精品解析：湖南省长沙市部分学校联考2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2025年中考适应性试卷数学（二） 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. “二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动所形成的知识体系，被誉为“中国的第五大发明”，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 某科技公司2024年的全年营收约为3600亿元，将数据360000000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 火星赤道夏季白天最高温度可达，晚上最低温度可达，则火星赤道夏季昼夜温差最大为（　　） A B. C. D. 4. 下列运算正确的是（　　） A B. C. D. 5. 为培养学生阅读兴趣，养成好读书、善读书、乐读书习惯，某校组织知识竞赛活动，参赛的6个队伍积分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是（　　） A. 53 B. 55 C. 58 D. 64 6. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 7. 下列有关一次函数的说法中，正确的是（　　） A. 的值随着值的增大而减小 B. 函数图象与轴的交点坐标为 C. 当时， D. 函数图象经过第一、二、四象限 8. 如图，是的外角，，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为．若，则的长为（　　） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 10. 进位制是人们为了计数方便而人为定义的带进位的计数方法．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．计算机中常用的十六进制是一种逢十六进一的计数制，我们采用数字09和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十六进制 8 9 A B C D E F 十进制 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示，用十进制表示也就是，则用十六进制表示（　　） A. D2 B. 2D C. F5 D. E0 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 甲、乙、丙三名学生参加引体向上体育项目测试，已知他们测试成绩的平均数相同，方差如下：，，．则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是______． 12. 小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这5位著名数学家的生平简介，知晓他们取得的伟大成就对我国乃至世界数学发展起到的巨大推进作用，准备在数学课上随机选取其中一位的成就进行分享，选到数学家赵爽的概率是______． 13. 若代数式在实数范围内有意义，则取值范围为_______． 14. 已知圆锥的底面半径为4，母线长为12，将它的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为________． 15. 如图，在中，，分别是边，的中点，连接，．若，，则的长为________． 16. 如图，在矩形中，是边上与点不重合的任意点．记点到的距离为（即），则与之间的函数关系式为_______（写出自变量的取值范围）． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，点在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 为了深入学习贯彻党的二十大精神，某学校组织举办“强国复兴有我，学习宣传党的二十大精神”学生知识竞赛． 【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成四组进行整理．（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）如表： 组别 A B C D 成绩（单位：分） 人数 94 16 【描述数据】根据整理的数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，D组对应的圆心角的度数是________； 【应用数据】 （4）该校计划为竞赛成绩80分以上（含80分）的学生每人颁发一份奖品，已知共有4000名学生参加了此项竞赛，请你根据调查结果，估计该校需准备多少份奖品． 21. 近年来，为了解决户外劳动者喝水难、热饭难、歇脚难等急难愁盼问题，越来越多的户外劳动者服务站亮相街头．如图是某社区在户外劳动者服务站外墙安装的遮阳篷截面示意图，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为5.5米，与水平线的夹角为． （1）求点到墙面的距离； （2）当太阳光线与水平线的夹角为时，量得为1.78米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（参考数据：，，） 22. 第12届世界运动会将于2025年8月在成都举行，为迎接此次盛会，某社区举办了趣味运动比赛，并购买了A，B两种奖品．已知购买3份A种奖品和2份B种奖品需164元，购买5份A种奖品和4份B种奖品需292元． （1）每份A种奖品与每份B种奖品的价格分别为多少元？ （2）该社区计划购进A，B两种奖品共100份，且总费用不超过3120元，那么最多能购进A种奖品多少份？ 23. 如图，已知：，尺规作图得四边形．作图步骤如下： ①分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点； ②作直线交于点，连接； ③以为圆心，的长为半径作弧，交直线于点，连接． （1）根据尺规作图，请直接判断四边形的形状，并说明判断依据； （2）若，，，求四边形的面积． 24. 如图1，已知内切于四边形，与分别相切于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，与交于点，若，求证：； （3）在（2）的条件下，若，求的半径． 25. 在平面直角坐标系中，对于直线（为常数）与抛物线（为常数且），根据它们的公共点个数，可分为三种类型，我们不妨约定： I．若有2个公共点，称该直线与抛物线的位置关系为“水平相交”，连接两个公共点的线段称为“水平弦”； II．