期末考试 诊断试题-【典创-单元学情诊断卷】2024-2025学年新教材七年级下册数学（北师大版 2024）

·８７· ·８８· ∵ ∠Ｂ＝∠Ｃ ＡＢ＝ＤＣ ∠ＤＡＢ＝∠ { ＥＤＣ ∴△ＡＢＤ≌△ＤＣＥ（ＡＳＡ） （３）可以．当∠ＢＤＡ＝１１０°时，∠ＡＤＣ＝７０°， ∵∠Ｃ＝４０°， ∴∠ＤＡＣ＝７０°，∠ＡＥＤ＝∠Ｃ＋∠ＥＤＣ＝３０°＋ ４０°＝７０°， ∴∠ＤＡＣ＝∠ＡＥＤ，∴△ＡＤＥ是等腰三角形． 当∠ＢＤＡ＝８０°时，∠ＡＤＣ＝１００°． ∵∠Ｃ＝４０°，∠ＤＡＣ＝４０°，∴∠ＤＡＣ＝∠ＡＤＥ． ∴△ＡＤＥ为等腰三角形． 综上，当∠ＢＤＡ＝１１０°或８０°时，△ＡＤＥ是等腰三 角形． 第六章　变量之间的关系 一、选择题 １．Ｂ　２．Ｄ　３．Ｂ　４．Ｂ　５．Ｄ　６．Ｄ　７．Ｃ　８．Ｂ ９．Ａ　１０．Ｄ 二、填空题 １１．ｙ＝１００＋０．２ｘ　１２．ｓ＝６０ｔ　１３．６ １４．Ｑ＝１００－６ｔ　１５．ｙ＝６ｘ 三、解答题 １６．解：（１）体育场离张阳家２．５ｋｍ． （２）∵２．５－１．５＝１（ｋｍ），∴体育场离文具店 １ｋｍ．∵６５－４５＝２０（ｍｉｎ），∴张阳在文具店逗留 了２０ｍｉｎ． １７．解：（１）由题意和表格可知，这个表反映了国内拨 打电话超出时间ｘ与国内拨打电话超出部分的电 话费ｙ之间的关系，国内拨打电话超出时间 ｘ是 自变量，国内拨打电话超出部分的电话费 ｙ是因 变量； （２）由表格可知，如果国内拨打电话超出６分钟， 那么超出部分的电话费是０．１５×６＝０．９元． １８．解：（１）由题意得，ｙ与ｘ（ｘ＞５）之间的关系式为 ｙ＝５×２．４＋４（ｘ－５）＝４ｘ－８． （２）将ｙ＝２２代入ｙ＝４ｘ－８中， 得２２＝４ｘ－８，解得ｘ＝７．５． ∴这个月这户居民用了７．５ｔ水， １９．解：（１）汽车行驶的时间为：２０－２＝１８（ｍｉｎ），它 的最大速度为：４５ｋｍ／ｈ； （２）汽车在２～８分钟，１３～１８分钟时保持匀速， 速度分别是３０ｋｍ／ｈ，４５ｋｍ／ｈ； （３）１０分钟到１２分钟，汽车的速度为０千米／时，有 可能是加油或是等红绿灯（答案不唯一）． ２０．解：（１）剩下的圆环面积ｙ； （２）由题意得，ｙ＝π×１８２－πｘ２＝３２４π－πｘ２， （３）把ｘ＝９代入ｙ＝３２４π－πｘ２中， 得ｙ＝３２４π－π×９２＝２４３πｃｍ２， 则剩下的圆环面积为２４３πｃｍ２． ２１．解：（１）依题意得，ｙ１＝５ｘ＋２００，ｙ２＝４．５ｘ＋２１６． （２）令ｙ１＝ｙ２，即５ｘ＋２００＝４．５ｘ＋２１６．解得ｘ＝３２． 当购买３２个文具盒时，两种方案付款金额相同． （３）令 ｘ＝４０，ｙ１＝５×４０＋２００＝４００，ｙ２＝４．５× ４０＋２１６＝３９６，∵ｙ１＞ｙ２， ∴当购买４０个文具盒时，按方案②付款较合算． ２２．解：（１）甲先出发，先出发１０分钟；乙先到达终点， 先到达５分钟． （２）甲的速度为每分钟０．２公里，乙的速度为每分 钟０．４公里． （３）在甲出发后１０分钟到２５分钟这段时间内，两 人都在行驶途中． ２３．解：（１）∵轿车比货车晚出发１．５小时，货车是第 ０小时出发， ∴轿车第１．５小时出发， ∴点Ｂ所对应的数是１．５； （２）根据图象可知，货车速度是 ２３４÷３．９＝ ６０（千米／小时）， 轿车在 ＢＣ段的速度为 ８０÷（２．５－１．５）＝ ８０（千米／小时）， 轿车在 ＣＤ段的速度为（２３４－８０）÷（３．９－ ２．５）＝１１０（千米／小时）； （３）根据图象可知，轿车到达乙地时， 货车行驶时间为（３００－８０）÷１１０＋２．５＝４．５（小时）， 此时，货车与甲地的距离为４．５×６０＝２７０（千米）； （４）根据图象可知，轿车先到达乙地， 货车到达时间为３００÷６０＝５（小时）， 可知，轿车比货车提前５－４．５＝０．５（小时）， 即轿车先达到乙地，提前０．５小时到达． 期末测试卷 一、选择题 １．Ｄ　２．Ｃ　３．Ａ　４．Ｃ　５．Ｂ　６．Ｂ　７．Ｃ　８．Ｄ ９．Ｄ　１０．Ｂ 二、填空题 １１．３　１２．１５　１３．１２　１４．ｙ＝３０ｘ＋１６　１５．３ 三、解答题 １６．解：（１）原式＝ｘ２＋２ｘｙ－ｘ２－２ｘ－１＋２ｘ＝２ｘｙ－１； （２）原式＝－１＋２ａｂ－３ａ２ｂ２． １７．解：原式＝１６ｘｙ－２ｙ２．当ｘ＝１，ｙ＝－１时， １６ｘｙ－２ｙ２＝－１８． １８．证明：∵ＨＧ∥ＡＢ，∴∠１＝∠３． 又∵ＨＧ∥ＣＤ，∴∠２＝∠４． ∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠ＢＥＦ＋∠ＥＦＤ＝１８０°． 又∵ＥＧ平分∠ＢＥＦ，∴∠１＝１２∠ＢＥＦ． 又∵ＦＧ平分∠ＥＦＤ，∴∠２＝１２∠ＥＦＤ， ∴∠１＋∠２＝１２（∠ＢＥＦ＋∠ＥＦＤ）， ∴∠１＋∠２＝９０°，∴∠３＋∠４＝９０°， 即∠ＥＧＦ＝９０°． ∴ＥＧ⊥ＦＧ． １９．证明：过点Ｅ作ＥＧ∥ＣＤ，交ＢＦ的延长线于点Ｇ， ∵∠ＡＢＣ＝９０°，∠ＢＣＤ＝９０°， ∴ＡＢ∥ＤＣ， ∴ＥＧ∥ＡＢ∥ＣＤ， ∵∠ＡＢＣ＝９０°， ∴∠ＥＧＦ＝∠ＤＣＦ＝９０°＝∠ＡＢＣ． ∵∠ＡＣＥ＝９０°， ∴∠ＡＣＢ＝９０°－∠ＥＣＧ＝∠ＣＥＧ， 又∵ＡＣ＝ＣＥ， ∴△ＡＢＣ≌△ＣＧＥ（ＡＡＳ）， ∴ＣＢ＝ＥＧ， ∵ＣＢ＝ＣＤ， ∴ＣＤ＝ＥＧ， 又∵∠ＧＦＥ＝∠ＣＦＤ，∠ＥＧＦ＝∠ＤＣＦ，∴△ＥＧＦ ≌△ＤＣＦ（ＡＡＳ）， ∴ＥＦ＝ＤＦ， 即点Ｆ是ＥＤ的中点． ２０．解：（１）设袋中黑球的个数是 ｘ，则红球的个数是 ２ｘ＋４０，白球的个数是２９０－ｘ－（２ｘ＋４０）＝２５０－ ３ｘ． ∵从袋中任取一个球是白球的概率是１２９， ∴２５０－３ｘ２９０ ＝ １ ２９，解得ｘ＝８０．则２ｘ＋４０＝２００． 则袋中红球的个数是２００． （２）∵袋中球的总数是２９０，黑球的个数是８０， ∴Ｐ（从袋中任取一个球是黑球）＝８０２９０＝ ８ ２９． ２１．（１）证明：∵∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ＝９０°， ∴∠ＡＣＢ＋∠ＢＣＤ＝∠ＤＣＥ＋∠ＢＣＤ，即∠ＡＣＤ＝ ∠ＢＣＥ，在△ＡＣＤ与△ＢＣＥ中， ∵ ＡＣ＝ＢＣ ∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ ＣＤ＝{ ＣＥ ，∴△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ（ＳＡＳ）． （２）解：∵△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ：∴ＢＥ＝ＡＤ＝ＤＢ＋ＡＢ， 又∵ＤＢ＝ＡＢ，∴ＢＥ＝２ＡＢ＝２×３＝６（ｃｍ）． （３）解：ＢＥ与ＡＤ垂直．理由如下： ∵△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ， ∴∠ＡＤＣ＝∠ＢＥＣ，设 ＢＥ与 ＤＣ相交于点 Ｏ，则 ∠ＢＯＤ＝∠ＥＯＣ， ∵∠ＢＥＣ＋∠ＥＯＣ＝９０°， ∴∠ＡＤＣ＋∠ＢＯＤ＝９０°， ∴∠ＤＢＥ＝９０°， ∴ＢＥ⊥ＡＤ． ２２．解：（１）甲车返回 Ｍ城的速度为 ９０÷（２．５－ １．５）＝９０（千米／小时）． （２）设乙车离Ｍ城的距离 ｙ（千米）与甲车行驶时 间的函数解析式是ｙ＝ｋｘ＋ｂ，则２ｋ＝９０，解得 ｋ＝ ４５，ｂ＝０． ∴函数解析式是ｙ＝４５ｘ（０≤ｘ≤２）； 设甲车在返回 Ｍ 城过程中离 Ｍ 城的距离 ｙ（千米）与甲车行驶时间ｘ（小时）的解析式是ｙ＝ ｍｘ＋ｃ， 则 １．５ｍ＋ｃ＝９０ ２．５ｍ＋ｃ{ ＝０，解得 ｍ＝－９０ｃ{ ＝２２５ ， ∴函数解析式是ｙ＝－９０ｘ＋２２５， 联立 ｙ＝４５ｘ ｙ＝－９０ｘ{ ＋２２５，解得ｘ＝５３． 