精品解析：江苏省宿迁市沭阳县南湖初级中学2024-2025学年八年级下学期数学第一次月考考试数学试卷

2024~2025学年度第二学期过关测试一 初二年级数学 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.每小题的四个选项中，只有一个选项是正确的.请将答案填涂到答题纸相应位置上） 1. 抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷6次都是正面朝上，则抛掷第7次正面朝上的概率是（　　） A. 小于 B. 等于 C. 大于 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】利用概率的意义直接得出答案． 【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上概率等于， 前6次的结果都是正面朝上，不影响下一次抛掷正面朝上概率，则第7次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为：， 故选：． 【点睛】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心；根据二者的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形故，故C选项不符合题意； D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 3. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 画饼充饥 C. 守株待兔 D. 竹篮打水 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，一定会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件，可能会发生的事件是随机事件，据此判定即可求解，理解以上定义是解题的关键． 【详解】解：A. 旭日东升是必然事件； B. 画饼充饥是不可能事件； C. 守株待兔是随机事件； D. 竹篮打水是不可能事件； 故选：C． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 调查我国初中学生的身高情况适合采用普查 B. 为保证神舟十五号成功发射，对其零部件进行检查适合采用普查 C. 在电脑上，为了让使用者直观地看出磁盘“已用空间”与“可用空间”占“整个磁盘空间”的百分比，使用的统计图应该是频数直方图 D. 今年某校有2000名学生参加线上学习，为了解这些学生的视力情况，从中抽取100名学生的视力情况进行统计分析，其中2000名学生是总体 【答案】B 【解析】 5. 给出下列调查问题：①调查一批灯泡的使用寿命；②对乘坐飞机的乘客进行安检；③调查了解我市六年级学生的视力情况；④企业招聘，对应聘人员进行面试．其中适合抽样调查的有（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是全面调查和抽样调查，根据全面调查和抽样调查的概念判断即可．通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查．其二，调查过程带有破坏性．其三，有些被调查的对象无法进行普查． 【详解】解：①调查一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查； ②对乘坐飞机的乘客进行安检，适合全面调查； ③调查了解我市六年级学生视力情况，适合抽样调查； ④企业招聘，对应聘人员进行面试，适合全面调查； 故选：B． 6. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用所给条件结合平行四边形的判定方法进行分析即可． 【详解】解：A选项： ∵∠ABD=∠BDC，OA=OC，∠AOB=∠COD， ∴△AOB≌△COD（AAS）， ∴DO=BO， ∵，， ∴四边形ABCD是平行四边形，故A选项不合题意； B选项： 在与， ，， 这是SSA模型，不能判定， 因此，也不能用来判定四边形ABCD是平行四边形； 下图给出一个反例，图中， 则满足条件：，，但四边形ABCD不是平行四边形， 故B符合题意； C选项： ∵ADBC， ∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC， ∵， ∴△OAD≌△OCB， ∴， ∵，， ∴四边形ABCD是平行四边形，故C选项不合题意； D选项： ∵∠ABD=∠BDC， ∴ABCD． 又∵， ∴ADCB， ∴四边形ABCD是平行四边形，故D选项不合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．假如有个选项不确定，可以先判断其他选项． 7. 如图， 与 关于点 成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A. 点与点是对称点 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称的性质判断即可． 【详解】解：与关于点成中心对称， 点与是一组对称点，，，， ，都不合题意； ∴， ∴ ∴， C不符合题意； 与不是对应角， 不成立， D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查中心对称的性质，掌握中心对称的性质是求解本题的关键． 8. 如图，在中，是的中点，作，垂足在线段上连接，则下列结论中一定成立的是（ ） ①；②；③；④． A. ①②③ B. ①③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】由在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，易得AF=FD=CD，继而证得∠DCF=，可判断①；然后延长EF，交CD延长线于M，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），可得再证明，可判断②；由EF=FM，可得，结合MC＞BE， ＜，可判断③；设∠FEC=x，则∠FCE=x，再分别表示：，从而可判断④． 