若有1个公共点，称该直线与抛物线的位置关系为“水平相切”； III．若没有公共点，称该直线与抛物线的位置关系为“水平相离”． 请你根据该约定，解决下列问题： （1）若直线与抛物线的位置关系为“水平相交”，求的取值范围； （2）若直线与抛物线（为常数且）的位置关系为“水平相切”，请判断轴与该抛物线的位置关系； （3）若直线轴，直线与抛物线（为常数且）的位置关系均为“水平相交”，记它们的“水平弦”分别为． ①求的长度的取值范围； ②请问是否存在实数，使得这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为？若存在，求出的值和此时二次函数的最小值；若不存在，请说明理由．（注：表示一条长度等于的倍的线段） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考适应性试卷数学（二） 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. “二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动所形成的知识体系，被誉为“中国的第五大发明”，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形，中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义，和轴对称图形的定义，即可判断答案．关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解： A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意； D、是轴对称图形，是中心对称图形，故D符合题意； 故选：D． 2. 某科技公司2024年的全年营收约为3600亿元，将数据360000000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：将数据360000000000用科学记数法表示为， 故选：C． 3. 火星赤道夏季白天最高温度可达，晚上最低温度可达，则火星赤道夏季昼夜温差最大为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数减法运算的应用．根据题意列出算式，再利用减法法则计算即可． 【详解】解：这一天的温差为：， 故选：C． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，积的乘方计算，同底数幂除法计算，二次根式的加减计算．根据相关计算法则计算即可判断． 【详解】解：A、，本选项符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：A． 5. 为培养学生阅读兴趣，养成好读书、善读书、乐读书的习惯，某校组织知识竞赛活动，参赛的6个队伍积分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是（　　） A. 53 B. 55 C. 58 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：将这组数据从小到大重新排列为50，51，55，55，61，64， ∴这组数据的中位数为， 故选：B． 6. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：由“上加下减，左减右加”的平移规律可知，在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度所得到的点的坐标为，即， 故选：B． 7. 下列有关一次函数的说法中，正确的是（　　） A. 的值随着值的增大而减小 B. 函数图象与轴的交点坐标为 C. 当时， D. 函数图象经过第一、二、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点坐标特征以及一次函数的性质．根据一次函数的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、，的值随着值的增大而增大，本选项不符合题意； B、当时，，函数图象与轴的交点坐标为，本选项不符合题意； C、当时，，且，则当时，，本选项符合题意； D、，，函数图象经过第一、三、四象限，本选项不符合题意； 故选：C． 8. 如图，是外角，，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，掌握“两直线平行，同位角相等”定理是解题的关键．由，，得，进而利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 9. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为．若，则的长为（　　） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理成为解题的关键．先根据垂径定理得出的长，再利用勾股定理求出的长，进而完成解答． 【详解】解：∵是的直径，是的弦，， ∴， ∵ ∴， ∴． 故选：B． 10. 进位制是人们为了计数方便而人为定义带进位的计数方法．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．计算机中常用的十六进制是一种逢十六进一的计数制，我们采用数字09和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十六进制 8 9 A B C D E F 十进制 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示，用十进制表示也就是，则用十六进制表示（　　） A. D2 B. 2D C. F5 D. E0 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．本题需先根据十进制求出E与F的乘积，再把结果转化成十六进制即可． 【详解】解：由于， 则， 所以用十六进制表示为， 故选：A． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 甲、乙、丙三名学生参加引体向上体育项目测试，已知他们测试成绩的平均数相同，方差如下：，，．则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是______． 【答案】丙 【解析】 【分析】本题考查方差．先比较甲、乙、丙的方差的大小，再找出方差最小的学生即可． 【详解】解：∵，，．， ∴， ∴成绩最稳定的学生是丙， 故答案为：丙． 12. 小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这5位著名数学家的生平简介，知晓他们取得的伟大成就对我国乃至世界数学发展起到的巨大推进作用，准备在数学课上随机选取其中一位的成就进行分享，选到数学家赵爽的概率是______． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】此题考查概率公式，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率(A)．根据概率公式计算即可． 【详解】解：因为总共有5人， 所以从中任选一个，恰好是赵爽是概率是． 故答案为：． 13. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义的条件．根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 14. 已知圆锥的底面半径为4，母线长为12，将它的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】题主要考查了圆锥侧面积公式，掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 根据圆锥侧面展开图的面公式求解即可． 【详解】解：扇形的面积为． 故答案为：． 15. 如图，在中，，分别是边，的中点，连接，．若，，则的长为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得，，得出，得出． 【详解】解：∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 16. 如图，在矩形中，是边上与点不重合的任意点．记点到的距离为（即），则与之间的函数关系式为_______（写出自变量的取值范围）． 【答案】（） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数应用、矩形的性质、勾股定理和三角形面积公式，根据矩形的性质和点是上与不重合的任意一点，可知，又，根据这两个表达式建立等式，即可得到关于自变量的函数关系式，再利用勾股定理求得的长，根据即可求出自变量的取值范围． 【详解】解：连接，，如图所示： 四边形为矩形，点是上与不重合的任意一点， ，， ，， ， ，点到的距离为， ，整理得， 点是上与不重合的任意一点，即， 又， ，即． 故答案为：（）． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，特殊的三角函数值，零次幂及负指数幂计算．根据特殊的三角函数值，零次幂及负指数幂运算法则求解即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，熟记运算法则是解本题的关键；先计算括号内的分式的减法运算，再计算除法运算得到化简的结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 19. 如图，点在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长为8． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质， （1）利用等量代换得，从而利用“”证明即可； （2）由（1）知，可得，再利用求解即可． 【小问1详解】 证明：，，且， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 的长为8． 20. 为了深入学习贯彻党的二十大精神，某学校组织举办“强国复兴有我，学习宣传党的二十大精神”学生知识竞赛． 【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成四组进行整理．（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）如表： 组别 A B C D 成绩（单位：分） 人数 94 16 【描述数据】根据整理的数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，D组对应的圆心角的度数是________； 【应用数据】 （4）该校计划为竞赛成绩80分以上（含80分）的学生每人颁发一份奖品，已知共有4000名学生参加了此项竞赛，请你根据调查结果，估计该校需准备多少份奖品． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）；（4）估计该校需准备大约份奖品． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，统计表，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键． （）根据组人数及其百分比求出抽取的学生人数，进而可求出的值； （）根据（）中的值补图即可； （）用乘以D组人数的占比即可求解； （）用4000乘以分以上(含分)的人数占比即可求解． 【详解】（）解：抽取的学生人数为人， ∴， ∴， 故答案为：，； （）解：补全条形统计图如下： （）解：， 故答案为：； （）解：， 答：估计该校需准备大约份奖品． 21. 近年来，为了解决户外劳动者喝水难、热饭难、歇脚难等急难愁盼问题，越来越多的户外劳动者服务站亮相街头．如图是某社区在户外劳动者服务站外墙安装的遮阳篷截面示意图，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为5.5米，与水平线的夹角为． （1）求点到墙面的距离； （2）当太阳光线与水平线的夹角为时，量得为1.78米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（参考数据：，，） 【答案】（1）5.28米 （2）5.04米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）作，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解， （2）作，依次求出，,的长，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解． 【小问1详解】 解：过点A作，垂足为F， 在中，（米）， ∴（米）， ∴点A到墙面的距离约为米； 【小问2详解】 过点A作，垂足为G， 由题意得：，（米）， ∵（米）， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 在中， ∴（米）， ∴（米）． 22. 第12届世界运动会将于2025年8月在成都举行，为迎接此次盛会，某社区举办了趣味运动比赛，并购买了A，B两种奖品．已知购买3份A种奖品和2份B种奖品需164元，购买5份A种奖品和4份B种奖品需292元． （1）每份A种奖品与每份B种奖品的价格分别为多少元？ （2）该社区计划购进A，B两种奖品共100份，且总费用不超过3120元，那么最多能购进A种奖品多少份？ 【答案】（1）每份A种奖品的价格为36元，每份B种奖品的价格分别为28元 （2）最多购进A种奖品40个 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，熟练掌握总价与单价和数量的关系列二元一次方程组，列一元一次不等式，是解题的关键． （1）设每份A种奖品的价格为x元，每份B种奖品的价格分别为y元，根据购买3份A种奖品和2份B种奖品需164元，购买5份A种奖品和4份B种奖品需292元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进m个A种奖品，则购进个B种奖品，根据总费用不超过3120元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设每份A种奖品的价格为x元，每份B种奖品的价格分别为y元， 由题意得：， 解得：， 答：每份A种奖品的价格为36元，每份B种奖品的价格分别为28元； 【小问2详解】 解：购进m个A种奖品，则购进个B种奖品，由题意得： ， 解得：， 答：最多购进A种奖品40个． 23. 如图，已知：，尺规作图得四边形．作图步骤如下： ①分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点； ②作直线交于点，连接； ③以为圆心，的长为半径作弧，交直线于点，连接． （1）根据尺规作图，请直接判断四边形的形状，并说明判断依据； （2）若，，，求四边形的面积． 【答案】（1）菱形，四边相等的四边形是菱形 （2）四边形的面积为． 【解析】 【分析】此题考查了尺规作垂直平分线以及垂直平分线的性质，勾股定理，菱形的性质和判定等知识． （1）根据作图得到垂直平分， 然后得到，即可求解； （2）首先根据题意得到，再利用勾股定理得到，求出，然后利用菱形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据作图可得，垂直平分， ∴，， ∵由作图得，， ∴， ∴四边形是菱形，判断的根据是四边相等的四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 24. 如图1，已知内切于四边形，与分别相切于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，与交于点，若，求证：； （3）在（2）的条件下，若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）的半径． 【解析】 【分析】（1）根据切线长定理可得：，，，，问题随之得解； （2）连接，可得出，，利用圆周角定理求得，，进一步计算得出结论； （3）先求得，再设，则，，，证明，求得，同理证明，求得，推出，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：根据切线长定理可得：，，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，连接， ∵四边形的内切圆与边分别相切于点E，F，G，H， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接，，则，，，， 由（1）得， ∵， ∴， 解得， 设，则，，， ∵内切于四边形， ∴，， 由（2）知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 同理，， ∴，即， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴的半径． 【点睛】本题考查了切线性质，切线长定理，垂径定理，圆中的弧、弦、圆周角之间的关系，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 25. 在平面直角坐标系中，对于直线（为常数）与抛物线（为常数且），根据它们的公共点个数，可分为三种类型，我们不妨约定： I．若有2个公共点，称该直线与抛物线的位置关系为“水平相交”，连接两个公共点的线段称为“水平弦”； II．若有1个公共点，称该直线与抛物线的位置关系为“水平相切”； III．若没有公共点，称该直线与抛物线的位置关系为“水平相离”． 请你根据该约定，解决下列问题： （1）若直线与抛物线的位置关系为“水平相交”，求的取值范围； （2）若直线与抛物线（为常数且）的位置关系为“水平相切”，请判断轴与该抛物线的位置关系； （3）若直线轴，直线与抛物线（为常数且）的位置关系均为“水平相交”，记它们的“水平弦”分别为． ①求的长度的取值范围； ②请问是否存在实数，使得这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为？若存在，求出的值和此时二次函数的最小值；若不存在，请说明理由．（注：表示一条长度等于的倍的线段） 【答案】（1） （2）函数与轴为“水平相离”． （3）①，②，最小值； 【解析】 【分析】（1）根据新定义可得有两个不相等的实根，从而可得答案； （2）根据新定义可得有两个相等的实根，可得，再进一步可得答案； （3）①如图，根据新定义可得，求解，可得； ②证明该三角形是等腰直角三角形；求解，，而，结合①图象可得：，则不是斜边，不是斜边，为斜边，再进一步解答即可． 【小问1详解】 解：∵直线与抛物线的位置关系为“水平相交”， ∴即有两个不相等的实根； ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵直线与抛物线（为常数且）的位置关系为“水平相切”， ∴即有两个相等的实根， ∴， ∴， 当（）时， ∴， ∴函数与轴没有交点， ∴函数与轴为“水平相离”． 【小问3详解】 解：①如图， ∵直线轴，直线与抛物线（为常数且）的位置关系均为“水平相交”， ∴即有两个不相等的实根， ∴， ∴， ∴即有两个不相等的实根，， ∴，， ∴ ， ∴； ②∵三角形的三个内角的大小之比为， ∴三角形的三个内角的大小分别为，，， ∴该三角形是等腰直角三角形； 结合①同理可得：有两个不相等的实根，， ∴，， ∴， 同理：有两个不相等的实根， ∴， 而， 由①图象可得：，则不是斜边，不是斜边，为斜边， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，而， 解得：， ∴函数的最小值为． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，本题的计算量很大，难度大，典型的中考压轴题，灵活应用根的判别式是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$