【专项练】补充条件判定特殊平行四边形-鲁教版五四制八年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 补充条件判定特殊平行四边形 1．如图，已知四边形 ABCD是平行四边形， AC BD、 是它的两条对角线，下列条件中能判 定这个平行四边形为矩形的是（ ） A． AC BD B． BAD BCD  C． AD AB D． AC BD 2．下列条件中，能判定平行四边形 ABCD是矩形的是（ ） A． AC BD B． AB AD C． AC BD D． AB AC 3．如图，四边形 ABCD是平行四边形，下列说法能判定四边形 ABCD是菱形的是（ ） A． AB AD B． AB AC C． AB CD D． BD AC 4．在四边形 ABCD中，AB CD ，AD BC ，加下列条件能使四边形 ABCD为菱形的是( ) A． AC BD B． AB AC C． A B   D． AC BD 5．如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC与BD相交于点O，添加下列条件不能判定矩形 ABCD 为正方形的是（ ） A． AC BD B． AB AD C． BAO ABO   D． BAC DAC  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 6．如图，菱形 ABCD的对角线 AC，BD相交于点O，那么下列条件中，能判断菱形 ABCD 是正方形的为（ ） A． AB AD B． AC BD C． AC BD D． AO CO 7．如图，在 ABCD 中，AC BD、 相交于点 O，点 E、F在BD上，BE DF ，顺次连接 A、 F、C、E，添加一个条件使得四边形 AECF是矩形，则该条件可以是 .（填一个即可） 8．如图，在平行四边形 ABCD中，过对角线 AC中点 O作直线分别交 BC，AD于点 E，F， 只需添加一个条件即可证明四边形 AECF是矩形，这个条件可以是 （写出一个即可）． 9．如图，在ΔABC中，D为 BC上一点，DE AB∥ ，DF AC∥ ．请你再添加一个适当的条 件： ，使四边形 AFDE为菱形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 10．在平行四边形 ABCD中，对角线 AC与BD相交于点O，分别添加下列条件：① AC BD ； ② AB BC ；③ AC平分 BAD ；④ AO BO ．使得平行四边形 ABCD是菱形的条件 有 ．（填序号） 11．如图，已知四边形 ABCD是菱形，AC、BD交于点O，请你添加一个条件，使菱形 ABCD 成为正方形.你添加的条件是 . 12．▱ ABCD的对角线 AC与 BD相交于点 O，且 AC⊥BD，请添加一个条件： ， 使得▱ ABCD为正方形． 13．如图，M 是 ABCD 的边 AD的中点，现有以下三个选项：① 1 2   ；②BM CM ； ③ 2 4  ．从中选择一个合适的选项作为已知条件，使 ABCD 为矩形． (1)你添加的条件是________（填序号）． (2)添加条件后，请证明 ABCD 为矩形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 14．小惠自编一题：“如图，在四边形 ABCD中，对角线 AC，BD交于点 O， AC BD ， OB OD ，求证：四边形 ABCD是菱形．”之后她将自己的证明过程与同学小洁交流． 小惠：证明： AC BD ， OB OD ， AC 垂直平分 BD， AB AD  ，CB CD ， 四边形 ABCD是菱形． 小洁：这个题目还缺少条件，需要补充一 个条件才能证明． 你赞同谁的证法？若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明． 15．如图，在四边形 ABCD中， AB CD ，E F G H， ， ， 分别为 AD BC BD AC， ， ， 的中 点，顺次连接E G F H， ， ， ． (1)求证：四边形EGFH 是菱形； (2)当 ABC 与 DCB 满足什么关系时，四边形 EGFH 为正方形？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 补充条件判定特殊平行四边形 1．A 【难度】0.85 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的判定．熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 根据矩形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：当 AC BD 时，四边形 ABCD是矩形，故 A符合要求； BAD BCD  ，不能判定平行四边形 ABCD为矩形，故 B不符合要求； AD AB ，不能判定平行四边形 ABCD为矩形，故 C不符合要求； AC BD ，不能判定平行四边形 ABCD为矩形，故 D不符合要求； 故选：A． 2．A 【难度】0.85 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的判定方法，由矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行 判断即可． 【详解】∵ AC BD ，即对角线相等， ∴平行四边形 ABCD是矩形， ∴A选项符合题意； ∵ AB AD ，即一组邻边相等， ∴平行四边形 ABCD是菱形，不能判定是矩形； ∴B选项不符合题意； ∵ AC BD ，即对角线垂直 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 ∴平行四边形 ABCD是菱形，不能判定是矩形； ∴C选项不符合题意； ∵ AB AC ，即一组边和对角线垂直， ∴平行四边形 ABCD不能判定是矩形； ∴D选项不符合题意； 故选：A． 3．A 【难度】0.85 【知识点】证明四边形是矩形、添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和 矩形的判定是解题的关键．由菱形的判定、平行四边形的性质、矩形的判定分别对各个选项进 行判断即可． 【详解】解：A、四边形 ABCD是平行四边形， AB AD ，平行四边形 ABCD是菱形， 故选项 A符合题意； B、由四边形 ABCD是平行四边形， AB AC ，不能判定四边形 ABCD是菱形，故选项 B 不符合题意； C、由四边形 ABCD是平行四边形，AB CD ，不能判定四边形 ABCD是菱形，故选项 C不 符合题意； D、四边形 ABCD是平行四边形， BD AC ，平行四边形 ABD是矩形，故选项 D不符 合题意； 故选：A． 4．D 【难度】0.85 【知识点】证明四边形是矩形、添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，先证四边形 ABCD是平行四边形，再由菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：∵ AB CD ， AD BC ， ∴四边形 ABCD是平行四边形， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 A、∵ AC BD ， ∴平行四边形 ABCD为矩形，故选项 A不符合题意； B、由 AB AC ，不能判定四边形 ABCD为菱形，故选项 B不符合题意； C、∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴ AD BC∥ ， ∴ 180A B   ， ∵ A B   ， ∴ 90A B    ， ∴平行四边形 ABCD是矩形，故选项 C不符合题意； D、∵ AC BD ， ∴平行四边形 ABCD为菱形，故选项 D符合题意； 故选：D． 5．C 【难度】0.85 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】本题考查了正方形的判定定理，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法． 根据正方形的判定方法即可一一判断． 【详解】解：A、对角线垂直的矩形是正方形，不符合题意； B、邻边相等的矩形是正方形，不符合题意； C、由 BAO ABO   无法证明矩形 ABCD为正方形，故符合题意； D、∵在矩形 ABCD中，， AD BC∥ ， ∴ DAC ACB  ， ∵ BAC DAC  ∴ BAC ACB  ， ∴ AB BC ， ∴矩形 ABCD是正方形，故不符合题意． 故选：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 6．B 【难度】0.85 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】本题考查正方形的判定．根据菱形的性质和正方形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：A、由 AB AD ，不能判断菱形 ABCD是正方形；故 A不符合题意； B、四边形 ABCD是菱形， AC BD ， 菱形 ABCD是正方形，故 B符合题意； C、由 AC BD 不能判断菱形 ABCD是正方形；故 C不符合题意； D、由 AC BD 不能判断菱形 ABCD是正方形；故 D不符合题意． 故选：B． 7． 90EAF  （答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】利用平行四边形的性质证明、添一条件使四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，由矩形的判定可得出答案，熟记矩形的 判定定理是解题的关键． 【详解】解：添加 90EAF  使得四边形 AECF是矩形． 四边形 ABCD是平行四边形， OA OC  ，OB OD ， BE DF ， OE OF  ， 四边形 AECF是平行四边形， 90EAF   ， 四边形 AECF是矩形． 故答案为： 90EAF  ． 8．AC=FE或 AE⊥BC等（答案不唯一，只要满足题意即可）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和 ASA（AAS）综合（ASA或者 AAS）、利用平行四边形性质和判定 证明、添一条件使四边形是矩形 【分析】由 ABCD为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边 AD与 BC平行，然后利用 两直线平行得到两对内错角相等，再根据O为AC的中点及AAS可得三角形AOF与三角形COE 全等，从而可得 OF=OE，并得到 AFCE为平行四边形，若再添加 AC=FE，根据对角线相等的 平行四边形为矩形可得 AFCE为矩形；若添加 AE垂直于 BC，由垂直定义可得∠AEC=90°，根 据有一个角为直角的平行四边形为矩形可得 AFCE为矩形，所添的条件不唯一，只要满足题意 即可． 【详解】∵四边形 ABCD是平行四边形（已知）， ∴AD//BC（平行四边形的对边平行）， ∴∠CAF=∠ACE，∠EFA=∠CEF（两直线平行，内错角相等）， 由已知可得 OA=OC， ∴在△AOF和△COE中， ∠CAF=∠ACE，∠EFA=∠CEF ，OA=OC， ∴△AOF≌△COE(AAS)； ∴OF=OE（全等三角形的对应边相等），又 OA=OC， ∴四边形 AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形）； （1）若添加 AC=FE，由对角线相等的平行四边形为矩形可得四边形 AFCE为矩形； （2）若添加 AE⊥BC，可得∠AEC=90°，由有一个角为直角的平行四边形为矩形可得四边形 AFCE为矩形， 故答案为：AC=FE或 AE⊥BC等（答案不唯一，只要满足题意即可）． 【点睛】本题考查平行四边形的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的 判定与性质，以及矩形的判定是解题关键． 9． AE AF （答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】证明四边形是平行四边形、添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查了平行四边形和菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．先根据 平行四边形的判定可得四边形 AFDE是平行四边形，再根据菱形的判定即可得． 【详解】解： DE AB∥ ，DF AC∥ ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 四边形 AFDE是平行四边形，  AE AF ， 四边形 AFDE为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）， 故答案为： AE AF （答案不唯一）． 10．①②③ 【难度】0.65 【知识点】添一条件使四边形是矩形、添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定，根据菱形的判定定理逐一判断即可求解，掌握菱形的判定方 法是解题的关键． 【详解】解：当 AC BD 时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得平行四边形 ABCD是菱形，①正确，故符合要求； 当 AB BC 时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得平行四边形 ABCD是菱形，② 正确，故符合要求； 当 AC平分 BAD 时，如图，则 BAC DAC  ， ∵ AB CD∥ ， ∴ BAC ACD   , ∴ DAC ACD  ， ∴ AD CD ， ∴平行四边形 ABCD是菱形，③正确，故符合要求； 当 AO BO 时，如图，则 AC BD ， ∴平行四边形 ABCD是矩形，④错误，故不合要求； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 故答案为：①②③． 11． AB BC （答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】本题主要考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．依据正方形 的判定定理进行判断即可． 【详解】解：四边形 ABCD是菱形， 当有一个内角是直角或对角线相等时，菱形 ABCD为正方形， 当 AB BC 或 AC BD 时，菱形 ABCD为正方形， 故答案为： AB BC 或 AC BD ． 12．∠BAD＝90°(答案不唯一) 【难度】0.65 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【详解】试题分析：∵▱ ABCD的对角线 AC与 BD相交于点 O，且 AC⊥BD，∴▱ ABCD是 菱形，当∠BAD=90°时，▱ ABCD为正方形．故答案为∠BAD=90°． 考点：正方形的判定；平行四边形的性质． 13．(1)①或②（选一项即可） (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，由矩形 的性质和全等三角形的判定证得  SSSABM DCM ≌ ，并熟练掌握矩形的判定方法是解决问 题的关键． （1）根据矩形的判定定理选择条件即可； （2）选择①：过点M 作 AB的平行线，交 BC于点N ，过点N 作 ,BM CM 的垂线段交于点 ,E F，证明Rt RtEBN FCN ≌ ，进而即可得到结论； 选择②：根据平行四边形的性质得到 AB DC ， AB DC ，求得 180A D   ，根据全 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 等三角形的性质得到 A D  ，根据矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）解：①或②（选一项即可）； （2）选择①：证明：如图，过点M 作 AB的平行线，交 BC于点N ，过点N 作 ,BM CM 的 垂线段交于点 ,E F， 四边形 ABCD是平行四边形， AB DC ∥ ， AB MN DC ∥ ∥ ， 1 2BMN CMN       ， ,NE BM NF MC  ， EN FN  ， AD BC∥ ， 四边形 ,AMNB MNCD为平行四边形， M 是 ABCD 的边 AD的中点， AM BN MD NC    ， 在Rt EBN 和Rt FCN△ 中， BN CN NE NF    ，  Rt Rt HLEBN FCN  ≌ ， 3 4  ， 1 3 2 4    ，即 ABC DCB  ， 180ABN DCB    ， 90ABN DCB    ， ABCD 为矩形； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 选择②：证明：四边形 ABCD是平行四边形， AB DC ∥ ， AB DC ， 180A D   ， M 是 ABCD 的边 AD的中点， MA MD  ， 在 ABM 和 DCM△ 中， AB DC AM DM BM CM      ，  SSSABM DCM ≌ ， A D   ， 90A D    ， ABCD 为矩形． 14．补充条件：OA OC ，利用见解析 【难度】0.65 【知识点】添一个条件使四边形是菱形、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查菱形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据对角线互 相垂直的平行四边形是菱形进行证明． 【详解】证明：赞成小洁的说法，补充条件：OA OC ， ,OA OC OB OD  四边形 ABCD是平行四边形， AC BD 平行四边形 ABCD是菱形． 15．(1)证明见解析； (2)当 90ABC DCB   时，四边形 EGFH 为正方形，理由见解析． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 【难度】0.4 【知识点】证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的证明、证明四边形是菱形、添一 个条件使四边形是正方形 【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到 1 2 EG AB ， 1 2 EH CD ， 1 2 HF AB ， EG AB∥ ，HF AB∥ ，进而得到HF EG∥ ，HF EG ，即可得四边形EGFH 是平行四 边形，又由 AB CD 得 EG EH ，即可得到四边形EGFH 是菱形； （2）根据平行线的性质得到 ABC HFC  ， DCB GFB  ，根据平角的定义，得到 90GFH  ，根据正方形的判定即可得到结论； 本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，掌握以上 定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵E F G H、 、 、 分别为 AD BC BD AC、 、 、 的中点， ∴EG EH HF、 、 分别为 ABD ADC ABC  、 、 的中位线， ∴ 1 2 EG AB ， 1 2 EH CD ， 1 2 HF AB ，EG AB∥ ，HF AB∥ ， ∴HF EG∥ ，HF EG ， ∴四边形EGFH 是平行四边形， ∵ AB CD ， ∴EG EH ， ∴平行四边形EGFH 是菱形； （2）解：当 90ABC DCB   时，四边形EGFH 为正方形． 理由：∵GF CD∥ ，HF AB∥ ， ∴ ABC HFC  ， DCB GFB  ， ∵ 90ABC DCB   ， ∴ 90HFC GFB ABC DCB      ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 ∴  180 180 90 90GFH HFC GFB         ， ∴菱形EGFH 是正方形．