专题02 将军饮马最值模型（两定一动、两动一定、两定两动、两定点一定长、三动点）-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（山东专用）

专题02 将军饮马最值模型 （两定一动、两动一定、两定两动、两定点一定长、三动点） 目录 模型解读 1 【模型一】两定一动模型 2 【模型二】两动一定模型 3 【模型三】两定两动模型 3 【模型四】两定点一定长模型 4 【模型五】三动点模型 5 真题导航 5 【模型一】两定一动模型 5 【模型二】两动一定模型 12 【模型三】两定两动模型 14 【模型四】两定点一定长模型 23 【模型五】三动点模型 30 模考精练 34 这一经典几何模型源于古代将军在饮马时寻找最短路径的问题，其核心在于利用对称、直线与圆的性质，以及三角形的边长关系，来求解最短距离。 两定一动指的是两个固定点与一个动点构成的路径优化问题； 两动一定则是两个动点围绕一个固定点的路径优化； 两定两动涉及两个固定点和两个动点的路径规划； 两定点一定长问题中，两个固定点间动点的轨迹形成特定长度的线段或圆弧； 三动点问题则更为复杂，涉及三个动点间的相互制约与路径优化。 每一种情况都有其独特的解题技巧和几何美感，通过将军饮马模型，我们可以深入理解几何中的优化思想。 【模型一】两定一动模型 （1）已知：定点在直线的两侧，在直线上有一动点,求：的最小值。 连接与直线的交于点,此时的值最小，为线段的长。即 （2）已知：定点在直线的同侧，在直线上有一动点,求：的最小值。 作点关于直线的对称点,连接与直线交于点,此时的值最小，为线段的长。即 （3）已知：定点在直线的同侧，在直线上有一动点,求：的最大值。 连接并延长，与直线交于点,此时的值最大，为线段的长。即 （4）已知：定点在直线的两侧，在直线上有一动点,求：的最大值。 作点关于直线的对称点,连接并 延长，与直线交于点, 此时的值最大，为线段的长。 即 【模型二】两动一定模型 已知：为内一定点，在射线上分别有两动点, 求：的最小值。 作点关于射线的对称点,连接与两条射线的交点分别为, 此时的值最小，为线段的长。即， 【模型三】两定两动模型 已知：为内两定点， 在射线上分别有两动点, 求：的最小值。 作点Q关于射线的对称点, 作点关于射线的对称点, 连接与两条射线的交点分别为, 此时的值最小，为的长。即， 【模型四】两定点一定长模型 （1）已知：直线,分别为直线上方和直线下方的两个定点（直线不与垂直)，在直线上有两动点, 且, 求：的最小值。 将点向下平移得到点,使, 连接,交直线于点,过点作于点, 此时的值最小，为的长 （2）已知：定点在直线的同侧，长度为的线段在直线上移动（点在 点左侧)， 求： 的最小值。 将点向右平移个单位长度得到点, 作点关于直线的对称点, 连接, 交直线于点, 连接, 将点向左平移个单位长度得到点, 此时有最小值，为的长。即，, 【模型五】三动点模型 已知：分别为上的动点， 求：的最小值。 作点关于的对称点, 连接, 分别交于点, 连接, 由对称性可知 所以， 所以，当四点共线时，有最小值，最小值为线段的长。 且当时，有最小值。 【模型一】两定一动模型 【典例】1．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在菱形ABCD中，，M是对角线BD上的一个动点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值，证明△ABC是等边三角形，AF是高线，利用三角函数即可求解． 【详解】解：连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， 又∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵ ∴F是BC的中点， ∴AF⊥BC． 则AF＝AB•sin60°＝2． 即的最小值是． 故选：C 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形以及三角函数，确定AF的长就是的最小值是关键． 【典例】2．（2022·山东德州·中考真题）如图，正方形的边长为6，点在上，，点是对角线上的一个动点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，根据正方形的对称性可得，进而可知，再利用，，三点共线时，的值最小，将转化为，最后运用勾股定理即可解答． 【详解】如图，连接，， 、关于对称， ， 当，，三点共线时，的值最小， 即的值最小， ，， 由勾股定理得：， 即的最小值为， 故选C．    【点睛】本题考查了运用轴对称解决最短路径问题、勾股定理的应用、正方形的性质，明确当，，三点共线时，有最小值是解题的关键． 【典例】3．如图，中，，点P为AC边上的动点，过点P作于点D，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】作点B关于的对称点，过点作于点D，交于点P，点P即为所求作的点，此时有最小值，连接，根据对称性的性质，可知：，，根据，即可求出的最小值． 【详解】解：如下图，作点B关于的对称点，过点作于点D，交于点P，连接，点P即为所求作的点，此时有最小值， 根据对称性的性质，可知：， 在中，， ， 根据对称性的性质，可知：， ， 即， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称的性质． 【典例】4．如图，在中，，于O，于E，以点O为圆心，为半径作半圆，交于点F，若点F为的中点，，点P是边上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作E点关于直线的对称点D，连接，交于点P，连接，，，交于点N，过D点作，交的延长线于点M，根据对称性可得，即当点D、P、F三点共线时，最短，最短为线段的长，根据在中，，可得，证明是等边三角形，即有，即有，，再证明四边形是矩形，即有，，进而有，最后利用勾股定理即可作答． 