山西大学附属中学校2024-2025学年高二下学期3月月考（总第二次）数学试题

山西大学附中 2024～2025学年高二年级第二学期3月月考（总第二次） 数 学 试 题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知等差数列中，，，则公差（ ） A． B．1 C． D． 2．据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为（   ） A． B． C． D． 3．等比数列中，若，则的公比为（    ） A． B． C．2 D．4 4．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．在上的导函数为，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 7．设数列 满足，，，令，则数列的前100项和为（      ） A． B． C． D． 8． 若直线与函数和的图象分别相切于点，则（    ） A．2 B． C． D． 二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列函数的求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知数列的通项公式为．则下列说法正确的是（   ） A．这个数列的第10项为 B．是该数列中的项 C．数列中的各项都在区间内 D．数列是递减数列 11．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以2所得的余数按原来的顺序排列，构成的数列记为，数列的前项和为，数列的前项和为，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．在等比数列中，若、是方程的两根，则的值是 . 13．若是函数的一个极大值点，则 ． 14．已知实数a、b、c、d满足，则的最小值为 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．已知函数. (1)求函数的单调区间以及极值； (2)求函数在上的最小值. 16．已知等差数列中的前n项和为，且成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，记，求数列的前40项的和. 17．已知函数. (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若函数的最小值是1，求的值. 18．已知函数，， (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 19．人教A版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如． (1)求的值； (2)已知数列满足，求的前项和； (3)若数列的前项和为，对任意，均有恒成立，求实数的取值范围． 山西大学附中 2024～2025学年高二年级第二学期3月月考（总第二次） 数 学 试 题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：闫芙蓉 一、单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 C B D D B A B C 二、多选题 9．BC 10. BC 11. ACD 三、填空题 12． 13． 14．/4.5 四、解答题 15．已知函数. (1)求函数的单调区间以及极值； (2)求函数在上的最小值. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值 (2)1 【难度】0.94 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】(1)先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导数的正负，求得函数的单调区间，从而可求得函数的极值; (2)根据第(1)小问的单调性，确定函数在区间上的单调性，从而函数的最小值是，比较和的大小，求得函数的最小值. 【详解】（1）函数的定义域是. 又，令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，无极小值. （2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最小值为. 因为，所以， 所以函数在上的最小值为1. 16．已知等差数列中的前n项和为，且成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，记，求数列的前40项的和. 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.94 【知识点】分组（并项）法求和、利用定义求等差数列通项公式 【分析】根据条件先求出的通项公式，再求出的通项公式即可. 【详解】（1）设公差为，则，即 解得或 ，所以或； （2）因为数列为递增数列，，，， 所以 ； 所以. 17．已知函数. (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若函数的最小值是1，求的值. 【答案】(1) (2). 【难度】0.85 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、已知函数最值求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）利用导数求出切线斜率，再求切点坐标，利用直线点斜式方程即可求解； （2）利用导数求出函数的极值，根据题意，极小值即为最小值，建立方程得解. 【详解】（1）当时，. ， ，即切线斜率. 所以切线方程为，即 （2）函数的定义域为. 当时，.所以在上单调递减，无最小值. 当时，令，得；令，得. 所以在单调递减，在单调递增， 所以最小值为. 所以，即. 综上所述. 18．已知函数，， (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 【答案】 (1)答案见解析 (2) 【难度】0.65 【来源】江苏省句容市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 【知识点】、由函数在区间上的单调性求参数、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】 （1）求导分与的大小关系讨论即可； （2）由题意在上恒成立，再根据函数的性质求解即可. 【详解】 （1）， 则， 当时，， 故在上，，单调递增； 在上，，单调递减； 当时，令有，，且， 故在上，，单调递减； 在上，，单调递增； 在上，，单调递减. 当时，，在单调递减； 当时，在上，，单调递减； 在上，，单调递增； 在上，，单调递减. （2）， 由题意在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，故，即. 所以a的取值范围为. 19．人教A版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如． (1)求的值； (2)已知数列满足，求的前项和； (3)若数列的前项和为，对任意，均有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】错位相减法求和、数列不等式恒成立问题、数列新定义 【分析】（1）根据欧拉函数的定义直接计算即可； （2）利用错位相减法求和，即可得出结果； （3）由（2）可知，求出 ，将不等式 化简，分离参数，研究数列的单调性，求出其最大项的值，即可得出结果. 【详解】（1）因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以 因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以 正偶数与不互素，所有正奇数与互素，比小的正奇数有个，所以； （2）所有不超过正整数的正整数有个，其中与不互素的正整数有，，，，，共个， 所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个， 即， 两式相减得 （3）由（2）可知 ， 得 恒成立， 令 ， 则 ， 可得 ； 当 时，，当时，， 所以的最大值为， 故 试卷共4页，第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$