第5章 图形的轴对称 诊断试题-【典创-单元学情诊断卷】2024-2025学年新教材七年级下册数学（北师大版 2024）

·８５· ·８６· ∵△ＥＣＤ≌△ＦＢＤ，△ＢＤＦ的面积为３， ∴ＤＥ＝ＤＦ＝２，△ＥＣＤ的面积为３， ∴ＣＧ＝３×２２ ＝３， 则△ＡＥＣ的面积 ＝１２×ＡＥ×ＣＧ＝ １ ２×（６－２）× ３＝６． ２２．证明：（１）∵ＡＥ⊥ＡＢ，ＡＦ⊥ＡＣ， ∴∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＦ＝９０°， ∴∠ＢＡＥ＋∠ＢＡＣ＝∠ＣＡＦ＋∠ＢＡＣ， 即∠ＥＡＣ＝∠ＢＡＦ， 在△ＡＢＦ和△ＡＥＣ中， ∵ ＡＥ＝ＡＢ ∠ＥＡＣ＝∠ＢＡＦ ＡＦ＝{ ＡＣ ， ∴△ＡＢＦ≌△ＡＥＣ（ＳＡＳ）， ∴ＥＣ＝ＢＦ； （２）根据（１），△ＡＢＦ≌△ＡＥＣ，∴∠ＡＥＣ＝∠ＡＢＦ， ∵ＡＥ⊥ＡＢ，∴∠ＢＡＥ＝９０°，∴∠ＡＥＣ＋∠ＡＤＥ＝９０°， ∵∠ＡＤＥ＝∠ＢＤＭ， ∴∠ＡＢＦ＋∠ＢＤＭ＝９０°， 在△ＢＤＭ中，∠ＢＭＤ＝１８０°－∠ＡＢＦ－∠ＢＤＭ＝ １８０°－９０°＝９０°， ∴ＥＣ⊥ＢＦ． ２３．解： （１）∵∠ＡＣＢ＝９０°，∠Ｂ＝６０°． ∴∠ＢＡＣ＝３０°． ∵ＡＤ、ＣＥ分别是∠ＢＡＣ和∠ＢＣＡ的平分线， ∴∠ＤＡＣ＝１２∠ＢＡＣ＝１５°，∠ＥＣＡ＝ １ ２∠ＡＣＢ＝４５°． ∴∠ＥＦＡ＝∠ＤＡＣ＋∠ＥＣＡ＝１５°＋４５°＝６０°． （２）ＦＥ＝ＦＤ． 如图２，在ＡＣ上截取ＡＧ＝ＡＥ，连接ＦＧ． ∵ＡＤ是∠ＢＡＣ的平分线，∴∠ＥＡＦ＝∠ＧＡＦ， 在△ＥＡＦ和△ＧＡＦ中，∵ ＡＥ＝ＡＧ ∠ＥＡＦ＝∠ＦＡＧ， ＡＦ＝{ ＡＦ ∴△ＥＡＦ≌△ＧＡＦ（ＡＳＡ）， ∴ＦＥ＝ＦＧ，∠ＥＦＡ＝∠ＧＦＡ＝６０°， ∴∠ＧＦＣ＝１８０°－６０°－６０°＝６０°． 又∵∠ＤＦＣ＝∠ＥＦＡ＝６０°，∴∠ＤＦＣ＝∠ＧＦＣ． 在△ＦＤＣ和△ＦＧＣ中，∵ ∠ＤＦＣ＝∠ＧＦＣ ＦＣ＝ＦＣ ∠ＦＣＧ＝∠{ ＦＣＤ， ∴△ＦＤＣ≌△ＦＧＣ（ＡＳＡ），∴ＦＤ＝ＦＧ．∴ＦＥ＝ＦＤ． （３）（２）中的结论ＦＥ＝ＦＤ仍然成立． 如图３，在ＡＣ上截取ＡＨ＝ＡＥ，连接ＦＨ， 同（２）可得△ＥＡＦ≌△ＨＡＦ， ∴ＦＥ＝ＦＨ，∠ＥＦＡ＝∠ＨＦＡ． 又由（１）知∠ＦＡＣ＝１２∠ＢＡＣ，∠ＦＣＡ＝ １ ２∠ＡＣＢ， ∴∠ＦＡＣ＋∠ＦＣＡ＝１２（∠ＢＡＣ＋∠ＡＣＢ）＝６０°． ∴∠ＡＦＣ＝１８０°－（∠ＦＡＣ＋∠ＦＣＡ）＝１２０°， ∴∠ＥＦＡ＝∠ＨＦＡ＝１８０°－１２０°＝６０°． 同（２）可得△ＦＤＣ≌△ＦＨＣ，∴ＦＤ＝ＦＨ．∴ＦＥ＝ＦＤ． 第五章　图形的轴对称 一、选择题 １．Ｄ　２．Ｃ　３．Ｄ　４．Ｂ　５．Ｃ　６．Ｄ　７．Ｂ　８．Ｄ ９．Ａ　１０．Ａ 二、填空题 １１．３４　１２．２４　１３．３　１４．３２　１５．①②③ 三、解答题 １６．证明：在△ＡＢＣ中，∵ＡＢ＝ＡＣ，∴∠Ｂ＝∠Ｃ ∵点Ｄ是ＢＣ边上的中点，∴ＢＤ＝ＤＣ ∵ＤＥ、ＤＦ分别垂直ＡＢ、ＡＣ于点Ｅ和Ｆ， ∴∠ＢＥＤ＝∠ＣＦＤ＝９０°， 在△ＢＥＤ和△ＣＦＤ中，∵ ∠ＢＥＤ＝∠ＣＦＤ ∠Ｂ＝∠Ｃ ＢＤ＝{ ＤＣ ， ∴△ＢＥＤ≌△ＣＦＤ（ＡＡＳ）， ∴ＤＥ＝ＤＦ． １７．解：如图所示．到∠ＡＯＢ两边距离相等的点在这个角 的平分线上，而到宣传牌Ｃ、Ｄ的距离相等的点则在 线段ＣＤ的垂直平分线上，故交点Ｐ即为所求． １８．证明：∵∠ＡＣＢ＝９０°，∴ＡＣ⊥ＢＣ，又∵ＥＤ⊥ＡＢ， ＢＥ平分∠ＡＢＣ，∴ＣＥ＝ＤＥ，∵ＤＥ垂直平分ＡＢ， ∴ＡＥ＝ＢＥ，∵ＡＣ＝ＡＥ＋ＣＥ，∴ＢＥ＋ＤＥ＝ＡＣ． １９．解：根据题意可知， 直线ＭＮ是△ＢＭＮ与△ＤＭＮ的对称轴， ∴∠ＭＤＢ＝∠Ｂ＝２８°． ∵ＡＤ⊥ＤＭ， ∴∠ＡＤＭ＝９０°， ∴∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＭ＋∠ＭＤＢ＝９０°＋２８°＝１１８°． ∴在△ＡＤＢ中，∠ＢＡＤ＝１８０°－∠ＡＤＢ－∠Ｂ＝ １８０°－１１８°－２８°＝３４°． ２０．（１）证明：∵ＡＢ∥ＣＥ， ∴∠ＡＢＤ＝∠ＥＣＤ，∠ＢＡＣ＝∠ＡＣＥ， ∵∠Ａ＝∠ＡＢＤ， ∴∠ＥＣＤ＝∠ＡＣＥ， ∴ＣＥ平分∠ＡＣＤ； （２）解：∵ＣＥ平分∠ＡＣＤ， ∴∠ＡＣＥ＝∠ＥＣＤ＝６５° ∵∠ＥＢＣ＝３２°， ∴∠Ｅ＝∠ＥＣＤ－∠ＥＢＣ＝３３°． ２１．解：（１）∵ＰＤ＝ＰＡ，∴∠Ａ＝∠ＰＤＡ． ∵ＢＤ的垂直平分线交ＢＣ于点Ｅ， ∴∠ＥＤＢ＝∠ＥＢＤ， ∴∠ＰＤＥ＝１８０°－∠ＰＤＡ－∠ＥＤＢ＝１８０°－∠Ａ－ ∠ＥＢＤ＝∠Ｃ＝９０°． （２）∵ＢＤ的垂直平分线交ＢＣ于点Ｅ，∴ＥＤ＝ＥＢ． ∴四边形 ＣＰＤＥ的周长 ＝ＣＰ＋ＰＤ＋ＤＥ＋ＥＣ＝ ＣＰ＋ＰＡ＋ＥＢ＋ＥＣ＝ＡＣ＋ＢＣ＝７． ２２．解：（１）∵点 Ｃ，Ｄ分别是点 Ｐ关于 ＯＡ，ＯＢ的 对称点， ∴ＣＭ＝ＰＭ，ＮＤ＝ＰＮ．∵ＣＤ＝１８ｃｍ， ∴ＰＭ＋ＭＮ＋ＰＮ＝ＣＭ＋ＭＮ＋ＮＤ＝ＣＤ＝１８（ｃｍ）． 即△ＰＭＮ的周长是１８ｃｍ． （２）∵点Ｃ，Ｄ分别是点Ｐ关于ＯＡ，ＯＢ的对称点， ∴ＯＡ垂直平分ＰＣ，ＯＢ垂直平分ＰＤ， ∴∠Ｃ＝∠ＭＰＲ，∠Ｄ＝∠ＮＰＴ， ∴∠ＰＲＭ＝∠ＰＴＮ＝９０°． ∵四边形ＰＲＯＴ的４个内角之和为３６０°， ∴在四边形ＯＴＰＲ中，∠ＲＰＴ＋∠ＡＯＢ＝１８０°． ∵∠ＣＰＤ＋∠Ｃ＋∠Ｄ＝１８０°， ∴∠Ｃ＋∠Ｄ＝∠ＡＯＢ＝４８°， ∴∠ＭＰＮ＝１８０°－∠Ｃ－∠Ｄ－∠ＭＰＲ－∠ＮＰＴ＝ １８０°－４８°×２＝８４°． ２３．