辽宁省辽阳市多校2024-2025学年高三下学期第一次考试数学试卷

高三考试数学试卷参考答案 1.DAUB={-2,-1,1,2,3}. 2.CAC-AB+BC=(5,1)+(m,9)=(m+5,10).因为A,C,D三点共线，所以AC/CD, 所以5(m+5)=80,得m=11. 3.A因为a=5,b=7,c=4,所以cosB=a+c2-b_25+16-49 2ac 2×5×4 后，所以sinB= V1-cos B =2/6 ，所以△Ac的面积为acnB=号×5X4X2 =46. 1a+3b-2, a=-1, 4.B因为(1一2i)a+(3+4i)b=a+3b+(4b-2a)i=2+6i,所以 解得 4b-2a=6, b=1. 5.D连接DC,DE.因为DE为△A:BC1的中位线，所以DE∥ B,C,且DE=2B,C 因为FCB,C,且FC=2B,C,所以FC/DE,且FC=DE, 四边形CDEF为平行四边形，所以EFCD,所以∠ADC为所 求角的平面角。 因为AA,=2,A,D=1,∠AA,D=120,所以AD=√4+1-2X2×1×(-7)=7. 因为CC,=2,C,D=1,∠CC,D=60,所以CD=√4+1-2×2X1×2 =3. 在△ACD中，因为AC=2,AD=7,CD-3,所以cos∠ADC=7+3-4_V2I 2√21 7， 即异面直线AD和EF所成角的余弦值为2， 5.Aa=log 20-logs5+log 4=1+i6=log.6-+log.4-1+im 6.c-logs3+log 4-1- n,因为ln6>lh5>ln3>0,ln4>0,所以c>a>b. 7.C因为AF=d=号+2，所以1AB1=p(号+2，所以1BF=AB-AF=(D-1D(号 +2小.因为+p号所以2，十 1 名，解得p= +2(p-1D(2+2) 8.A如图，设球O内接圆锥的底面半径为”，显然当球心在圆锥内部时，圆锥的体积才会最 大，则球O内接圆锥的体积V=3r2(WR一r+R).令VR一r=t,则r2=R2一t2,V= 【高三数学·参考答案第1页（共6页）】 3π(R2-2)+R). 因为(R-P)1+R)=号(2R-2)R+)R+)≤号 (2R-24+R++R+出)°-号R,当且仅当2R-2=R+1,即1=时，V R 3 27 取得最大值，此时r三3R 9.BCD甲、乙的得分从小到大排列如下： 甲：7.0,8.3,8.9,8.9,9.2,9.3 乙：8.1,8.5,8.6,8.6,8.7,9.1. 甲得分的平均数为8.6，乙得分的平均数为8.6，所以A错误： 甲得分的众数和中位数均为8.9，乙得分的众数和中位数均为8.6，所以B,C正确： 由图可以看出甲得分的波动比乙大，所以甲得分的方差大于乙得分的方差，所以D正确， 10.ACD因为f)=Aeos(ar+p)+1=os(2r+2p)+号+1，所以fx)=A+1, fx)=1,所以A+D-1=2,所以A=2因为T=4-无所以w=子，所以f6x)= co(5+2g)+2.又了0)=2，所以29=受+x∈0.所以g=至+受k∈ZD 因为0<g<受所以g=开，所以fx)=os(受r+2)+2=-sim受+2 令受+2张x≤受<+2k,kEZ.得1十4<r<3+k,6∈Z 故A,C,D正确，B不正确. 11.BC令x=y=0,得f(0)-f(0)=f(-1)f(-1),所以f(-1)=0. 令y=1,得f(x-1)-f(x+1)=f(x-1)f(0)=2f(x-1),所以f(x十1)=-f(x- 1),所以f(x+4)=一f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数，所以8是f(x) 的一个周期，故B正确. 令x=0,得f(-y)-f(y)=f(-1)f(y-1)=0,即f(一y)=f(y),所以f(x)是偶函 数，所以g(x)=xf(x)是奇函数，故A错误. 因为f(x+2)=一f(x),所以f(x)的图象关于点(1,0)对称.因为f(x)的周期为4，所以 f(x)的图象关于点(2025,0)对称，故C正确， 因为f(x+2)+f(x)=0,所以f(2)+f(0)=0,f(3)+f(1)=0,所以f(0)+f(1)十 f2)+f3)=0,所以受r)=f2024)+f2025)=f0)+f1)=2,故D错误. 12.y=土3x:2√6 由点M(一√6,32)在双曲线C的一条渐近线上，可得=3，所以双曲 【高三数学·参考答案第2页（共6页）】 线C的渐近线方程为y=土√3x.记坐标原点为O,则1OM=|OF|,即c=26.因为c2= a2十b2,所以a=√6，故双曲线C的实轴长为2√6. 13.18不妨将4块排成一排的地砖从左至右标记为A,B,C,D,用3种颜色给地砖上色，每种 颜色至少使用一次，相邻地砖不能同色，所以一定恰有2块地砖同色.