17.2勾股定理的逆定理教案 　　2024—2025学年人教版数学八年级下册

17.2勾股定理的逆定理教案 第一课时 一、教学目标 1. 理解勾股定理的逆定理的内容，掌握勾股定理逆定理的证明方法。 1. 能运用勾股定理的逆定理判断已知三边长度的三角形是否为直角三角形。 1. 通过对勾股定理逆定理的探究，培养学生的逻辑推理能力和数学思维。 二、学情分析 学生在之前已经学习了勾股定理，对直角三角形三边的数量关系有了一定的认识。但对于勾股定理逆定理的理解，可能存在一定困难，尤其是在证明思路和逻辑推理方面。八年级的学生已经具备了一定的观察、分析和归纳能力，在教学过程中可引导学生通过自主探究、合作交流等方式，逐步理解和掌握勾股定理的逆定理。 三、教学重难点 1. 重点：勾股定理逆定理的内容及应用，能根据三边关系判断三角形是否为直角三角形。 1. 难点：勾股定理逆定理的证明思路及逻辑推理过程。 四、教学方法 讲授法、探究法、讨论法相结合。 五、教学过程 1. 导入新课（5分钟） · 通过讲述古埃及人用打结绳子的方法画直角（课本图17.2 - 1，P22） 以及我国古代大禹治水测量工程时用类似方法确定直角的故事，引出如果三角形三边满足一定关系，是否就是直角三角形的问题，激发学生的学习兴趣。 1. 讲授新课（25分钟） · 提出猜想：引导学生观察如果三角形三边长分别为3,4,5；2.5cm,6cm,6.5cm；4cm,7.5cm,8.5cm 时，它们三边满足的关系，提出猜想：如果三角形的三边长a,b,c满足，那么这个三角形是直角三角形（课本P22 - 23）。 · 讲解互逆命题：介绍命题2与上节命题1的题设、结论正好相反，引出互逆命题的概念。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题（课本P23）。 · 证明猜想（勾股定理的逆定理）：已知的三边长分别为a,b,c，且满足，要证是直角三角形。先画一个两条直角边长分别为a,b的直角三角形，使，，。根据勾股定理，，因为，所以。在和中，，，，所以（SSS） 因此，即是直角三角形（课本图17.2 - 2，P23）。 从而证明勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个定理，即勾股定理的逆定理，是判定直角三角形的一个依据。 1. 例题讲解（15分钟） · 例1：判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形（课本P23，例1）： · ，，； · ，，。 · 分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方。 · 解：①因为，，所以，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。像15,8,17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。 · ②因为，，所以，根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形。 · 板书： · 例1：判断三角形是否为直角三角形 · （1），， · 计算：， · 结论：，是直角三角形 · 勾股数概念：像15,8,17这样，能成为直角三角形三边的正整数 · （2），， · 计算：， · 结论：，不是直角三角形 1. 课堂练习（10分钟） · 课本练习1：如果三条线段长a,b,c满足，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？（课本P24） · 解答：是直角三角形。因为，移项可得，满足勾股定理的逆定理，所以是直角三角形。 1. 课堂小结（5分钟） · 回顾勾股定理的逆定理内容：如果三角形的三边长a,b,c满足，那么这个三角形是直角三角形。 · 强调勾股定理逆定理的证明方法和应用时的注意事项，尤其是判断直角三角形时要比较两条较小边的平方和与最大边的平方。 1. 布置作业（5分钟） · 课本习题17.2复习巩固第1题（课本P24）：判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形： · ，，； · ，，； · ，，； · ，，。 六、板书设计 17.2勾股定理的逆定理 1. 勾股定理的逆定理：如果三角形三边长满足，则三角形是直角三角形。 1. 证明思路：构造直角三角形，利用全等证明。 1. 例1： · （1），， · 计算：， · 结论：是直角三角形，勾股数概念 · （2），， · 计算：， · 结论：不是直角三角形 第二课时 一、教学目标 1. 进一步熟练运用勾股定理的逆定理解决实际问题和几何问题。 1. 理解互逆定理的概念，能判断两个定理是否互为逆定理。 1. 通过实际问题的解决，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的意识。 二、学情分析 经过第一课时的学习，学生对勾股定理的逆定理有了初步的理解和掌握，但在运用其解决实际问题和较复杂的几何问题时，可能还存在一些困难。学生在将实际情境转化为数学模型方面需要进一步加强训练，同时对互逆定理概念的理解也需要通过具体实例进行深化。 三、教学重难点 1. 重点：运用勾股定理的逆定理解决实际问题和几何证明，理解互逆定理。 1. 难点：将实际问题转化为数学问题，准确运用勾股定理的逆定理进行推理和计算。 四、教学方法 讲授法、练习法、讨论法相结合。 五、教学过程 1. 复习导入（5分钟） · 回顾勾股定理的逆定理内容，随机提问学生如何判断一个三角形是否为直角三角形。 · 复习勾股数的概念，让学生举例说出一些勾股数。 1. 讲授新课（20分钟） · 例2：如图17.2 - 3（课本P23 - 24） 某港口P位于东西方向的海岸线上。“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile。它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ · 分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了。 · 解：根据题意，，，。因为，即，所以。由“远航”号沿东北方向航行可知，。因此，即“海天”号沿西北方向航行。 · 板书： · 例2： · 已知：，， · 计算：， · 结论：， · 因为“远航”号沿东北方向，，所以，“海天”号沿西北方向 · 互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。通过举例，如勾股定理和勾股定理的逆定理，加深学生对互逆定理概念的理解（课本P23）。 1. 课堂练习（15分钟） · 课本习题17.2综合运用第4题（课本P24）： 在中，，，边上的中线。求。 · 分析：因为是边上的中线，所以。在中，计算三边的平方，判断是否为直角三角形，进而求出。 · 解：因为是边上的中线，，所以。在中，，，。因为，，即，所以是直角三角形，。则，在中，根据勾股定理，所以。 1. 实际应用拓展（10分钟） · 介绍一些勾股定理逆定理在生活中的实际应用，如检测一个四边形是否为矩形（测量四边形的四条边，看是否满足两组对边平方和相等且对角线平方和相等），在建筑施工中检测墙角是否为直角等。引导学生思考这些实际问题中如何运用勾股定理的逆定理，加深学生对知识的理解和应用能力。 1. 课堂小结（5分钟） · 总结勾股定理逆定理在实际问题和几何证明中的应用方法，强调解题时要准确找出三角形的三边，并判断三边是否满足勾股定理逆定理的条件。 · 再次强调互逆定理的概念，让学生明确一个定理的逆命题需经过证明正确才能成为逆定理。 1. 布置作业（5分钟） · 课本习题17.2综合运用第5题（课本P24）：如图，在四边形中，，，，，。求四边形的面积。 · 课本习题17.2拓广探索第7题（课本P24）：我们知道3,4,5是一组勾股数，那么，，（是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果，，是一组勾股数，那么，，（是正整数）也是一组勾股数吗？ 六、板书设计 一、主板书 （一）例2 1. 条件梳理 · · · 1. 计算推理 · · · 因为，所以（勾股定理的逆定理） 1. 航向推导 · 已知“远航”号沿东北方向，即 · 所以 · 得出“海天”号沿西北方向航行 （二）互逆定理 1. 概念阐述 · 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。 1. 举例说明 · 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（若中，，则 ）。 · 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形。 · 强调二者关系：勾股定理与勾股定理的逆定理互为逆定理。 （三）练习解答（课本习题17.2综合运用第4题） 1. 条件分析 · · ，是边上的中线，所以 · 1. 判断直角三角形 · 在中，计算三边平方： · · · · 因为，所以是直角三角形（勾股定理的逆定理），。 1. 求AC的过程 · 因为，所以，是直角三角形。 · 在中，根据勾股定理（） · 则 · 所以 二、副板书 1. 勾股定理逆定理表达式：直角三角形（、为两较短边，为最长边）。 1. 解题思路提示 · 遇到判断三角形形状问题，找三边，算平方，比大小。 · 实际问题中，关键是将实际条件转化为三角形三边长度关系。 学科网（北京）股份有限公司 $$