【详解】作E点关于直线的对称点D，连接，交于点P，连接，，，交于点N，过D点作，交的延长线于点M，如图， ∵E点关于直线的对称点为点D， ∴垂直平分线段， ∴，，， ∴， 即当点D、P、F三点共线时，最短，最短为线段的长，如上图所示， ∵，点F为的中点， ∴， ∵， ∴在中，， ∴，即， ∵在中， ， ∴，即， ∵， ∴，即， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， 故选：A． 【点睛】本题考查了对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，此类是将军饮马问题，构造出合理的辅助线，是解答本题的关键． 【典例】5．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】D 【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴点B与D关于直线AC对称， ∴DN=BN， 连接BD，BM交AC于N′，连接DN′， ∴当B、N、M共线时，DN+MN有最小值，则BM的长即为DN+MN的最小值， ∴AC是线段BD的垂直平分线， 又∵CD=4，DM=1 ∴CM=CD-DM=4-1=3， 在Rt△BCM中，BM= 故DN+MN的最小值是5． 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出D关于直线AC的对称点，由轴对称及正方形的性质判断出D的对称点是点B是解答此题的关键． 【模型二】两动一定模型 【典例】1．如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 【答案】D 【分析】先在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：在上截取，连接，如图： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图： ∵，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置． 【典例】2．如图，已知正方形的边长为2，点O是边的中点，G为正方形内一动点，且．点P是边上另一动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称求最短线段，矩形和正方形的性质，圆的定义，勾股定理等知识，利用对称的性质作线段的等量转移是解题关键．作点关于直线的对称点，连接，以为圆心，长为半径作圆，点在圆上运动，、与交于点、，则，，，当点、在、位置时，此时点、、、四点共线，有最小值为长，过点作于点，求出，即可求解． 【详解】解：正方形的边长为2，点O是边的中点， ，，， 如图，作点关于直线的对称点，连接，以为圆心，长为半径作圆，点在圆上运动，与与交于点、， 则，，， ， 当点、在、位置时，此时点、、、四点共线，有最小值为长， 过点作于点，则四边形是矩形， ，， ， ， 的最小值为， 的最小值为，即， 故答案为：． 【模型三】两定两动模型 【典例】1．（2022·山东滨州·中考真题）如图，在矩形中，．若点E是边AD上的一个动点，过点E作且分别交对角线AC，直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点D作交BC于M，过点A作，使，连接NE，当N、E、C三点共线时，，分别求出CN、AN的长度即可． 【详解】 过点D作交BC于M，过点A作，使，连接NE， 四边形ANEF是平行四边形， ， 当N、E、C三点共线时，最小， 四边形ABCD是矩形，， ， ， 四边形EFMD是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用轴对称求最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键． 【典例】2．（2023·山东日照·中考真题）如图，矩形中，，点P在对角线上，过点P作，交边于点M，N，过点M作交于点E，连接．下列结论：①；②四边形的面积不变；③当时，；④的最小值是20．其中所有正确结论的序号是 ．    【答案】②③④ 【分析】根据等腰三角形的三线合一可知，可以判断①；利用相似和勾股定理可以得出，，，利用判断②；根据相似可以得到，判断③；利用将军饮马问题求出最小值判断④． 【详解】解：∵，， ∴， 在点P移动过程中，不一定， 相矛盾， 故①不正确；    延长交于点H, 则为矩形， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴ 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故③正确， ， 即当的最小值，作B、D关于的对称点, 把图中的向上平移到图2位置，使得，连接，即为的最小值，则，, 这时， 即的最小值是20， 故④正确； 故答案为：②③④    【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【典例】3．如图，凸四边形中，，若点M、N分别为边上的动点，则的周长最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【分析】由轴对称知识作出对称点，连接两对称点，由两点之间线段最短证明最短，多次用勾股定理求出相关线段的长度，平角的定义及角的和差求出角度的大小，最后计算出的周长最小值为6． 【详解】解：作点关于、的对称点分别为点和点， 连接交和于点和点，，连接、； 再和上分别取一动点和（不同于点和， 连接，，和，如图1所示： ， ，， ， 又， ，， ， 时周长最小； 连接，过点作于的延长线于点， 如图示2所示： 在中，，， ， ， ，， 又， ， ，， ， ， 又， ， ，， 在△中，由勾股定理得： ． ， 故选：C． 【点睛】本题综合考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，平角的定义和两点之间线段最短等相关知识点，解题的关键是掌握轴对称最短路线问题，难点是构建直角三角形求两点之间的长度． 【典例】4．如图，点在等边的边上，，射线，垂足为，是射线上一动点，是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题、等边三角形的性质、直角三角形的性质，作点关于的对称点，连接，，则，，推出的值最小为的值，且，再求出的长，结合直角三角形的性质即可得解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，， ， 则，， ∴， ∴的值最小为的值，且， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【典例】5．如图所示，已知点，直线与两坐标轴分别交于、两点，、分别是，上的动点，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】作点C关于的对称点，点C关于直线的对称点，连接，连接，可得由对称得：，，，轴，周长为，当点共线时，周长取得最小值为，再由两点之间距离公式即可求解． 【详解】解：如图，作点C关于的对称点，点C关于直线的对称点，连接，连接， ∵直线的解析式为， ∴，当， 解得：， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由对称得：，， ∴，轴， ∴周长为， ∴当点共线时，周长取得最小值为， 而 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，涉及一次函数与坐标轴的交点问题，两点之间线段最短，轴对称的性质，两点之间距离公式等． 【模型四】两定点一定长模型 【典例】1．如图，等边的边长为6，点在边上，，线段在边上运动，，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】CD+PQ是定长6，运用对称原理确定PC+DQ的最小值即可． 【详解】如图，过点D作关于AB的对称点E，交AB于点F，连接EQ，以EQ，PQ为边在AB的外侧构造平行四边形QEGP，则EG=PQ=1，DQ=QE=PG，EG=PQ=1， ∴PC+DQ=PC+PG，连接CG，则PC+PG≥CG， ∴当C，P，G三点一线时，和最小； 过点C作CN⊥AB，垂足为N，交EG的延长线于点M， ∵EG∥AB，CN⊥AB，DE⊥AB， ∴CM⊥EM，EF⊥EG， ∴∠GMC=90°， ∵CM⊥EM，CN⊥AB，DE⊥AB， ∴四边形EFNM是矩形，∠AFD=90°， ∴MN=EF=FD， 过点G作GH⊥AB，垂足为H， ∵GH⊥AB，FE⊥AB，EF⊥EG， ∴四边形EFHG是矩形， ∴GH=EF=FD， ∵CM⊥EM，CN⊥AB，GH⊥AB，， ∴四边形GHNM是矩形， ∴MN=GH=EF=FD，MG=NH=AN-FH-AF=AN-PQ-AF， ∵△ABC是等边三角形，且边长为6， ∴∠A=60°，AC=6， ∴AN=ACcosA=6cos60°=3，AF= ADcosA=1×cos60°=， CN=ACsinA=6sin60°=3，DF= AD sin A=1×sin 60°=， ∴MG=NH=3-1-=，CM=CN+MN=3+=，   ∴CG==， ∴四边形周长的最小值为+6． 故答案为：+6． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，对称原理，熟练掌握矩形的性质，灵活运用三角函数，勾股定理计算是解题的关键． 【典例】2．（2024·江苏苏州·二模）如图，等边的边长为3，点D在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：①与可能相等；②与可能相似；③四边形面积的最大值为；④四边形周长的最小值为，其中，正确结论的序号为 . 【答案】②③/③② 【分析】①根据三角形三边之间的关系得，进而得，同理得，即，进而得，由此得与不可能相等． ②假设与相似，设，利用相似三角形对应边成比例，列比例式得出x的值，再与x的取值范围进行比较，即可判断相似是否成立； ③过P作于E，过D作于F，过C点作于G点，利用函数求四边形面积的最大值．设，可表示出，，可用函数表示出，，再根据，依据，即可得到四边形面积的最大值； ④作D点关于直线的对称点，作，且，连接交 于P点，将P点沿射线平移得Q点，连接、、，则可得四边形是平行四边形．进而可得则四边形的周长，此时四边形的周长最小，计算出，根据勾股定理即可求出的值，进而可得四边形周长的最小值，即可得解． 【详解】①在中，， ， ， 即， 当Q点与A点重合时， ． 在中，， ， ， ， ， 当P点与B点重合时， ． 综上，当Q点与A点重合时，； 当P点与B点重合时，； 当P、Q不与A、B重合时． ∴与不可能相等， 故①错误． ②设， ，， ， ． 假设与相似， ， ， ， 整理得，， 解得：，， ， ∴或1.5都符合题意， ∴与可能相似， 故②正确． ③如图，过P作于E，过D作于F，过C点作于G点． 设，则， ． ， ， ． ，， ， ． 中，，， ， ， ， ∵S随x的增大而增大， ∴当x取最大值2.5时，S的值最大， ， 故③正确． ④如图，作D点关于直线的对称点，作，且，连接交 于P点，将P点沿射线平移得Q点，连接、、， 则，，且四边形是平行四边形， ， 则四边形的周长 ， 此时四边形的周长最小． 连接， ，且， ， ， ，且， ． 在中，， ∴四边形的周长的最小值为， 故④错误． 