同色的情况有(A,C), (A,D),(B,D),共3种，所以共有3CA号=18种不同的3一上色方案。 14.4W2设P(x,y),由|PA|=2|PB|,得√/(x+5)+y2=2√(x-1)+y, 所以(x-3)+y2=16,所以点P的轨迹是以C(3,0)为圆心，4为半径的圆. 将直线1的方程整理得x十k(y十2)一1=0，所以直线1过点D(1,一2). 因为点D(1,一2)在圆C内部，所以当D是线段MN的中点时，MN|最小， 此时l⊥CD,所以k,·kD=一1. 因为kD=1,所以k,=-1,即k=1.因为CD=√(3-1)+(0+2)2=22， 所以|MN|的最小值为2W42-(2√2)2=42，所以kMN|=42. 3a19=a1十2a192, 15.解：(1)设数列{a.}的公比为q,则 4a1+a1g)=1+8a1g. …2分 由1a.是递减数列，解得g=2a1=所以a,=a1g- 1 …4分 因为bn+1=2bn-2n十1，所以bw+1-2(n十1)-1=2(bn-2n-1).…5分 因为b1=3,所以b1一2×1一1=0，所以b。一21一1=0，所以bn=2n十1.…6分 (2)当n是奇数时，c.=2+。 20 …7分 所以一+++ 3.7 221, 317 22w+1, …8分 _3+4+4 两式相减得之红已22十2干…十心一二 22-1 224+1 3 4n-11312n+13 6 1一4 22a+1 6X4" 所以公c4-1= 2612n+13 99X22w”10分 6n+19 当n是偶数时，c.-2·(2m+1D(2m十5)(2+1)·2(2m+5)·2, 1 1 1 1 1 1 1 (4n十1)×222(4n+5)×2=5 【高三数学·参考答案第3页（共6页）】 1 (4n+5)×4" 故T-139_12m+13 1 459X22(4m+5)×4 …13分 16.(1)证明：连接BC1,交B,C于O,连接OD.…1分 因为三棱柱ABC-A1B,C1为直三棱柱，所以四边形BCC1B1为矩形，所以O为BC1的中 点.…2分 因为D为AB的中点，所以在△ABC,中，OD为中位线，OD∥AC. …4分 因为ODC平面B1CD,AC1丈平面B,CD,所以AC1平面B,CD. …6分 (2)解：以C为坐标原点，CA,CB,CC的方向分别为x,y,之轴的 正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(2,0,1),D(1,1,0),B1(0,2,1).…9分 设平面A1B,C的法向量为n=(x,y,),因为CA=(2,0,1),CB =(0,2,1), CA1·n=2x+g=0, 所以 令x=1,得n=(1,1,一2).…12分 CB·n=2y十x=0, 因为D呢=(-1,1，D,所以osn,DB=1DB —2 √② 3 …13分 nDB1√6X③ 所以直线B,D与平面AB,C所成角的正弦值为3 15分 17.a)解：因为fx)=a+lnr,所以fx)=1a二n ……2分 令f'(.x)>0,得0<x<el“,令f'(x)<0,得x>e“,…4分 所以f(x)在(0，e-a)上单调递增，在(e“,十o∞)上单调递减.…5分 2)证明：由(1)知f(）=f(e)三1，所以a=1.…7分 要证f(x)≤g(x),即证+ln≤e-h,即证r-hr-lnx-1=+hr-(r+lnx) 1≥0.…9分 令h(x)=e-x-1,则h'(x)=e-1. 令h'(x)>0,得x>0,令h'(x)<0,得x<0, 所以h(x)在(0，十o)上单调递增，在（一0∞，0）上单调递减，…12分 所以h(x)≥h(0)=0,即e≥x+1,所以e+r-(hx+lnx)-1≥0成立，故f(x)≤ g(x）。… 00000004000510000:tt0t10000000000000000t000.00t00000000004000000000t4000005 18.解：(1)若甲3次答题累积得分不低于6分，则甲抽取的3个题目分值可以是(2,2,3)，(1,3， 3),(2,3,3) 【高三数学·参考答案第4页（共6页）】 当甲轴取的3个题目分值是(2,23)时，概率为（兮）×号×3=8 …2分 要使累积得分不低于6分，则3个题要全答对，所以概率为站×（侵）》广×兮6…3分 当甲抽取的3个题目分值是1.3,3)时，概率为（合》×号×3=2 …4分 要使累积得分不低于6分，则2个3分题要答对，所以概率为×（号）月 216…5分 当甲描取的3个题目分值是(2.3,3)时，概率为信》广××3=6 …6分 要使紫积得分不低于6分则2个3分莲要答对，所以概率为后×（信）广- …7分 故甲3次答题累积得分不低于6分的概率为324十216×2=81 …8分 (2)X的所有可能取值为3,4,5,6,7,8,9. …9分 PX=3)=()°=gP(X=0=(号)'×3×3= …10分 PX=5)=(》×言×3+（传）》×号×3=员：Px=6=(》°+x号×名×6=贵 …12分 P(x=7)=(3)'×g×3+(信)×号×3=2Px=8)=(合)'×号×3=： …14分 …15分 X的分布列为 X 3 4 5 6 7 8 9 P 1 11 7 1 1 54 72 36 216 所以E(X)=8 1+2+9十 351149+2 1 十9+24 =5. 