【详解】解：①∵F是AD的中点， ∴AF=FD， ∵在▱ABCD中，AD=2AB， ∴AF=FD=CD， ∴∠DFC=∠DCF， ∵， ∴∠DFC=∠FCB， ∴∠DCF=∠BCF， ∴；故①正确； ②延长EF，交CD延长线于M， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴∠A=∠MDF， ∵F为AD中点， ∴AF=FD， 在△AEF和△DFM中， ， ∴△AEF≌△DMF（ASA）， ∴FE=MF，∠AEF=∠M， ∵CE⊥AB， ∴∠AEC=90°， ∴∠AEC=∠ECD=90°， ∴EF=CF，故②正确； ③∵EF=FM， ∴， ∵MC＞BE， ∴＜，故③错误； ④设∠FEC=x， ∠FCE=x， ∴∠DCF=∠DFC=， ∴∠EFC=， ∴ ∵， ∴∠DFE=3∠AEF，故④正确． 综上可知：一定成立的是①②④， 故选：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 已知中，，求证：，用反证法证明：第一步是：假设_____成立． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，的反面是． 【详解】解：已知中，， 求证：， 运用反证法证明这个结论，第一步应先假设， 故答案为：． 10. 为了描述我市某一天气温变化情况，从“扇形统计图”“条形统计图”“折线统计图”中选择一种统计图，最适合的统计图是________． 【答案】折线统计图 【解析】 【分析】本题主要考查统计图的特点，扇形图：描述百分比(构成比)的大小；折线图：用线条的升降表示事物的发展变化趋势，主要用于 计量资料，描述两个变量间关系；条形图：表示独立指标在不同阶段的情况；根据题意，天气变化情况复杂，用折线图表示，即可求解． 【详解】解：描述我市某一天气温变化情况，最适合的统计图是折线统计图， 故答案为：折线统计图． 11. 一组数据经整理后分成四组，第一、二、三小组的频率分别为0.1，0.3，0.4，第四小组的频数是5，那么这组数据共有 _____个． 【答案】25 【解析】 【分析】本题主要频率、频数等知识点，各小组频数之比等于各小组频率之比成为解题的关键． 根据各组的频率和等于1可求出第四小组的频率，再根据它和第四组的频率关系求得其频数即可． 【详解】解：根据题意，得：第四小组的频率是， 因为第四小组的频数是5， 所以这组数据共有（个）． 故答案为：25． 12. 有若干个数据，最大值是，最小值是，用频数分布表描述这组数据时，若取组距为，则应分为________组． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查频数分布表中组数的确定，解题的关键是掌握组数的计算方法，即组数=（最大值最小值）÷组距，结果需用进一法取整． 先计算最大值与最小值的差，再除以组距得到商，最后用进一法取整得出组数． 【详解】解：∵， ∴取组距为4，则应分为组， 故答案为9． 13. 一个不透明的盒子中装有黑棋子和白棋子共40枚，这些棋子除颜色外无其他差别，从盒中随机取出一枚棋子，记下颜色，再放回盒中．不断重复上述过程，一共取了300次，其中有60次取到黑棋子，由此估计盒子中有________枚白棋子． 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，根据摸到黑棋子的频率得出其概率，然后求出黑色棋子的个数，再求出白色棋子的个数即可求解． 【详解】解：由题意得：取到黑棋子的概率约为：， ∴估计盒子中有黑棋子：（枚）， 则有白色棋子：（枚）． 故答案为：． 14. 在平行四边形中，的角平分线把边分成长度为5和6的两条线段，则平行四边形的周长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据平分及可得出，从而根据的长可求出平行四边形的周长． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， 当时，则， ∴平行四边形的周长为：． 当时，则， ∴平行四边形的周长为：． 故答案为：或． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明是解答本题的关键． 15. 如图，在等腰直角中，，为内一点，将线段绕点逆时针旋转后得到，连接，若的度数为，则的度数为________ ． 【答案】##10度 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质、旋转的性质，解决问题的关键是利用旋转性质得到全等判定的条件，利用全等转化角解决问题． 根据题意可得出，再证明，利用全等转化角即可求解． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， ∴， ， ， 由旋转的性质得，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，的方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有______个． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据网格的特点和平行四边形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 根据网格的特点可得， 四边形，，，， 为平行四边形， 所以这样的平行四边形最多可以画5个， 故答案为：5． 17. 如图，，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中，，运动过程中，点D到点O的最大距离为______． 【答案】9 【解析】 【分析】取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解． 【详解】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD， ∵OD≤OE+DE， ∴当O、D、E三点共线时，点D到点O距离最大， 此时，∵矩形ABCD中，AB=8，AD=BC=3， ∴OE=AE=AB=4， DE=， ∴OD的最大值为：5+4=9， 故答案为：9. 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点O、E、D三点共线时，点D到点O的距离最大是解题的关键． 18. 如图，在中，，，，AC在直线上，将绕点A按顺时针方向旋转到位置①，可得到点；将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，可得到点；将位置②的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置③，可得到点…，按此规律继续旋转.则____. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，旋转的性质及勾股定理，根据题意，发现将绕点A顺时针旋转，每旋转一次，的长度依次增加，2，，且三次一循环，按此规律即可求解． 【详解】解：在中，，，， ， 由题意知，， ， ， …… 以此类推，每旋转一次，的长度依次增加，2，，且三次一循环， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑） 19. 如图，在中，点E、F在上，，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题查看了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，平行线的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由平行四边形得到，，然后证明出，进而证明； （2）由得到，即可得到． 【小问1详解】 ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴； 【小问2详解】 ∵ ∴ ∴． 20. 在①AE=CF；②OE=OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程． 已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上， (填写序号)． 求证：BE=DF． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】见解析 【解析】 【分析】若选②，即OE=OF；根据平行四边形的性质可得BO=DO，然后即可根据SAS证明△BOE≌△DOF，进而可得结论；若选①，即AE=CF；根据平行四边形的性质得出OE=OF后，同上面的思路解答即可；若选③，即BE∥DF，则∠BEO=∠DFO，再根据平行四边形的性质可证△BOE≌△DOF，于是可得结论． 【详解】解：若选②，即OE=OF； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO=DO， ∵OE=OF，∠BOE=∠DOF， ∴△BOE≌△DOF（SAS）， ∴BE=DF； 若选①，即AE=CF； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO=DO，AO=CO， ∵AE=CF， ∴OE=OF， 又∠BOE=∠DOF， ∴△BOE≌△DOF（SAS）， ∴BE=DF； 若选③，即BE∥DF； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO=DO， ∵BE∥DF； ∴∠BEO=∠DFO， 又∠BOE=∠DOF， ∴△BOE≌△DOF（AAS）， ∴BE=DF； 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定是关键． 21. 如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若的面积等于2，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）1 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得，，结合可得，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据等底等高的三角形面积相等可得，再根据平行四边形的性质可得． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：，， ， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分． 22. 在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的个小球，其中红球个，黑球个． 先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出个球，将“摸出黑球”记为事件，请完成下列表格： 事件 必然事件 随机事件 的值 先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出个黑球的概率等于，求的值． 【答案】（1）5，2或3或4；（2）2 【解析】 【分析】（1）当袋子中全部为黑球时，摸出黑球才是必然事件，否则就是随机事件； （2）利用概率公式列出方程，求得m的值即可 【详解】解：（1） 当袋子中全为黑球，即摸出个红球时，摸到黑球是必然事件； ，当摸出个或或个红球时，摸到黑球为随机事件， 事件 必然事件 随机事件 的值 或或 故答案为：或或． （2）依题意，得： 解得： 答：的值是． 【点睛】本题考查的是简单事件概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 23. 如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）平移到，其中点A的对应点的坐标为，请在图中画出；B点平移后对应点的坐标为______； （2）请画出绕原点逆时针旋转得到的． （3）若绕某点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为_______． 【答案】（1）图见解析；， （2）见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质画出三角形，算出对应点的坐标即可解答； （2）根据旋转的定义画出图形即可； （3）根据旋转中心的特点，是对应点连线的垂直平分线的交点，画出即可； 【小问1详解】 解：根据平移的性质和题意可知，向右平移4个单位得到，如图， ∴B点平移后对应点的坐标为； 故答案为： 【小问2详解】 解：如图所示； 【小问3详解】 解：根据旋转中心的特点，借助网格画出，如图所示， ∴旋转中心的坐标， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平移的性质，图形与坐标，旋转图形和旋转中心的定义，垂直平分线的定义等知识点，解决此题的关键是能找到旋转中心． 24. 为弘扬中华传统文化，某校组织六年级1000名学生参加汉字听写大赛，为了解学生整体听写能力，从中抽取部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计分析，请根据尚未完成的下列图表，解答问题： 组别 分数段 频数 频率 一 16 0.08 二 30 0.15 三 50 0.25 四 m 0.40 五 24 n （1）表中________；________； （2）补全频数分布直方图； （3）若抽取的样本具有较好的代表性，且成绩超过80分为优秀，根据样本估计该校六年级学生中汉字听写能力优秀的约有多少人？ （4）下列说法正确的是_______（多项选择）． A．该调查方式是普查 B．该调查的样本是抽取200名学生的汉字听写成绩 C．样本容量是200 D．每名学生的汉字听写成绩是个体 E．200名学生的汉字听写成绩是总体 【答案】（1）80，0.12 （2）见解析 （3）该校六年级学生中汉字听写能力优秀的约有520人 （4）BCD 【解析】 【分析】本题考查了直方图和频率统计表的知识点，解决本题的关键是熟练掌握求样本容量，频率，频数的公式． （1）根据第一组的频数是16，频率是0.08，即可求得总数，即样本容量，根据频数样本容量×频率，求得m，根据频率和为1，求n即可； （2）根据（1）的计算结果即可作出直方图； （3）利用总数1000乘以优秀的所占的频率即可； （4）根据总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位解答即可． 【小问1详解】 解：抽取的学生总人数为：（人） 则； ； 【小问2详解】 解：补全频数分布直方图如下； 【小问3详解】 解：∵样本中成绩在内的频率是0.4，成绩在内的频率是0.12， ∴该校六年级学生中汉字听写能力优秀的人数为：(人)． 答：该校六年级学生中汉字听写能力优秀的约有520人； 【小问4详解】 解：A、该调查方式是抽样调查，错误，故A不符合题意； B、该调查的样本是抽取200名学生的汉字听写成绩，正确，故B符合题意； C 、样本容量是，正确，故C符合题意； D 、每名学生的汉字听写成绩是个体，正确，故D符合题意； E、1000名学生的汉字听写成绩是总体，故E不符合题意； 故选：BCD． 25. 某水果公司新进了千克柑橘，销售人员首先从所有柑橘中随机地抽取若干柑橘，进行了“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中： 柑橘总质量（/千克） 损坏柑橘质量（/千克） 柑橘损坏的频率（） （1）写出______ ______ ______精确到）. （2）估计这批柑橘的损坏概率为______（精确到）. （3）该水果公司以元每千克成本进的这批柑橘，公司希望这批柑橘能够获得利润元，那么在出售柑橘（已去掉损坏的柑橘）时，求出每千克大约定价为多少元时比较合适（精确到）. 【答案】（1），，； （2）； （3）元 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率的知识以及一元一次方程的应用，用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．得到售价的等量关系是解决问题的关键． （）利用频数计算方法去掉频数即可； （）大量重复试验中频率稳定值即为概率； （）设每千克大约定价为元，根据“销售额总成本利润”列出关于的方程，解之即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：柑橘完好的概率约为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：设每千克大约定价为元， 根据题意得， 解得， 答：在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为元比较合适． 26. 如图1，在中，点D在的延长线上，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的平分线于点F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接、，当点运动到何处时，四边形是矩形，并说明理由； （3）在（2）的前提下满足时，四边形是正方形？（直接写出答案，无需证明） 【答案】（1）见解析 （2）当点O在边上运动到中点时，四边形是矩形，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质得到，，根据平行线得到，，从而利用等腰三角形说明，从而得到结论； （2）当O为中点时，结合(1)可得四边形为平行四边形，然后根据得出矩形； （3）当时，可得，对角线互相垂直的矩形是正方形． 【小问1详解】 解： 平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ． 【小问2详解】 解：当点O在边上运动到中点时，四边形是矩形． ，， 四边形是平行四边形， ，，， ， ，即， 四边形是矩形． 【小问3详解】 解：在（2）前提下，当的时，四边形是正方形． ，， ， 矩形是正方形． 