于点的“友好函数”的解析式为； （2）解：如下图所示， 当时，函数关于点的“友好函数”是， 当时，可得， 解得：， 当时，可得， 解得：， 综上所述，当时，的取值范围是； 矩形与函数的图像只有一个公共点是，则“友好函数”只能经过点， 设左侧的函数解析式为， 把点的坐标代入可得：， 解得：， 此时在点左侧的函数解析式为， 点也在函数上， ， 解得：； （3）解：如下图所示， 由可知， 设点的坐标为， 点、， ， ，， 当为斜边时，， ， 解得：，此时。 点的坐标为， 当为斜边时，， ， 解得：，此时。 点的坐标为， 综上所述点的坐标为或； 如下图所示， 当的面积为时，设点的坐标为，则， 设函数左侧的函数解析式为， 则有， 解得：， 函数左侧的函数解析式为， 点的横坐标为， 点的纵坐标为， ， ， ， 解得：或， 当时，点的坐标为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 函数左侧的函数解析式为， 解方程组， 得， 点的坐标为； 当的面积为时，设点的坐标为，则， 设函数左侧的函数解析式为， 则有， 解得：， 函数左侧的函数解析式为， 点的横坐标为， 点的纵坐标为， ， ， ， 解得：或， 当时，点的坐标为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 函数左侧的函数解析式为， 解方程组， 得， 点的坐标为， 综上所述点的坐标为或． 11．（24-25九年级上·北京昌平·期中）定义：对于平面直角坐标系xOy中的两个图形，，图形上的任意一点与图形上的任意一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离．若图形与图形的距离小于等于1，称这两个图形互为“近邻图形”． (1)已知点，点． ①如图1，在点，，中，与线段AB互为“近邻图形”的是______． ②如图2，将线段向下平移2个单位，得到线段，连接，，若直线与四边形互为“近邻图形”，求的取值范围； (2)如图3，在正方形EFGH中，已知点，点，若直线与正方形互为“近邻图形”，直接写出的取值范围． 【详解】（1）①如图1中， 观察图形可知，与线段互为“近邻图形”的是，． 故答案为：，； ②如图②中， 当直线在点的上方时，过点作直线， 过点作，交BA的延长线于点． 不妨假设，则， ， ， ， 当直线在点的下方时，过点作直线， 不妨假设，同法可得， ， ， 观察图象可知，满足条件的的取值范围为； （2）如图3中， 当正方形在直线的左侧时，不妨假设点到直线的距离为1时， 设直线交直线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当正方形在直线的右侧时，且正方形与直线的距离为时， 同法可得， ∴， 观察图象可知，满足条件的m的值为． 12．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）阅读理解：在平面直角坐标系中，给出如下定义： 定义一：若有三点，，，且，则称点是，的轴美点； 定义二：若函数图像上存在某点到轴和轴的距离中，其中一个距离是另一个距离的2倍，则称点为该函数的“倍美点”，此函数称为“倍美函数”，如点是函数图像上的点，所以函数是“倍美函数”，点是该函数的“倍美点”．像、等则是特殊的“倍美函数”． 根据以上材料，完成下列问题： (1)已知函数与轴和轴分别相交于点A，，若有三点、、，则其中是A、“轴美点”的是__________．（只填字母） (2)已知两点、． ①请说明点、的“轴美点”在函数上； ②在①的条件下，若“倍美函数”上存在点，使得点既是，“轴美点”，又是此函数的“倍美点”，求出的值． (3)已知“倍美函数”，是否存在整数使得该函数恰好具有三个“倍美点”？若存在，直接写出值和“倍美点”坐标；若不存在，简要说理． 【详解】（1）解：∵与x轴和y轴分别相交于点A，B， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∵点、、， ∴，；， ∵， ∴是A、B“轴美点”的是D． 故答案为：D． （2）解：①证明：设函数上一点M为， ∵、， ∴，， ∴， ∴G、H的“轴美点”在函数上； ②由题意得：点， Ⅰ、， ∴或，解得：或； Ⅱ、， ∴或，解得：或无解； 当时，点P为， ∴，解得：； 当时，点P为， ∴，解得：； 当时，点P为， ∴，解得：． 综上：m的值为7或或． （3）解：∵“倍美函数”恰好具有三个“倍美点”， ∴与和恰好有3个交点， 如图：当时，恰好具有三个“倍美点”，分别是； 当时，恰好具有三个“倍美点”， 或，解得：或． ∴“倍美点”分别是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$