故答案为：②③ 【点睛】本题综合考查等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、利用函数求最值、动点变化问题等知识．解题关键是熟练掌握数形结合的思想方法，通过用函数求最值、作对称点求最短距离，即可得解． 【典例】3．如图，等边的边长为6，点是边上一点，，、是边上两个动点且，连接、，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查轴对称最短问题，等边三角形的性质，如图，过点作于点，作且，作点关于的对称点，连接交于点，连接，，，当在上时，四边形的周长最小．证明，过点作交的延长线于点．设交于点．求出即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点，作且，作点关于的对称点T，连接交于点P，连接，，，，， ∵作且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵作点关于的对称点T， ∴， ∴， ∴四边形的周长， ∴当在上时，四边形的周长为，此时周长最小， 是等边三角形， ， ，， ， ， ，，， 四边形是矩形， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 过点作交的延长线于点，设交于点，则，， ，， ， ， ∴四边形的周长的最小值， 故答案为：12． 【模型五】三动点模型 【典例】1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是 ． 【答案】 【分析】如图，作点P关于AB，AC的对称点E，F，连接．首先证明E，A，F共线，则，推出EF的值最小时，的值最小，求出PA的最小值，可得结论． 【详解】如图，作点P关于AB，AC的对称点E，F，连接PE，PF，PA，EM，FN，AE，AF． ∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3， ∴BC＝＝＝5， 由对称的性质可知，AE＝AP＝AF，∠BAP＝∠BAE，∠CAP＝∠CAF， ∵∠PAB+∠PAC＝∠BAC＝90°， ∴∠EAF＝180°， ∴E，A，F共线， ∵ME＝MP，NF＝NP， ∴PM+MN+PN＝EM+MN+NF， ∵EM+MN+NF≥EF， ∴EF的值最小时，PM+MN+PN的值最小， ∵EF＝2PA， ∴当PA⊥BC时，PA的值最小，此时PA＝＝， ∴PM+MN+PN≤， ∴PM+MN+PN的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称添加辅助线，把问题转化为两点之间线段最短． 【典例】2．如图，在中，，，，、、分别是边、、上的动点，连接、、，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】 由勾股定理，求出；当点、与点重合，且点运动至时，值最小． 【详解】在中， ∵， ∴ ∵ ∴当点、与点重合，且点运动至时，值最小． ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，垂线短最短，解题的关键是掌握动点问题，垂线短最短． 【典例】3．如图，已知，点为边中点，点在线段上运动，点在线段上运动，连接，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】作梯形ABCD关于AB的轴对称图形，将BC'绕点C'逆时针旋转120°，则有GE'=FE'，P与Q是关于AB的对称点，当点F'、G、P三点在一条直线上时，△FEP的周长最小即为F'G+GE'+E'P，此时点P与点M重合，F'M为所求长度；过点F'作F'H⊥BC'，M是BC中点，则Q是BC'中点，由已知条件∠B=90°，∠C=60°，BC=2AD=4，可得C'Q=F'C'=2，∠F'C'H=60°，所以F'H=，HC'=1，在Rt△MF'H中，即可求得F'M． 【详解】作梯形ABCD关于AB的轴对称图形， 作F关于AB的对称点G，P关于AB的对称点Q， ∴PF=GQ， 将BC'绕点C'逆时针旋转120°，Q点关于C'G的对应点为F'， ∴GF'=GQ， 设F'M交AB于点E'， ∵F关于AB的对称点为G， ∴GE'=FE'， ∴当点F'、G、P三点在一条直线上时，△FEP的周长最小即为F'G+GE'+E'P，此时点P与点M重合， ∴F'M为所求长度； 过点F'作F'H⊥BC'， ∵M是BC中点， ∴Q是BC'中点， ∵∠B=90°，∠C=60°，BC=2AD=4， ∴C'Q=F'C'=2，∠F'C'H=60°， ∴F'H=，HC'=1， ∴MH=7， 在Rt△MF'H中，F'M； ∴△FEP的周长最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了动点问题的最短距离，涉及的知识点有：勾股定理，含30度角直角三角形的性质，能够通过轴对称和旋转，将三角形的三条边转化为线段的长是解题的关键． 一、单选题 1．如图，为正方形边上一点，，，为对角线上一个动点，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D．10 【答案】A 【分析】连接交于P点，根据“两点之间线段最短”，可知的最小值即为线段的长，求出的长即可. 【详解】连接，交于P点 ∵四边形为正方形 ∴A点和C点关于对称 根据“两点之间线段最短”，可知的最小值即为线段的长. ∵， ∴的最小值为5 故选：A     【点睛】本题主要考查了正方形的性质和两点之间线段最短，这是一个将军饮马模型.熟练掌握正方形的性质并且能够识别出将军饮马模型是解题的关键. 2．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（    ） A． B．3 C．2 D．