【专项练】利用平行四边形的性质求解或证明-鲁教版五四制八年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 利用平行四边形的性质求解或证明 1．在 ABCD 中， 80A C   ，则 D 的度数是（ ） A．80 B．40 C．70 D．140 2．如图，在 ABCD 中， ADC 的平分线 DE交 BC于点 E，若 11 4AB BE ， ，则 ABCD 的周长为（ ） A．46 B．48 C．50 D．52 3．如图，在 ABCD 中，对角线 AC，BD交于点 O，下列结论一定成立的是（ ） A． AC BD B． =AC BD C．OB OD D． ABC BAC  4．在 ABCD 中，对角线 AC，BD相交于点 O，下列说法正确的是（ ）． A． AC BD B． ACD ABD  C．OB OD D． ACB DBC   5．如图，在 ABCD 中，对角线 AC， BD相交于点O，下列结论正确的是（ ） A． AOB AOD ≌ B． 2BD AO C． AOB 与 AOD 的周长相等 D． AO CO 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 6．如图，在平行四边形 ABCD中， 120ABC  ， 30CDB  ， 2AB  ，则 AD与 BC 间的距离为（ ） A．2 B．1 C． 3 D． 2 7．如图，在平行四边形 ABCD中， ABC 的平分线交 AD于点 E， BCD 的平分线交 AD于 点 F，若 6, 8AB AD  ，则 EF的长是（ ） A．2 B．4 C．5 D．6 8．如图，平行四边形 ABCD中，E、F 是对角线BD上的两点，若添加①BE DF∥ ； ② AF CE ；③ BE DF ；④ BE平分 ABC ，DF平分 ADC 中任意一个条件能够使 ABE CDF△ ≌△ ，则共有几种添法（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，在 ABCD 中， AB BD ，点 E在BD上，DE CE ．如果 70A  ，那么 ECB  °． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 10．如图，在 ABCD 中， ADC 的平分线交 BC于点 E，若 11AB  ， 4BE  ，则 ABCD 的周长为 ． 11．如图，四边形 ABCD是平行四边形，按以下步骤操作：①以点 A为圆心，适当长为半径 画弧，交 AB于点 E，交 AD于点 F；再分别以点 E，F为圆心，以大于 1 2 EF长为半径作弧， 两弧相交于点 M；②以点 D为圆心，适当长为半径画弧，交CD于点 H，交 AD于点 G；再分 别以点 G，H为圆心，以大于 1 2 GH 长为半径作弧，两弧相交于点 N；③作射线 AM DN， 相 交于点 P．若 4 8AP BC ， ，则 PD的长为 ． 12．如图，EF过 ABCD 对角线的交点O，交 AD于点E，交 BC于点F ．则：①OE OF ； ②若 4AB  ， 6AC  ，则2 14BD  ；③ 1 4AOB ABFE S S △ ；④ ABCABFES S △四边形 ．其中 正确的结论有 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 13．如图，在 ABC 中， 60 45BAC ABC     ， ， AD平分 BAC 交 BC于点 D，P为 直线 AB上一动点．连接DP，以DP DB、 为邻边构造平行四边形DPQB，连接CQ，若 4AC  ．则CQ的最小值为 ． 14． ABCD 中，AE BC ，垂足为 E，连接DE，将ED绕点 E逆时针旋转90，得到 EF， 连接 BF． (1)若 =45ABC ， ①如图①，当点 E在线段 BC上时，易证 AED BEF△ ≌△ ，结合图形，请直接写出线段 BF， AE， EC的数量关系是 ；（不需说明理由） ②如图②，当点 E在线段 BC的延长线上时，请写出线段 BF，AE，EC的数量关系，并证明； (2)如图③，若 135ABC  ，当点 E在线段CB延长线上时，猜想并直接写出线段 BF，AE， EC的数量关系是 ．（不需说明理由） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 (3)在（1）、（2）的情况下，若 3BE  ， 5DE  ，则CE  _______．（不需说明理由） 15．数学课上张老师出示了一个问题：如图 1，在 ABCD 中， 90BAC  ，E为 AD边上 一点，连接CE， ACE ACB   ，求证： AE DE ． ①小芳同学说：不必添画辅助线，可以直接利用图 1进行证明． ②小芮同学说：可以添画图 2中的辅助线，然后进行证明． （1）请你选择一名同学的想法，写出证明过程． 【问题探究】 （2）小迪同学在此问题基础上，过点 E作 EF AD ，交 AC于点 F，如图 3，小琳根据小 迪的作法，写出了线段 AB CF AF， ， 之间的数量关系： 2 2 2AB CF AF  ，请你判断这一结 论是否成立，如果成立，请你写出证明过程；若不成立，请你写出关于这三条线段数量关系的 新结论，并证明． 【类比拓展】 （3）小怡同学突发奇想，过点 E作 EF EC ，交 AC于点 F，如图 4，若 ABCD 的面积为 12， 3AB  ，请你直接写出线段EF的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 利用平行四边形的性质求解或证明 1．