专题10.1 分式（2大知识点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题10.1 分式（2大知识点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 【知识点2】分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零. 2.分式无意义的条件：分母等于零. 3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 题型目录 【题型1】分式的判断..........................................................1 【题型2】分式有意义条件......................................................3 【题型3】分式无意义的条件....................................................4 【题型4】分式值为零的条件....................................................5 【题型5】按要求构造分式......................................................7 【题型6】分式的规律性问题....................................................8 【题型7】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围.............................11 【题型8】求使分式值为整数时未知数的整数值...................................13 【题型9】直通中考...........................................................15 【题型10】拓展延伸..........................................................16 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】分式的判断 【例1】（2024·广东广州·一模）给出6个整式：，，，，，． （1）从上面的6个整式中选择2个合适的整式，组成一个分式； （2）从上面的6个整式中选择2个合适的整式进行乘法运算，使运算结果为一个不含有一次项的多项式，请你列出算式，并写出运算过程． 【答案】（1）选择两个整式为：，，组成的分式为：；（2）选择两个整式为：，， 【分析】本题考查整式的运算． （1）根据题意，选择两个整式组成一个分式即可； （2）根据题意，选择的两个整式乘法运算不含1次项即可． 解：（1）解：选择两个整式为：，，组成的分式为：； （2）选择两个整式为：， 其乘法运算： ． 【变式1】1．（24-25八年级上·河南新乡·期末）下列代数式中，是分式的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的定义，即一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式．据此解答即可． 解：A．是整式，不符合题意； B．是整式，不符合题意； C．是整式，不符合题意； D．是分式，符合题意； 故选：D． 【变式2】（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）若，且，则分式 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了等式的性质，分式的定义，正确化简是解题的关键．利用，且，求出即可． 解：∵，且， ∴， ∴， 故答案为：2024． 【题型2】分式有意义条件 【例2】（2024八年级上·全国·专题练习）x取何值时，下列分式有意义： （1） （2） （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）x为任意实数 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不为零时分式有意义是解题的关键． （1）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案； （2）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案； （3）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案． 解：（1）解：要使有意义， 得． 解得， 当时，有意义； （2）解：要使有意义，得． 解得， 当时，有意义； （3）解：要使有意义，得． 而对任意实数，， 所以，x为任意实数，有意义． 【变式1】（24-25八年级下·全国·期末）下列各式中，无论取何值，分式都有意义的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．根据分式有意义的条件分析四个选项哪个方式分母不为零，进而可得答案． 解：A、 ， ，则，无论 取何值，分式都有意义，故此选项符合题意； B、当时，分式分母，分式无意义，故此选项不符合题意； C、当时，分式分母，分式无意义，故此选项不符合题意； D、当时，分式分母，分式无意义，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·四川广元·期末）使分式有意义，则应满足的条件是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分母不等于解答即可求解，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 解：要分式有意义，则且， ∴且， 故答案为：且． 【题型3】分式无意义的条件 【例3】（2024八年级上·全国·专题练习）当时，分式的值不存在，则当时，求分式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件：分母等于0、分式代入求值，掌握知识点并正确计算是解题的关键．根据分式无意义的条件列出关于m的等式，求出m的值，再把代入分式计算即可． 解：根据题意可知，当时，， ， ， 把代入，得． 【变式1】（24-25八年级上·福建南平·期末）下表描述了分式的部分信息： 的值 … … 的值 … 无意义 … 其中，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据无意义知，由，所以，由时，，所以可得结论． 解：因为的值当时无意义， 所以． 又因为，所以， 当时，，所以，则， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·湖南怀化·期中）已知分式的值不存在，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．由分式的值不存在可知分式无意义，据此列式求解即可． 解：∵分式的值不存在， ∴分式无意义， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型4】分式值为零的条件 【例4】（2025八年级下·全国·专题练习）当x为何值时，下列分式的值为0？ （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了分式的值为零的条件：分式的分子为零且分母不为零时，分式的值为零． （1）根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零求解即可， （2）根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零求解即可， （3）根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零求解即可． 解：（1）解：由题意得： ， 解得， 解得； （2）解：由题意得： ， 解得， 解得； （3）解：由题意得： ， 解得， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）若分式的值为0，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的值是0的条件．分式的值为0时，分子为0，但分母不为0，两个条件缺一不可． 解：由题意可知，，且， ， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式有意义和分式的值为零的条件是解题的关键，根据分式没有意义，可得，再由分式的值为零，可得从而得到的值，代入即可得到答案． 解：时，分式没有意义， 时，分式的值为零， ． 【题型5】按要求构造分式 【例5】（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）运输一批物资，原计划每天运，n天运完．实际每天比原计划多运，则实际运输了多少天？ 【答案】天 【分析】此题考查了列分式，首先求出物资总量，然后除以每天运送的吨数即可求解． 解：∵运输一批物资，原计划每天运，n天运完 ∴物资总量为， ∵实际每天比原计划多运， ∴实际每天运送， ∴实际运输了天． 【变式1】（24-25八年级上·河南漯河·期末）某校12月组织a名师生到红旗渠风景区开展红色教育活动．租用的旅游车每辆可乘坐b人，师生全部上车后还剩一个位置，由此可知租用的旅游车的辆数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列代数式，理解题意是解题的关键，先计算出所有旅游车坐满的人数，即可列数代数式． 解：∵人刚好坐满， ∴租用的旅游车的辆数为：， 故选：A． 【变式2】（23-24八年级下·辽宁阜新·期中）小玉要打一份字的文件，第一天她打字小时，打字速度为字/分．第二天她打字速度比第一天快了字/分，两天打完全部文件，用含的式子表示第二天打字用的时间为 分. 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，求出第二天打字的数为，第二天打字速度为即可求得打字的时间． 解：小时分钟 由题意得：第一天打字的个数为个， 第二天打字用的时间为分钟 故答案为：． 【题型6】分式的规律性问题 【例6】（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： （1）写出第4个等式：______； （2）试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明； （3）运用规律计算：． 【答案】（1）；（2）；证明见分析；（3） 【分析】本题考查数字规律型，观察已知的式子总结规律是解题的关键． （1）观察题中的式子求解即可； （2）根据题中的等式进行归纳总结即可求解； （3）利用（2）中的规律，再裂项进行计算即可． 解：（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：； （2）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 第n个等式：； 左边， 右边 ， ∴左边右边； （3）解： ． 【变式1】（23-24八年级上·山东东营·期中）已知为实数，规定运算，，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字规律的探索，分别求前几个数，得到以三个数为一组，不断循环，然后运用规律求解即可，通过计算找到规律是解题的关键． 解：， ， ， ， ，， 发现规律：以三个数为一组，不断循环， ， ． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·河南信阳·期末）已知，，，，，，，即当n为大于1的奇数时，；当n为大于1的偶数时，．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的规律性问题，从题目所给的式子中发现并总结出一般规律是解题的关键． 先找到一般规律：的值每个一循环，再求出，由可得，于是得解． 解：， ， ， ， ， ， ， ， 的值每个一循环， ， 且， ， 故答案为：． 【题型7】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【例7】（23-24八年级下·全国·假期作业）当的取值范围是多少时： （1）分式的值为负数？ （2）分式的值为正数？ （3）分式的值为负数？ 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题考查的是分式的值为正数或负数时，字母的取值范围，一元一次不等式组的应用，理解题意是关键； （1）由分式的值为负数可得，再解不等式即可； （2）由分式的值为正数可得或，再解不等式组即可； （3）结合（2）的结论可得分式的值为负数时的范围． 解：（1）解：，， ， ， 时，分式值为负数． （2）∵分式的值为正数， ∴或， 当时， 解得：， 当时， 不等式组无解， 综上：当时；分式的值为正数， （3）∵由（2）得：当时；分式的值为正数， ∴分式的值为负数时，则或； 【变式1】（21-22八年级上·陕西渭南·阶段练习）若分式的值为正数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，然后解这两个不等式组即可求出结论． 解： ， ∵分式的值为正数， ∴， 解得且． 故选：B． 【点拨】此题考查的是根据分式的值的取值范围，求字母的取值范围，掌握两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）已知分式的值为正数，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可确定出的范围． 解：∵的值为正数， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 【点拨】此题考查了解一元一次不等式组的应用和分式的值，解题的关键是根据题意列出不等式组． 【题型8】求使分式值为整数时未知数的整数值 【例8】（23-24八年级上·全国·课堂例题）学完分式的概念后，老师出了一道题：当取哪些整数时，分式的值是整数？ 小芳的解答如下：当，即，3，5时，分式的值是整数． 小芳的解答对吗？如果不对，请改正． 【答案】小芳的解答不对．改正见分析 【分析】要使式子是整数，分子一定要被分母整除，因而的值是，，，故可以求出的值． 解：小芳的解答不对， 若使分式值是一个整数，则一定是4的约数，4的约数有，，共6个， 当时，或， 当时，或， 当时，或， 即，，0，2，3，5时，分式的值是整数． 【点拨】本题考查的是分式的值，在解答此题时要找出4的约数，同时要注意验根． 【变式1】（2024七年级下·浙江·专题练习）对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的化简变形，解题时要能熟练掌握并理解．依据题意，由，再结合为正整数，为非负整数，进而可以得解． 解：由题意，，且为正整数，为非负整数， 必为正整数． 为的正因数，可能为，，，， 为非负整数， 可能为，，． 又为正整数， 或或均符合题意，共种可能． 故选：A． 【变式2】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若及都是正整数，则所有满足条件的的值的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了使分式值为整数时未知数的整数值，一元一次不等式的应用，根据题意建立不等式并求解是解题关键．根据为整数，且的值也为正整数，列出不等式，求出的取值范围，再枚举求出符合题意的的值，即可求解． 解：∵及都是正整数， ∴， 即， 解得：， 故当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故所有满足条件的的值有：、、， ∴所有满足条件的的值的和是． 故答案为：． 【题型9】直通中考 【例1】（2024·四川雅安·中考真题）已知．则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是条件分式的求值，由条件可得，再整体代入求值即可； 解：∵， ∴， ∴ ； 故选C 【例2】（2024·四川遂宁·中考真题）在等边三边上分别取点，使得，连结三点得到，易得，设，则 如图①当时， 如图②当时， 如图③当时， …… 直接写出，当时， ． 【答案】/0.73 【分析】本题主要考查数字规律性问题，首先根据已知求得比例为n时，，代入即可． 解：根据题意可得，当时，， 则当时，， 故答案为：． 【题型10】拓展延伸 【例1】（2024八年级·全国·竞赛）已知，一次函数的图象过点，则一次函数的解析式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的定义，待定系数法求一次函数解析式等知识．根据得到，，，求出．结合一次函数的图象过点，即可求出一次函数解析式． 解：∵， ∴，，， 得， ∵， ∴． ∵一次函数的图象过点， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为． 故答案为：． 【例2】（2022·安徽·模拟预测）观察以下等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第个等式：_____； （2）写出你猜想的第个等式：______用含的等式表示，并证明． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据已有等式的形式求解即可； （2）根据等式推出一般性规律，求解，证明即可． 解：（1）解：由题意得：第个等式为：， 故答案为：； （2）解：∵第个等式：，整理得：， 第个等式：，整理得：， 第个等式：，整理得：， ∴第个等式为：， 证明：， ， 故． 故答案为：． 【点拨】本题考查了分式规律的探究．解题的关键在于根据已知的等式形式推导出一般性规律． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10.1 分式（2大知识点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 【知识点2】分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零. 2.分式无意义的条件：分母等于零. 3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 题型目录 【题型1】分式的判断..........................................................1 【题型2】分式有意义条件......................................................2 【题型3】分式无意义的条件....................................................2 【题型4】分式值为零的条件....................................................2 【题型5】按要求构造分式......................................................3 【题型6】分式的规律性问题....................................................3 【题型7】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围..............................3 【题型8】求使分式值为整数时未知数的整数值....................................4 【题型9】直通中考............................................................4 【题型10】拓展延伸...........................................................5 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】分式的判断 【例1】（2024·广东广州·一模）给出6个整式：，，，，，． （1）从上面的6个整式中选择2个合适的整式，组成一个分式； （2）从上面的6个整式中选择2个合适的整式进行乘法运算，使运算结果为一个不含有一次项的多项式，请你列出算式，并写出运算过程． 【变式1】1．（24-25八年级上·河南新乡·期末）下列代数式中，是分式的为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）若，且，则分式 ． 【题型2】分式有意义条件 【例2】（2024八年级上·全国·专题练习）x取何值时，下列分式有意义： （1） （2） （3）． 【变式1】（24-25八年级下·全国·期末）下列各式中，无论取何值，分式都有意义的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·四川广元·期末）使分式有意义，则应满足的条件是 ． 【题型3】分式无意义的条件 【例3】（2024八年级上·全国·专题练习）当时，分式的值不存在，则当时，求分式的值． 【变式1】（24-25八年级上·福建南平·期末）下表描述了分式的部分信息： 的值 … … 的值 … 无意义 … 其中，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·湖南怀化·期中）已知分式的值不存在，则 ． 【题型4】分式值为零的条件 【例4】（2025八年级下·全国·专题练习）当x为何值时，下列分式的值为0？ （1）； （2）； （3）． 【变式1】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）若分式的值为0，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零．则的值为 ． 【题型5】按要求构造分式 【例5】（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）运输一批物资，原计划每天运，n天运完．实际每天比原计划多运，则实际运输了多少天？ 【变式1】（24-25八年级上·河南漯河·期末）某校12月组织a名师生到红旗渠风景区开展红色教育活动．租用的旅游车每辆可乘坐b人，师生全部上车后还剩一个位置，由此可知租用的旅游车的辆数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·辽宁阜新·期中）小玉要打一份字的文件，第一天她打字小时，打字速度为字/分．第二天她打字速度比第一天快了字/分，两天打完全部文件，用含的式子表示第二天打字用的时间为 分. 【题型6】分式的规律性问题 【例6】（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： （1）写出第4个等式：______； （2）试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明； （3）运用规律计算：． 【变式1】（23-24八年级上·山东东营·期中）已知为实数，规定运算，，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（   ） A． B．3 C． D． 【变式2】（24-25八年级上·河南信阳·期末）已知，，，，，，，即当n为大于1的奇数时，；当n为大于1的偶数时，．计算的结果为 ． 【题型7】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【例7】（23-24八年级下·全国·假期作业）当的取值范围是多少时： （1）分式的值为负数？ （2）分式的值为正数？ （3）分式的值为负数？ 【变式1】（21-22八年级上·陕西渭南·阶段练习）若分式的值为正数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 【变式2】（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）已知分式的值为正数，则的取值范围是 ． 【题型8】求使分式值为整数时未知数的整数值 【例8】（23-24八年级上·全国·课堂例题）学完分式的概念后，老师出了一道题：当取哪些整数时，分式的值是整数？ 小芳的解答如下：当，即，3，5时，分式的值是整数． 小芳的解答对吗？如果不对，请改正． 【变式1】（2024七年级下·浙江·专题练习）对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若及都是正整数，则所有满足条件的的值的和是 ． 【题型9】直通中考 【例1】（2024·四川雅安·中考真题）已知．则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【例2】（2024·四川遂宁·中考真题）在等边三边上分别取点，使得，连结三点得到，易得，设，则 如图①当时， 如图②当时， 如图③当时， …… 直接写出，当时， ． 【题型10】拓展延伸 【例1】（2024八年级·全国·竞赛）已知，一次函数的图象过点，则一次函数的解析式是 ． 【例2】（2022·安徽·模拟预测）观察以下等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第个等式：_____； （2）写出你猜想的第个等式：______用含的等式表示，并证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$