4 【答案】C 【分析】连接BE，交AD于点M，过点E作EF⊥BC交于点F，此时EM＋CM的值最小，求出BE即可． 【详解】解：连接BE，交AD于点M，过点E作EF⊥BC交于点F， ∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线， ∴B点与C点关于AD对称， ∴BM＝CM， ∴EM＋CM＝EM＋BM＝BE，此时EM＋CM的值最小， ∵AC＝6，AE＝2， ∴EC＝4， 在Rt△EFC中，∠ECF＝60°， ∴FC＝2，EF＝2， 在Rt△BEF中，BF＝4， ∴BE＝2， 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活运用勾股定理是解题的关键． 3．如图，等腰三角形的底边长为6，腰的垂直平分线分别交边、于点，，若为边的中点，为线段上一动点，若三角形的周长的最小值为，则等腰三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，可得，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：如图：连接，交于点M， 是等腰三角形，点D是边的中点， ，， 是线段的垂直平分线， 点C关于直线的对称点为点A，， 此时的周长最小， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称−最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形的面积，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 4．如图，在矩形中，，，点E是矩形内部一动点，且，点P是边上一动点，连接、，则的最小值为（    ） A．8 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】根据得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将进行转化即可求解． 【详解】解：如图，设点O为的中点，由题意可知， 点E在以为直径的半圆O上运动，作半圆O关于的对称图形（半圆）， 点E的对称点为，连接,则， ∴当点D、P、、共线时，的值最小，最小值为的长， 如图所示，在中，，， ， 又， ，即的最小值为8， 故选：A． 【点睛】本题考查线段和最短问题、轴对称的性质、勾股定理及圆周角定理，利用“将军饮马”模型将进行转化时解题的关键． 5．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）    A． B．2 C．2 D．3 【答案】A 【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可． 【详解】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，    在Rt△AHB中， ∵∠ABC＝60°，AB＝2， ∴BH＝1，AH＝， 在Rt△AHC中，∠ACB＝45°， ∴AC＝， ∵点D为BC中点， ∴BD＝CD， 在△BFD与△CKD中， ， ∴△BFD≌△CKD（AAS）， ∴BF＝CK， 延长AE，过点C作CN⊥AE于点N， 可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN， 在Rt△ACN中，AN＜AC， 当直线l⊥AC时，最大值为， 综上所述，AE+BF的最大值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键． 二、填空题 6．如图，等边三角形的边上的高为6，是边上的中线，M是线段上的-一个动点，E是中点，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】连接BE交AD于M，则BE就是EM+CM的最小值，通过等腰三角形的“三线合一”，可得BE=AD即可得出结论． 【详解】解：连接BE，与AD交于点M． ∵AB=AC，AD是BC边上的中线， ∴B、C关于AD对称，则EM+CM=EM+BM， 则BE就是EM+CM的最小值． ∵E是等边△ABC的边AC的中点，AD是中线 ∴BE=AD=6， ∴EM+CM的最小值为6， 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质—“三线合一”、等边三角形的性质和轴对称等知识的综合应用，解题关键是找到M点的位置． 7．为等腰直角三角形，为线段上一动点，为边的中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接交于点，连接，根据勾股定理即可求出的长，即 的值最小值. 【详解】 解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，则，根据“两点之间线段最短”可知此时的值最小， 连接， ， ∵点与关于对称， 为边的中点， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称以及求最短路径问题，熟练掌握将军饮马模型是解题的关键. 8．如图，在等腰直角中，，点D，E分别为，上的动点，且，，当的值最小时，的长为 ．    【答案】/ 【分析】过点C作，设，利用勾股定理求得，再根据等腰直角三角形的性质可得，从而可得，即欲求的最小值，相当于在x轴上寻找一点，到点，的距离和的最小值，利用待定系数法求直线的解析式，从而求得，即可求解． 