【点睛】本题综合考查了平行线性质，等腰三角形的判定，平行四边形、矩形、正方形的性质与判定等知识，熟练掌握它们的性质和判定是解决问题的关键． 27. 在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E． （1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC． （2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明． （3）若AC=6，DE=4，则DF=　． 【答案】（1）见解析； （2）图②中：AC+DF=DE；图③中：AC+DE=DF． （3）2或10 【解析】 【分析】（1）证明四边形AFDE是平行四边形，且△DEC和△BDF是等腰三角形即可证得． （2）与（1）的证明方法相同． （3）根据（1）（2）中的结论直接求解． 【详解】解：（1）证明：∵DF∥AC，DE∥AB， ∴四边形AFDE是平行四边形． ∴AF=DE． ∵DF∥AC， ∴∠FDB=∠C． 又∵AB=AC， ∴∠B=∠C． ∴∠FDB=∠C． ∴DF=BF． ∴DE+DF=AB=AC． （2）图②中：AC+DF=DE；图③中：AC+DE=DF． 理由如下：如图②所示，同理可证四边形AEDF是平行四边形， ∴AF=DE， ∵， ∴∠B=∠CDF， ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， 又∵∠ACB=∠FCD， ∴∠FCD=∠FDC， ∴FC=FD， ∴AC+DF=AC+CF=AF=DE； 如图③同理可证AC+DE=DF； （3）当如图①的情况，DF=AC﹣DE=6﹣4=2； 当如图③的情况，DF=AC+DE=6+4=10． 28. 背景：一次小组合作探究课上，小明将两个边长分别为3和2的正方形按如图1所示的位置摆放，探究小正方形绕点A旋转过程中和的数量和位置关系．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形绕点A顺时针旋转过程中（如图2所示），和满足什么数量关系？ （2）在旋转过程中继续探究和的关系，回答以下问题： ①探究和位置关系，请给出猜想，并证明结论； ②若连接和，当时，请算出四边形的面积； （3）在旋转过程中，是否为定值？若是，请直接写这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）①，证明见解析；② （3）的值为定值26 【解析】 【分析】（1）通过证明，即可得出结论； （2）①令相交于点O，连接，根据全等得出，根据三角形的内角和定理，即可得出结论；②易得，根据的面积推出，即可求解； （3）根据勾股定理可得，，即可推出，即可求解． 【小问1详解】 解：，证明如下： ∵四边是正方形， ∴， ∴，即， 和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①令相交于点O，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴的面积 ． 【小问3详解】 解：∵正方形边长分别为3，2， ∴， ∵， ∴，， ∴ ， ∴的值为定值26． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期过关测试一 初二年级数学 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.每小题的四个选项中，只有一个选项是正确的.请将答案填涂到答题纸相应位置上） 1. 抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷6次都是正面朝上，则抛掷第7次正面朝上的概率是（　　） A. 小于 B. 等于 C. 大于 D. 无法确定 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A. B. C. D. 3. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 画饼充饥 C. 守株待兔 D. 竹篮打水 4. 下列说法正确的是（ ） A. 调查我国初中学生的身高情况适合采用普查 B. 为保证神舟十五号成功发射，对其零部件进行检查适合采用普查 C. 在电脑上，为了让使用者直观地看出磁盘“已用空间”与“可用空间”占“整个磁盘空间”的百分比，使用的统计图应该是频数直方图 D. 今年某校有2000名学生参加线上学习，为了解这些学生的视力情况，从中抽取100名学生的视力情况进行统计分析，其中2000名学生是总体 5. 给出下列调查问题：①调查一批灯泡的使用寿命；②对乘坐飞机的乘客进行安检；③调查了解我市六年级学生的视力情况；④企业招聘，对应聘人员进行面试．其中适合抽样调查的有（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 6. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图， 与 关于点 成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A. 点与点是对称点 B. C. D. 8. 如图，在中，是的中点，作，垂足在线段上连接，则下列结论中一定成立的是（ ） ①；②；③；④． A. ①②③ B. ①③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 已知中，，求证：，用反证法证明：第一步是：假设_____成立． 10. 为了描述我市某一天气温变化情况，从“扇形统计图”“条形统计图”“折线统计图”中选择一种统计图，最适合的统计图是________． 11. 一组数据经整理后分成四组，第一、二、三小组频率分别为0.1，0.3，0.4，第四小组的频数是5，那么这组数据共有 _____个． 12. 有若干个数据，最大值是，最小值是，用频数分布表描述这组数据时，若取组距为，则应分为________组． 13. 一个不透明的盒子中装有黑棋子和白棋子共40枚，这些棋子除颜色外无其他差别，从盒中随机取出一枚棋子，记下颜色，再放回盒中．不断重复上述过程，一共取了300次，其中有60次取到黑棋子，由此估计盒子中有________枚白棋子． 14. 在平行四边形中，的角平分线把边分成长度为5和6的两条线段，则平行四边形的周长为___________． 15. 如图，在等腰直角中，，为内一点，将线段绕点逆时针旋转后得到，连接，若的度数为，则的度数为________ ． 16. 如图，的方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有______个． 17. 如图，，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中，，运动过程中，点D到点O的最大距离为______． 18. 如图，在中，，，，AC在直线上，将绕点A按顺时针方向旋转到位置①，可得到点；将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，可得到点；将位置②的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置③，可得到点…，按此规律继续旋转.则____. 三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑） 19. 如图，在中，点E、F在上，，．求证： （1）； （2）． 20. 在①AE=CF；②OE=OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程． 已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上， (填写序号)． 求证：BE=DF． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 21. 如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若的面积等于2，求的面积． 22. 在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的个小球，其中红球个，黑球个． 先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出个球，将“摸出黑球”记事件，请完成下列表格： 事件 必然事件 随机事件 的值 先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出个黑球的概率等于，求的值． 23. 如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）平移到，其中点A的对应点的坐标为，请在图中画出；B点平移后对应点的坐标为______； （2）请画出绕原点逆时针旋转得到的． （3）若绕某点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为_______． 24. 为弘扬中华传统文化，某校组织六年级1000名学生参加汉字听写大赛，为了解学生整体听写能力，从中抽取部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计分析，请根据尚未完成的下列图表，解答问题： 组别 分数段 频数 频率 一 16 0.08 二 30 0.15 三 50 0.25 四 m 0.40 五 24 n （1）表中________；________； （2）补全频数分布直方图； （3）若抽取的样本具有较好的代表性，且成绩超过80分为优秀，根据样本估计该校六年级学生中汉字听写能力优秀的约有多少人？ （4）下列说法正确的是_______（多项选择）． A．该调查方式是普查 B．该调查的样本是抽取200名学生的汉字听写成绩 C．样本容量是200 D．每名学生的汉字听写成绩是个体 E．200名学生汉字听写成绩是总体 25. 某水果公司新进了千克柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机地抽取若干柑橘，进行了“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中： 柑橘总质量（/千克） 损坏柑橘质量（/千克） 柑橘损坏的频率（） （1）写出______ ______ ______精确到）. （2）估计这批柑橘损坏概率为______（精确到）. （3）该水果公司以元每千克的成本进的这批柑橘，公司希望这批柑橘能够获得利润元，那么在出售柑橘（已去掉损坏的柑橘）时，求出每千克大约定价为多少元时比较合适（精确到）. 26. 如图1，在中，点D在的延长线上，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的平分线于点F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接、，当点运动到何处时，四边形是矩形，并说明理由； （3）在（2）的前提下满足时，四边形是正方形？（直接写出答案，无需证明） 27. 在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E． （1）当点D边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC． （2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明． （3）若AC=6，DE=4，则DF=　． 28. 背景：一次小组合作探究课上，小明将两个边长分别为3和2的正方形按如图1所示的位置摆放，探究小正方形绕点A旋转过程中和的数量和位置关系．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形绕点A顺时针旋转过程中（如图2所示），和满足什么数量关系？ （2）在旋转过程中继续探究和的关系，回答以下问题： ①探究和位置关系，请给出猜想，并证明结论； ②若连接和，当时，请算出四边形的面积； （3）在旋转过程中，是否为定值？若是，请直接写这个定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $