专题2.6 矩形（3大知识点4大考点15类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）

专题2.6 矩形（3大知识点4大考点15类题型））（知识梳理与题型分类讲解） 【知识点1】矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【要点说明】矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 【知识点2】矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 【要点说明】 （1） 矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩 （2） 形分成完全全等的两部分. （3） 矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的 交点就是对角线的交点（即对称中心）. （4） 矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质 可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 【知识点3】矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 【要点说明】 在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【知识点1】矩形的性质 【题型1】矩形性质的理解........................................................2 【题型2】利用矩形的性质求角度..................................................3 【题型3】根据矩形的性质求线段长................................................4 【题型4】根据矩形的性质求面积..................................................5 【题型5】利用矩形的性质证明....................................................6 【题型6】求矩形在坐标系中的坐标................................................6 【题型7】矩形与折叠问题........................................................7 【知识点2】矩形的判定 【题型8】矩形的判定定理理解....................................................8 【题型9】添一条件使四边形是矩形................................................8 【题型10】证明四边形是矩形.....................................................9 【知识点3】矩形的性质与判定综合 【题型11】根据矩形的性质与判定求角度..........................................10 【题型12】根据矩形的性质与判定求线段长........................................10 【题型13】根据矩形的性质与判定求面积..........................................11 【知识点4】链接中考与拓展延伸 【题型14】直通中考............................................................12 【题型15】拓展延伸............................................................13 第二部分【题型展示与方法点拨】 【知识点1】矩形的性质 【题型1】矩形性质的理解 【例1】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式】（24-25九年级上·陕西商洛·期中）如图，点是矩形外一点，连接，过点作分别交，于点，．已知．则的度数为 ． 【题型2】利用矩形的性质求角度 【例2】（23-24八年级下·天津南开·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则 ． 【变式2】（23-24八年级下·安徽六安·期末）四边形是矩形，E是延长线上一点，连接，，． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若F是的中点，连接，，求证． 【题型3】根据矩形的性质求线段长 【例3】（2025·江苏无锡·一模）如图，矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，当点，，三点共线时，交于点，则的长度是（   ）    A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·全国·期末）图①是一种矩形时钟，图②是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形的对角线上，若测量得时钟的长为，则时钟的另一边的长为 cm．（结果保留根号） 【变式2】（24-25九年级上·广西河池·期末） 如图，矩形中，，，E为上一点，且，连接，将线段绕点B顺时针旋转得线段，旋转角等于，过点F作于点G，连接． （1）求证：； （2）求的长． 【题型4】根据矩形的性质求面积 【例4】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，四边形和四边形都是矩形，点B在边上，若矩形和矩形的面积分别为和，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，矩形的对角线相交于点，过点的直线分别交、于点、，若两阴影三角形面积分别是3，4，则矩形的面积是 ． 【变式2】（2025·陕西西安·一模）（1）如图1，四边形的对角线互相垂直，其中对角线长为，长为，垂足为E．则四边形的面积为_________． （2）如图2，矩形中，，点G，H分别是上任一点，求四边形的面积． （3）如图3，四边形放在了一组平行线中，已知，四边形的面积为，则相邻两条平行线间的距离为多少厘米． 【题型5】利用矩形的性质证明 【例5】（2025·广东·模拟预测）如图，已知四边形是矩形，点B在直线上，若平分，则下列结论不能推出的是（   ） A．平分 B． C．是等边三角形 D． 【变式1】（2025·河北·模拟预测）如图，直线，线段和矩形在直线a，b之间，点A，E分别在a，b上，点B、C、F在同一直线上．若，，则 ． 【变式2】（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）如图，已知矩形． （1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）． （2）求证：． 【题型6】求矩形在坐标系中的坐标 【例6】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，矩形中，顶点，，，将矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式】（22-23八年级下·上海·期末）如图，在直角坐标平面内矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为． （1）求直线的表达式： （2）点在轴上，连接．点、、分别是、、的中点，连接、、．若是等腰三角形，求点的坐标． 【题型7】矩形与折叠问题 【例7】（24-25九年级上·河南南阳·期末）如图，在矩形纸片中，，折叠纸片，使点A落在边上的点处，折痕交边于点，交边于点S，P为的中点，连接，则线段长度的取值范围是 ． 【变式1】（24-25九年级下·广西南宁·开学考试）如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于E，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点与点重合，点落在点的位置上． （1）若，求的度数； （2）若，，则问题：①求长；②求长． 请从以上问题中任选其一求解，并说明理由（两个都写以第一个为准）． 【知识点2】矩形的判定 【题型8】矩形的判定定理理解 【例8】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）在数学活动课上，同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某学习小组4位同学拟定的方案，其中正确的是（  ） A．测量对角线是否平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量其中三个角是否是直角 D．测量对角线是否相等 【变式1】（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测： 甲：量得窗框两组对边分别相等； 乙：量得窗框对角线相等； 丙：量得窗框的一组邻边相等： 丁：量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线相等． 检测后，他们都判断说窗框是矩形，则检测方法正确的同学是 ． 【题型9】添一条件使四边形是矩形 【例9】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）已知的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④．使得是矩形的条件是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【变式1】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，要使平行四边形成为矩形，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·广东深圳·一模）如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是 ．（填上所有满足条件的序号） 【题型10】证明四边形是矩形 【例10】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，四边形的对角线，相交于点，且，则下列条件能判定四边形为矩形的是（   ） A． B．， C． D．， 【变式1】（24-25九年级上·四川德阳·期中）如图，直线a、b垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点B，于点．若，，则阴影部分的面积之和为 ． 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（   ） A．一组对边平行且相等，有一个内角是直角 B．有三个角是直角 C．两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形的四边形 D．一组对边平行，另一组对边相等 【知识点3】矩形的性质与判定综合 【题型11】根据矩形的性质与判定求角度 【例11】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． （1）求证：是矩形； （2）若点E为的中点，求的度数． 【变式1】（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【变式2】（2023·江西·中考真题）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为 ．    【题型12】根据矩形的性质与判定求线段长 【例12】（24-25八年级上·福建福州·期末）已知的对角线、相交于点，是等边三角形，且，则等于（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式1】（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为 ． 【变式2】（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，两点分别在边，上，连接，，，，且． （1）求证：四边形为矩形； （2）若平分，且，，求的长． 【题型13】根据矩形的性质与判定求面积 【例13】（21-22八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在四边形中，对角线，垂足为O，点E、F、G、H分别为边、、、的中点．若，则四边形的面积为（    ） A．48 B．24 C．32 D．12 【变式1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在六边形中，已知，，，，六边形的面积为 ． 【变式2】（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点O，． （1）求证：平行四边形是矩形； （2）若，求该矩形的面积． 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型14】链接中考 【例1】（2024·宁夏·中考真题）如图，在中，，，，点在直线上，点，在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．下列结论： ①当时，四边形的周长是； ②当时，点到直线的距离等于； ③在点运动过程中，的面积随着的增大而增大； ④若点，分别是线段，的中点，在点运动过程中，线段的长度不变．其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 【例2】（2024·海南·中考真题）如图，矩形纸片中，，点E、F分别在边上，将纸片沿折叠，使点D的对应点在边上，点C的对应点为，则的最小值为 ，CF的最大值为 ． 【题型14】拓展延伸 【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图1，在矩形中，，，点，分别在，上，将矩形沿直线折叠．使点落在边上的处，点落在处，连接，若． （1）求的长； （2）证明； （3）如图2，为中点，连接．求的长． 【例2】（24-25九年级上·河南许昌·期末）如图1，将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，点B，C，D的对应点分别为E，F，G，延长交于点P． （1）在旋转过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由． （2）如图2，当点F在的延长线上时，连接，延长交于点Q，证明：Q为的中点． （3）在（2）的条件下，若矩形长与宽之比为，请直接写出的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.6 矩形（3大知识点4大考点15类题型））（知识梳理与题型分类讲解） 【知识点1】矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【要点说明】矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 【知识点2】矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 【要点说明】 （1） 矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩 （2） 形分成完全全等的两部分. （3） 矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的 交点就是对角线的交点（即对称中心）. （4） 矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质 可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 【知识点3】矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 【要点说明】 在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【知识点1】矩形的性质 【题型1】矩形性质的理解........................................................2 【题型2】利用矩形的性质求角度..................................................3 【题型3】根据矩形的性质求线段长................................................6 【题型4】根据矩形的性质求面积.................................................10 【题型5】利用矩形的性质证明...................................................13 【题型6】求矩形在坐标系中的坐标...............................................16 【题型7】矩形与折叠问题.......................................................19 【知识点2】矩形的判定 【题型8】矩形的判定定理理解...................................................23 【题型9】添一条件使四边形是矩形...............................................24 【题型10】证明四边形是矩形....................................................26 【知识点3】矩形的性质与判定综合 【题型11】根据矩形的性质与判定求角度..........................................29 【题型12】根据矩形的性质与判定求线段长........................................32 【题型13】根据矩形的性质与判定求面积..........................................36 【知识点4】链接中考与拓展延伸 【题型14】直通中考............................................................40 【题型15】拓展延伸............................................................42 第二部分【题型展示与方法点拨】 【知识点1】矩形的性质 【题型1】矩形性质的理解 【例1】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质即可得到答案． 解：在矩形中，对角线相交于点， ∴，，， 故选项A、B、D正确，选项C不一定成立，故选项C错误， 故选：C 【变式】（24-25九年级上·陕西商洛·期中）如图，点是矩形外一点，连接，过点作分别交，于点，．已知．则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的外角性质，先由矩形的性质推出，然后结合三角形的外角性质列式，代入数值进行计算即可．解题的关键是掌握矩形的性质． 解：∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 【题型2】利用矩形的性质求角度 【例2】（23-24八年级下·天津南开·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，根据题意，则，点是对角线的交点，则，根据等边对等角，则，，再根据，等边三角形的三线合一，即可． 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则 ． 【答案】/34度 【分析】本题主要考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、等角对等边等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、矩形的性质是解答本题的关键． 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，则．结合矩形的性质可得，再根据即可解答． 解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级下·安徽六安·期末）四边形是矩形，E是延长线上一点，连接，，． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若F是的中点，连接，，求证． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】此题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键是根据矩形的四个角都相等解答． （1）连接，与交于点，根据矩形的性质解答即可； （2）延长交延长线于点，根据证明，进而利用全等三角形的性质解答即可． 解：（1）解：如图①，连接，与交于点， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图②，延长交延长线于点， 四边形是矩形， ∴， 即， ，， 是的中点， ， ， ，． ，即， ， ， 又， ． 【题型3】根据矩形的性质求线段长 【例3】（2025·江苏无锡·一模）如图，矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，当点，，三点共线时，交于点，则的长度是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 连接，由旋转可知：，，得出，证，得出，再根据勾股定理列出方程，即可解答． 解：连接，    ∵，，， ， 由旋转可知：，， ，，三点共线， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·全国·期末）图①是一种矩形时钟，图②是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形的对角线上，若测量得时钟的长为，则时钟的另一边的长为 cm．（结果保留根号） 【答案】 【分析】此题考查了矩形的性质、钟面角、含角直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．过点O作，垂足分别为点，根据题意得到，求出，进一步得到，则，即可求出答案． 解：过点O作，垂足分别为点， 由题意可得，， ∵， ∴，则， ∴， 在矩形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【变式2】（24-25九年级上·广西河池·期末） 如图，矩形中，，，E为上一点，且，连接，将线段绕点B顺时针旋转得线段，旋转角等于，过点F作于点G，连接． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定及性质，旋转的性质， （1）由矩形可得，由旋转可得，，从而证得，根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据勾股定理求出，进而可得的长，又根据勾股定理中求解即可． 解：（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转性质知：， ∴，即， 在和中， ， ∴ ∴； （2）解：由（1）得：， ∴，， ∵在中，， ∴， ∵， ∴在中，． 【题型4】根据矩形的性质求面积 【例4】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，四边形和四边形都是矩形，点B在边上，若矩形和矩形的面积分别为和，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质及面积的计算，能够熟练运用矩形的性质进行一些面积的计算问题．由于矩形的面积与矩形的面积都等于2个的面积，即可得两个矩形的面积关系． 解：∵，， ∴． 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，矩形的对角线相交于点，过点的直线分别交、于点、，若两阴影三角形面积分别是3，4，则矩形的面积是 ． 【答案】28 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由条件推出矩形的面积的面积，证明． 由矩形的性质推出矩形的面积的面积，证明，得到，进而得到求解． 解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴，． 在和中 ∴ （AAS）， ∴， ∴， ∴． 故答案为：28． 【变式2】（2025·陕西西安·一模）（1）如图1，四边形的对角线互相垂直，其中对角线长为，长为，垂足为E．则四边形的面积为_________． （2）如图2，矩形中，，点G，H分别是上任一点，求四边形的面积． （3）如图3，四边形放在了一组平行线中，已知，四边形的面积为，则相邻两条平行线间的距离为多少厘米． 【答案】（1）；（2）；（3）厘米． 【分析】此题考查了矩形的性质、平行线间的距离等知识，三角形面积等知识． （1）根据进行解答即可； （2）分别作高，根据即可求出答案； （3）作,垂足分别为，根据，以及得到，即可得到答案． 解：（1）四边形的对角线互相垂直，对角线长为，长为， ∴, 故答案为： （2）如图，分别作高， （3）如图，作,垂足分别为， ∵， ∴， 故相邻两条平行线间的距离为厘米． 【题型5】利用矩形的性质证明 【例5】（2025·广东·模拟预测）如图，已知四边形是矩形，点B在直线上，若平分，则下列结论不能推出的是（   ） A．平分 B． C．是等边三角形 D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，根据矩形的性质，得到，，进而得到，角平分线推出，进而得到，得到，根据等角的余角相等，推出，即可． 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴；故选项B正确； ∴，故选项D正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴平分；故选项A正确； ∵， ∴是等腰三角形，无法得到是等边三角形，故选项C错误； 故选C． 【变式1】（2025·河北·模拟预测）如图，直线，线段和矩形在直线a，b之间，点A，E分别在a，b上，点B、C、F在同一直线上．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质以及平行线的性质，先分别过点B、F作，再得出，结合矩形的性质，得出，再根据平行线的性质以及，，进行角的运算，即可作答． 解：分别过点B、F作，如图： ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 则， ∴， ∵，， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）如图，已知矩形． （1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）． （2）求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查矩形的性质，垂直平分线的画法及性质，三角形全等的判定与性质． （1）根据垂直平分线的画法即可求解； （2）由直线是线段的垂直平分线．得到，，，，根据矩形的性质可证，可得，即可得到，即可求证． 解：（1）解：如图1所示，直线为所求； （2）证明：如图2，设与的交点为O， 由（1）可知，直线是线段的垂直平分线． ∴，，，， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴，即． 【题型6】求矩形在坐标系中的坐标 【例6】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，矩形中，顶点，，，将矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形变化-旋转及点的坐标变化规律，能由所给旋转方式得出第100秒旋转结束时点D的位置，与第4秒旋转结束时点D的位置相同是解题的关键． 根据所给旋转方式可知每旋转八秒，点D的坐标重复出现，再根据四边形是矩形，求出点D坐标可解决问题． 解：∵， ∴每旋转八次一个循环． ∵余4， ∴第100秒旋转结束时点D的位置，与第4秒旋转结束时点D的位置相同． 连接和， ∵四边形是矩形， ∴和互相平分， ∴，， ∴，， ∴点D的坐标为． 又∵， ∴第4秒旋转结束时的点D与点关于坐标原点对称， ∴此时点D的坐标为． 即第100秒旋转结束时，点D的坐标为． 故选：B． 【变式】（22-23八年级下·上海·期末）如图，在直角坐标平面内矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为． （1）求直线的表达式： （2）点在轴上，连接．点、、分别是、、的中点，连接、、．若是等腰三角形，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）或或或 【分析】（1）由矩形的性质可得点，点，用待定系数法可求直线AB表达式； （2）由三角形中位线定理可知是等腰三角形，分、和三种情况分别计算，即可求点E的坐标． 解：（1）解：由题可得点A的坐标为，点B的坐标为， 设直线的解析式为代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为 （2）解：∵点、、分别是、、的中点， ∴、、是的中位线， ∴，，， ∵是等腰三角形， ∴是等腰三角形， 当时，如图， ∵， ∴， ∴点E的坐标为或； 当时，如图，设长为a，则， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为； 当时，如图，则， ∴点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或或或． 【点拨】本题考查矩形的性质，勾股定理，三角形的中位线，等腰三角形的定义，一次函数的解析式，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 【题型7】矩形与折叠问题 【例7】（24-25九年级上·河南南阳·期末）如图，在矩形纸片中，，折叠纸片，使点A落在边上的点处，折痕交边于点，交边于点S，P为的中点，连接，则线段长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 根据题意，由折叠的性质以及直角三角形的性质，知，分以下两种情况当时，最长， 最长；当时，最短，最短，分别讨论，设，则，结合勾股定理即可得出线段长度的取值范围，线段长度的取值范围即可求解． 解：由折叠的性质可知：， 在中，P为的中点 ， 由题可得：当时，最长，最长值为6，如下图： 当时，最短，如下图： 设，则， 在中， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， ． 【变式1】（24-25九年级下·广西南宁·开学考试）如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于E，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题、平行线的性质、等角对等边的性质和勾股定理，难度适中． 设，则．先根据折叠的性质和平行线的性质，得，则，然后在直角三角形中根据勾股定理即可求解． 解：设，则． 根据折叠的性质，得． ∵， ∴， ∴， ∴． 在直角三角形中，根据勾股定理，得 ， 解得． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点与点重合，点落在点的位置上． （1）若，求的度数； （2）若，，则问题：①求长；②求长． 请从以上问题中任选其一求解，并说明理由（两个都写以第一个为准）． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】此题考查图形的翻折变换，勾股定理，注意折叠前后的对应关系是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到的度数，根据翻折变换的性质得到的度数，根据平角得到答案； （2）根据翻折变换的性质和勾股定理列出方程，解方程得到答案． 解：（1）解： 由翻折的性质可知： （2）①设由题意可知：， 由勾股定理可得： 即 解得：， 即 ②设由题意可知：， 由勾股定理可得： 即 解得：， 即 【知识点2】矩形的判定 【题型8】矩形的判定定理理解 【例8】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）在数学活动课上，同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某学习小组4位同学拟定的方案，其中正确的是（  ） A．测量对角线是否平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量其中三个角是否是直角 D．测量对角线是否相等 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定方法的实际应用，熟练掌握矩形的判定方法是解答本题的关键． 矩形的判定方法有：①有一个角的直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形．根据矩形的判定方法逐项分析即可． 解：A、根据对角线互相平分只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误，不符合题意； B、根据对边分别相等，只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误，不符合题意； C、根据矩形的判定，可得出此时四边形是矩形，故本选项正确，符合题意； D、根据对角线相等不能得出四边形是矩形，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测： 甲：量得窗框两组对边分别相等； 乙：量得窗框对角线相等； 丙：量得窗框的一组邻边相等： 丁：量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线相等． 检测后，他们都判断说窗框是矩形，则检测方法正确的同学是 ． 【答案】丁 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，熟知矩形的判定定理是解题的关键． 解：两组对边分别相等的四边形不一定是矩形，故甲说法错误； 对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线也相等，故乙说法错误； 一组邻边相等的四边形不一定是矩形，故丙说法错误； 两组对边相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，故丁说法正确； 故答案为：丁． 【题型9】添一条件使四边形是矩形 【例9】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）已知的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④．使得是矩形的条件是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】观察题目，本题主要考查矩形的判定，熟知矩形的判定定理是解题的关键； 对于①，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”判断即可； 对于②，根据“对角线垂直的平行四边形是菱形”判断即可； 对于其余的条件，结合矩形的判定定理以及平行四边形的性质判断即可． 解：①当时， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形，故①正确； ②当时， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故②错误； ③当时， ∵，四边形为平行四边形， ∴四边形是矩形，故③正确； ④当时， ． ∵，四边形为平行四边形， ∴，四边形是矩形， 故④正确． 综上可得平行四边形是矩形的条件的序号是①③④． 故选：D 【变式1】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，要使平行四边形成为矩形，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题的关键，根据矩形的判定方法逐一判断即可得到答案． 解：A、根据平行四边形中邻边相等，可证得四边形为菱形，故此项错误； B、根据平行四边形中对角线垂直，可证得四边形为菱形，故此项错误； C、根据平行四边形中一个角等于，可证得四边形为距形，故此项正确； D、平行四边形对角线平分一组对角，得，不能证明四边形为距形，故此项错误； 故选：C． 【变式2】（2025·广东深圳·一模）如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是 ．（填上所有满足条件的序号） 【答案】①②④ 【分析】根据平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质解答即可． 本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 解：∵平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故①正确． ∵,， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故②正确． ∵， ∴四边形是菱形， 故③错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故④正确． 故答案为：①②④． 【题型10】证明四边形是矩形 【例10】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，四边形的对角线，相交于点，且，则下列条件能判定四边形为矩形的是（   ） A． B．， C． D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．矩形的常用判定方法有：对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是90度的平行四边形是矩形；有三个角是90度的四边形是矩形．据此逐项分析判断即可． 解：A、由，无法判断四边形是矩形，故不符合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，故本选项符合题意； C、由，无法判断四边形是矩形，故不符合题意； D、由，，，无法判断四边形是矩形，故不符合题意． 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·四川德阳·期中）如图，直线a、b垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点B，于点．若，，则阴影部分的面积之和为 ． 【答案】 【分析】以点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，过作于点，易证得四边形是矩形，由中心对称的性质可知，点的横坐标是，进而可得，根据中心对称的性质可知，阴影部分的面积之和等于矩形的面积，于是得解． 解：如图，以点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，过作于点， ， 直线a、b垂直相交于点，于点， ， 四边形是矩形， 于点B，且， 点的横坐标是， 点的对称点是点， 根据中心对称的性质可知，点的横坐标是， ， 根据中心对称的性质可知，阴影部分的面积之和等于矩形的面积， 阴影部分的面积之和为： ， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了坐标与图形，垂线的性质，矩形的判定，中心对称的性质，已知两点坐标求两点距离等知识点，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（   ） A．一组对边平行且相等，有一个内角是直角 B．有三个角是直角 C．两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形的四边形 D．一组对边平行，另一组对边相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据矩形的判定方法，逐项进行判断即可． 解：A．一组对边平行且相等，有一个内角是直角的四边形是矩形，故A不符合题意； B．有三个角是直角的四边形是矩形，故B不符合题意； C．两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形的四边形是矩形，故C不符合题意； D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是梯形，故D符合题意． 故选：D． 【知识点3】矩形的性质与判定综合 【题型11】根据矩形的性质与判定求角度 【例11】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． （1）求证：是矩形； （2）若点E为的中点，求的度数． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】（1）先由平行四边形的性质得到，则，由等边对等角得到，则可证明，进而可证明平行四边形是矩形； （2）由矩形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，则． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，点E为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质等等，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键 【变式1】（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，由角的和差关系求出，再根据等边对等角求出即可． 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 【变式2】（2023·江西·中考真题）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为 ．    【答案】或或 【分析】连接，根据已知条件可得，进而分类讨论即可求解． 解：连接，取的中点，连接，如图所示，    ∵在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴， 如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为，      当点在的延长线上时，如图所示，则    当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ 即是直角三角形，    综上所述，旋转角的度数为或或 故答案为：或或． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【题型12】根据矩形的性质与判定求线段长 【例12】（24-25八年级上·福建福州·期末）已知的对角线、相交于点，是等边三角形，且，则等于（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查平行四边形的性质，矩形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．根据等边三角形的性质得出，先证明四边形是矩形，得出，利用勾股定理求解即可． 解：如图，    ∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， 故选：D． 【变式1】（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质及折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质得出是解题的关键． 根据矩形的性质和折叠的性质，，，设，则，运用勾股定理得到，则，再证，得到，，如图所示，过点作于点，在中运用勾股定理得到，即可求解． 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴，则， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 故答案为： ． 【变式2】（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，两点分别在边，上，连接，，，，且． （1）求证：四边形为矩形； （2）若平分，且，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了矩形的性质与判定、平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质得到，，，由得到，进而得到，再通过证明得到，最后利用矩形的判定即可证明； （2）根据角平分线的定义得到，再利用平行线的性质得到，则有，由（1）中的结论可得，，设，在和利用勾股定理建立方程，解方程求出的值即可解答． 解：（1）证明：， ，，， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形为矩形． （2）解：， ，，， 平分， ， ， ， ， ， 由（1）中的结论得，，，四边形为矩形， ，， 设，则， 在中，， 在中，， ， 解得：， 的长为． 【题型13】根据矩形的性质与判定求面积 【例13】（21-22八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在四边形中，对角线，垂足为O，点E、F、G、H分别为边、、、的中点．若，则四边形的面积为（    ） A．48 B．24 C．32 D．12 【答案】D 【分析】利用中位线定理可得出四边形矩形，根据矩形的面积公式解答即可． 解：∵点E、F分别为四边形的边、的中点， ∴，且． 同理：，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 同理：，， 又∵， ∴． ∴四边形是矩形． ∴四边形的面积， 即四边形的面积是12． 故选：D． 【点拨】本题考查的是中点四边形的含义，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形的中位线的性质，熟记特殊四边形的判定与性质是解本题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在六边形中，已知，，，，六边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．连接交于G，交于H，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形和．易得．计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形的面积三角形的面积三角形的面积． 解：如图，连接交于G，交于H， 平行且等于，平行且等于， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ． ∴六边形的面积平行四边形的面积+三角形的面积三角形的面积 ， 故答案为： 【变式2】（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点O，． （1）求证：平行四边形是矩形； （2）若，求该矩形的面积． 【答案】（1）见分析；（2）60 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的性质和判定的应用，能求出四边形是矩形是解此题的关键，注意：对角线相等的平行四边形是矩形． （1）根据等角对等边得出，根据平行四边形性质求出，根据矩形的判定即可得解． （2）根据矩形的性质求出，再根据勾股定理求出，即可根据面积公式得到解答． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴又， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得： ， ∴的面积是． 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型14】链接中考 【例1】（2024·宁夏·中考真题）如图，在中，，，，点在直线上，点，在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．下列结论： ①当时，四边形的周长是； ②当时，点到直线的距离等于； ③在点运动过程中，的面积随着的增大而增大； ④若点，分别是线段，的中点，在点运动过程中，线段的长度不变．其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中位线定理，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．①当时，得到四边形是矩形，即可求解；②根据“平行线间的距离处处相等”，即可判断；③根据②中的发现即可判断；④利用三角形的中位线定理即可判断． 解：①当时，， ， ，， 四边形是矩形， ， ，四边形的周长是，故①正确； ②，，， 直线与直线之间的距离是， 当时，点到直线的距离等于，故②错误； ③由②可知点到的距离为定值，即的边上的高为， 又， 的面积为定值，故③错误； ④点，分别是线段，的中点， 是的中位线， ， 即线段的长度不变，故④正确； 故选：A． 【例2】（2024·海南·中考真题）如图，矩形纸片中，，点E、F分别在边上，将纸片沿折叠，使点D的对应点在边上，点C的对应点为，则的最小值为 ，CF的最大值为 ． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等边对等角，过点E作于H，则四边形是矩形，则，根据，可得的最小值为6，则由折叠的性质可得的最小值为6；如图所示，连接，证明，得到，则，利用勾股定理得到当最大时，最大，即最大时，最大，则当与点B重合时，最大，设此时，则，据此利用勾股定理建立方程求解即可． 解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴的最小值为6， 由折叠的性质可得， ∴的最小值为6； 如图所示，连接， 由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴当最大时，最大，即最大时，最大， ∴当与点B重合时，最大， 设此时，则， ∴， 解得， ∴的最大值为 故答案为：，． 【题型14】拓展延伸 【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图1，在矩形中，，，点，分别在，上，将矩形沿直线折叠．使点落在边上的处，点落在处，连接，若． （1）求的长； （2）证明； （3）如图2，为中点，连接．求的长． 【答案】（1）；（2）见分析；（3） 【分析】（1）根据矩形性质与折叠性质可得，，设，则，根据勾股定理即可求解； （2）根据折叠性质，平行线性质可得结论； （3）过点B作于点H，由折叠性质以及矩形性质可得，证明，得到，，利用勾股定理即可求解． 解：（1）解：四边形为矩形， ， 由折叠可知，， 设，则， 在中， ， 即， 解得：， 则； （2）证明：由折叠可知， 在矩形中，， ， ； （3）如图，过点B作于点H， 由矩形折叠可知，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ． 【点拨】本题考查了矩形与折叠，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理是解题关键． 【例2】（24-25九年级上·河南许昌·期末）如图1，将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，点B，C，D的对应点分别为E，F，G，延长交于点P． （1）在旋转过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由． （2）如图2，当点F在的延长线上时，连接，延长交于点Q，证明：Q为的中点． （3）在（2）的条件下，若矩形长与宽之比为，请直接写出的值． 【答案】（1），理由见分析；（2）证明见分析；（3）或 【分析】（1）由旋转性质证明，即得； （2）法一：延长交于点H，根据，，得，得，可得，即得；法二：过点C作，交延长线于点K，由．，得，得，可得，即得； （3）连接，设矩形的长为，宽为，可得．分当时，得．可得；当时，得，可得，即可计算的值为或． 解：（1）解：．理由如下： 连接，如解图1所示． 由旋转的性质，知，． 又， ． ． （2）证法一：如解图2，延长交于点H． 由（1），知， ． ． ， ． ． ． ， ． 又， ． ． 即Q为的中点． 证法二：如解图3，过点C作， 交延长线于点K． 则， 由（1），知， ． ． ． 又， ． ， 即为的中点． （3）或． 连接，如解图4， 设矩形的长为，宽为， 由勾股定理，可得． 由旋转，得． 当时，，， ． ． 由（2），得为中点， ． ． 当时，，， ． ． ． ． 综上所述，的值为或． 【点拨】本题考查了矩形旋转．熟练掌握矩形性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，分类讨论，添加辅助线，是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$