第4章 三角形 诊断试题-【典创-单元学情诊断卷】2024-2025学年新教材七年级下册数学（北师大版 2024）

·４１· ·４２· 题　 第四章 三角形 诊断试题 号 一 二 三 总　分 得　分 时间：１２０分钟　　　　满分：１２０分 第一部分　选择题（共３０分） 一、选择题（本题共１０小题，每小题３分，共３０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的） １．如图所示的图形中共有三角形 （　　） Ａ．３个 Ｂ．４个 Ｃ．５个 Ｄ．６个 第１题图 　　　　　　 第２题图 ２．如图，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＤ!ＢＣ，则图中互余的角有 （　　） Ａ．２对 Ｂ．３对 Ｃ．４对 Ｄ．５对 ３．如果将长度为ａ－２、ａ＋５和ａ＋２的三条线段首尾顺次相接可以得到一个三角形，那么ａ的取 值范围是 （　　） Ａ．ａ＞－１ Ｂ．ａ＞２ Ｃ．ａ＞５ Ｄ．无法确定 ４．在下列条件中：①∠Ａ＋∠Ｂ＝∠Ｃ，②∠Ａ∶∠Ｂ∶∠Ｃ＝１∶５∶６，③∠Ａ＝９０°－∠Ｂ，④∠Ａ＝∠Ｂ＝ １ ２∠Ｃ中，能确定△ＡＢＣ是直角三角形的条件有 （　　） Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 ５．如图，△ＡＢＣ≌△ＥＤＦ，ＡＦ＝２０，ＥＣ＝８，则ＡＥ等于 （　　） Ａ．６ Ｂ．８ Ｃ．１０ Ｄ．１２ 第５题图 　　　　　　 第６题图 ６．如图，在下列条件中，不能证明△ＡＢＤ≌△ＡＣＤ的条件是 （　　） Ａ．∠Ｂ＝∠Ｃ，ＢＤ＝ＤＣ Ｂ．∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＣ，ＢＤ＝ＤＣ Ｃ．∠Ｂ＝∠Ｃ，∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ Ｄ．ＢＤ＝ＤＣ，ＡＢ＝ＡＣ ７．如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的 玻璃，那么最省事的办法是 （　　） Ａ．带①去 Ｂ．带②去 Ｃ．带③去 Ｄ．带①和②去 第７题图 　　 第８题图 　　 第９题图 ８．如图，ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，ＤＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，Ｓ△ＡＢＣ＝７，ＤＥ＝２，ＡＢ＝４，则ＡＣ长是 （　　） Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．５ ９．如图，△ＡＢＣ的面积为１６ｃｍ２，ＡＰ垂直∠Ｂ的平分线ＢＰ于Ｐ，则△ＰＢＣ的面积为 （　　） Ａ．４ｃｍ２ Ｂ．６ｃｍ２ Ｃ．８ｃｍ２ Ｄ．１０ｃｍ２ １０．如图，△ＡＢＣ的三个顶点和它内部的点Ｐ１，把△ＡＢＣ分成３个互不重叠的小三角形；△ＡＢＣ的 三个顶点和它内部的点Ｐ１，Ｐ２，把△ＡＢＣ分成５个互不重叠的小三角形；△ＡＢＣ的三个顶点和 它内部的点Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３，把△ＡＢＣ分成７个互不重叠的小三角形；△ＡＢＣ的三个顶点和它内部 的点Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３，…，Ｐｎ，把△ＡＢＣ分成互不重叠的小三角形共 （　　） Ａ．２ｎ个 Ｂ．２ｎ＋１个 Ｃ．２ｎ－１个 Ｄ．２（ｎ＋１）个 第１０题图 第二部分　非选择题（共９０分） 二、填空题（本题共５小题，每小题３分，共１５分） １１．如图，△ＡＢＣ≌△ＡＤＥ，∠Ｂ＝８０°，∠Ｃ＝３０°，∠ＤＡＣ＝２５°，则∠ＥＡＣ＝　　　　． 第１１题图 　　　　　　 第１３题图 ·４３· ·４４· １２．在△ＡＢＣ中，若∠Ａ∶∠Ｂ∶∠Ｃ＝１∶３∶５，这个三角形为　　　　三角形．（按角的分类） １３．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，过点Ｅ作ＡＣ的垂线ＤＥ，连接ＡＤ．若ＡＤ⊥ＡＢ，ＡＤ＝ＡＢ，ＢＣ＝３， ＤＥ＝７，则ＣＥ的长为　　　　． １４．如图，△ＡＢＣ中，已知点Ｄ，Ｅ分别为ＢＣ，ＡＤ的中点，若Ｓ△ＡＥＣ＝１，则Ｓ△ＡＢＣ＝　　　　． 第１４题图 　　　　　　 第１５题图 １５．如图，在△ＡＢＣ，△ＡＤＥ中，∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＡＥ，点 Ｃ，Ｄ，Ｅ在同一条直线 上，连接ＢＤ，ＢＥ．有以下四个结论：①ＢＤ＝ＣＥ；②ＢＤ⊥ＣＥ；③∠ＡＣＥ＋∠ＤＢＣ＝４５°；④∠ＡＣＥ＝ ∠ＤＢＣ．其中结论正确的是　　　　．（填序号） 三、解答题（本题共８小题，共７５分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） １６．（本小题８分） 如图，点Ｅ、Ｃ、Ｄ、Ａ在同一条直线上，ＡＢ∥ＤＦ，ＥＤ＝ＡＢ，∠Ｅ＝∠ＣＰＤ．求证：ＢＣ＝ＥＦ． １７．（本小题８分） 如图，在△ＡＢＣ中，ＡＥ⊥ＢＣ于点 Ｅ，ＡＤ为∠ＢＡＣ的平分线，∠Ｂ＝４０°，∠Ｃ＝７０°，求∠ＤＡＥ的 度数． １８．（本小题８分） 小良同学用１０块高度都是２ｃｍ的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间 刚好可以放进一个等腰直角三角形（ＡＣ＝ＢＣ，∠ＡＣＢ＝９０°），点 Ｃ在 ＤＥ上，点 Ａ和点 Ｂ分别 与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离． １９．（本小题８分） 已知：如图，Ｃ为ＢＥ上一点，点Ａ、Ｄ分别在ＢＥ两侧，ＡＢ∥ＥＤ，ＡＢ＝ＣＥ，ＢＣ＝ＥＤ． 求证：ＡＣ＝ＣＤ． ·４５· ·４６· ２０．（本小题９分） 如图，点Ｂ，Ｆ，Ｃ，Ｅ在一条直线上，ＡＣ∥ＦＤ，ＡＢ∥ＥＤ，ＡＤ与 ＢＥ交于点 Ｏ，且点 Ｏ是 ＢＥ的中 点．写出图中的全等三角形（不再添加辅助线），并说明理由． ２１．（本小题１０分） 如图，ＡＤ是的△ＡＢＣ中线，Ｅ，Ｆ分别是ＡＤ和ＡＤ延长线上的点，且ＣＥ∥ＢＦ． （１）△ＥＣＤ与△ＦＢＤ全等吗？请说明你的理由； （２）若ＡＤ＝６，ＤＦ＝２，△ＢＤＦ的面积为３，请直接写出△ＡＥＣ的面积． ·４７· ·４８· ２２．（本小题１２分） 如图所示，已知ＡＥ⊥ＡＢ，ＡＦ⊥ＡＣ，ＡＥ＝ＡＢ，ＡＦ＝ＡＣ． 求证：（１）ＥＣ＝ＢＦ；（２）ＥＣ⊥ＢＦ． ２３．（本小题１２分） 如图１，ＯＰ是∠ＭＯＮ的平分线，请你利用该图形画一对以ＯＰ所在直线为对称轴的全等三角 形，并将添加的全等条件标注在图上．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （１）如图２，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ是直角，∠Ｂ＝６０°，ＡＤ、ＣＥ分别是∠ＢＡＣ和∠ＢＣＡ的平分线， ＡＤ、ＣＥ相交于点Ｆ，求∠ＥＦＡ的度数； （２）在（１）的条件下，请判断ＦＥ与ＦＤ之间的数量关系，并说明理由； （３）如图３，在△ＡＢＣ中，如果∠ＡＣＢ不是直角，而（１）中的其他条件不变，试问在（２）中所得结 论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． ·８３· ·８４· 由题意得，ｘ＋２ｘ－１＋４＋５＝５０， 解得ｘ＝１４， ２ｘ－１＝２７． 即标有“８元”的小球有１４个，则标有“２元”的小 球有２７个， ∴小明获得奖品的概率是５０－５５０ ＝ ９ １０， ∵共有５０个小球，标有“８元”的有１４个， ∴获得“８元”奖品的概率为１４５０＝ ７ ２５． １９．解：（１）∵红灯４０ｓ、绿灯６０ｓ、黄灯３ｓ， ∵６０＞４０， ∴他遇到绿灯的概率大． （２）遇到绿灯的概率＝ ６０４０＋６０＋３＝ ６０ １０３． ２０．解：（１）指针指向３的倍数的概率为２６＝ １ ３； （２）这个游戏不公平，理由如下： ∵偶数有２个，奇数有４个， ∴小明胜利的概率是２６＝ １ ３，小亮胜利的概率是 ４ ６＝ ２ ３，∵ ２ ３＞ １ ３，∴小亮胜利的可能性大， ∴这个游戏不公平． ２１．解：（１）根据题意可得，Ｐ（打九折） ＝ ９０° ３６０°＝ １ ４； Ｐ（打八折）＝ ６０° ３６０°＝ １ ６； （２）∵２００×８０％＝１６０（元）， ２００×９０％＝１８０（元）， ２００＋１６０＝３６０（元），１８０×２＝３６０（元）， ∴他俩获得优惠的情况分为：①一个不打折，一个 打八折；②都打九折． ２２．解：（１）３０　２０　（２）１２ （３）依题意，有１８＝ ２０ｘ １０００×３０＋８００×５０＋２０ｘ， 解得ｘ＝５００． ∴每张乒乓球门票的价格为５００元． ２３．解：（１）在此左转的车辆数为５０００×３１０＝１５００（辆）， 在此右转的车辆数为５０００×２５＝２０００（辆），在此直 行的车辆数为５０００×３１０＝１５００（辆）． （２）根据频率估计概率的知识，得Ｐ（汽车向左转）＝３１０， Ｐ（汽车向右转）＝２５，Ｐ（汽车直行）＝ ３ １０． ∴可调整绿灯亮的时间如下：左转绿灯亮的时间为９０× ３ １０＝２７（ｓ），右转绿灯亮的时间为９０× ２ ５＝３６（ｓ），直行 绿灯亮的时间为９０×３１０＝２７（ｓ）． 期中测试卷 一、选择题 １．Ａ　２．Ｃ　３．Ｃ　４．Ｂ　５．Ａ　６．Ｄ　７．Ｃ　８．Ｄ ９．Ｂ　１０．Ｂ 二、填空题 １１．５　１２．６７°　１３．４５　１４．ＡＢ １５．（ｎ＋３）２－ｎ２＝３（２ｎ＋３） 三、解答题 １６．解：（１）原式＝２ｘ２－３ｘｙ＋１；（２）原式＝２ｘｙ－１． １７．解：原式＝（４ｘ２＋４ｘｙ＋ｙ２－ｙ２－４ｘｙ－８ｘｙ）÷（－２ｘ） ＝（４ｘ２－８ｘｙ）÷（－２ｘ）＝－２ｘ＋４ｙ． 当ｘ＝２，ｙ＝－１时， 原式＝－２×２＋４×（－１）＝－４－４＝－８． １８．证明：∵∠１＝１２０°，∴∠ＣＥＢ＝∠１＝１２０°， ∵∠Ｃ＝６０°，∴∠ＣＥＢ＋∠Ｃ＝６０°＋１２０°＝１８０°， ∴ＡＢ∥ＣＤ． １９．解：（１）∵ｍ＋ｎ＝３，ｍｎ＝２， ∴原式＝ａｍ＋ｎ－ａｍｎ＝ａ３－ａ２， 当ａ＝２时，原式＝８－４＝４． （２）∵ｍ＋ｎ＝３，ｍｎ＝２， ∴（ｍ－ｎ）２＝（ｍ＋ｎ）２－４ｍｎ＝９－８＝１， ∴原式＝１＋ｍｎ－４（ｍ＋ｎ）＋１６＝１＋２－１２＋１６ ＝７． ２０．解：（１）若小明获胜，则小颖需要抽到１或２或３， 故小明获胜的概率是 ３ ８－１＝ ３ ７， 若小颖获胜，则小颖需要抽到５或６或７或８，故 小颖获胜的概率是 ４ ８－１＝ ４ ７； （２）若小明获胜，则小颖需要抽到１或２或３或４ 或５，故小明获胜的概率为：５８－１＝ ５ ７， 若小颖获胜，则小颖需要抽到７或８，故小颖获胜 的概率为 ２ ８－１＝ ２ ７， 即小明、小颖获胜的概率分别是 ５ ７， ２ ７． ２１．解：（１）由题意得，大矩形的长为ｍ＋５ｎ，宽为ｍ＋ ２ｎ， ∵大矩形的长是宽的３２， ∴ｍ＋５ｎ＝３２（ｍ＋２ｎ）， 化简，得ｍ＝４ｎ； （２）∵大矩形的面积为（ｍ＋２ｎ）（ｍ＋５ｎ）＝ｍ２＋ ７ｍｎ＋１０ｎ２，大矩形的面积为１８，ｍ＝４ｎ， ∴１６ｎ２＋２８ｎ２＋１０ｎ２＝５４ｎ２＝１８， 解得ｎ２＝１３， ∴阴影部分的面积为１８－７ｍｎ＝１８－２８ｎ２＝２６３． ２２．解：（１）∠２＝∠１＋∠３，理由如下： 过点Ｐ作ＰＥ∥ｌ１， ∵ｌ１∥ｌ２， ∴ｌ１∥ＰＥ∥ｌ２， ∴∠１＝∠ＡＰＥ，∠３＝∠ＢＰＥ， ∵∠２＝∠ＡＰＥ＋∠ＢＰＥ， ∴∠２＝∠１＋∠３． （２）上述结论不成立．新结论：∠２＝∠１－∠３，理 由如下： 过点Ｐ作ＰＥ∥ｌ１． ∵ｌ１∥ｌ２， ∴ｌ１∥ＰＥ∥ｌ２， ∴∠ＡＰＥ＝∠１，∠３＝∠ＢＰＥ， ∵∠ＡＰＥ＝∠２＋∠ＢＰＥ， ∴∠１＝∠２＋∠３，即∠２＝∠１－∠３． ２３．解：（１）∵ｘ＋ｙ＝８，ｘｙ＝１２， ∴ｘ２＋ｙ２＝（ｘ＋ｙ）２－２ｘｙ＝８２－２×１２＝４０． （２）设ＡＢ＝ｘｍ，ＡＤ＝ｙｍ， 则２（ｘ＋ｙ）＝１４０，∴ｘ＋ｙ＝７０． ∵ｘ２＋ｙ２＝２５００， ∴２ｘｙ＝（ｘ＋ｙ）２－（ｘ２＋ｙ２）＝７０２－２５００＝２４００， ∴ｘｙ＝１２００． 故长方形院子ＡＢＣＤ的面积为１２００ｍ２． 第四章　三角形 一、选择题 １．Ｄ　２．Ｃ　３．Ｃ　４．Ｄ　５．Ａ　６．Ａ　７．Ｃ　８．Ａ ９．Ｃ　１０．Ｂ 二、填空题 １１．４５°　１２．钝角　１３．４　１４．４　１５．①②③ 三、解答题 １６．证明：∵ＡＢ／／ＤＦ，∴∠Ｂ＝∠ＣＰＤ，∠Ａ＝∠ＦＤＥ， ∵∠Ｅ＝∠ＣＰＤ，∴∠Ｅ＝∠Ｂ， 在△ＡＢＣ和△ＤＥＦ中，∵ ∠Ｂ＝∠Ｅ ＡＢ＝ＥＤ ∠Ａ＝∠ＦＤＥ{ ，， ∴△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ（ＡＳＡ），∴ＢＣ＝ＥＦ． １７．解：在△ＡＢＣ中，∵∠Ｂ＝４０°，∠Ｃ＝７０°， ∴∠ＢＡＣ＝１８０°－∠Ｂ－∠Ｃ＝７０°． ∵ＡＤ为∠ＢＡＣ的平分线， ∴∠ＣＡＤ＝１２∠ＢＡＣ＝３５°． ∵ＡＥ⊥ＢＣ， ∴∠ＡＥＣ＝９０°． ∴∠ＣＡＥ＝９０°－∠Ｃ＝２０°． ∴∠ＤＡＥ＝∠ＣＡＤ－∠ＣＡＥ＝１５°． １８．解：由题意，得 ＡＣ＝ＢＣ，∠ＡＣＢ＝９０，ＡＤ⊥ＤＥ，ＢＥ⊥ＤＥ， ∴∠ＡＤＣ＝∠ＣＥＢ＝９０° ∴∠ＡＣＤ＋∠ＥＣＢ＝９０°，∠ＡＣＤ＋∠ＤＡＣ＝９０°， ∴∠ＥＣＢ＝∠ＤＡＣ． 在△ＡＤＣ和△ＣＥＢ中， ∵∠ＡＤＣ＝∠ＣＥＢ，∠ＤＡＣ＝∠ＥＣＢ，ＡＣ＝ＢＣ， ∴△ＡＤＣ≌△ＣＥＢ（ＡＡＳ）， ∴ＡＤ＝ＥＣ＝６ｃｍ，ＤＣ＝ＢＥ＝１４ｃｍ， ∴ＤＥ＝ＤＣ＋ＣＥ＝２０ｃｍ． 即两堵木墙之间的距离为２０ｃｍ． １９．证明：∵ＡＢ∥ＥＤ， ∴∠ＡＢＣ＝∠Ｅ， 在△ＡＢＣ和△ＣＥＤ中， ∵ ＡＢ＝ＣＥ ∠ＡＢＣ＝∠Ｅ， ＢＣ＝{ ＥＤ ∴△ＡＢＣ≌△ＣＥＤ（ＳＡＳ）， ∴ＡＣ＝ＣＤ． ２０．解：△ＡＯＢ≌△ＤＯＥ，△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ， △ＡＯＣ≌△ＤＯＦ，理由如下： ∵点Ｏ是ＢＥ的中点， ∴ＢＯ＝ＯＥ， ∵ＡＢ∥ＤＥ， ∴∠Ｂ＝∠Ｅ， ∴∠ＡＯＢ＝∠ＤＯＥ（ＳＡＳ）， ∴ＡＢ＝ＤＥ， ∵ＡＣ∥ＤＦ， ∴∠ＡＣＢ＝∠ＤＦＥ， 又∵∠Ｂ＝∠Ｅ， ∴△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ（ＡＡＳ），∴ＤＦ＝ＡＣ， ∵∠ＡＣＢ＝∠ＤＦＥ，∠ＡＯＣ＝∠ＤＯＦ， ∴△ＡＯＣ≌△ＤＯＦ（ＡＡＳ）． ２１．解：（１）△ＥＣＤ≌△ＦＢＤ， 理由如下： ∵Ｄ是△ＡＢＣ的中线， ∴ＢＤ＝ＣＤ， ∵ＣＥ∥ＢＦ， ∴∠ＥＣＤ＝∠ＦＢＤ， 在△ＥＣＤ和△ＦＢＤ中， ∵ ∠ＥＣＤ＝∠ＦＢＤ ＣＤ＝ＢＤ ∠ＣＤＥ＝∠{ ＢＤＦ ∴△ＥＣＤ≌△ＦＢＤ（ＡＳＡ）． （２）过点Ｃ作ＣＧ⊥ＡＦ交ＡＦ于点Ｇ，如图： ·８５· ·８６· ∵△ＥＣＤ≌△ＦＢＤ，△ＢＤＦ的面积为３， ∴ＤＥ＝ＤＦ＝２，△ＥＣＤ的面积为３， ∴ＣＧ＝３×２２ ＝３， 则△ＡＥＣ的面积 ＝１２×ＡＥ×ＣＧ＝ １ ２×（６－２）× ３＝６． ２２．证明：（１）∵ＡＥ⊥ＡＢ，ＡＦ⊥ＡＣ， ∴∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＦ＝９０°， ∴∠ＢＡＥ＋∠ＢＡＣ＝∠ＣＡＦ＋∠ＢＡＣ， 即∠ＥＡＣ＝∠ＢＡＦ， 在△ＡＢＦ和△ＡＥＣ中， ∵ ＡＥ＝ＡＢ ∠ＥＡＣ＝∠ＢＡＦ ＡＦ＝{ ＡＣ ， ∴△ＡＢＦ≌△ＡＥＣ（ＳＡＳ）， ∴ＥＣ＝ＢＦ； （２）根据（１），△ＡＢＦ≌△ＡＥＣ，∴∠ＡＥＣ＝∠ＡＢＦ， ∵ＡＥ⊥ＡＢ，∴∠ＢＡＥ＝９０°，∴∠ＡＥＣ＋∠ＡＤＥ＝９０°， ∵∠ＡＤＥ＝∠ＢＤＭ， ∴∠ＡＢＦ＋∠ＢＤＭ＝９０°， 在△ＢＤＭ中，∠ＢＭＤ＝１８０°－∠ＡＢＦ－∠ＢＤＭ＝ １８０°－９０°＝９０°， ∴ＥＣ⊥ＢＦ． ２３．解： （１）∵∠ＡＣＢ＝９０°，∠Ｂ＝６０°． ∴∠ＢＡＣ＝３０°． ∵ＡＤ、ＣＥ分别是∠ＢＡＣ和∠ＢＣＡ的平分线， ∴∠ＤＡＣ＝１２∠ＢＡＣ＝１５°，∠ＥＣＡ＝ １ ２∠ＡＣＢ＝４５°． ∴∠ＥＦＡ＝∠ＤＡＣ＋∠ＥＣＡ＝１５°＋４５°＝６０°． （２）ＦＥ＝ＦＤ． 如图２，在ＡＣ上截取ＡＧ＝ＡＥ，连接ＦＧ． ∵ＡＤ是∠ＢＡＣ的平分线，∴∠ＥＡＦ＝∠ＧＡＦ， 在△ＥＡＦ和△ＧＡＦ中，∵ ＡＥ＝ＡＧ ∠ＥＡＦ＝∠ＦＡＧ， ＡＦ＝{ ＡＦ ∴△ＥＡＦ≌△ＧＡＦ（ＡＳＡ）， ∴ＦＥ＝ＦＧ，∠ＥＦＡ＝∠ＧＦＡ＝６０°， ∴∠ＧＦＣ＝１８０°－６０°－６０°＝６０°． 又∵∠ＤＦＣ＝∠ＥＦＡ＝６０°，∴∠ＤＦＣ＝∠ＧＦＣ． 在△ＦＤＣ和△ＦＧＣ中，∵ ∠ＤＦＣ＝∠ＧＦＣ ＦＣ＝ＦＣ ∠ＦＣＧ＝∠{ ＦＣＤ， ∴△ＦＤＣ≌△ＦＧＣ（ＡＳＡ），∴ＦＤ＝ＦＧ．∴ＦＥ＝ＦＤ． （３）（２）中的结论ＦＥ＝ＦＤ仍然成立． 如图３，在ＡＣ上截取ＡＨ＝ＡＥ，连接ＦＨ， 同（２）可得△ＥＡＦ≌△ＨＡＦ， ∴ＦＥ＝ＦＨ，∠ＥＦＡ＝∠ＨＦＡ． 又由（１）知∠ＦＡＣ＝１２∠ＢＡＣ，∠ＦＣＡ＝ １ ２∠ＡＣＢ， ∴∠ＦＡＣ＋∠ＦＣＡ＝１２（∠ＢＡＣ＋∠ＡＣＢ）＝６０°． ∴∠ＡＦＣ＝１８０°－（∠ＦＡＣ＋∠ＦＣＡ）＝１２０°， ∴∠ＥＦＡ＝∠ＨＦＡ＝１８０°－１２０°＝６０°． 同（２）可得△ＦＤＣ≌△ＦＨＣ，∴ＦＤ＝ＦＨ．∴ＦＥ＝ＦＤ． 第五章　图形的轴对称 一、选择题 １．Ｄ　２．Ｃ　３．Ｄ　４．Ｂ　５．Ｃ　６．Ｄ　７．Ｂ　８．Ｄ ９．Ａ　１０．Ａ 二、填空题 １１．３４　１２．２４　１３．３　１４．３２　１５．①②③ 三、解答题 １６．证明：在△ＡＢＣ中，∵ＡＢ＝ＡＣ，∴∠Ｂ＝∠Ｃ ∵点Ｄ是ＢＣ边上的中点，∴ＢＤ＝ＤＣ ∵ＤＥ、ＤＦ分别垂直ＡＢ、ＡＣ于点Ｅ和Ｆ， ∴∠ＢＥＤ＝∠ＣＦＤ＝９０°， 在△ＢＥＤ和△ＣＦＤ中，∵ ∠ＢＥＤ＝∠ＣＦＤ ∠Ｂ＝∠Ｃ ＢＤ＝{ ＤＣ ， ∴△ＢＥＤ≌△ＣＦＤ（ＡＡＳ）， ∴ＤＥ＝ＤＦ． １７．解：如图所示．到∠ＡＯＢ两边距离相等的点在这个角 的平分线上，而到宣传牌Ｃ、Ｄ的距离相等的点则在 线段ＣＤ的垂直平分线上，故交点Ｐ即为所求． １８．证明：∵∠ＡＣＢ＝９０°，∴ＡＣ⊥ＢＣ，又∵ＥＤ⊥ＡＢ， ＢＥ平分∠ＡＢＣ，∴ＣＥ＝ＤＥ，∵ＤＥ垂直平分ＡＢ， ∴ＡＥ＝ＢＥ，∵ＡＣ＝ＡＥ＋ＣＥ，∴ＢＥ＋ＤＥ＝ＡＣ． １９．解：根据题意可知， 直线ＭＮ是△ＢＭＮ与△ＤＭＮ的对称轴， ∴∠ＭＤＢ＝∠Ｂ＝２８°． ∵ＡＤ⊥ＤＭ， ∴∠ＡＤＭ＝９０°， ∴∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＭ＋∠ＭＤＢ＝９０°＋２８°＝１１８°． ∴在△ＡＤＢ中，∠ＢＡＤ＝１８０°－∠ＡＤＢ－∠Ｂ＝ １８０°－１１８°－２８°＝３４°． ２０．（１）证明：∵ＡＢ∥ＣＥ， ∴∠ＡＢＤ＝∠ＥＣＤ，∠ＢＡＣ＝∠ＡＣＥ， ∵∠Ａ＝∠ＡＢＤ， ∴∠ＥＣＤ＝∠ＡＣＥ， ∴ＣＥ平分∠ＡＣＤ； （２）解：∵ＣＥ平分∠ＡＣＤ， ∴∠ＡＣＥ＝∠ＥＣＤ＝６５° ∵∠ＥＢＣ＝３２°， ∴∠Ｅ＝∠ＥＣＤ－∠ＥＢＣ＝３３°． ２１．解：（１）∵ＰＤ＝ＰＡ，∴∠Ａ＝∠ＰＤＡ． ∵ＢＤ的垂直平分线交ＢＣ于点Ｅ， ∴∠ＥＤＢ＝∠ＥＢＤ， ∴∠ＰＤＥ＝１８０°－∠ＰＤＡ－∠ＥＤＢ＝１８０°－∠Ａ－ ∠ＥＢＤ＝∠Ｃ＝９０°． （２）∵ＢＤ的垂直平分线交ＢＣ于点Ｅ，∴ＥＤ＝ＥＢ． ∴四边形 ＣＰＤＥ的周长 ＝ＣＰ＋ＰＤ＋ＤＥ＋ＥＣ＝ ＣＰ＋ＰＡ＋ＥＢ＋ＥＣ＝ＡＣ＋ＢＣ＝７． ２２．解：（１）∵点 Ｃ，Ｄ分别是点 Ｐ关于 ＯＡ，ＯＢ的 对称点， ∴ＣＭ＝ＰＭ，ＮＤ＝ＰＮ．∵ＣＤ＝１８ｃｍ， ∴ＰＭ＋ＭＮ＋ＰＮ＝ＣＭ＋ＭＮ＋ＮＤ＝ＣＤ＝１８（ｃｍ）． 即△ＰＭＮ的周长是１８ｃｍ． （２）∵点Ｃ，Ｄ分别是点Ｐ关于ＯＡ，ＯＢ的对称点， ∴ＯＡ垂直平分ＰＣ，ＯＢ垂直平分ＰＤ， ∴∠Ｃ＝∠ＭＰＲ，∠Ｄ＝∠ＮＰＴ， ∴∠ＰＲＭ＝∠ＰＴＮ＝９０°． ∵四边形ＰＲＯＴ的４个内角之和为３６０°， ∴在四边形ＯＴＰＲ中，∠ＲＰＴ＋∠ＡＯＢ＝１８０°． ∵∠ＣＰＤ＋∠Ｃ＋∠Ｄ＝１８０°， ∴∠Ｃ＋∠Ｄ＝∠ＡＯＢ＝４８°， ∴∠ＭＰＮ＝１８０°－∠Ｃ－∠Ｄ－∠ＭＰＲ－∠ＮＰＴ＝ １８０°－４８°×２＝８４°． ２３．（１）证明：∵△ＡＢＣ是等边三角形， ∴∠ＡＢＱ＝∠ＣＡＰ，ＡＢ＝ＣＡ， 又∵点Ｐ、Ｑ运动速度相同，∴ＡＰ＝ＢＱ， 在△ＡＢＱ与△ＣＡＰ中，∵ ＡＢ＝ＣＡ ∠ＡＢＱ＝∠ＣＡＰ ＡＰ＝{ ＢＱ ， ∴△ＡＢＱ≌△ＣＡＰ（ＳＡＳ）； （２）解：点 Ｐ、Ｑ在运动的过程中，∠ＱＭＣ不变， 理由如下． ∵△ＡＢＱ≌△ＣＡＰ，∴∠ＢＡＱ＝∠ＡＣＰ，∠ＱＭＣ＝ ∠ＡＣＰ＋∠ＭＡＣ，∴∠ＱＭＣ＝∠ＢＡＱ＋∠ＭＡＣ＝ ∠ＢＡＣ＝６０°． （３）解：点 Ｐ、Ｑ在运动到终点后继续在射线 ＡＢ、 ＢＣ上运动时，∠ＱＭＣ不改变． 由（１）可得，△ＡＢＱ≌△ＣＡＰ，∴∠ＢＡＱ＝∠ＡＣＰ， ∵∠ＱＭＣ＝∠ＢＡＱ＋∠ＡＰＭ， ∴∠ＱＭＣ＝∠ＡＣＰ＋∠ＡＰＭ＝１８０°－∠ＰＡＣ ＝１８０°－６０°＝１２０°． 第二次月考卷 一、选择题 １．Ｄ　２．Ｃ　３．Ｂ　４．Ｄ　５．Ｂ　６．Ｄ　７．Ａ　８．Ｄ ９．Ａ　１０．Ａ 二、填空题 １１．９　１２．１２　１３．５０ｃｍ ２　１４．６１　１５．２或２０７ 三、解答题 １６．解：（１）原式＝［２ｘ＋（ｙ－３）］［２ｘ－（ｙ－３）］ ＝（２ｘ）２－（ｙ－３）２ ＝４ｘ２－ｙ２＋６ｙ－９； （２）原式＝６５０２－（６５０－２）×（６５０＋２） ＝６５０２－（６５０２－２２） ＝４． １７．解：原式＝ｘ２＋４ｘｙ＋４ｙ２－（４ｘ２－４ｘｙ＋ｙ２）－５ｙ２＝ －３ｘ２＋８ｘｙ－２ｙ２，当ｘ＝－１，ｙ＝２时，－３ｘ２＋８ｘｙ－ ２ｙ２＝－２７． １８．解：（１）Ｓ阴 ＝ａ（ａ＋ｂ）－ １ ４πａ ２－１４πｂ ２ ＝４－π４ ａ ２－１４πｂ ２＋ａｂ； （２）当ａ＝３，ｂ＝２时， Ｓ阴 ＝ ４－π ４ ×３ ２－π４×２ ２＋３×２＝１５－１３４π． １９．证明：∵ＡＦ＝ＣＤ， ∴ＡＦ＋ＦＣ＝ＦＣ＋ＣＤ，∴ＡＣ＝ＦＤ， 又∵∠１＝∠２，∠Ａ＝∠Ｄ．∴△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ（ＡＳＡ）． ２０．解：∵ＯＤ⊥ＣＤ， ∴∠ＯＤＣ＝９０° ∵ＡＢ∥ＣＤ， ∴∠ＯＢＡ＝∠ＯＤＣ＝９０° ∵相邻两平行线间的距离相等， ∴ＯＤ＝ＯＢ． 在△ＡＢＯ和△ＣＤＯ中， ∵ ∠ＯＢＡ＝∠ＯＤＣ ＯＢ＝ＯＤ ∠ＡＯＢ＝∠{ ＣＯＤ ∴△ＡＢＯ≌△ＣＤＯ（ＡＳＡ） ∴ＣＤ＝ＡＢ＝１５ｍ． ２１．（１）证明：∵ＡＣ⊥ＢＣ，ＢＤ⊥ＡＤ，∴∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０°， ∵ＡＣ＝ＢＤ，ＡＢ＝ＢＡ， ∴Ｒｔ△ＡＣＢ≌Ｒｔ△ＢＤＡ（ＨＬ）．∴ＡＤ＝ＢＣ． （２）解：成立．∵ＡＣ⊥ＢＣ，ＢＤ⊥ＡＤ， ∴∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０°， 在△ＡＣＯ和△ＢＤＯ中， ∵∠Ｃ＝∠Ｄ，∠ＣＯＡ＝∠ＤＯＢ，ＡＣ＝ＢＤ， ∴△ＡＣＯ≌△ＢＤＯ（ＡＡＳ）， ∴ＡＯ＝ＢＯ． ２２．（１）证明：∵△ＡＣＢ与△ＥＣＤ均为等腰直角三角形， ∴ＡＣ＝ＢＣ，ＣＥ＝ＣＤ，∠ＡＣＥ＝∠ＢＣＤ＝９０°． ∴△ＡＣＥ≌△ＢＣＤ（ＳＡＳ）； （２）解：ＡＥ⊥ＢＤ．理由如下： ∵△ＡＣＥ≌△ＢＣＤ，∴∠ＥＡＣ＝∠ＤＢＣ， 又∵∠ＤＢＣ＋∠ＣＤＢ＝９０°，∴∠ＥＡＣ＋∠ＣＤＢ＝９０°， ∴∠ＡＦＤ＝９０°，∴ＡＦ⊥ＢＤ，即直线ＡＥ与ＢＤ互相 垂直． ２３．解：（１）２５°　１１５°　小 （２）ＤＣ＝２时，△ＡＢＤ≌△ＤＣＥ． ∵∠Ｂ＝４０°，∠ＡＤＥ＝４０°， ∠Ｂ＋∠ＢＡＤ＝∠ＡＤＣ＝∠ＡＤＥ＋∠ＥＤＣ， ∴∠ＤＡＢ＝∠ＥＤＣ， ∵ＡＢ＝２，ＤＣ＝２ ∴ＡＢ＝ＤＣ 在△ＢＡＤ和△ＣＤＥ中，