00e00.00.040000000.0000.0004000400000044t。 17分 c_w√16-12 4 19.(1)解：由题意可得 解得a=2,b=√3， …2分 a=2, c2=a2-b2, 故椭圆C的标准方程为号+ 3 =1. 3分 (2)①证明：设B(x1,y1),D(x2y:). x=y十l, 联立 整理得(3m2十4)y2+6mty+3t2-12=0, 31. 【高三数学·参考答案第5页（共6页）】 6mt 312-12 则y1十y2=一3m+4y1y=3m2+4 ……4分 1-2k=y 因为k= 2—2所以k·k=当。 .y2 yiy2 x1-2xg-2(x1-2)(x2-2) yiya m'y1y2+(mt-2m)(y1十y2)+t2-41+4 …5分 3t2-12 所以1-4+④) 4,整理得42-4-8=0， 即2-1-2=0， 7分 解得1=一1(t=2舍去)， 则直线l过定点（一1,0）. 0000+0440444444094004*00400400” 9分 6mn ②解：由①可知y十y:=3n+4yy= 3m2+4 10分 设E(n,0),则k能=k体=y ，0044040444040000004044400400004444444440440+044” 11分 x1一 x2一n 所以kE·ke=·出 yiy: yiy2 x1-nx2-n(.x1一n)(.x2-n)(my1-1-n)(my2-1-n) yiya my1y2-m(n+1)(y1+y2)+(n+1)9 9 3m2+4 9 m2· 6m 3m2+4 -m(n+1)· 3m2+4 +(n+1) -9 9 -12m2+3m2n2+4n2+8n+4 3m2(n2-4)+4(n十1)2 …13分 要使得直线BE,DE的斜率之积为定值，只需n2一4=0，解得n=士2.…14分 当n=2时，kE·kDE= 9 9 1 3m2'(m2-4)+4n+1)2= 364 …15分 9 9 当n=一2时，kE·kDE= 3m2(n2-4)+4(1+1)2 4 …16分 故在x轴上存在点E,使得直线BE,DE的斜率之积为定值.当E的坐标为(2，O)时，直线 BE,DE的斜率之积为定值一；当E的坐标为(-2，O)时，直线BE,DE的斜率之积为定 9 值 17分 【高三数学·参考答案第6页（共6页）】高三考试数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 中 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.设集合A=(-1,1,2),B={-2,1,3},则AUB= 蜘 A.{1) B.{-2,-1,1,3} C.{-2,-1,2,3) D.(-2,-1,1,2,3} 的 2.已知向量A=(5,1),BC=(m,9),C可=(8,5).若A,C,D三点共线，则m= 长 A号 B.-11 C.11 D-号 3.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=5,b=7,c=4,则△ABC的面积为 K A.46 B.26 C.4 D.8 4.已知(1-2i)a+(3+4i)b=2+6i,其中a,b为实数，则 都 A.a=1,b=-1 B.a=-1,b=1 C.a=-1,b=-1 D.a=1,b=1 潮 5.如图，三棱柱ABC-A,B,C1的所有棱长都为2，且∠A1AC=60°，D,E,F分别为A1C, A:B1,BC的中点，则异面直线AD和EF所成角的余弦值为 的 A号 B号 c n阿 6.若a=-loga.220,b=log624,c=log12,则 A.c>a>b B.6>a>c C.a>b>c D.c>b>a 7.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过F的直线与C交于A,B两点，记点A 茶 到直线l的距离为d,且|AB|=d.若点A的横坐标为2，则p= 人号 B.1 c号 D.2 【高三数学第1页（共4页）】 CS扫描全能王 亿人在用的扫描Ap 8.已知球O的半径为R,则在球O的内接圆锥中，体积最大的圆锥的底面半径为 AR B专R n 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.为了丰富校园文化生活，展现学生的才艺风采，激发学生的艺术创造力和表现力，某校举行了 “绽放青春，艺路有你”才艺大赛.甲、乙两位同学才艺表演结束后，6位评委对甲、乙进行打分 (满分10分)，得到如图所示的折线统计图，则 A.甲得分的平均数大于乙得分的平均数 1分数 B.甲得分的众数大于乙得分的众数 9.5 9.0 89 C.甲得分的中位数大于乙得分的中位数 8.5 8.6 D.甲得分的方差大于乙得分的方差 8.0 7.5 7.0 10.已知函数f(x)=Acos2(x十g)十1(A>0,w>0,0 2 3 456评委编号 <9<)的最大值与最小值的差为2，其图象与y轴 的交点坐标为(0,2)，且图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2，则 A.A=2 Rw=受 Cp-i D.f(x)的单调递增区间为[1十4k,3十4k],k∈Z 11.已知函数f(x)的定义域为R,对任意x,y∈R,均满足f(x一y)一f(x十y)=f(x一1)f(y 一1)，且f(0)=2,则 A函数g(x)=xf(x)为偶函数 B.8是f(x)的一个周期 C.f(x)的图象关于点(2025,0)对称 D.营f)=0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12若双曲线C号-景=1a>0,6>0)的-条渐近线上的点M(一6,3巨)关于另一条渐近 线的对称点恰为右焦点F,则双曲线C的渐近线方程为▲，实轴长为▲ 13.某工人给排成一排的n块地砖上色，可用颜色为固定的第1号至第N号，共N种颜色，其 中N∈N',N≥5.上色完毕后，若满足相邻两块地砖颜色不同，且只使用了第1号至第 m号颜色（每种颜色至少使用一次，m∈N”,m≤N),则称此方案为一种m一上色方案.当n =4时，不同的3一上色方案共有▲_种. 14.在平面直角坐标系中，已知点A(一5,0)，B(1,0),动点P满足IPA|=2|PB|,记P的轨迹 为曲线C,直线l:x十ky十2k一1=0与C交于M,N两点，当IMN|取得最小值时，k|MN| 的值为▲ 【高三数学第2页（共4页）】 CS扫描全能王 亿人在用的扫描A 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知等比数列{a是递减数列，a,的前n项和为S,且。，2S8a,成等差数列，3a:=a1 +2a3,数列(b,}满足b+1=2b,-2n+1,b1=3,n∈N. (1)求(an}和b,}的通项公式； abn,n是奇数， (2)若cn= 6十19)a-,n是偶数，求数列，)的前2m项和T b.b+2 16.(15分) 如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，AC⊥BC,AC=BC=2,D为AB的中点，AA1=1. (1)证明：AC1/平面B1CD. (2)求直线B,D与平面A1B,C所成角的正弦值. 17.(15分) 已知函数fz)=a+lh三，g(x)=0-b,a,bER (1)求f(x)的单调区间： (2)若f(x)的最大值为1，证明：Vb∈R,f(x)≤g(x). 【高三数学第3页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人■在用的扫描Ap明 18.(17分) 2025亚冬会于2025年2月7日至2月14日举行.某体育局为普及亚冬会知识，组织了答题 活动.设置一个抽题箱，箱中有若干装有题目的小球，小球的大小、颜色、质量都一样，每次答 题抽取一个小球每个小球内只有一道题目，每道题目只有一个分值，题目分值分别为1分、 2分，3分.已知1分题目小球被抽到的概率为2,2分题目小球被抽到的概率为号，3分题目 小球被抽到的概率为行，且每次抽完会补充一个同分值小球到箱内。 1已知甲回答1分，2分、3分题目正确的概率分别为号，分，方求甲轴取3次，轴到2种不 同分值的题目，且累积得分不低于6分的概率； (2)若甲抽取3次，记X表示甲3次抽取的题目分值之和，求X的分布列和数学期望. 19.(17分) 对于给定的椭圆E,后+芳=1>6>0)，与之对应的另-个桶圆E子+长-AQ>0, 相 且X1D.则称E,与品，互为共耗椭圆已知椭圆后+若-1与椭圆C:导+若-16>6 哦 0)互为共轭椭圆，A(2,0)是椭圆C的右顶点. (1)求椭圆C的标准方程. (2)不过点A的直线l:x=my十t与椭圆C交于B,D两点，且直线AB与直线AD的斜率 之积为-是 ①证明：直线l过定点。 ②试问在x轴上是否存在点E,使得直线BE,DE的斜率之积为定值？若存在，求出该 定值；若不存在，请说明理由， 【高三数学第4页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人■在用的扫描Ap明