10.3 实际问题与二元一次方程组（第3课时）课件　2024-2025学年人教版数学七年级下册

第十章　二元一次方程组 10.3　实际问题与二元一次方程组（第 3 课时） 　　回顾　利用二元一次方程组解决实际问题的一般过程是什么？ 新课导入 分析实际问题中的数量关系 找出相等关系 选择适当未知数、列方程组求解 得到实际问题的答案 　　探究　如图，丝路纺织厂与 A，B 两地由公路、铁路相连．这家纺织厂从 A 地购 进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往 B 地．已知长绒棉的进价为 3.08 万元/t， 纺织面料的出厂价为 4.25 万元/t，公路运价为 0.5 元/(t • km)，铁路运价为 0.2 元/(t • km)，且这两次运输共支出公路运费 5 200 元，铁路运费 16 640 元．那么这批纺织面 料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的价格）与运输费的和多多少元？ 新知探究 A B 公路 20 km 铁路 120 km 公路 10 km 丝路纺织厂 铁路 110 km 销售额－（原料费＋运输费） 　　探究　如图，丝路纺织厂与 A，B 两地由公路、铁路相连．这家纺织厂从 A 地购 进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往 B 地．已知长绒棉的进价为 3.08 万元/t， 纺织面料的出厂价为 4.25 万元/t，公路运价为 0.5 元/(t • km)，铁路运价为 0.2 元/(t • km)，且这两次运输共支出公路运费 5 200 元，铁路运费 16 640 元．那么这批纺织面 料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的价格）与运输费的和多多少元？ 未知 可知 长绒棉进价、纺织面料出厂价 公路、铁路运价 公路、铁路运费 公路、铁路里程数 新知探究 已知数 4 长绒棉进价：3.08 万元/t，纺织面料出厂价：4.25 万元/t 公路运价：0.5 元/(t • km)，铁路运价：0.2 元/(t • km) 公路运费：5 200 元，铁路运费：16 640 元 公路、铁路里程数 已知数 　　问题 1　结合实际理解问题情境，找出情境中有哪些数量关系． 运输费 　　销售额、原料费和运输费与哪些已知数相关？列出数量关系式． 　　销售额＝纺织面料的出厂价×纺织面料数量， 　　原料费＝长绒棉的进价×长绒棉数量， 　　运输费＝公路运费＋铁路运费， 每部分运费＝运价×数量×里程数． 新知探究 销售额、原料费 未知数 5 　　找出情境中的相等关系： 　　销售额＝纺织面料的出厂价×纺织面料数量， 　　原料费＝长绒棉的进价×长绒棉数量， 　　运输费＝公路运费＋铁路运费， 　　每部分运费＝运价×数量×里程数． 长绒棉 纺织面料 长绒棉 纺织面料 新知探究 公路运费：5 200 元 铁路运费：16 640 元 公路运费：5 200 元 长绒棉从 A 地运往工厂的公路运费 ＋ 纺织面料从工厂运往 B 地的公路运费 铁路运费：16 640 元 长绒棉从 A 地运往工厂的铁路运费 ＋ 纺织面料从工厂运往 B 地的铁路运费 6 　　情境中有哪些数是未知的？ 　　设购进长绒棉 x t，制成纺织面料 y t. 　　销售额＝纺织面料的出厂价×纺织面料数量， 　　原料费＝长绒棉的进价×长绒棉数量， 　　运输费＝公路运费＋铁路运费， 　　每部分运费＝运价×数量×里程数． 公路运费：5 200 元 长绒棉从 A 地运往工厂的公路运费 ＋ 纺织面料从工厂运往 B 地的公路运费 铁路运费：16 640 元 长绒棉从 A 地运往工厂的铁路运费 ＋ 纺织面料从工厂运往 B 地的铁路运费 新知探究 公路运费：5 200 元 铁路运费：16 640 元 7 每部分运费=运价×数量×里程数． 新知探究 　　问题 2　根据相等关系和所设未知数，可以列出怎样的方程？ 　　公路运费：5 200 元 　　A 地→工厂长绒棉运费 　　工厂→B 地纺织面料运费 　　 　　铁路运费：16 640 元 　　A 地→工厂长绒棉运费 　　工厂→B 地纺织面料运费 ＋ ＋ ＝公路运价× A 地→工厂公路里程数×长绒棉数量 ＝公路运价×工厂→B 地公路里程数×纺织面料数量 ＝铁路运价× A 地→工厂铁路里程数×长绒棉数量 ＝铁路运价×工厂→B 地铁路里程数×纺织面料数量 8 　　问题 2　根据相等关系和所设未知数，可以列出怎样的方程？ 　　公路运费：5 200 元 　　公路运价× A 地→工厂公路里程数×长绒棉数量 　　公路运价×工厂→B 地公路里程数×纺织面料数量 　　铁路运费：16 640 元 　　铁路运价× A 地→工厂铁路里程数×长绒棉数量 　　铁路运价×工厂→B 地铁路里程数×纺织面料数量 x t 长绒棉 y t 纺织面料 合计 公路运费/元 铁路运费/元 0.5×10x 0.5×20y 5 200 0.2×120x 0.2×110y 16 640 新知探究 长绒棉进价：3.08 万元/t 纺织面料出厂价：4.25 万元/t 公路运价：0.5 元/(t • km) 铁路运价：0.2 元/(t • km) 9 　　由上表，列得方程组 　　因方程组中未知数系数较大，先化简，依据等式的性质，整理得 　　问题 2　根据相等关系和所设未知数，可以列出怎样的方程？ x t 长绒棉 y t纺织面料 合计 公路运费/元 0.5×10x 0.5×20y 5 200 铁路运费/元 0.2×120x 0.2×110y 16 640 新知探究 0.5(10x＋20y)＝5 200， 0.5(120x＋110y)＝16 640． x＋2y＝1 040， 　　　① 12x＋11y＝8 320．　　　② 10 　　求解方程组． 　　 　　观察方程组的特征，利用代入消元法求解． 　　由①，得　　　　　　　　　　 x＝1 040－2y.　　③ 　　把③代入②，得 　　解这个方程，得 　　　　　　 　y＝320． 　　把 y＝320 代入③，得　　　　　 x＝400． 　　所以这个方程组的解是 新知探究 x＋2y＝1 040， 　　 ① 12x＋11y＝8 320．　　 ② x＝400， y＝320． 12(1 040－2y)＋11y＝8 320． 11 　　根据数量关系求解实际问题． 　　原料费＝长绒棉进价×长绒棉数量＝3.08x＝1 232（万元） 　　销售额＝纺织面料出厂价×纺织面料数量＝4.25y＝1 360（万元） 　　运输费＝公路运费＋铁路运费＝5 200＋16 640＝21 840（元） 　　销售额－（原料费＋运输费）＝13 600 000－(12 320 000＋21 840) 　　　　　　　　　　　 　 ＝ 1 258 160（元） 　　得到实际问题的答案． 　　答：这批纺织面料的销售额比原料费与运输费的和多 1 258 160 元． 新知探究 12 　　例　甲地到乙地由一段上坡路与一段平路组成，一位自行车越野赛运 动员在两地之间进行骑行训练．如果他保持上坡的速度为 30 km/h，平路 的速度为 40 km/h，下坡的速度为 50 km/h，那么他从甲地骑到乙地需 54 min，从乙地骑到甲地需 42 min．甲地到乙地全程是多少千米？ 　　问题中有哪些已知数、未知数和数量关系？ 上坡、平路、下坡的速度 甲地→乙地、甲地←乙地的时间 坡路、平路的路程 已知数 未知数 路程＝速度×时间 数量关系 例题精讲 13 　　找出问题中的相等关系. 甲地 乙地 上坡 平路 已知速度：30 km/h 未知路程：设为 x km 已知速度：40 km/h 未知路程：设为 y km 已知 甲→乙 总共用时：54 min 甲地 乙地 下坡 平路 已知速度：50 km/h 未知路程：设为 x km 已知速度：40 km/h 未知路程：设为 y km 已知 甲←乙 总共用时：42 min 上坡速度：30 km/h，平路速度：40 km/h，下坡速度：50 km/h； 甲地→乙地的时间：54 min，甲地←乙地的时间：42 min； 例题精讲 14 坡路时间/ h 平路时间/ h 总时间/ h 甲地→乙地 甲地←乙地 　　根据相等关系和所设未知数，可以建立怎样的方程？ 例题精讲 15 　　根据相等关系和所设未知数，可以建立怎样的方程？ 　　由表，列得方程组 　　可先化简，也可直接消元求解. 坡路时间/ h 平路时间/ h 总时间/ h 甲地→乙地 甲地←乙地 x 30 ＋ y 40 ＝　 ，　①　 54 60 x 50 ＋ y 40 ＝　 ．　②　 42 60 例题精讲 16 　　求解方程组 　　并得到实际问题的答案． 　　①－②，得　 　　解这个方程，得 　　把 x＝15 代入①，得 　　所以这个方程组的解是 　　根据数量关系：全程＝坡路＋平路＝15＋16＝31（km）. 　　答：甲地到乙地全程是 31 km． x 30 y 40 ＋ ＝　 ，　①　 54 60 y 40 x 50 ＋ ＝　 ．　②　 42 60 x＝15， y＝16． 例题精讲 x 30 x 50 12 60 　 － ＝ 　 ． x＝15． y＝16． 17 　　问题中还有哪些相等关系？ 上坡速度：30 km/h，平路速度：40 km/h，下坡速度：50 km/h； 甲地→乙地的时间：54 min，甲地←乙地的时间：42 min； 甲地 乙地 上坡速度：30 km/h 上坡时间：设为a min 下坡速度：50 km/h 下坡时间：设为b min 已知 甲→乙 总共用时：54 min 甲地 乙地 坡路 平路 时间：（54－a）min 已知速度：40 km/h 时间：（42－b）min 已知 甲←乙 总共用时：42 min 拓展提升 18 　　根据相等关系和所设未知数，可以建立怎样的方程？ 坡路路程/ km 平路路程/ km 甲地→乙地 甲地←乙地 拓展提升 19 坡路路程/ km 平路路程/ km 甲地→乙地 甲地←乙地 　　由表，列得方程组 　　整理，得 　 ＝ 　 ， 30a 60 50b 60 　 ＝ 　　　　． 40(54－a) 60 40(42－b) 60 3a＝5b， ① a＝b＋12．　② 拓展提升 20 　　求解方程组 　　求解实际问题的答案． 　　把②代入①，得 3(b＋12)＝5b． 　　解这个方程，得 b＝18． 　　把 b＝18 代入②，得 a＝30． 　　所以这个方程组的解是 　　根据数量关系：全程＝坡路＋平路＝ 　 ＋ 　　 　　答：甲地到乙地全程是 31 km． ＝15＋16＝31（km） 3a＝5b， ① a＝b＋12．　② a＝30， b＝18． 30a 60 40(54－a) 60 拓展提升 21 解法 2： 设上坡时间为 a min，下坡时间为 b min. 根据路程的相等关系，列得 求得方程组的解是 全程＝ 答：甲地到乙地全程是 31 km． 　　解法 1： 　　设坡路路程为 x km，平路路程为 y km. 　　根据时间的相等关系，列得 　　求得方程组的解是 　　全程＝15＋16＝31（km） 　　答：甲地到乙地全程是 31 km． 　　对比两种解法，说说它们的异同． 拓展提升 22 　　1. 在背景相对复杂的实际问题中，可以通过哪些方法找出相等关系？ 　　①先梳理问题中已有的数量关系； 　　②挖掘隐含的未知数，设未知数； 　　③利用表格、线段图等工具整理数量关系，从中确定相等关系. 课堂小结 23 　　2. 依据相等关系列方程时，有哪些方法与注意事项？ 　　一般来说，有几个未知数就要列出几个方程，所列方程必须满足： 　　①方程两边表示的是同类量； 　　②同类量的单位要统一； 　　③方程两边的数值要相等． 课堂小结 24 　　3. 利用二元一次方程组解决实际问题的一般流程是什么？ 设未知数，列方程组 （消元） 代入法 加减法 检验 解方程组 实际问题 实际问题的答案 数学问题的解 （二元一次方程组的解） 数学问题的解 （二元一次方程组） 课堂小结 25 　　教科书第 104 页练习第 1，2 题． 课后任务 26 王可恬 北京市第一六一中学 $$