【详解】解：过点C作，设，如图所示，    ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 欲求的最小值，相当于在x轴上寻找一点，到点，的距离和的最小值，如图， 作点F关于x轴的对称点，当E、P、共线时，的值最小，此时， 设直线的解析式为：，得， ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴的值最小，的值为：，      故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的与性质、两点间的距离公式、用待定系数法求一次函数解析式、线段和的最值及勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 9．如图，在中，∠，，点C在直线上，，点P为上一动点，连接，．当的值最小时，的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查等边三角形判定和性质、轴对称最短路径问题、等腰三角形的性质，如图，作B关于的对称点D，连接，的值最小，则交于P，由轴对称易证，结合证得是等边三角形，可得，结合已知根据等腰三角形性质可求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，作B关于的对称点D，连接， ∴，， ∴， ∴当A、P、D三点共线时，最小，即此时的值最小， 由轴对称的性质可得， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 10．如图，在边长为8的正方形中，点G是边的中点，E、F分别是和边上的点，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】24 【分析】作点G关于的对称点，作点B关于的对称点，连接、、，根据对称的性质可得，，再由，，可得当时，四边形的周长有最小值，最小值为，再利用勾股定理求得，最后利用即可求解． 【详解】解：如图，作点G关于的对称点，作点B关于的对称点，连接、、， ∵，， ∴， ∵，   ∴当时，四边形的周长有最小值，最小值为， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的周长的最小值为24， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理，三角形的三边关系，熟练掌握轴对称的性质，构造三角形是解题的关键． 11．如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，与相交于点N．若直线交直线于点O，，，点Q是折痕上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，由折叠的性质及题意易得，则有是等边三角形，进而可得；设，，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得可得，则求得，，进而求得，根据对称性得到，当、Q、E共线时取等号，进而可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， ∴，，， ∵把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕， ∴，，， ∴，即是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，， 则在中，， ∴， ∴， ∵在中，，又 ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵点Q是折痕上的一个动点，点A与点关于对称， ∴连接，则， ∴，当、Q、E共线时取等号，此时点Q在N处， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理及二次根式的运算、含30度角的直角三角形的性质、最短路径问题，熟练掌握折叠的性质、等边三角形的判定与性质、利用轴对称性质求最短路径是解题的关键． 12．如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB=8，M，N是直线BC上的动点，且MN=2，则OM+ON的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据题意，过O作OH∥BC，且令OH=2，连接NH，作O点关于BC的对称点K，连接OK，KH，则OM+ON= NH+ON= NH+ NK≥HK，当H、N、K三点共线的时候，OM+ON有最小值，最小值为HK的长．根据矩形性质及图形的对称性，易知，在中，运用勾股定理求得HK的长即可． 【详解】解：过O作OH∥BC，且令OH=2，连接NH，作O点关于BC的对称点K，连接OK，KH， ∵OH∥BC，OH=MN=2， ∴四边形OMNH是平行四边形， ∴OM=NH， ∴OM+ON= NH+ON． ∵O点关于BC的对称点是点K， ∴ON=NK， ∴OM+ON= NH+ON= NH+ NK， ∵， ∴当H、N、K三点共线的时候，OM+ON有最小值，最小值为HK的长． ∵OH∥BC，O点关于BC的对称点是点K， ∴．   ∵O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，O点关于BC的对称点是点K， ∴OK=AB=8． ∵OH= 2，， ∴， ∴OM+ON的最小值是． 【点睛】本题考查了最短路径问题，矩形性质，勾股定理求直角三角形的边长，其中熟练画出OM+ON取最小值时所对应的线段，是解题的关键． 13．如图，在中，，的面积为12，的垂直平分线交于点F，若D为边的中点，M为线段上的一动点，则周长的最小值为 ．    【答案】8 【分析】连接，根据，的面积为12，D为边的中点，得到，，直线是的垂直平分线，结合的垂直平分线交于点F，设与交于点N，则，；延长到点G，使得，连接交于点H，则，根据等腰三角形三线合一性质，得到直线是线段的垂直平分线，故直线是线段的垂直平分线，故点D与点G关于直线对称，从而得到当点M与定N重合时，，从而得到的周长最小值为． 【详解】如图，连接，因为，的面积为12，D为边的中点， 所以，，直线是的垂直平分线， 因为的垂直平分线交于点F， 设与交于点N，则，； 延长到点G，使得， 连接交于点H，则， 根据等腰三角形三线合一性质，得到直线是线段的垂直平分线， 故直线是线段的垂直平分线， 故点D与点G关于直线对称， 所以当点M与定N重合时，， 所以的周长最小值为： ．    故答案为：8． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，线段的垂直平分线性质，线段最短原理，熟练掌握等腰三角形三线合一性质，线段最短原理是解题的关键． 14．如图，正方形中，点是边上一定点，点、、分别是边、、上的动点，若，则四边形的周长最小时 ．    【答案】 【分析】如图，作点G关于的对称点，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，交于点，连接、，四边形的周长最小，求出此时即可． 【详解】解：如图，作点G关于的对称点，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，交于点，连接、，四边形的周长最小，    由对称的性质知，， ∴，当、、三点共线时值最小； 同理可得：，当、、、四点点共线时值最小； ∵，正方形是正方形； ∴，， 由对称的性质知，，，，，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用作轴对称图形解决最值问题是解题关键． 15．如图，在矩形中，，，点G在边上，P为边上动点，线段垂直平分交于E，且．现给出以下四个结论：①；②；③；④的最小值为；其中正确有 （写出所有正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了三角形全等、勾股定理的应用． 连接，可得是等腰直角三角形，进而证明即可判定①②正确；根据将军饮马模型构造对称由勾股定理可得的最小值为． 【详解】解：连接， ∵线段垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，即：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵与不平行， ∴，故③错误； 取点G关于的对称点，连接交于，则点是所求最小值的点，的最小值为； ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为，故④正确． 综上所述：正确结论有①②④． 故答案为①②④． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 将军饮马最值模型 （两定一动、两动一定、两定两动、两定点一定长、三动点） 目录 模型解读 1 【模型一】两定一动模型 2 【模型二】两动一定模型 3 【模型三】两定两动模型 3 【模型四】两定点一定长模型 4 【模型五】三动点模型 5 真题导航 5 【模型一】两定一动模型 5 【模型二】两动一定模型 7 【模型三】两定两动模型 8 【模型四】两定点一定长模型 9 【模型五】三动点模型 10 模考精练 11 这一经典几何模型源于古代将军在饮马时寻找最短路径的问题，其核心在于利用对称、直线与圆的性质，以及三角形的边长关系，来求解最短距离。 两定一动指的是两个固定点与一个动点构成的路径优化问题； 两动一定则是两个动点围绕一个固定点的路径优化； 两定两动涉及两个固定点和两个动点的路径规划； 两定点一定长问题中，两个固定点间动点的轨迹形成特定长度的线段或圆弧； 三动点问题则更为复杂，涉及三个动点间的相互制约与路径优化。 每一种情况都有其独特的解题技巧和几何美感，通过将军饮马模型，我们可以深入理解几何中的优化思想。 【模型一】两定一动模型 （1）已知：定点在直线的两侧，在直线上有一动点,求：的最小值。 连接与直线的交于点,此时的值最小，为线段的长。即 （2）已知：定点在直线的同侧，在直线上有一动点,求：的最小值。 作点关于直线的对称点,连接与直线交于点,此时的值最小，为线段的长。即 （3）已知：定点在直线的同侧，在直线上有一动点,求：的最大值。 连接并延长，与直线交于点,此时的值最大，为线段的长。即 （4）已知：定点在直线的两侧，在直线上有一动点,求：的最大值。 作点关于直线的对称点,连接并 延长，与直线交于点, 此时的值最大，为线段的长。 即 【模型二】两动一定模型 已知：为内一定点，在射线上分别有两动点, 求：的最小值。 作点关于射线的对称点,连接与两条射线的交点分别为, 此时的值最小，为线段的长。即， 【模型三】两定两动模型 已知：为内两定点， 在射线上分别有两动点, 求：的最小值。 作点Q关于射线的对称点, 作点关于射线的对称点, 连接与两条射线的交点分别为, 此时的值最小，为的长。即， 【模型四】两定点一定长模型 （1）已知：直线,分别为直线上方和直线下方的两个定点（直线不与垂直)，在直线上有两动点, 且, 求：的最小值。 将点向下平移得到点,使, 连接,交直线于点,过点作于点, 此时的值最小，为的长 （2）已知：定点在直线的同侧，长度为的线段在直线上移动（点在 点左侧)， 求： 的最小值。 将点向右平移个单位长度得到点, 作点关于直线的对称点, 连接, 交直线于点, 连接, 将点向左平移个单位长度得到点, 此时有最小值，为的长。即，, 【模型五】三动点模型 已知：分别为上的动点， 求：的最小值。 作点关于的对称点, 连接, 分别交于点, 连接, 由对称性可知 所以， 所以，当四点共线时，有最小值，最小值为线段的长。 且当时，有最小值。 【模型一】两定一动模型 【典例】1．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在菱形ABCD中，，M是对角线BD上的一个动点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【典例】2．