第19章 平面直角坐标系（单元测试·培优卷）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（冀教版）

第19 平面直角坐标系（单元测试·培优卷） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）下列数据中不能确定物体位置的是（    ） A．电影票上的“5排8号” B．小明住在某小区3号楼7号 C．南偏西 D．东经，北纬的城市 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为2，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·云南昭通·期末）点在轴上，点在轴上，那么的值为（   ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·江苏连云港·期末）一只小虫从点出发，向右跳4个单位长度到达点B处，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山东滨州·期末）点与点关于轴对称，则的值是（    ） A． B．2025 C． D．1 6．（24-25八年级上·福建厦门·期末）平面直角坐标系中，点，点，，，，射线交x轴于点D，垂直平分，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）若点的坐标满足等式，则称该点为“和谐点”．若某个“和谐点”到轴的距离为4，则该点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．（21-22八年级上·河北石家庄·期末）图中虚线是平面直角坐标系第一、三象限角平分线，点C在虚线上，中，轴，，点B坐标为，沿虚线向右上移动m个单位，点恰好落在△ABC内部，则m的整数值有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 9．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在等腰中，，，点，，，其中，则a，b之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 10．（22-23八年级上·福建厦门·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在第三象限，是等边三角形，点在线段上，且，点是线段上的动点，点是轴负半轴上的动点，当的值最小时，，则点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2022·四川成都·二模）如图，若“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于点 ． 12．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）在平面直角坐标系中点在第三象限，则关于原点对称的点在第 象限． 13．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点．若点P的坐标为，则a的值为 ． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，三角形中任意一点向左平移3个单位长度后，点的对应点恰好在轴上，将三角形同样向左平移3个单位长度得到三角形．若点的坐标是，则点的对应点的坐标是 ． 15．（24-25七年级上·重庆酉阳·阶段练习）如下图数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答． （1）表中第8行的最后一个数是 ； （2）若用表示一个数在数表中的位置，如9的位置是，则158的位置是 16．（24-25九年级下·甘肃陇南·开学考试）平面直角坐标系中，将一个点先向上平移个单位长度，再绕原点按逆时针方向旋转角度．我们把这样的变换叫做点的变换．例如，点按变换后得到点．若点按变换后得到点，则点的坐标为 ． 17．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，按的方向运动，每运动1个单位长度会改变一次方向． （1）直接写出下列坐标：______，______，______； （2）点P第2000次运动的方向是______．（选填“向上”“向右”或“向下”） 18．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以为一边构造等腰直角三角形，直接写出在第一象限内满足条件的所有点的坐标 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中有点，实数满足以下两个等式：，． （1）时，求点P到轴的距离； （2）若点P落在第二、第四象限的角平分线上，求点P的坐标． 20．（本小题满分8分）（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，已知，其中，满足． （1）填空：______，______； （2）如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示三角形的面积； （3）在（）的条件下，当时，在轴上有一点，使得三角形的面积与三角形的面积相等，请求出点的坐标． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级上·湖北孝感·期中）在平面直角坐标系中，，，点为轴负半轴上一动点，过点作交轴于点． （1）如图1，若点的坐标为，求出点的坐标； （2）如图2．若点在轴负半轴上运动，且，其他条件不变，连接，求证：平分． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图，在边长为1的小正方形的网格中，的三个顶点均在格点上，点A，B的坐标分别为，． （1）根据题意，建立平面直角坐标系； （2）画出绕点O顺时针旋转后的； （3）点A关于原点对称的点的坐标为 ；的面积是 ． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·重庆·期中）如图，直线与轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，．   （1）求点的坐标； （2）求的面积； （3）点是坐标系中的一个动点，当与全等时，请直接写出点的坐标． 24．（本小题满分12分）（22-23八年级上·江苏淮安·期末）【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C是x轴上的一个动点．当点C在x轴上移动时，始终保持是等腰直角三角形，且（点A、C、P）按逆时针方向排列）；当点C移动到点O时，得到等腰直角三角形（此时点P与点B重合）． 【初步探究】 （1）写出点B的坐标________． （2）点C在x轴上移动过程中，当等腰直角三角形的顶点P在第四象限时，连接．求证：． 【深入探究】 （3）当点C在x轴上移动时，点P也随之运动．经过探究发现，点P的横坐标总保持不变，请直接写出点P的横坐标：________． 【拓展延伸】 （4）点C在x轴上移动过程中，当为等腰三角形时，直接写出此时点C的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A B C B B B D B 1．C 【分析】本题考查了坐标确定位置，理解位置的确定需要两个数据是解题的关键．根据坐标确定位置需要两个数据对各选项分析判断即可得． 解：A、电影票上的“5排8号”，位置明确，则此项不符合题意； B、小明住在某小区3号楼7号，位置明确，则此项不符合题意； C、南偏西，位置不明确，则此项符合题意； D、东经，北纬的城市，位置明确，则此项不符合题意； 故选：C． 2．D 【分析】本题主要考查象限内点的坐标特征，熟知点的象限符号及点到坐标轴的距离定义是解答的关键．根据第二象限内点的特点及点到坐标轴的距离定义，即可判断点P坐标． 解：点P在第二象限， 点P横坐标为负，纵坐标为正， 点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为2， 则点P的坐标为， 故选：D． 3．A 【分析】本题考查了点的坐标，熟记坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． 根据轴上点的纵坐标为，轴上点的横坐标为列方程求出、的值，然后代入代数式进行计算即可解答． 解：点在轴上，点在轴上， ，， ，， ， 故选：A． 4．B 【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减进行计算即可． 解：小虫从点出发，向右跳4个单位长度到达点B处， 点B的坐标是，即， 故选：B． 【点拨】此题考查了坐标与图形的变化，解题的关键是掌握点的坐标的变化规律． 5．C 【分析】本题主要考查关于轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键．根据关于轴对称的点的坐标特征求出的值即可得到答案． 解：点与点关于轴对称， ，， 解得， ． 故选C． 6．B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，坐标与图形的性质．取的中点，利用直角三角形斜边的性质求得是等边三角形，推出，证明是等腰直角三角形，求得点E的坐标为，据此求解即可． 解：如图所示，取的中点，连接， 在中，是斜边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． 又∵点B坐标为， ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴点E的坐标为． 又∵点A坐标为， ∴． 故选：B． 7．B 【分析】本题考查了点的坐标．根据到x轴的距离为4，求出y的值，即可表示出该点的坐标． 解：∵到x轴的距离为4， ∴或， 当时，， 解得， ∴该点的坐标为； 当时，， 解得， ∴该点的坐标为． 故选：B． 8．B 【分析】如图所示，当平移后刚好经过点P时，过点P作于T，可设，证明是等腰直角三角形，得到，则，据此求出，再求出，则到的平移方式为向右平移4个单位长度，向上平移4个单位长度，利用勾股定理得到此时；当平移后恰好进过点P时，则，则到的平移方式为向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度，利用勾股定理得到此时；故当时，点P在内部，再由，可得符合题意的整数m只有6和7，据此可得答案． 解：如图所示，当平移后刚好经过点P时，过点P作于T， ∵点C在系第一、三象限角平分线上， ∴可设， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵∥轴， ∴， ∴到的平移方式为向右平移4个单位长度，向上平移4个单位长度， ∴此时； 当平移后恰好经过点P时，则， ∴到的平移方式为向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度， ∴此时； ∴当时，点P在内部， ∵， ∴， ∴符合题意的整数m只有6和7， 故选B． 【点拨】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，实数比较大小等等，分别求出当平移后刚好经过点P时和当平移后恰好经过点P时m的值是解题的关键． 9．D 【分析】本题考查坐标与图形性质，过点C作坐标轴的垂线，利用证明，即可求解，解题的关键是构造全等三角形． 解：过点C作x轴和y轴的垂线，垂足分别M和N，   ， 四边形是矩形， ， ， ， ， , 在和中， ， ， ， 又点C坐标为， 点M坐标为，点N坐标为． 即． 故选：D． 10．B 【分析】作点关于轴的对称点，过点作交轴于点，进而得出的值最小的情况，然后根据所对的直角边等于斜边的一半进而得出答案． 解：作点关于轴的对称点，过点作交轴于点，如图：    则此时的值最小， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故选：B． 【点拨】本题考查了轴对称－最短路径以及含的直角三角形的性质，根据题意得出的值最小时的情况是解本题的关键． 11．（-2，2） 【分析】根据“帅”和“马”的位置，可确定原点O的位置，即可得答案． 解：如下图， ∵“帅”位于点（0，−1），“马”位于点（3，−1）， ∴原点O的位置如上图， ∴“兵”位于点（-2，2）， 故答案为：（-2，2）． 【点拨】本题考查了平面上物体位置的确定，解题的关键是确定原点O的位置． 12．四 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的坐标，熟练掌握关于原点对称的两个点的坐标特征是解题的关键． 根据点所在象限得出x，y的取值范围，然后利用关于原点对称点的性质得出答案． 解：点在第三象限， ，，即，， ，， 在第二象限， 点关于原点对称的点为， ，， 点关于原点对称点在第四象限． 故答案为：四． 13． 【分析】本题主要考查了作图基本作图、坐标与图形性质等知识点，解题的关键是发现点P在的角平分线上成为解题的关键． 由作图可知，点P在的角平分线上，即点P的横、纵坐标互为相反数，据此列出关于a的方程求解即可． 解：由作图可知:点P在的角平分线上， ， ， ． 故答案为：． 14． 【分析】此题考查平移的性质，y轴上点的坐标特点，熟练掌握平移的性质是解题的关键：根据平移的性质得到，求出m的值即可得到点的对应点的坐标． 解：∵三角形中任意一点向左平移3个单位长度后，点的对应点恰好在轴上， ∴， 得， ∴点的坐标是，则点的对应点的坐标是， 故答案为． 15． 【分析】本题考查了数字的规律探究，用坐标表示位置，根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由题意可推导一般性规律为：第行，最后一个数是，将代入求解即可； （2）根据规律估算出所在的行，然后再根据上一行最后一位即可得出的位置． 解：（1）解：由题意知，第1行，最后一个数是； 第2行，最后一个数是； 第3行，最后一个数是； 第4行，最后一个数是； … ∴ 可推导一般性规律为：第行，最后一个数是， ∴第8行的最后一个数是， 故答案为：； （2）解：由题意知，当时，最后一个数是； 当时，最后一个数是； ∵， ∴位于第行， ∵第行第一个数字为， ∴为第行第5个数字， ∴的位置是， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，坐标与图形．根据题意，点向上平移2个单位，得到点，点绕原点按逆时针方向旋转得到点，得出，据此求解即可． 解：作轴于点， 根据题意，点向上平移2个单位长度后得到点，点绕原点按逆时针方向旋转角度得到点， ，， ， ， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（1），， （2）向上 【分析】此题主要考查了点的变化规律，有一定难度，仔细观察图形，确定出都在x轴上是解题的关键． （1）观察图形可知，，，……都在x轴上，根据，，……这一规律，进而可以利用规律写出，，的坐标； （2）由题意可知点P移动的方向按“向右、向下、向右、向下、向右，向上，向右、向上”这一规律，8次一个循环，根据，可知点P第2000次运动的方向与第8次的移动方向一致，即可得答案． 解：（1）解：由图可知，，，……都在x轴上， ，，……， 点P移动的方向按“向右、向下、向右、向下、向右，向上，向右、向上”这一规律，8次一个循环， ，，； 故答案为：，， ； （2）解：由题意可知点P移动的方向按“向右、向下、向右、向下、向右，向上，向右、向上”这一规律，8次一个循环， ， 点P第2000次运动的方向与第8次的移动方向一致，向上， 故答案为：向上． 18．，， 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，作辅助线构造全等三角形是解题关键．根据直角顶点分三种情况讨论，利用全等三角形的性质求解即可． 解：①如图，当点是等腰直角三角形的直角顶点时，过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ， ， ， 又， ， ，， 点的坐标为，点的坐标为， ，，， ， ，， ， 点的坐标为 ②如图，当点是等腰直角三角形的直角顶点时，过点作直线轴，过点作于点，过点作轴于点， 同理可证， ，， 点的坐标为； ③如图作辅助线，同②理证全等，可得点的坐标为 综上可知，点的坐标为，，， 故答案为：，，． 19．（1）；（2） 【分析】本题考查了点与坐标，角平分线的性质定理，点在各个象限的坐标特征，解二元一次方程组等知识，灵活运用这些知识是关键． （1）当时，由可求得m的值，再由可求得y的值，从而可得点P的坐标，即可得点P到x轴的距离； （2）根据角平分线的性质定理及点在第一、三象限的坐标特征可可设点P的坐标为，从而可得关于a与m的方程组，消去m即可求得a的值，从而可得点P的坐标； 解：（1）把代入， 得， ， 把代入， 得， ， ， ∴点P到轴的距离为． （2）∵点P落在第二、第四象限的角平分线上， ∴设点P的坐标为， 把点分别代入 ，， 得， ②×3-①×2得， 解得． ∴点P的坐标为． 20．（1），；（2）；（3）或． 【分析】（）利用绝对值、偶次方的非负性即可求解； （）过点作轴于点，根据，，则，，故，然后利用即可求解； （）分当点在轴正半轴上时和当点在轴负半轴上时两种情况分析即可； 本题考查了绝对值、偶次方的非负性，三角形的面积，坐标与图形的性质等知识点，掌握知识点的应用及分类讨论和数形结合的数学思想是解题的关键． 解：（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：过点作轴于点， 由（）得，，， ∴，， ∴， 又∵点在第三象限， ∴， ∴； （3）解：当时，， ∴， 故点有两种情况： 当点在轴正半轴上时， 设点， 则， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 当点在轴负半轴上时， 设点， ∵， ∴点在直线下方， ∴， ∵， ∴，解得， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 21．（1）点的坐标为；（2）见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，构造出全等三角形是解本题的关键． （1）先判断出得出，即可得出结论； （2）由得出，进而得出，即可得出结论． 解：（1）解：∵轴轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点的坐标分别为， ∴， 在△AOC和△BOE中， ， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴点的坐标为； （2）如图②， 过点作 于， 于， ， ， ， ， ∴点一定在的角平分线上， ， ∴平分． 22．（1）见分析；（2）见分析；（3）；的面积为 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据，两点建立坐标系即可； （2）根据网格结构找出点、绕点顺时针旋转后的对应点、的位置，然后顺次连接即可； （3）利用关于原点对称的特征即可求出点A关于原点对称的点的坐标，再利用割补法即可求出的面积． 解：（1）解：如图所示，平面直角坐标系为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：点A关于原点对称的点的坐标为； 的面积为：． 23．（1）；（2）；（3） 【分析】（1）过点作轴于点，如图所示，根据等腰直角三角形性质，由三角形全等判定定理得到，再结合点、点，求出即可得到答案； （2）由勾股定理得到，再由等腰直角三角形性质，结合直角三角形面积公式代值求解即可得到答案； （3）根据题意，分三种情况：当；当；当；作出图形，数形结合即可得到答案． 解：（1）解：过点作轴于点，如图所示：    在中，，， ， ， ， 在和中， ， ，， 点、点， ， ， 点的坐标； （2）解：点、点， ， 在中，由勾股定理可得， 在中，，， 的面积为； （3）解：根据题意，分三种情况： 当，过点作轴于，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 当，过点作轴于，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 当，过点作轴于，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 综上，点P的坐标为． 【点拨】本题考查图形与坐标、互余、直角三角形性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，其中（3），要注意分类讨论，避免遗漏． 24．（1）；（2）见分析；（3）1；（4）或或或 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，，题干中已知A点坐标，即可求得的长度，表示出B点坐标即可； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，再根据等角的余角相等，得出角，最后利用三角形全等的判定方法进行判定即可. （3）根据（2）的结论也为直角三角形，且，且，即可得出P点的横坐标. （4）先根据题意，确定B点、A点坐标，设出P点和C点坐标，分情况进行讨论，当时，当时，当时，分别利用两点间距离公式求出点P点的坐标，然后分别算出的长，最后利用计算出C点坐标即可． 解：（1）∵点A的坐标为，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴B点坐标为； （2）证明：在等腰直角三角形中，，，在等腰直角三角形中，，， ， ， ， 在和中， ， ； （3）（已证）， ∴， ∴，P点在过B点且垂直与的垂线上， ∵点B的坐标为， ∴P点的横坐标为1； （4）由题意和（1）可知， 设，， ∴， ， ， 当时，， ∴， 解得:（舍去）或， ∴此时， ∴， ∵点A、C、P按逆时针方向排列， ∴； 当时，， ， 解得：或， ∴此时点P的坐标为或， ∵ ∴此时， ∴， ∵点A、C、P按逆时针方向排列， ∴当点P的坐标为时，点C的坐标为； 当点P的坐标为时，点C的坐标为； 当时，， ∴， 解得：， ∴点坐标为， ∴此时， ∴， ∵点A、C、P按逆时针方向排列， ∴此时点C的坐标为； 综上分析可知：点C的坐标为或或或． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全的判定方法，计算两点间距离，动点问题，解决本题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，能够得到相等的线段和角，动点问题要注意分类进行讨论，根据情况确定答案． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$