则甲车从Ｎ地返回Ｍ地的途中与乙车相遇时，相 遇处到甲地的距离是４５ｘ＝４５×５３＝７５（千米）． （３）设两车出发ａ小时相距１０千米，甲到达 Ｎ地 前（９０÷１．５－４５）ａ＝１０，解得ａ＝２３； 甲车到达 Ｎ城后与乙车相遇前：－９０ａ＋２２５－ ４５ａ＝１０，解得ａ＝４３２７． ∴在甲、乙两车相遇之前，当两车相距１０千米时 甲车时间为 ２ ３或 ４３ ２７． ２３．解：（１）α＋β＝１８０°．理由： ∵∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＣ， ∴∠ＤＡＥ－∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＣ－∠ＣＡＤ，即∠ＢＡＤ＝ ∠ＣＡＥ． 又∵ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＡＥ，∴△ＡＢＤ≌△ＡＣＥ（ＳＡＳ）． ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＥ．在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＋∠ＡＢＣ＋ ∠ＡＣＢ＝１８０°，∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＥ， ∴∠ＢＡＣ＋∠ＡＣＢ＋∠ＡＣＥ＝１８０°． ∵∠ＡＣＢ＋∠ＡＣＥ＝∠ＤＣＥ＝β，∴α＋β＝１８０°． （２）α＝β．理由：∵∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＣ， ∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ． 又∵ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＡＥ， ∴△ＡＢＤ≌△ＡＣＥ（ＳＡＳ）．∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＥ． ∵∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＣ＋∠ＡＣＢ＝１８０°，∠ＡＣＢ＋ ∠ＡＣＤ＝１８０°， ∴∠ＡＣＤ＝∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＣ＝∠ＡＣＥ＋∠ＥＣＤ． ∴∠ＢＡＣ＝∠ＥＣＤ．∴α＝β． （３）α＝β． ·７３· ·７４· 题　 期末考试 诊断试题 号 一 二 三 总　分 得　分 时间：１２０分钟　　　　满分：１２０分 第一部分　选择题（共３０分） 一、选择题（本题共１０小题，每小题３分，共３０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的） １．下列计算正确的是 （　　） Ａ．ｘ２＋３ｘ２＝４ｘ４ Ｂ．ｘ２ｙ·２ｘ３＝２ｘ４ｙ Ｃ．６ｘ２ｙ２÷３ｘ＝２ｘ２ Ｄ．（－３ｘ）２＝９ｘ２ ２．有下列长度的三条线段，能组成三角形的是 （　　） Ａ．１ｃｍ、２ｃｍ、３ｃｍ Ｂ．１ｃｍ、４ｃｍ、２ｃｍ Ｃ．２ｃｍ、３ｃｍ、４ｃｍ Ｄ．６ｃｍ、２ｃｍ、３ｃｍ ３．下列图形中，是轴对称图形的是 （　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ４．如图，直线ａ∥ｂ，∠１＝１２０°，∠２＝４０°，则∠３等于 （　　） Ａ．６０° Ｂ．７０° Ｃ．８０° Ｄ．９０° 第４题图 　　　 第６题图 　　　 第７题图 ５．下列关于三角形的性质的说法中正确的是 （　　） Ａ．三角形的角平分线是射线 Ｂ．三角形的三条中线交于一点，并且这点在三角形内部 Ｃ．三角形的三条高所在的直线交于一点，这点不在三角形内部就在三角形外部 Ｄ．