（2022·山东德州·中考真题）如图，正方形的边长为6，点在上，，点是对角线上的一个动点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【典例】3．如图，中，，点P为AC边上的动点，过点P作于点D，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D． 【典例】4．如图，在中，，于O，于E，以点O为圆心，为半径作半圆，交于点F，若点F为的中点，，点P是边上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例】5．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（    ） A．4 B． C． D．5 【模型二】两动一定模型 【典例】1．如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 【典例】2．如图，已知正方形的边长为2，点O是边的中点，G为正方形内一动点，且．点P是边上另一动点，连接、，则的最小值为 ． 【模型三】两定两动模型 【典例】1．（2022·山东滨州·中考真题）如图，在矩形中，．若点E是边AD上的一个动点，过点E作且分别交对角线AC，直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，的最小值为 ． 【典例】2．（2023·山东日照·中考真题）如图，矩形中，，点P在对角线上，过点P作，交边于点M，N，过点M作交于点E，连接．下列结论：①；②四边形的面积不变；③当时，；④的最小值是20．其中所有正确结论的序号是 ．    【典例】3．如图，凸四边形中，，若点M、N分别为边上的动点，则的周长最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 【典例】4．如图，点在等边的边上，，射线，垂足为，是射线上一动点，是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 【典例】5．如图所示，已知点，直线与两坐标轴分别交于、两点，、分别是，上的动点，则周长的最小值是 ． 【模型四】两定点一定长模型 【典例】1．如图，等边的边长为6，点在边上，，线段在边上运动，，则四边形周长的最小值为 ． 【典例】2．（2024·江苏苏州·二模）如图，等边的边长为3，点D在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：①与可能相等；②与可能相似；③四边形面积的最大值为；④四边形周长的最小值为，其中，正确结论的序号为 . 【典例】3．如图，等边的边长为6，点是边上一点，，、是边上两个动点且，连接、，则四边形周长的最小值为 ． 【模型五】三动点模型 【典例】1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是 ． 【典例】2．如图，在中，，，，、、分别是边、、上的动点，连接、、，则的最小值是 ． 【典例】3．如图，已知，点为边中点，点在线段上运动，点在线段上运动，连接，则周长的最小值为 ． 一、单选题 1．如图，为正方形边上一点，，，为对角线上一个动点，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D．10 2．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（    ） A． B．3 C．2 D．4 3．如图，等腰三角形的底边长为6，腰的垂直平分线分别交边、于点，，若为边的中点，为线段上一动点，若三角形的周长的最小值为，则等腰三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，，，点E是矩形内部一动点，且，点P是边上一动点，连接、，则的最小值为（    ） A．8 B． C．10 D． 5．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）    A． B．2 C．2 D．3 二、填空题 6．如图，等边三角形的边上的高为6，是边上的中线，M是线段上的-一个动点，E是中点，则的最小值为 ． 7．为等腰直角三角形，为线段上一动点，为边的中点，则的最小值为 ． 8．如图，在等腰直角中，，点D，E分别为，上的动点，且，，当的值最小时，的长为 ．    9．如图，在中，∠，，点C在直线上，，点P为上一动点，连接，．当的值最小时，的度数为 ． 10．如图，在边长为8的正方形中，点G是边的中点，E、F分别是和边上的点，则四边形周长的最小值为 ． 11．如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，与相交于点N．若直线交直线于点O，，，点Q是折痕上的一个动点，则的最小值为 ． 12．如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB=8，M，N是直线BC上的动点，且MN=2，则OM+ON的最小值是 ． 13．如图，在中，，的面积为12，的垂直平分线交于点F，若D为边的中点，M为线段上的一动点，则周长的最小值为 ．    14．如图，正方形中，点是边上一定点，点、、分别是边、、上的动点，若，则四边形的周长最小时 ．    15．如图，在矩形中，，，点G在边上，P为边上动点，线段垂直平分交于E，且．现给出以下四个结论：①；②；③；④的最小值为；其中正确有 （写出所有正确结论的序号）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$