（１）证明：∵△ＡＢＣ是等边三角形， ∴∠ＡＢＱ＝∠ＣＡＰ，ＡＢ＝ＣＡ， 又∵点Ｐ、Ｑ运动速度相同，∴ＡＰ＝ＢＱ， 在△ＡＢＱ与△ＣＡＰ中，∵ ＡＢ＝ＣＡ ∠ＡＢＱ＝∠ＣＡＰ ＡＰ＝{ ＢＱ ， ∴△ＡＢＱ≌△ＣＡＰ（ＳＡＳ）； （２）解：点 Ｐ、Ｑ在运动的过程中，∠ＱＭＣ不变， 理由如下． ∵△ＡＢＱ≌△ＣＡＰ，∴∠ＢＡＱ＝∠ＡＣＰ，∠ＱＭＣ＝ ∠ＡＣＰ＋∠ＭＡＣ，∴∠ＱＭＣ＝∠ＢＡＱ＋∠ＭＡＣ＝ ∠ＢＡＣ＝６０°． （３）解：点 Ｐ、Ｑ在运动到终点后继续在射线 ＡＢ、 ＢＣ上运动时，∠ＱＭＣ不改变． 由（１）可得，△ＡＢＱ≌△ＣＡＰ，∴∠ＢＡＱ＝∠ＡＣＰ， ∵∠ＱＭＣ＝∠ＢＡＱ＋∠ＡＰＭ， ∴∠ＱＭＣ＝∠ＡＣＰ＋∠ＡＰＭ＝１８０°－∠ＰＡＣ ＝１８０°－６０°＝１２０°． 第二次月考卷 一、选择题 １．Ｄ　２．Ｃ　３．Ｂ　４．Ｄ　５．Ｂ　６．Ｄ　７．Ａ　８．Ｄ ９．Ａ　１０．Ａ 二、填空题 １１．９　１２．１２　１３．５０ｃｍ ２　１４．６１　１５．２或２０７ 三、解答题 １６．解：（１）原式＝［２ｘ＋（ｙ－３）］［２ｘ－（ｙ－３）］ ＝（２ｘ）２－（ｙ－３）２ ＝４ｘ２－ｙ２＋６ｙ－９； （２）原式＝６５０２－（６５０－２）×（６５０＋２） ＝６５０２－（６５０２－２２） ＝４． １７．解：原式＝ｘ２＋４ｘｙ＋４ｙ２－（４ｘ２－４ｘｙ＋ｙ２）－５ｙ２＝ －３ｘ２＋８ｘｙ－２ｙ２，当ｘ＝－１，ｙ＝２时，－３ｘ２＋８ｘｙ－ ２ｙ２＝－２７． １８．解：（１）Ｓ阴 ＝ａ（ａ＋ｂ）－ １ ４πａ ２－１４πｂ ２ ＝４－π４ ａ ２－１４πｂ ２＋ａｂ； （２）当ａ＝３，ｂ＝２时， Ｓ阴 ＝ ４－π ４ ×３ ２－π４×２ ２＋３×２＝１５－１３４π． １９．证明：∵ＡＦ＝ＣＤ， ∴ＡＦ＋ＦＣ＝ＦＣ＋ＣＤ，∴ＡＣ＝ＦＤ， 又∵∠１＝∠２，∠Ａ＝∠Ｄ．∴△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ（ＡＳＡ）． ２０．解：∵ＯＤ⊥ＣＤ， ∴∠ＯＤＣ＝９０° ∵ＡＢ∥ＣＤ， ∴∠ＯＢＡ＝∠ＯＤＣ＝９０° ∵相邻两平行线间的距离相等， ∴ＯＤ＝ＯＢ． 在△ＡＢＯ和△ＣＤＯ中， ∵ ∠ＯＢＡ＝∠ＯＤＣ ＯＢ＝ＯＤ ∠ＡＯＢ＝∠{ ＣＯＤ ∴△ＡＢＯ≌△ＣＤＯ（ＡＳＡ） ∴ＣＤ＝ＡＢ＝１５ｍ． ２１．（１）证明：∵ＡＣ⊥ＢＣ，ＢＤ⊥ＡＤ，∴∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０°， ∵ＡＣ＝ＢＤ，ＡＢ＝ＢＡ， ∴Ｒｔ△ＡＣＢ≌Ｒｔ△ＢＤＡ（ＨＬ）．∴ＡＤ＝ＢＣ． （２）解：成立．∵ＡＣ⊥ＢＣ，ＢＤ⊥ＡＤ， ∴∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０°， 在△ＡＣＯ和△ＢＤＯ中， ∵∠Ｃ＝∠Ｄ，∠ＣＯＡ＝∠ＤＯＢ，ＡＣ＝ＢＤ， ∴△ＡＣＯ≌△ＢＤＯ（ＡＡＳ）， ∴ＡＯ＝ＢＯ． ２２．（１）证明：∵△ＡＣＢ与△ＥＣＤ均为等腰直角三角形， ∴ＡＣ＝ＢＣ，ＣＥ＝ＣＤ，∠ＡＣＥ＝∠ＢＣＤ＝９０°． ∴△ＡＣＥ≌△ＢＣＤ（ＳＡＳ）； （２）解：ＡＥ⊥ＢＤ．理由如下： ∵△ＡＣＥ≌△ＢＣＤ，∴∠ＥＡＣ＝∠ＤＢＣ， 又∵∠ＤＢＣ＋∠ＣＤＢ＝９０°，∴∠ＥＡＣ＋∠ＣＤＢ＝９０°， ∴∠ＡＦＤ＝９０°，∴ＡＦ⊥ＢＤ，即直线ＡＥ与ＢＤ互相 垂直． ２３．解：（１）２５°　１１５°　小 （２）ＤＣ＝２时，△ＡＢＤ≌△ＤＣＥ． ∵∠Ｂ＝４０°，∠ＡＤＥ＝４０°， ∠Ｂ＋∠ＢＡＤ＝∠ＡＤＣ＝∠ＡＤＥ＋∠ＥＤＣ， ∴∠ＤＡＢ＝∠ＥＤＣ， ∵ＡＢ＝２，ＤＣ＝２ ∴ＡＢ＝ＤＣ 在△ＢＡＤ和△ＣＤＥ中， ·４９· ·５０· 题　 第五章 图形的轴对称 诊断试题 号 一 二 三 总　分 得　分 时间：１２０分钟　　　　满分：１２０分 第一部分　选择题（共３０分） 一、选择题（本题共１０小题，每小题３分，共３０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的） １．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是 （　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ２．如图，△ＡＯＤ关于直线进行轴对称变换后得到△ＢＯＣ，下列说法中不正确的是 （　　） Ａ．∠ＤＡＯ＝∠ＣＢＯ，∠ＡＤＯ＝∠ＢＣＯ Ｂ．直线垂直平分ＡＢ、ＣＤ Ｃ．△ＡＯＤ和△ＢＯＣ均是等腰三角形 Ｄ．ＡＤ＝ＢＣ，ＯＤ＝ＯＣ ３．下列说法正确的是 （　　） Ａ．能够完全重合的两个图形成轴对称 Ｂ．全等的两个图形成轴对称 Ｃ．形状一样的两个图形成轴对称 Ｄ．沿着一条直线对折能够重合的两个图形成轴对称 第２题图 　　　　　　 第４题图 ４．如图，是小明在平面镜里看到的电子钟示数，这时的实际时间是 （　　） Ａ．１２：０１ Ｂ．１０：５１ Ｃ．１０：２１ Ｄ．１５：１０ ５．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 ＡＣ＝５ｃｍ，ＢＣ＝１０ｃｍ，△ＡＢＣ折叠，使点 Ｂ与点 Ａ重 合，折痕为ＤＥ，则△ＡＣＤ的周长为 （　　） Ａ．１０ｃｍ Ｂ．１２ｃｍ Ｃ．１５ｃｍ Ｄ．２０ｃｍ ６．如图，直线ａ、ｂ被直线ｃ所截，交点分别为 Ｂ、Ｃ，且直线 ａ∥ｂ，ＢＰ平分∠ＡＢＣ，若∠１＝１２０°，则 ∠２的度数是 （　　） Ａ．１０５° Ｂ．１０８° Ｃ．１３５° Ｄ．１２０° 第５题图 　　　　 第６题图 　　　　 第７题图 ７．如图，在△ＡＢＣ中，∠１＝∠２，Ｇ为 ＡＤ的中点，延长 ＢＧ交 ＡＣ于 Ｅ，Ｆ为 ＡＢ上的一点，ＣＦ⊥ＡＤ 于Ｈ，下面判断正确的有 （　　） ①ＡＤ是△ＡＢＥ的角平分线；②ＢＥ是△ＡＢＤ的边ＡＤ上的中线；③ＣＨ是△ＡＣＤ的边ＡＤ上的高； ④ＡＨ是△ＡＣＦ的角平分线和高． Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 ８．如图，ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ分别是△ＡＢＣ的中线、高和角平分线，∠ＡＢＣ＝９０°，ＣＦ交ＡＤ于点Ｇ，交ＢＥ于 点Ｈ，则下列结论一定正确的是 （　　） Ａ．∠ＡＢＥ＝∠ＦＣＢ Ｂ．∠ＧＡＣ＝∠ＧＣＡ Ｃ．ＦＧ＝ＧＣ Ｄ．∠ＢＦＨ＝∠ＢＨＦ ９．已知△ＡＢＣ中，三边ａ，ｂ，ｃ满足｜ｂ－ｃ｜＋（ａ－ｂ）２＝０，则∠Ａ等于 （　　） Ａ．６０° Ｂ．４５° Ｃ．９０° Ｄ．不能确定 第８题图 　　　　　　 第１０题图 １０．如图，点Ｐ是∠ＡＯＢ外的一点，点Ｍ，Ｎ分别是∠ＡＯＢ两边上的点，点Ｐ关于ＯＡ的对称点Ｑ恰 好落在线段ＭＮ上，点 Ｐ关于 ＯＢ的对称点 Ｒ落在 ＭＮ的延长线上．若 ＰＭ＝２．５ｃｍ，ＰＮ＝ ３ｃｍ，ＭＮ＝４ｃｍ，则线段ＱＲ的长为 （　　） Ａ．４．５ｃｍ Ｂ．５．５ｃｍ Ｃ．６．５ｃｍ Ｄ．７ｃｍ ·５１· ·５２· 第二部分　非选择题（共９０分） 二、填空题（本题共５小题，每小题３分，共１５分） １１．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，沿 ＣＤ折叠△ＣＢＤ，使点 Ｂ恰好落在 ＡＣ边上的点 Ｅ处． 若∠Ａ＝２８°，则∠ＡＤＥ＝　　　　°． 第１１题图 　　　　　　 第１２题图 １２．如图，已知△ＡＢＣ中，ＡＣ＋ＢＣ＝２４，ＡＯ、ＢＯ分别是角平分线，且 ＭＮ∥ＢＡ，分别交 ＡＣ于 Ｎ、ＢＣ 于Ｍ，则△ ＣＭＮ的周长为　　　　． １３．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，ＤＣ＝３，则点Ｄ到ＡＢ的距离是　　　　． 第１３题图 　　　　　 第１４题图 　　　　　 第１５题图 １４．如图，Ｄ是△ＡＢＣ内一点，且 ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＣＤ⊥ＡＤ，连接 ＢＤ，若△ＡＢＤ的面积为１６，那么 △ＡＢＣ的面积是　　　　． １５．如图，Ｃ为线段ＡＥ上一动点（不与点Ａ，Ｅ重合），在ＡＥ同侧分别作等边△ＡＢＣ和等边△ＣＤＥ， ＡＤ与ＢＥ交于点Ｏ，ＡＤ与ＢＣ交于点Ｐ，ＢＥ与ＣＤ交于点Ｑ，连接ＰＱ．则下列结论：①ＡＤ＝ＢＥ； ②ＰＱ∥ＡＥ；③ＡＰ＝ＢＱ；④ＤＥ＝ＤＰ．其中正确的是　　　　． 三、解答题（本题共８小题，共７５分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） １６．（本小题８分） 如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｄ是 ＢＣ边上的中点，ＤＥ、ＤＦ分别垂直 ＡＢ、ＡＣ于点 Ｅ和Ｆ．求 证：ＤＥ＝ＤＦ． １７．（本小题８分） 如图，校园里有两条路ＯＡ、ＯＢ，在交叉口附近有两块宣传牌Ｃ、Ｄ，学校准备在这里安装一盏路 灯，要求灯柱的位置Ｐ离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯 柱的位置点Ｐ，并说明理由． １８．（本小题８分） 如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＢＥ平分∠ＡＢＣ，交ＡＣ于点Ｅ，ＤＥ垂直平分ＡＢ于点Ｄ，求证： ＢＥ＋ＤＥ＝ＡＣ． １９．（本小题８分） 如图，将△ＡＢＣ沿ＭＮ折叠，使点Ｂ落在Ｄ点处，连接ＡＤ．若ＡＤ⊥ＤＭ，∠Ｂ＝２８°，求∠ＢＡＤ的 度数． ·５３· ·５４· ２０．（本小题９分） 如图，点Ｃ在ＢＤ上，∠Ａ＝∠ＡＢＤ，ＡＢ∥ＣＥ． （１）求证：ＣＥ平分∠ＡＣＤ； （２）连接ＢＥ，若∠ＡＣＥ＝６５°，∠ＥＢＣ＝３２°，求∠Ｅ的度数． ２１．（本小题１０分） 如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，点Ｐ在 ＡＣ上，点 Ｄ在 ＡＢ上，ＰＤ＝ＰＡ，ＢＤ的垂直平分线交 ＢＣ 于点Ｅ，交ＢＤ于点Ｆ，连接ＤＥ． （１）求∠ＰＤＥ的度数； （２）若ＡＣ＝３，ＢＣ＝４，求四边形ＣＰＤＥ的周长． ·５５· ·５６· ２２．（本小题１２分） 如图，点Ｐ关于ＯＡ，ＯＢ的对称点分别为Ｃ，Ｄ，连接ＣＤ，交ＯＡ于点Ｍ，交ＯＢ于点Ｎ，连接ＰＣ 交ＯＡ于点Ｒ，连接ＰＤ交ＯＢ于点Ｔ，连接ＰＭ，ＰＮ． （１）若ＣＤ的长为１８ｃｍ，求△ＰＭＮ的周长； （２）若∠ＡＯＢ＝４８°，四边形ＰＲＯＴ的４个内角之和为３６０°，求∠ＭＰＮ． ２３．（本小题１２分） 如图１，点Ｐ、Ｑ分别是等边△ＡＢＣ边ＡＢ、ＢＣ上的动点（端点除外），点Ｐ从顶点Ａ、点Ｑ从顶点 Ｂ同时出发，且它们的运动速度相同，连接ＡＱ、ＣＰ交于点Ｍ． （１）求证：△ＡＢＱ≌△ＣＡＰ； （２）当点Ｐ、Ｑ分别在ＡＢ、ＢＣ边上运动时，∠ＱＭＣ变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出 它的度数； （３）如图２，若点 Ｐ、Ｑ在运动到终点后继续在射线 ＡＢ、ＢＣ上运动，直线 ＡＱ、ＣＰ交点为 Ｍ，则 ∠ＱＭＣ变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数． 图１ 　　　 图２