三角形的一个外角大于与它相邻的内角 ６．小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计 图，则符合这一结果的实验可能是 （　　） Ａ．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率 Ｂ．从一个装有２个白球和１个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同）， 摸到红球的概率 Ｃ．从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率 Ｄ．任意买一张电影票，座位号是２的倍数的概率 ７．如图，图象（折线ＯＥＦＰＭＮ）描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系，下列说法中错 误的是 （　　） Ａ．第３分时汽车的速度是４０ｋｍ／ｈ Ｂ．第１２分时汽车的速度是０ｋｍ／ｈ Ｃ．从第３分到第６分，汽车行驶了１２０ｋｍ／ｈ Ｄ．从第９分到第１２分，汽车的速度从６０ｋｍ／ｈ减少到０ｋｍ／ｈ ８．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出∠ＡＯＢ＝∠Ａ′Ｏ′Ｂ′的依据是 （　　） Ａ．ＳＡＳ Ｂ．ＡＳＡ Ｃ．ＡＡＳ Ｄ．ＳＳＳ 第８题图 　　　 第９题图 　　　 第１０题图 ９．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＤＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，则下列结论：①ＤＥ＝ＣＤ；②ＡＤ平 分∠ＣＤＥ；③∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＥ；④ＢＥ＋ＡＣ＝ＡＢ．其中正确的是 （　　） Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 １０．如图，在边长为２的正方形ＡＢＣＤ中剪去一个边长为１的小正方形ＣＥＦＧ，动点Ｐ从点Ａ出发， 沿Ａ→Ｄ→Ｅ→Ｆ→Ｇ→Ｂ的路线绕多边形的边匀速运动，到点Ｂ时停止（不含点Ａ和点Ｂ），则 △ＡＢＰ的面积Ｓ随着时间ｔ变化的图象大致为 （　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ·７５· ·７６· 第二部分　非选择题（共９０分） 二、填空题（本题共５小题，每小题３分，共１５分） １１．已知ａｍ＋１·ａ２ｍ－１＝ａ９，则ｍ＝　　　　． １２．如图，已知ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为∠ＢＡＣ的角平分线上的一点，连接ＢＤ，ＣＤ；如图２，已知ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ、Ｅ 为∠ＢＡＣ的角平分线上的两点，连接 ＢＤ，ＣＤ，ＢＥ，ＣＥ；如图３，已知 ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ、Ｅ、Ｆ为∠ＢＡＣ 的角平分线上的三点，连接 ＢＤ，ＣＤ，ＢＥ，ＣＥ，ＢＦ，ＣＦ；…，依此规律，第５个图形中全等三角形 的对数是　　　　． １３．如图，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成六等份，若在这个圆面上均匀地撒一把豆子，则豆 子落在阴影部分的概率是　　　　． 第１３题图 　　　　　　 第１４题图 １４．如图，一轮船从离Ａ港１６千米的Ｐ地出发向Ｂ港匀速行驶，４２分钟后离Ａ港３７千米（未到达 Ｂ港）．