精品解析：安徽省蚌埠市固镇县毛钽厂实验中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

固镇县毛钽厂实验中学2024~2025学年高一3月月考 数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上时应题目的答案标号涂黑；非选择通请用直经0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：人数A版必修第二册第六章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各量中是向量的为（ ） A. 时间 B. 体积 C. 重力 D. 密度 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的定义判断可得出结论. 【详解】由题意可知，时间、体积、密度都是数量，而重力是向量. 故选：C. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合向量相等与其模相等的意义直接判断作答. 【详解】当时，因向量，的方向不一定相同，则与不一定相等，当时，必有， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 已知在中，角A，B的对边分别为a，b，若，则b的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理可得，结合的值可求b的值. 【详解】由正弦定理可得，所以， 因为，所以. 故选：C. 4. 如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算可得结果. 【详解】∵ ， ∴. 故选：A. 5. 在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，它的面积为，则角A等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据余弦定理可得，再根据面积公式可得，从而可求出角． 【详解】解：由余弦定理得， 又根据三角形面积公式得， ∴， 又角为的内角， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属于基础题． 6. 已知点，，，，若是与方向相同的单位向量，则向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出、的坐标，再求出、，最后根据向量在方向上的投影向量为计算可得. 【详解】因为，，，， 所以，， 所以， ， 又是与方向相同的单位向量，所以向量在方向上的投影向量为. 故选：D 7. 根据下列条件，判断三角形解的情况，其中有两解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知结合正弦定理判断各个选项即可. 【详解】A项是角角边类型的三角形，有唯一解； B项解两边夹一角类型的三角形，是唯一解； C项是两边一对角类型的三角形，角B为钝角，也是三角形的最大角，对应三角形最大边，但是，故该三角形无解； D项是两边一对角类型的三角形，，有两个解，此三角形有两解. 故选：D. 8. 在中，已知点在线段上，点是的中点，，，，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用三点共线可得，由，利用基本不等式即可求解. 【详解】由点是的中点， 则， 又因点在线段上，则， 所以， 当且仅当，时取等号， 故选：C 【点睛】本题考查了基本不等式求最值、平面向量共线的推论，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对任意向量、，下列关系式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算和数量积的定义与运算逐项分析判断. 【详解】对A：根据数量积的运算律可得：恒成立，A正确； 对B：根据，可得恒成立，B正确； 对C：，其中为的夹角， ∵，可得， ∴恒成立，C正确； 对D：根据向量减法可得：，当且仅当同向或中有零向量时等号成立， 故不恒成立，D错误； 故选：ABC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 零向量没有大小，没有方向 B. 已知非零平面向量，若是平面所有向量的一组基底，且不是基底，则实数 C. 已知非零平面向量，若存在非零向量使得，则 D. 平面上三点的坐标分别为若点D与A，B，C三点能构成平行四边形的四个顶点，则D的坐标可以是 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A根据零向量的定义即可判断，对于B由共线向量基本定理即可判断，对于C得即即可判断，对于D设由即可求解. 【详解】对于A：根据零向量的定义可知，零向量的大小为0，方向任意，故A错误； 对于B：由不是基底，所以，，故B正确； 对于C：由或，故C错误； 对于D：设，则由，，所以，故D正确. 故选：BD. 11. 中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即（S为三角形的面积，a，b､c为三角形的三边）.现有△ABC满足，且△ABC的面积，则下列结论正确的是（ ） A. △ABC的最短边长为4 B. △ABC的三个内角满足 C. △ABC的外接圆半径为 D. △ABC的中线CD的长为 【答案】AB 【解析】 【分析】结合题意利用正余弦定理处理运算，常用向量处理△ABC的中线：． 【详解】因，所以由正弦定理可得，设，，，因为，所以，解得，则，，，A正确； 因为，所以，，故B正确； 因为，所以，由正弦定理得，，C错误； ，所以，故，D错误. 故选：AB. 三、填空题：本大题共3小题，每小厢5分，共15分. 12. 一物体在力的作用下，由点移动到点．已知，则对该物体所做的功为______． 【答案】15 【解析】 【分析】根据数量积的坐标表示计算可得. 详解】由，，所以，又， ∴对物体做的功． 故答案为：． 13. 在中，角所对的边分别为，且，则的形状为______． 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】应用余弦定理计算求解得出勾股定理即可判断. 【详解】 由余弦定理得，则， 所以，由此知为直角三角形． 故答案为：直角三角形 . 14. 如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，用表示出，再由向量数量积的运算律化简求最大值即可. 【详解】令，则，， 所以， 所以时，的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）若，求的坐标； （2）若，求与的夹角． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设，结合向量的模长公式求解即可； （2）根据垂直向量数量积为0，结合向量的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 因为，设，则，解得． 因此或． 【小问2详解】 由已知可得，因为， 则，可得， ． 16. 在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，已知． （1）若，，求的值： （2）若，判断的形状． 【答案】（1） （2）等边三角形． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，求出，再利用余弦定理可得答案； (2)由余弦定理得结合得，进而，从而可得答案. 【小问1详解】 由正弦定理，， 故， 再由余弦定理得，, 从而； 【小问2详解】 因为，所以由余弦定理得 结合得，进而， 所以等边三角形． 17. 如图，缉私艇在A处通过卫星发现正东方相距的P处有一艘走私船，走私船正以的速度往它的东北方向的公海逃窜，此时距离公海．缉私艇立即以的速度追缉． （1）为了尽快将走私船截获，缉私艇应该往哪个方向进行追缉？ （2）缉私艇能否在该走私船进入公海前将其截获？ 【答案】（1）缉私艇应该往东偏北方向追缉；（2）缉私艇可以在该走私船进入公海前将其截获. 【解析】 【分析】（1）假设t小时后缉私艇在点M处将走私船截获，则可得，然后在中利用正弦定理可求得答案； （2）中利用余弦定理列方程可求出的值，从而可求出的长，再与比较大小即可得答案 【详解】解：（1）假设t小时后缉私艇在点M处将走私船截获． 在中，，解得， 则，即缉私艇应该往东偏北方向追缉． （2）在中，根据余弦定理得， 所以 化简得， 解得或（舍去）， 此时走私船前进了． 所以缉私艇可以在该走私船进入公海前将其截获． 18. 如图，在四边形ABCD中，，，E是线段CD上的点，直线BD与直线AE相交于点P，设，，． （1）若，，，E是线段CD的中点，求与同向的单位向量的坐标； （2）若，用，表示，并求出实数的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据条件求出点的坐标，然后可算出答案； （2）根据平面向量的线性运算可用，表示，然后可得，然后由点B，P，D共线可得，即可求出实数的值． 【小问1详解】 ，易得， 又因为E是CD的中点，所以， 故， 则与同向共线单位向量，坐标为 【小问2详解】 因为，所以 又因为，所以 又因为，所以，又因为点B，P，D共线 ，故 19. 如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边BC，CD上的点，且； （1）求∠PAQ的大小； （2）求面积的最小值； （3）某同学在探求过程中发现PQ的长也有最小值，结合（2）他猜想“中PQ边上的高为定值”，他的猜想对吗?请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）该同学猜想正确，理由见解析 【解析】 【分析】（1）解法一首先由向量的平行四边形定则和向量的数量积得到，再由三角函数的定义得到，，最后再结合正切函数的诱导公式得到；方法二设，，由向量夹角的定义得到，在中再结合勾股定理和三角函数值求出； （2）由三角形的面积公式得到，再角度关系和二倍角公式及结合正弦函数的最值化简可得； （3）由三角形的面积公式得到，再由向量夹角的定义结合三角函数值得到，求出结果即可. 【小问1详解】 记，，则． （1）解法一：∵，∴， ∴， ∴， ∵正方形ABCD的边长为1，∴，， 在中，，，由， 则， ∴，． ∵，∴． 解法二：． 设，，则． 在中，，即， ． ∵，∴． 【小问2详解】 ，． ∴， ∵，∴． ∵，∴当时，面积的最小值为． 【小问3详解】 设中PQ边上的高为h，由，得， ． 又∵，∴， 且，∴， ∴，即为定值，该同学猜想正确. 【点睛】关键点点睛： （1）在求三角形面积时除了常规公式外可用公式； （2）在已知角正弦或余弦值求其余弦或正弦时，可用配凑法结合三角函数的诱导公式比较简便. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 固镇县毛钽厂实验中学2024~2025学年高一3月月考 数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上时应题目的答案标号涂黑；非选择通请用直经0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：人数A版必修第二册第六章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各量中是向量的为（ ） A. 时间 B. 体积 C. 重力 D. 密度 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知在中，角A，B的对边分别为a，b，若，则b的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，它的面积为，则角A等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，，，若是与方向相同的单位向量，则向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 根据下列条件，判断三角形解的情况，其中有两解的是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，已知点在线段上，点是中点，，，，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对任意向量、，下列关系式中恒成立的是（ ） A B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 零向量没有大小，没有方向 B. 已知非零平面向量，若是平面所有向量的一组基底，且不是基底，则实数 C. 已知非零平面向量，若存在非零向量使得，则 D. 平面上三点的坐标分别为若点D与A，B，C三点能构成平行四边形的四个顶点，则D的坐标可以是 11. 中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即（S为三角形的面积，a，b､c为三角形的三边）.现有△ABC满足，且△ABC的面积，则下列结论正确的是（ ） A. △ABC的最短边长为4 B. △ABC的三个内角满足 C. △ABC外接圆半径为 D. △ABC的中线CD的长为 三、填空题：本大题共3小题，每小厢5分，共15分. 12. 一物体在力的作用下，由点移动到点．已知，则对该物体所做的功为______． 13. 在中，角所对的边分别为，且，则的形状为______． 14. 如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）若，求的坐标； （2）若，求与的夹角． 16. 在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，已知． （1）若，，求的值： （2）若，判断的形状． 17. 如图，缉私艇在A处通过卫星发现正东方相距的P处有一艘走私船，走私船正以的速度往它的东北方向的公海逃窜，此时距离公海．缉私艇立即以的速度追缉． （1）为了尽快将走私船截获，缉私艇应该往哪个方向进行追缉？ （2）缉私艇能否该走私船进入公海前将其截获？ 18. 如图，在四边形ABCD中，，，E是线段CD上的点，直线BD与直线AE相交于点P，设，，． （1）若，，，E是线段CD的中点，求与同向的单位向量的坐标； （2）若，用，表示，并求出实数的值． 19. 如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边BC，CD上的点，且； （1）求∠PAQ的大小； （2）求面积的最小值； （3）某同学在探求过程中发现PQ的长也有最小值，结合（2）他猜想“中PQ边上的高为定值”，他的猜想对吗?请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$