重庆市第十八中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

重庆市第十八中学2024—2025学年度(下)3月学习能力摸底 参考答案 1、 单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1. 下列函数求导运算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 2.记为各项均为正数的等比数列的前n项和,,,则( ) A. B. C.1 D.2 【答案】D 3.已知函数的导函数的图象如图,则下列叙述正确的是( ) A.函数在上单调递减 B.函数在处取得极小值 C.函数只有一个极值点 D.函数在处取得极值 【答案】C【详解】由导函数的图象可知,函数在上单调递增,故A选项错误;在的左右,所以函数在处不能取得极值,故C选项错误; 当时,;当时,,即函数在上单调递增, 在上单调递减,即函数在出取得极大值,且是函数的唯一极值点,故B选项错误,C选项正确.故选:C. 4.若函数在上为增函数,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】B 5.已知抛物线的焦点为,准线为,点在上,过作的垂线,垂足为.若,则到轴的距离为( ) A. B. C. D.2 【答案】A【详解】如图,不妨设点在轴上方,准线与轴交于点, 因为点在抛物线上,所以,, 又,为正三角形,, 又,在中,即, 解得或(舍去),所以到的距离为.故选:A. 6. 已知点在曲线上,点在 直线上,则的最小值为 A. B. C. D. 【答案A【解析】【详解】函数的定义域为,, 令,可得,(舍去)所以切点为,它到直线的距离则的最小值为.故选A. 7.设实数,若对任意的,不等式恒成立,则实数m的最小值为( ) A. B.1 C. D. 【答案】C【详解】因为,不等式成立,即,进而转化为恒成立, 构造函数,可得, 当,,单调递增,则不等式恒成立等价于恒成立,即恒成立,即恒成立, 设,可得, 当时,,单调递增;当时,,单调递减, 所以当,函数取得最大值,最大值为, 所以,即实数m的取值范围是.故选:C. 8. 已知是定义在上的偶函数,是的导函数;当时,有恒成立,且,则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 答案C 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9. 已知数列满足,(),的前项和为,则( ) A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. D. 9【答案】BC【解析】【详解】对于AB,因为数列中,,(), 则,, 所以数列是以为首项,3为公比的等比数列,故A错误,B正确; 对于C,,即有,故C正确; 对于D,,故D错误. 故选:BC. 10.已知函数,则下列结论正确的是( ) A.是函数定义域内的极小值点 B.的单调减区间是 C.若有两个不同的交点,则 D.在定义域内既无最大值又无最小值 【答案】ACD 11.(多选题)已知数列{an}满足,曲线和有交点,且和在点处的切线重合,则下列结论正确的为( ) A. B. C. D. 11.【详解】依题意,有,且,解得,, (1)考查选项A:构造函数,则, 显然当时,,即在上单调递增, 从而{an}为递增数列,又,故,,易知选项A错误; (2)考查选项B:显然,即,故选项B正确; (3)考查选项C:由,可知,即{xn}为正项递增数列, {an}亦为正项递增数列,故数列为正项递增数列,又,易知选项C错误; (4)考查选项D:易知,需证,只需证, 令,则,只需证,, 令,,则, 易知单调递减,故当时,,从而选项D正确; 故选:BD. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 若,则_. 【答案】【解析】 【分析】利用导数的运算法则,结合常见函数的导数公式、代入法进行求解即可. 【详解】由, 所以,故答案为: 13.已知函数,若且,则的最小值为 . 【答案】 14.已知不等式恰有2个整数解,求实数k的取值范围 【详解】原不等式等价于,设,,所以,得.当时,, 所以在上单调递增,当时,,所以在上单调递减,当时,取极大值.又,且时,,因此与的图象如下,直线恒过点.当时,显然不满足条件;当时,只需要满足,解得. 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15已知函数在处取得极大值2. (1)求的值; (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1), (2)最大值为6,最小值为 【详解】(1)函数 ,解得, 所以,得 所以函数在上递增,在上递减,在上递增, 所以函数在处取得极大值,符合题意 则, (2)由(1)可知函数在上单调递减,在上单调递增, 又,, 所以的最大值为6,最小值为 16.已知数列满足,(). (1)求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式: (2)记,为数列的前n项和,若对任意的正整数n都成立,求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析, (2) 【详解】(1)因为,得到, 所以为常数, 又,所以,故数列是公差为,首项为的等差数列, 由,得到,所以数列的通项公式为. (2)由(1)知,, 所以, , 由对任意的正整数n都成立,得到, 又,当且仅当,即时取等号, 所以,得到, 所以,实数的取值范围为. 17.如图,四边形为矩形,≌,且二面角为直二面角. (1)求证:平面平面; (2)设是的中点,,二面角的平面角的大小为,当时,求的取值范围 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】(1)因二面角为直二面角,即平面平面,又, 平面平面,平面,则平面, 又平面,即得, 四边形为矩形,≌,则,即, 平面,于是平面,平面, 所以平面平面; (2)过E作平面,由(1)知平面,平面,故, 以为原点,射线EB,EA,Ez分别为x,y,z轴非负半轴建立空间直角坐标系,如图, ∵,,则,,,, ,,, 设平面的法向量为,则,即, 则, 设平面的法向量为,则,即, 则,由图可知二面角为锐二面角, 从而有, 而,则 18.已知椭圆的离心率,其焦点三角形面积的最大值是. (1)求椭圆的标准方程; (2)过点作直线. (i)若是椭圆在第一象限的切线,求的方程. (ii)若直线与椭圆交于两点,是坐标原点,求面积的最大值. 【答案】(1) 【详解】(1)焦点三角形面积为,当时面积最大, 则依题可得,解得,则椭圆方程为; (i) (ii)当直线垂直于轴时,三点共线,不能构成三角形, 故直线的斜率存在,则设直线为:, 设, 联立,得, 则,即或, ,则, 点到直线的距离为, 则, 令,则,则, 当且仅当,即时等号成立, 19.已知函数,,. (1)若的极值点为1,求实数的值; (2)在(1)的前提下,若对,总存在,使得成立,求实数的取值范围; (3)证明不等式(其中是自然对数的底数). 【答案】(1)(2)(3)证明见解析 (1)(2)对,总存在使得成立, 等价于存在使得成立, 由(1)求出,问题转化为存在,使得, ,,当时, ①当时,若,,函数单调递减,,不符合题意; ②当时,,使得, 时,,函数单调递增;时,,函数单调递减, 即,则,使得,符合题意; ③当时,若,,函数单调递增,, 则,使得,符合题意; 综上可知,所求实数的取值范围是 (3)由(2)可得当时,若,,令,,有;再由(1)可得:,则, 即,也即,∴, . 则 所以. 1 学科网(北京)股份有限公司 $$ 重庆市第十八中学2024—2025学年度（下）3月学习能力摸底 参考答案 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1. 下列函数求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2．记为各项均为正数的等比数列的前n项和，，，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．已知函数的导函数的图象如图，则下列叙述正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数在处取得极小值 C．函数只有一个极值点 D．函数在处取得极值 4．若函数在上为增函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过作的垂线，垂足为.若，则到轴的距离为（    ） A． B． C． D．2 6. 已知点在曲线上，点在 直线上，则的最小值为　 A. B. C. D. 7．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 8. 已知是定义在上的偶函数，是的导函数；当时，有恒成立，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知数列满足，（），的前项和为，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. D. 10.已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是函数定义域内的极小值点 B．的单调减区间是 C．若有两个不同的交点，则 D．在定义域内既无最大值又无最小值 11.（多选题）已知数列{an}满足，曲线和有交点，且和在点处的切线重合，则下列结论正确的为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则______. 13．已知函数，若且，则的最小值为 . 14．已知不等式恰有2个整数解，求实数k的取值范围 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15已知函数在处取得极大值2． (1)求的值； (2)求函数在区间上的最值． (2)最大值为6，最小值为 16．已知数列满足，（）． (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式： (2)记，为数列的前n项和，若对任意的正整数n都成立，求实数的取值范围． 17．如图，四边形为矩形，≌，且二面角为直二面角． (1)求证：平面平面； (2)设是的中点，，二面角的平面角的大小为，当时，求的取值范围 18．已知椭圆的离心率，其焦点三角形面积的最大值是. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作直线. (i)若是椭圆在第一象限的切线，求的方程. (ii)若直线与椭圆交于两点，是坐标原点，求面积的最大值. 19.已知函数，，． （1）若的极值点为1，求实数的值； （2）在（1）的前提下，若对，总存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）证明不等式（其中是自然对数的底数）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$