设ｘ小时后，轮船离Ａ港ｙ千米（未到达Ｂ港），则ｙ与ｘ之间的关系式为　　　　． １５．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ｂ＝３０°，以Ａ为圆心，任意长为半径画弧分别交ＡＢ、ＡＣ于点Ｍ 和Ｎ，再分别以Ｍ、Ｎ为圆心，大于１２ＭＮ的长为半径画弧，两弧交于点Ｐ，连接ＡＰ并延长交ＢＣ 于点Ｄ，有下列说法：①ＡＤ是∠ＢＡＣ的平分线；②∠ＡＤＣ＝６０°；③点Ｄ在ＡＢ的中垂线上．其中 正确说法的个数是　　　． 第１５题图 三、解答题（本题共８小题，共７５分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） １６．计算（每题５分，共１０分） （１）ｘ（ｘ＋２ｙ）－（ｘ＋１）２＋２ｘ；　　　　　　　　（２）（２ａ３ｂ２－４ａ４ｂ３＋６ａ５ｂ４）÷（－２ａ３ｂ２）． １７．（本小题８分） 先化简，再求值： （３ｘ＋２ｙ）２－（３ｘ－２ｙ）２＋２（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）－２ｘ（ｘ＋４ｙ），其中ｘ＝１，ｙ＝－１． ·７７· ·７８· １８．（本小题８分） 已知，如图，ＡＢ∥ＣＤ∥ＧＨ，ＥＧ平分∠ＢＥＦ，ＦＧ平分∠ＥＦＤ．求证：ＥＧ⊥ＦＧ． １９．（本小题８分） 如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，将边ＣＡ绕点Ｃ顺时针旋转９０°得到ＣＥ（即ＣＥ＝ＣＡ，∠ＡＣＥ＝ ９０°），将边ＣＢ绕点Ｃ逆时针旋转得到ＣＤ（即ＣＤ＝ＣＢ，∠ＢＣＤ＝９０°）．连接ＤＥ，延长ＢＣ交ＥＤ 于点Ｆ．求证：点Ｆ是ＥＤ的中点． ２０．（本小题８分） 一个口袋中放有２９０个涂有红、黑、白三种颜色的大小、质地均相同的小球．已知红球个数比黑 球个数的２倍多４０个，从袋中任取一个球是白球的概率是１２９． （１）求袋中红球的个数； （２）求从袋中任取一个球是黑球的概率． ２１．（本小题９分） 如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ，延长ＡＢ至点Ｄ，使ＤＢ＝ＡＢ，连接ＣＤ，以ＣＤ为直角 边作等腰三角形ＣＤＥ，其中∠ＤＣＥ＝９０°，连接ＢＥ． （１）求证：△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ； （２）若ＡＢ＝３ｃｍ，则ＢＥ＝　　　　ｃｍ； （３）ＢＥ与ＡＤ有何位置关系？请说明理由． ·７９· ·８０· ２２．（本小题１２分） 某运输公司派出甲、乙两车负责运送一批货物，已知两车同时从Ｍ城出发驶往Ｎ城，甲车到达 Ｎ城后立即按原路返回Ｍ城（卸载货物的时间忽略不计），乙车到达Ｎ城后停止，如图是甲车、 乙车离Ｍ城的距离ｙ（千米）与甲车行驶的时间ｘ（小时）的关系，请结合图象回答下列问题： （１）甲车返回Ｍ城的速度为　　　　千米／小时； （２）当甲车从Ｎ城返回Ｍ城的途中与乙车相遇时，相遇处离Ｍ城的距离为多少千米？ （３）在甲、乙两车相遇之前，当两车相距１０千米时甲车行驶时间为多少？ ２３．（本小题１２分） 在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是直线ＢＣ上一点，以 ＡＤ为一边在 ＡＤ的右侧作△ＡＤＥ，使 ＡＥ＝ＡＤ， ∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＣ，连接ＣＥ．设∠ＢＡＣ＝α，∠ＤＣＥ＝β． （１）如图１，点Ｄ在线段ＢＣ上移动时，请判断角α与β之间的数量关系，并说明理由． （２）如图２，点Ｄ在线段ＢＣ的延长线上移动时，请判断角α与β之间的数量关系，并说明理由． （３）当点Ｄ在线段ＢＣ的反向延长线上移动时，请在图３中画出完整图形并猜想角α与β之间 的数量关系是　　　　．