D 【难度】0.85 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，根据平行四边形的对角相等、邻 角互补以及图形可知 A 与 C 是对角，即可求出 A 和 C 的度数；再根据 D 与 A 是 邻角，即可求得 D ． 【详解】解：如图： 四边形 ABCD为平行四边形， ∴ AB CD∥ ， A C   ， 180A D   ， 80A C     ， 40A  ， 140D  ． 故选：D． 2．D 【难度】0.85 【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边求边长、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，还涉及了平行线的性质，等角对等边，应熟练掌握．根 据平行四边形的性质得到 AD BC ， 11AB CD  ，利用平行线的性质和角平分线推出 CED CDE  ，从而得到 11CE CD  ，求出 BC，即可得到周长． 【详解】解：∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴ AD BC ， 11AB CD  ， ADE CED  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 DE 平分 ADC ， ADE CDE   ， CED CDE  ， 11CE CD   ， 4BE  ， 15BC BE CE    ， 平行四边形 ABCD的周长 2( ) 52CD BC   ， 故选：D． 3．C 【难度】0.85 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的性质是解本题的关键． 【详解】解：四边形 ABCD是平行四边形，  AC与BD不一定垂直， AC与BD不一定相等， 故 A不符合题意，B不符合题意； 四边形 ABCD是平行四边形，对角线 AC与BD交于点 O， OB OD ， 故 C符合题意；  AC与 BC不一定相等，  ABC 与 BAC 不一定相等， 故 D不符合题意， 故选：C． 4．C 【难度】0.85 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边行的性质是解答本题的关键．平行 四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形 的对角线互相平分．根据平行四边形的性质逐项分析即可． 【详解】如图， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 A．∵四边形 ABCD是平行四边形，∴ AC BD 不一定正确； B．∵四边形 ABCD是平行四边形，∴ AB CD∥ ，∴ ACD CAB   ，∵OB与OA不一定相 等，∴ CAB 与 ABD 不一定相等，∴ ACD ABD  一定正确； C．∵四边形 ABCD是平行四边形，∴OB OD ，正确； D．∵四边形 ABCD是平行四边形，∴OB与OC不一定相等，∴ ACB DBC   不一定正 确． 故选 C． 5．D 【难度】0.85 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴OA OC ， AD BC ， ADC ABC  ， 2 2AC OA OC  ，故 D正确，符合题意； ∵ AC与 BD不一定相等，故 B错误，不符合题意； ∵ AB与 AD不一定相等，故 AOB 与 AOD 的周长不一定相等，故 C错误，不符合题意， ∴ΔAOB 和 AOD 不一定全等，故 A错误，不符合题意； 故选：D． 6．C 【难度】0.85 【知识点】含 30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质，含 30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌 握平行四边形的性质是解答本题的关键．先求出 90CBD  ，利用 30度角的性质求出 1BC  ， 然后利用勾股定理求出 3BD  即可． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 【详解】解：∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴ 2, ,CD AB AD BC AB DC    ， ∵ 120ABC  ， ∴ 60BCD  ， ∵ 30CDB  ， ∴ 180 30 60 90CBD        ， ∴ 1 1 2 BC CD  ， ∴ 2 22 1 3BD    ． 故选 C． 7．B 【难度】0.85 【知识点】根据等角对等边证明边相等、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等 腰三角形的性质解题．根据平行四边形的性质可知 DFC FCB  ，又因为CF平分 BCD ， 所以 DCF FCB   ，则 DFC DCF  ，则DF DC ，同理可证 AE AB ，那么EF就 可表示为 2AE FD BC AB BC    ，继而可得出答案． 【详解】解：∵平行四边形 ABCD， ∴ DFC FCB  ， 又CF平分 BCD ， ∴ DCF FCB   ， ∴ DFC DCF  ， ∴DF DC ， 同理可证： AE AB ， ∵ 6 8AB AD BC  , ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 ∴ 2 4AB BC AE FD BC EF      ． 故选：B． 8．C 【难度】0.85 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根 据全等三角形的判定定理，逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴ AB CD ， AB CD∥ ， ABC ADC   ， ∴ BAE DCF   （两直线平行，内错角相等）． ∵当BE DF∥ 时， BEF DFE   （两直线平行，内错角相等）， ∴ AEB CFD   （等角的补角相等）， 在 ABE 和 CDFV 中， BAE DCF AEB CFD AB CD        ， ∴  AASABE CDF≌△ △ ， ∴条件①能够使 ABE CDF△ ≌△ ； ∵当 AF CE 时， ∴ AF EF CE EF   ，即 AE CF ， 在 ABE 和 中， AE CF BAE DCF AB CD       ， ∴  SASABE CDF≌△ △ ， ∴条件②能够使 ABE CDF△ ≌△ ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 ∵当 BE DF 时，无法根据全等三角形的判定定理证明 ABE CDF△ ≌△ ， ∴条件③不能够使 ABE CDF△ ≌△ ； ∵当 BE平分 ABC ，DF平分 ADC 时， 在 ABE 和 中， BAE DCF AB CD ABE CDF        ， ∴  ASAABE CDF≌△ △ ， ∴条件④能够使 ABE CDF△ ≌△ ． ∴有①②④，3种添法． 故选：C． 9．30 【难度】0.65 【知识点】等边对等角、利用平行四边形的性质证明 【分析】根据等腰三角形性质及平行四边形性质求解即可得到答案． 【详解】解： AB BD ， 70A  ， 70BDA A   ， 在 ABD△ 中，根据三角形内角和定理可得 180 2 70 40ABD      ， 在 ABCD 中， AB CD∥ ，则 40BDC ABD    ， 又 DE CE ， 40DCE BDC   ， 在 ABCD 中， 70BCD A   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 70 40 30ECB BCD DCE       ， 故答案为：30． 【点睛】本题考查平行四边形背景下求角度，涉及等腰三角形性质、平行四边形的性质，熟练 掌握平行四边形性质是解决问题的关键． 10．52 【难度】0.65 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等、利用 平行四边形的性质证明 【分析】先证明CE CD ，进而根据平行四边形的性质可求出 ABCD 的周长． 【详解】解：∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴ 11CD AB  ， AD BC ， AD BC∥ ， ∴ ADE CED  ． ∵ ADC 的平分线交 BC于点 E， ∴ ADE CDE  ， ∴ CED CDE  ， ∴ 11CE CD  ， ∵ 4BE  ， ∴ 11 4 15BC    ， ∴ ABCD 的周长  11 15 2 52    ． 故答案为：52． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等角对等边，平行线的性质，熟练 掌握平行线的性质是解答本题的关键． 11．4 3 【难度】0.65 【知识点】化为最简二次根式、作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、利用平行四边 形的性质证明 【分析】此题考查了平行四边形的性质、角平分线的作图、勾股定理等知识，根据平行四边形 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 的性质得到 8AD BC  ，AB CD∥ ，根据平行线的性质得到 180BAD ADC   ，根据 角平分线的定义得到  1 90 2 PAD PDA BAD ADC      ，根据勾股定理即可得到结 论． 【详解】解：∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴ 8AD BC  ， AB CD∥ ，， ∴ 180BAD ADC   ， 由作图知， AP平分 BAD ，DP平分 ADC ， ∴  1 90 2 PAD PDA BAD ADC      ， ∴ 90APD  ， ∴ 2 2 2 28 4 4 3PD AD AP     ， 故答案为： 4 3． 12．①②④ 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，牢记平行四边形的性质和全 等三角形的判定定理是解题关键． 根据平行四边形的性质可得到 AOE COF△ ≌△ ，可判断①正确；根据三角形三边关系可得到 1 7BO  ，进而求得BD的取值范围，可判断②正确；根据平行四边形的性质可知O为 BD中 点，则 1 2AOB ABD S S △ ，进而求得 AOBS 与 ABCDS 的数量关系，可判断③正确；根据 AOE COF△ ≌△ ，利用 ABFOS四边形 ，可判断④正确． 【详解】①∵四边形 ABCD为平行四边形， ∴ AO CO ， AD BC∥ ． ∴ OAE OCF   ， AEO CFO   ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 在 AOE△ 和 COF 中， OAE OCF AEO CFO AO CO         ， ∴ AOE COF△ ≌△ ． ∴OE OF ． 故①正确． ②∵四边形 ABCD为平行四边形， ∴ 1 3 2 AO AC  ， 2BD BO ． 又 4AB  ， ∴1 7BO  ． ∴ 2 14BD  ． 故②正确． ③∵O为BD的中点， ∴ 1 2AOB ABD S S △ ． ∴ 1 1 2 4AOB ABD ABCD S S S V V Y ． 故③错误． ④∵ AOE COF△ ≌△ ， ∴ AOE COFAOFB AOFBS S S S  △ △四边形 四边形 ． ∴ ABCABFES S △四边形 ． 故④正确． 故答案为：①②④． 13． 2 3 2 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 四边形的性质证明 【分析】过 C作CO AB 于 O，过 D作DH AB 于 H，如图 1，利用直角三角形的性质和勾 股定理，求出 2 3OC  ，则可求得 2 3OB CO  ， 2 3 2AB AO BO    ，继而求出 2DH  ；过 Q作QG AB 于 G，连接DQ交 AB于 M，  AASQGM DHM ≌ ，得到 2QG DH  ，故 Q到直线 AB的距离始终为 2，所以 Q点在平行于 AB的直线上运动，且 两直线距离为 2，根据垂线段最短，当 C，O，Q三点在一条直线上时，此时CQ最小，最小 值为： 2CO ，即可求解． 【详解】解：如图 1，过 C作CO AB 于 O，过 D作DH AB 于 H， 在Rt ACO 中， 60CAB  ， ∴ 30ACO  ， ∴ 1 2 2 AO AC  ， ∴ 2 2 2 3OC AC CO   ， 在Rt BCO△ 中， 45CBA  ， ∴ 2 3OB CO  ， ∴ 2 3 2AB AO BO    ， ∵ AD平分 BAC ， ∴ 1 30 2 DAB CAB    ， 在Rt DHB△ 中， 45CBA  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 可设DH HB a  ， ∴ 2 2AD DH a  ， ∴ 2 2 3AH AD DH a   ， ∴ 3AB AH BH a a    ， ∴ 3 2 3 2a a   ， ∴ 2a  ， ∴ 2DH  ， 如图 2，过 Q作QG AB 于 G，连接DQ交 AB于 M， ∵四边形DPQB为平行四边形， ∴DM QM ， 在 与 DHM△ 中， 90QGM DHM QMG DMH QM DM          ∴  AASQGM DHM ≌ ， ∴ 2QG DH  ， 故 Q到直线 AB的距离始终为 2， 所以 Q点在平行于 AB的直线上运动，且两直线距离为 2， 根据垂线段最短， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 当 C，O，Q三点在一条直线上时，此时CQ最小，如图 3， 最小值为： 2 2 3 2CO    故答案为： 2 3 2 ． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，垂直线段最短，平行线间的距 离，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，本题属动点最短距离问题，综合性较强． 14．(1)①BF AE EC  ；② BF AE EC  ，证明见解析 (2)BF EC AE  (3)1或 7 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和 SAS综合（SAS）、根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三 角形、利用平行四边形的性质证明 【分析】（1）①根据全等三角形的性质和平行四边形的性质直接可以得出结论； ②利用等腰三角形的判定证 AE BE ，根据SAS证明 AED BEF△ ≌△ ，根据全等三角形的 性质，结合平行四边形的性质证明即可； （2）利用 135ABC  证 AE BE ，再证全等三角形，结合平行四边形的性质即可得出结 论； （3）利用（1）、（2）的结论，把 3BE  ， 5DE  代入计算即可． 【详解】（1）①BF AE EC  ，证明如下： ∵ AED BEF△ ≌△ ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 ∴ BF AD ， BE AE ， ∵ ABCD ， ∴ AD BC ， ∴BF BC BE EC AE EC     ， 即BF AE EC  ； ②线段 AE， EC， BF的数量关系是：BF AE EC  ， 证明：∵ AE BC ∴ 90AEB  ， ∵ 45ABC  ， ∴ 90 90 45 45BAE ABE       ， ∴ BAE ABE   ∴ AE BE 由旋转可知： 90DEF  ， ED EF ， ∴ DEF AEF AEB AEF     ， ∴ AED BEF   在 AED△ 和 BEF△ 中 ED EF AED BEF AE BE       ， ∴ SASAED BEF ≌ （ ）， ∴ AD BF ， ∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴ AD BC ∴BC BF ， ∵BC BE EC AE EC    ， ∴BF AE EC  ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 （2）BF EC AE  ，证明如下： ∵ AE BC ∴ 90AEB  ， ∵ 135ABC  ， ∴ =45ABE ， 90 90 45 45BAE ABE       ， ∴ BAE ABE   ∴ AE BE 由旋转可知： 90DEF  ， ED EF ， ∴ DEF DEC AEB DEC     ， ∴ AED BEF   在 AED△ 和 BEF△ 中 ED EF AED BEF AE BE       ， ∴  SASAED BEF ≌ ， ∴ AD BF ， ∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴ AD BC ∴BC BF ， ∵BC EC BE EC AE    ， ∴BF EC AE  ． （3）如图①，∵四边形 ABCD是平行四边形， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 ∴ AD BC∥ ， ∴ 90EAD AEB    ∵ BEF AED≌△ △ Rt EBF△ 中， 5EF DE  ， 3BE AE  ， 2 2 2 25 3 4BF EF BE= - = - = 由 AE EC BF  ，得 4 3 1EC BF AE= - = - = ； 如图②， 3BE  ，则 3AE  ， Rt ADE 中， 2 2 2 25 3 4AD DE AE= - = - = ， ∴ 4BC AD  ，与 3BE  矛盾，故图②中，不存在 3BE  ， 5DE  的情况； 如图③， ∵四边形 ABCD是平行四边形 ∴ AD BC∥ ∴ 180EAD AEB    ∵ 90AEB   ∴ 90EAD   原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 Rt AED△ 中， 3AE BE  ， 2 2 2 25 3 4AD DE AE= - = - = ∴ 4BF AD  由EC AE BF  知， 3 4 7EC AE BF= + = + = ． 综上， 1CE  或 7． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行四边形的性质，勾股定 理，旋转的性质，综合运用相关的知识是解题的关键． 15．（1）任选一种，证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3） 15 8 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行 四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股 定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质，即可证明； （2）连接DF，可得 AF DF ，利用勾股定理，即可证明； （3）过点F 作FM BC ，取 AC的中点，连接MN，可得 5 3, 2, 2 2 MC MN CN   ，设 FN x ，利用勾股定理列方程，即可解得． 【详解】解：（1）①小芳同学的解法 证明：如图 1， ∵四边形 ABCD是平行四边形， ,AB CD AD BC   ， ,ACD BAC ACB CAD      ， 90BAC   ， 90ACD BAC    ， 90 , 90CAD ADC ACE ECD       ， ACE ACB  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 ,ACE CAD ADC ECD      ， ,AE CE CE DE   ， AE DE  ； ②小芮同学的解法： 证明：如图 2，延长BA与CE的延长线相较于点 G 90BAC   ， 90CAG BAC    ， ACE ACB  ， ACB ACG△ ≌△ ， AB AG  ， ∵四边形 ABCD是平行四边形 ,AB CD AB CD ∥ ， ,G DCE EAG EDC      ， AG CD  ，  AASAEG DEC ≌ ， AE DE  ； （2）成立，理由如下： 证明: 如图，连接DF ,EF AD AE DE  ， AF DF  ， 由(1) 得 =90ACD ， ∴在Rt CDF△ 中, ² ² ²CD CF DF  ∵四边形 ABCD是平行四边形 AB CD  ² ² ²AB CF AF   ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 （3）如图，过点F 作FM BC ，取 AC的中点，连接MN，  EF EC ，FM BC ， FMC FEC   ，  ACE ACB   ，CF CF ，  AASFMC FEC ≌ ， 1 2 CE CM AD   ，EF FM ，  90BAC  ， ABCD 的面积为 12， 3AB  ， 12, 4 3 AD BC AC    , 1 3 , 2 2 MN AB MN AB   ∥ ， 1 2 2 CN AC  ， 90MNC  ， 根据勾股定理可得 2 2 5BC AB AC   ， 5 2 CM  ， 设FN x ， 根据勾股定理可得 2 2 2 2 9 4 FM FN MN x    ， 2 2 2FC FM MC   ， 即  2 2 9 252 4 4 x x    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 19 解得 9 8 x  ， 2 2 15 8 EF FM FN MN    