精品解析：河南省安阳市滑县2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2025年河南省普通高中招生考试试卷（一） 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中，比1小的数是（ ） A. B. 1 C. D. 3 2. 中国茶文化博大精深，茶杯也颇有讲究．如图是汝窑冰花圆融杯，杯型厚重沉稳，有“大肚能容天下事”的寓意，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 俯视图和左视图相同 D. 三种视图均相同 3. 据网络平台数据显示，截至2025年2月13日19时，电影《哪吒之魔童闹海》票房（含预售）突破100亿元，成为中国电影史上首部票房过百亿的影片．数据“100亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将一个直角三角板的直角顶点放置在直尺的一条边上，直角三角板的两直角边分别与直尺的边 相交，则下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是（ ） A. B. 1 C. D. 4 7. 如图， 沿 边向右平移得到 ，若，则 的长为（ ） A. B. 3 C. D. 6 8. 如图是第九届亚洲冬季运动会正六边形纪念币的背面图案，小明将该图案做成转盘（转盘质地均匀），正六边形被分为六个全等的区域，每个区域上的图案不同，固定指针，转动转盘两次，任其自由停止（指针指向分界线时，不计，重转），则指针两次指向的图案相同的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤当时， 随的增大而增大，其中正确结论的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，以 为边作菱形，且，连接对角线，点是上一点，若将线段 绕点顺时针旋转 ，点 恰好落在轴上的点 处，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请用代数式表示一个两位数，其中十位上的数字是 ，个位上的数字是：___________． 12. 关于的不等式组的整数解的和是___________． 13. 年是乙巳蛇年，在十二地支中“巳”对应蛇，其古文“巳”是蛇的形象表达（如图）．在对某地区初中学生进行的一次关于传统文化知识的调查中，随机抽查了 名学生，其中知道上述传统文化知识的学生有名，若该地区共有初中学生名，据此样本估计，该地区知道上述传统文化知识的初中学生大约有___________名． 14. 某数学兴趣小组的同学用圆形纸片进行折纸操作：如图，先作出一个半径为4的 ，再沿弦 折叠 ，折叠后恰好经过圆心 ，连接 并延长交 于点，则图中阴影部分的面积为___________． 15. 如图，在矩形 中，，点P是对角线 上一个动点，连接，以为直角边在右侧作等腰直角三角形，连接 ． （1）当点E落在 上时， 的长为________． （2） 的最小值是________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 随着互联网技术的飞速发展，人工智能得到了越来越广泛的应用，人们越来越习惯借助各种人工智能产品来辅助工作、学习和生活．市场上也涌现出了如、豆包等各类人工智能产品．经过市场调研，小罗决定从两个人工智能产品中选择一个进行使用．以下是小罗通过调查问卷的方式收集的10位用户对两个人工智能产品的相关评价，并整理、描述、分析如下： a．语言交互能力得分（满分10分） A：5，6，6，8，8，8，8，9，9，10 B：6，6，6，6，7，8，9，9，10，10 b．数据分析能力得分（满分10分） c．语言交互能力和数据分析能力得分统计表 统计量产品 语言交互能力得分 数据分析能力得分 平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差 A 8 8 7.0 B 7.7 7.5 6.9 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ___________，___________， ___________，___________；（填“”或“”） （2）通过以上数据分析，你认为小罗应该选择哪个人工智能产品，至少从两个角度说明理由； （3）你认为小罗还需要了解哪些信息，举例说明（列出一条即可）． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴、 轴分别交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）直接写出当时，不等式的解集； （3）在 中，若两直角边边长的比值是2，求出一次函数的表达式． 19. 开封作为八朝古都，有着深厚的历史文化，也吸引着无数的游客前往观光．开封特产桶子鸡、酱牛肉深受游客的喜爱．已知2包桶子鸡和3包酱牛肉的价格为310元，3包桶子鸡和4包酱牛肉的价格为430元． （1）分别求出桶子鸡和酱牛肉的单价； （2）若某公司决定购买桶子鸡和酱牛肉共200包作为员工福利，且购买桶子鸡的数量不超过酱牛肉的数量，则应该如何安排购买方案，才能使购买总费用最低，并求出最低费用． 20. 九年级数学兴趣小组的同学利用所学知识测量路灯 的高度，如图，在路灯下竖直放置长为1米的标杆，测得此时的影长 为0.5米；在点处旋转标杆，观察标杆影长的变化规律，发现当标杆旋转到 的位置时，标杆的影长最大，此时，测得影长 为米，已知 ，图中所有点均在同一平面内，请根据以上数据求出路灯 的高度． 21. 如图，在矩形 中，连接对角线 ． （1）根据下列要求作出 ．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ①圆心 在 边上； ② 与边 相切； （2）在（1）的条件下，连接 交 于点 ，若，猜想线段 和的数量关系，并证明． 22. 为了贯彻落实国家“把课间还给学生”的政策，某校积极开展丰富多样的课间活动，“台阶跳”是同学们喜欢的一种课间锻炼方式．如图， 是一段台阶的示意图，其中每阶台阶的高度为0.15米，宽度为0.3米．一位同学站在0处，面对台阶起跳，起跳的轨迹可以近似看成一条抛物线，通过测量可知该同学在跳出0.5米后达到最高点，此时距离地面的高度也为0.5米，以点 为原点建立如图所示的平面直角坐标系， 米．（脚的长度忽略不计） （1）求该同学起跳轨迹的函数表达式； （2）该同学能否跳到第一阶台阶上，请说明理由； （3）若该同学想跳到第二阶台阶上，且起跳轨迹不变，则该同学至少应该向前移动多少米？（结果保留根号） 23. 探究发现 （1）如图1，在正方形 中，点P，Q分别在边 ，上，连接 ， ．若，则线段 和 的数量关系是 ；线段和的数量关系是 ． 类比延伸 （2）如图2，在正方形 中，点P是 边上的一个动点，连接 ，作 的垂直平分线分别交， 于点E，F，过点P作交 于点Q，猜想线段，， 的数量关系，并证明． 拓展应用 （3）在（2）的条件下，若设的长为x，的长为， 的长为，测量数据后画出的函数图象如图3所示，其中点M是图象的最高点． ①直接写出正方形 的边长； ②在点P的运动过程中，当时，直接写出线段 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河南省普通高中招生考试试卷（一） 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中，比1小的数是（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，先估算的取值范围，再比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选A． 2. 中国茶文化博大精深，茶杯也颇有讲究．如图是汝窑冰花圆融杯，杯型厚重沉稳，有“大肚能容天下事”的寓意，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 俯视图和左视图相同 D. 三种视图均相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三视图．熟练掌握三视图是解题的关键． 根据立体图形得到其三视图，进而问题可求解． 【详解】解：由图可知：该茶杯的主视图和左视图相同． 故A选项符合题意． 故选：A． 3. 据网络平台数据显示，截至2025年2月13日19时，电影《哪吒之魔童闹海》票房（含预售）突破100亿元，成为中国电影史上首部票房过百亿的影片．数据“100亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：100亿， 故选：C． 4. 如图，将一个直角三角板的直角顶点放置在直尺的一条边上，直角三角板的两直角边分别与直尺的边 相交，则下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，直角三角形的性质．根据平行线的性质和直角三角形的性质进行判断即可 【详解】解： ，故选项正确； 由题意得：，故选项正确； 与的度数与直角三角板摆放位置有关，选项C不一定正确， 故选C． 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式即可解答，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 6. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是（ ） A. B. 1 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根的判别式，对于一元二次方程，判别式 ，当时，方程有两个相等的实数根．根据题意得出，求出结果即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：A． 7. 如图， 沿 边向右平移得到 ，若，则 的长为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，根据平行线分线段成比例解答即可． 【详解】解：， ． 沿 边向右平移得到 ， ． ，即． 解得． 故选B． 8. 如图是第九届亚洲冬季运动会正六边形纪念币的背面图案，小明将该图案做成转盘（转盘质地均匀），正六边形被分为六个全等的区域，每个区域上的图案不同，固定指针，转动转盘两次，任其自由停止（指针指向分界线时，不计，重转），则指针两次指向的图案相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用列表法或画树状图求概率，熟练掌握概率的意义和计算公式，利用列表法或画树状图求概率，是解决本题的关键． 利用列表法表示所有可能出现的结果情况，其中指针两次指向的图案相同的结果，进而求出概率． 【详解】解：记六个区域的图案分别为1，2，3，4，5，6，根据题意，列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 由表格，可知共有36种等可能的结果，其中指针两次指向的图案相同的结果有6种， ∴， 故选：B． 9. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤当时， 随的增大而增大，其中正确结论的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质；根据抛物线的对称轴方程和开口方向以及与x，y轴的交点可对①②④进行判断；根据图象过，结合对称轴则可对③进行判断；根据抛物线的性质则可对⑤进行判断． 【详解】解：观察图象，可知该图象开口向上，与 轴交于正半轴，与轴有两个交点， ，故②正确； 图象过点，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，，故①错误，④正确； 把代入中，得， 又， ，即， ，故③正确； 由图象，可得当 1时， 随的增大而减小，故⑤错误． 综上所述，可得①⑤错误，②③④正确．正确结论有3个， 故选B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，以 为边作菱形，且，连接对角线，点是上一点，若将线段 绕点顺时针旋转 ，点 恰好落在轴上的点 处，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，作出点P，D，过点 作交轴于点 ，过点作轴，垂足为 ，首先得到，求出 ，，然后得到，，然后利用三角函数求出，设，则，勾股定理求出，得到，，进而求解即可． 【详解】如图，作出点P，D，过点 作交轴于点 ，过点作轴，垂足为 ， 四边形是菱形， ，， ∴， ，， ， 由旋转得，， ，即， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理，可得， 解得， ，， ∴点的坐标为， 故选：D． 【点睛】此题考查了坐标与图形综合，旋转的性质，菱形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请用代数式表示一个两位数，其中十位上的数字是，个位上的数字是：___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了列代数式－多位数的表示法，用十位数字乘以10加上个位数字即可． 【详解】解：由题意，得这个两位数为． 故答案为：． 12. 关于的不等式组的整数解的和是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，解不等式组得不等式组的解集为，即可求解；能熟练解一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式组得： 不等式组的解集为， 不等式组的整数解有、， ， 故答案为：． 13. 年是乙巳蛇年，在十二地支中“巳”对应蛇，其古文“巳”是蛇的形象表达（如图）．在对某地区初中学生进行的一次关于传统文化知识的调查中，随机抽查了 名学生，其中知道上述传统文化知识的学生有名，若该地区共有初中学生名，据此样本估计，该地区知道上述传统文化知识的初中学生大约有___________名． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用样本估计总体，用到的知识点是总体平均数约等于样本平均数根据用样本估计总体，即可解答． 【详解】解： （名）． 故答案为： 14. 某数学兴趣小组的同学用圆形纸片进行折纸操作：如图，先作出一个半径为4的 ，再沿弦 折叠 ，折叠后恰好经过圆心 ，连接 并延长交 于点，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的面积公式．由折叠可得，则是等边三角形，再根据计算即可． 【详解】解：如图，作于点 ，连接． 由折叠，可得， 是等边三角形． ，，， ， ， ， ， ． 15. 如图，在矩形 中，，点P是对角线上一个动点，连接，以为直角边在右侧作等腰直角三角形，连接 ． （1）当点E落在上时， 的长为________． （2） 的最小值是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，垂线段最短，等腰三角形的性质等知识，确定点E的运动轨迹是解题的关键与难点． （1）由勾股定理求得的长，利用面积关系求得的长，利用勾股定理求出 ，则可求得 ； （2）确定点E的轨迹为线段；连接 ，过点D作于点N，则 的最小值为线段的长；利用勾股定理求得的长，再利用面积关系即可求得的长，从而求得最小值． 【详解】解：（1）如图，在矩形 中，， ， ∴； ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴； 故答案为：； （2）如图，当点P与点B重合时，，即点E与点M重合，；当点P与点D重合时，绕D顺时针旋转 后得，点E的轨迹为线段； 连接 ，过点D作于点N，则 的最小值为线段的长； ∵， ∴点F在线段的延长线上，且； ∵， ∴， ∵， ∴ 即 的最小值为； 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算和分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用算术平方根、绝对值、负整数指数幂进行计算即可； （2）先计算括号内的分式减法，再计算分式除法即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 17. 随着互联网技术的飞速发展，人工智能得到了越来越广泛的应用，人们越来越习惯借助各种人工智能产品来辅助工作、学习和生活．市场上也涌现出了如、豆包等各类人工智能产品．经过市场调研，小罗决定从两个人工智能产品中选择一个进行使用．以下是小罗通过调查问卷的方式收集的10位用户对两个人工智能产品的相关评价，并整理、描述、分析如下： a．语言交互能力得分（满分10分） A：5，6，6，8，8，8，8，9，9，10 B：6，6，6，6，7，8，9，9，10，10 b．数据分析能力得分（满分10分） c．语言交互能力和数据分析能力得分统计表 统计量产品 语言交互能力得分 数据分析能力得分 平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差 A 8 8 7.0 B 7.7 7.5 6.9 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ___________，___________， ___________，___________；（填“”或“”） （2）通过以上数据分析，你认为小罗应该选择哪个人工智能产品，至少从两个角度说明理由； （3）你认为小罗还需要了解哪些信息，举例说明（列出一条即可）． 【答案】（1） （2） 我认为小罗应该选择A． 理由如下：从语言交互能力得分来看， 和 的平均数一样，但是A的中位数和众数均高于B；从数据分析能力得分来看， 的平均数高于 ，且 的中位数也大于B．（理由合理即可） （3）还需要了解两个人工智能产品的安全性、准确性、运算速度与效率等方面 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，平均数，中位数，众数，方差． （1）根据平均数的定义求出，根据众数的定义求出，根据中位数的定义求出，根据方差的定义比较和即可； （2）根据统计量的意义判断，并说明理由即可； （3）根据题意结合人工智能产品的特点回答即可． 【小问1详解】 解：A人工智能产品语言交互能力得分的平均数为：， ∴； B人工智能产品语言交互能力得分的10个数据中，6分最多， ∴ ； A人工智能产品数据分析能力得分的10个数据由小到大排列的第5个数据为7分，第6个数据为8分， ∴； 从折线统计图明显可以看出A人工智能产品数据分析能力得分波动大于B人工智能产品数据分析能力得分， ∴； 故答案为：7.7；6；7.5；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴、 轴分别交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）直接写出当时，不等式的解集； （3）在 中，若两直角边边长的比值是2，求出一次函数的表达式． 【答案】（1）； （2）； （3） 或． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用数形结合即可求解； （3）分两种情况讨论．首先用表示出一次函数的表达式为，①当时，②当时，利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由题意得当时，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方， ∴不等式的解集为； 【小问3详解】 解：如图所示，有两种情况． ∵点在一次函数的图象上， ∴，即， ∴一次函数的表达式为， ①当时，设，则， ∴点，点． 将点，代入中， 可得， ∴， ∴一次函数的表达式为 ； ②当时，设，则， ∴点，点． 将点，点代入中， 可得， ∴， ∴一次函数的表达式为． 综上所述，一次函数的表达式为 或． 19. 开封作为八朝古都，有着深厚的历史文化，也吸引着无数的游客前往观光．开封特产桶子鸡、酱牛肉深受游客的喜爱．已知2包桶子鸡和3包酱牛肉的价格为310元，3包桶子鸡和4包酱牛肉的价格为430元． （1）分别求出桶子鸡和酱牛肉的单价； （2）若某公司决定购买桶子鸡和酱牛肉共200包作为员工福利，且购买桶子鸡的数量不超过酱牛肉的数量，则应该如何安排购买方案，才能使购买总费用最低，并求出最低费用． 【答案】（1）桶子鸡的单价为50元，酱牛肉的单价为70元； （2）购买100包桶子鸡，100包酱牛肉时费用最低，最低费用是12000元． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用． （1）设桶子鸡的单价为元，酱牛肉的单价为 元，根据“2包桶子鸡和3包酱牛肉的价格为310元，3包桶子鸡和4包酱牛肉的价格为430元”列出二元一次方程，解方程即可； （2）设购买桶子鸡包，则购买酱牛肉包，购买费用为 元，根据题意得，再根据一次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设桶子鸡的单价为元，酱牛肉的单价为 元． 由题意，得， 解得， 答：桶子鸡的单价为50元，酱牛肉的单价为70元； 【小问2详解】 解：设购买桶子鸡包，则购买酱牛肉包，购买费用为 元． 由题意，得， ， ， ， 随的增大而减小， 当时， 有最小值，最小值为， 此时． 答：购买100包桶子鸡，100包酱牛肉时费用最低，最低费用是12000元． 20. 九年级数学兴趣小组的同学利用所学知识测量路灯 的高度，如图，在路灯下竖直放置长为1米的标杆，测得此时的影长 为0.5米；在点处旋转标杆，观察标杆影长的变化规律，发现当标杆旋转到 的位置时，标杆的影长最大，此时，测得影长 为米，已知 ，图中所有点均在同一平面内，请根据以上数据求出路灯 的高度． 【答案】路灯 的高度为3米． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，证明 ，求得，再利用解直角三角形列方程，即可解答，证明 是解题的关键． 【详解】解：由题意，可知， ， ． ， ，即． 设，则， 在中，， ， ． ， 即，解得． （米），即路灯 的高度为3米． 21. 如图，在矩形 中，连接对角线． （1）根据下列要求作出 ．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ①圆心 在 边上； ② 与边 相切； （2）在（1）的条件下，连接 交于点 ，若，猜想线段 和的数量关系，并证明． 【答案】（1） 如图所示， 即为所求作． ； （2） ． 证明：如图，连接 ． 由（1），可知． ． 又 ． ． ． 又 ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图（作角平分线），矩形的性质，全等三角形的判定与性质． （1）作的平分线，交 于点 ，以 为圆心， 为半径作圆即可； （2）连接 ．交于点 ，证明 得，再证明 即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 为了贯彻落实国家“把课间还给学生”的政策，某校积极开展丰富多样的课间活动，“台阶跳”是同学们喜欢的一种课间锻炼方式．如图， 是一段台阶的示意图，其中每阶台阶的高度为0.15米，宽度为0.3米．一位同学站在0处，面对台阶起跳，起跳的轨迹可以近似看成一条抛物线，通过测量可知该同学在跳出0.5米后达到最高点，此时距离地面的高度也为0.5米，以点 为原点建立如图所示的平面直角坐标系， 米．（脚的长度忽略不计） （1）求该同学起跳轨迹的函数表达式； （2）该同学能否跳到第一阶台阶上，请说明理由； （3）若该同学想跳到第二阶台阶上，且起跳轨迹不变，则该同学至少应该向前移动多少米？（结果保留根号） 【答案】（1） ； （2） 该同学能跳到第一阶台阶上，理由如下： 当 时， ， 当 时， ． 该同学可以跳到第一阶台阶上． （3）米． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设顶点式，再把代入 进行计算，即可作答． （2）理解题意，把 和代入 进行计算，即可作答． （3）理解题意，当 时，代入 ，解得（较大的的值即为的长，另一个值已舍去）．作图且运用数形结合思想得移动距离 ，至少平移的距离为（米），即可作答． 【小问1详解】 解：由题意，得抛物线的顶点坐标为， 设函数表达式为 ． 把代入，得 ， 解得， 该同学起跳轨迹的函数表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意，令 ，即第二阶台阶的高为0.3米， 当 时，代入 ， 可得 ， 解得（较大的的值即为的长，另一个值已舍去）． 如图1， 移动距离 （米）， 至少平移的距离为（米）． 该同学至少应该向前移动米． 23. 探究发现 （1）如图1，在正方形 中，点P，Q分别在边 ，上，连接 ， ．若，则线段 和 的数量关系是 ；线段和的数量关系是 ． 类比延伸 （2）如图2，在正方形 中，点P是 边上的一个动点，连接 ，作 的垂直平分线分别交， 于点E，F，过点P作交 于点Q，猜想线段，， 的数量关系，并证明． 拓展应用 （3）在（2）的条件下，若设的长为x，的长为， 的长为，测量数据后画出的函数图象如图3所示，其中点M是图象的最高点． ①直接写出正方形 的边长； ②在点P的运动过程中，当时，直接写出线段 的长． 【答案】（1）， （2）， 理由： 连接 交 于点 ， ∵垂直平分 ， 则且， ∴为的中位线， 即， ∵， ∴，O， ， 则， ∴； （3）①正方形 的边长为 ② 【解析】 【分析】本题为四边形综合题，涉及到正方形的性质、三角形全等和相似、中垂线的性质等，正确作出辅助线是解题的关键. （1）根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）证明， 则，即可求解； （3）①由，即， 即， 即可求解； ②由（2）知，，则， 设， 则，则， 则， 则， 则， 由（2）知，则， 而 ， 则，即可求解. 【详解】（1）如图中， 设 交 于 ， ∵四边形 是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为： ，； （2）略 （3）①设， 则， ∵，， ∴， ∴， 即， 由图可得 时， ， 即， 解得： ， 即正方形 的边长为； ②作于点 ， 由（1）知，，则，， 设， 则， ∴， ∴， ∴， 则， 由（2）知，， ∴， ∵ ， ∴， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $