10.3 频率与概率-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

数学 必修 第二册 课堂学案 10.3 频率与概率 学习目标]1.结合实例,会用频率估计概率(重点).2.能初步利用概率知识解释现实生活中的概率问题 3.了解随机模拟的含义,会利用随机模拟估计概率,4.发展数学抽象和逻辑推理的核心素养, 必备知识基础落实 答案见P 要点一 随机事件的频率与概率的关系 们具有类似随机数的性质,因此,计算器或计 大量试验表明,在任何确定次数的随机试验 算机产生的随机数不是真正的随机数,我们称 中,一个随机事件A发生的频率具有 它们为 一般地,随着试验次数的增大,频率偏离概 2.蒙特卡洛方法 率的幅度会缩小,即事件A发生的频率/.(A 利用计算器或计算机软件可以产生随机数,我 会逐渐 于事件A发生的概率P(A). 们可以根据不同的随机试验构律相应的随利 我们称频率的这个性质为频率的 数模拟试验,这种利用随机模拟解决问题的方 因此可以用频率/(A)估计 法为 >思考:(1)频率与概率相等吗? >思考:用频率估计概率时,用计算机模拟随机 (2)随机事件在一次试验中是否发生与概率的 试验产生随机数有什么优点 大小有什么关系? 辨析 判断正误,正确的画“/”,错误的画“×” 要点二 随机模拟 (1)频率是客观存在的,与试验次数无关. ( 1.随机数与伪随机数 ) (1)例如我们要产生0~9之间的随机整数,像 (2)随着试验次数的增加,频率一般会越来越 接近概率. 彩票摇奖那样,把10个质地和大小相同的号 ) 码球放入摇奖器中,充分揽伴后摇出一个球 (3)用计算器或计算机产生的随机数是伪随 机数 这个球上的号码就称为 ) (2)计算器或计算机产生的随机数是按照确定 (4)在相同环境下,两次随机模拟得到的概率 ( 的算法产生的数,具有周期性(周期很长),它 的估计值是相等的. ~ .138. 第十章 概 率 关键能力素养提升 答案见Poa 探究一 频率与概率含义的理解 探究二 利用频率与概率的关系求概率 规律总结 规律总结 (1)概率是随机事件发生可能性大小的度 (1)由统计定义求概率的一般步骤 量,是随机事件A的本质属性,随机事件/ ①确定随机事件A发生的频数1n(n为试验 发生的概率是大量重复试验中事件A发生 的总次数):②由f(A)-计算频率f。(A); 的频率的稳定值 ③由频率f.(A)估计概率P(A). (2)由概率的定义我们可以知道随机事件A (2)概率可看成频率在理论上的稳定值,从 在一次试验中发生与否是随机的,但随机中 数量上反映了随机事件发生的可能性的大 含有规律性,而概率就是其规律性在数量上 小.概率是频率的科学抽象,当试验次数越来 的反映. 越多时频率向概率靠近,只要次数足够多,所 (3)正确理解概率的意义,要清楚概率与频 得频率就近似地当作随机事件的概率 率的区别与联系,对具体的问题要从全局和 【例题2】国家兵兵球比赛的用球有严格标准,下 整体上去看待,而不是局限于某一次试验或 面是有关部门对某兵乓球生产企业某批次产 某一个具体的事件 品的抽样检测,结果如表所示. 50 1002005001000 抽取球数目 【例题1】(参选)下列说法中错误的是 2000 ) o2 45 优等品数目 194 470 954 A.昨天没有下雨,则说明“昨天气象局的天气 1902 预报降水概率为95%”是错误的 优等品频率 B.“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩 (1)计算表中优等品的各个频率 票一定有1张会中奖 (2)从这批产品中任取一个兵乓球,质量检测 C.做10次抛硬币的试验,结果3次正面朝 为优等品的概率约是多少? D.某厂产品的次品率为2%,但该厂的50件 产品中可能有2件次品 【变式1】已知某厂的产品合格率为90%,现抽出 10件产品检查,则下列说法正确的是。 __ A.合格产品少于9件 B.合格产品多于9件 C.合格产品正好是9件 D.合格产品可能是9件 .139 数学 必修 第二册 课堂学案 【变式2】李老师在某大学连续3年主讲经济学 (2)研究等可能事件的概率时,用按比例分 院的高等数学,李老师这门课3年来的考试 成绩分布如表所示 配的方法确定表示各个结果的数字个数及 总个数; 成绩 人数 (3)当每次试验结果需要n个随机数表示 90分以上 13 时,要把”个随机数作为一组来处理,此时 80~89分 182 一定要注意每组中的随机数字能否重复。 70~79分 260 60~69分 【例题3】种植某种树苗,成活率是0.9.若种植该 90 50~59分 62 种树苗5棵,用随机模拟方法估计恰好4棵 50分以下 成活的概率 经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修 李老师的高等数学课,用已有的信息估计她 得以下分数的概率(结果保留到小数点后 三位). (1)90分以上;(2)60~69分;(3)60分以上. 【变式3】天气预报说,在今后的三天中,每一天 探究三 利用随机数求事件的概率 下雨的概率均为40%,现部门通过设计模拟 规律总结 试验的方法研究三天中恰有两天下雨的根 率,先利用计算器产生0到9之间取整数值 用整数随机数模拟试验估计概率时,首先要 的随机数,用1,2,3,4表示下雨,其余6个数 确定随机数的范围和用哪些数代表不同的 字表示不下雨,产生了如表所示的20组随机 试验结果,我们可以从以下三个方面考虑: 数,则这三天中恰有两天降雨的概率约头 (1)当试验的基本事件等可能时,基本事件 总数即为产生随机数的范围,每个随机数代 907 966 191 925 271 1932812458 569 683 表一个基本事件: 431 257 393027556488 730 113537 989 .140. 第十章 概 率 随堂检测学以致用 答案见P。 1.某工厂生产的产品合格率是99.99%,这说明 B.在同一次试验中,每个试验结果出现的频数 ( ) 之和等于试验的样本总数 A.该厂生产的10000件产品中不合格的产品 C.在同一次试验中,每个试验结果出现的频率 一定有1件 之和不一定等于1 B.该厂生产的10000件产品中合格的产品一 D. 概率就是频率 定有9999件 4.已知抛挑一枚质地均匀的硬币,正面朝上的根 C.合格率是99.99%,很高,说明该厂生产的 率为0.5.现采用随机模拟试验的方法估计抛 10000件产品中没有不合格产品 掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率;先 D.该厂生产的产品合格的可能性是99.99% 由计算器产生随机数0或1,用0表示正面朝 2.从存放号码分别为1,2,..,10的卡片的盒子 上,用1表示反面朝上;再以每三个随机数作 中,有放回地取100次,每次取一张卡片并记 为一组,代表这三次投掷的结果,经随机模拟 下号码,统计结果如表所示,则取到号码为奇 试验产生了如下20组随机数 数的概率是 _ C 101 111 010 101 010 12345678910 卡片号码 100 100 011 111 110 取到的次数101188610189119 000 011 010 001 111 B.0.5 A.0.53 011 100 000 101 101 C.0.47 D.0.37 据此估计,抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝 上的概率为 3.(参选)下列说法中正确的是 ( ) __ C.0.40 A.0.30 B.0.35 D.0.65 A.频数和频率都能反映一个对象在试验总次 I 完成P课时作业(四十一)和P-培优训练(九) 数中出现的频繁程度 章末复习方案 知识网络体系构建 随礼现象,随机试验 I样本点,样本空间 [随机事件 事件的关系与运算 率件的概率 市件的独立作 占典概型 顷率的稳定性 随机模拟试验 概的基本性历 顿估计概 概的算 11 应用概率解决实际问题 .141·合，PAB)=最-元=PAP(B,故A与B为相互孩立 B,C只发生一个，记为A:事件A,B,C只发生两个，记为 A,故P(A2)=P(A)十P(A)+P(A)=P(ABC)+ 事件 (2)A与C不可能同时发生，故A与C为互斥事件，不是相 PABC+DC+万BC)+PA)-7+员+员-是所 互独立事件，没有抽到K,不一定就会抽到J,故A与C不 是对立事件. 以事件A,B,C至多发生两个的概率为是 (3)由(1)知A与B相互独立，所以A与B也相互独立.A 随堂检测·学以致用 与B有可能同时发生，所以A与B不是互斥事件，更不是 1.D解析因为事件A和事件B可以同时发生，所以A与B 对立事件 [变式1门解析(1)由于取出的红球放回，故事件A与B的发生 不是互斥事件，也不是对立事件：因为是从袋中进行不放回 的摸球，所以事件A与B之间有影响，所以A与B不是相互 互不影响，因此A与B为相互独立事件，事件A,B能同时 独立事件，故选D项 发生，不是互斥事件 2.D解析恰有一株成活的概率为p(1一q)十(1一)q=p十 (2)2个白球分别记为a,b,2个红球分别记为1,2，则从袋 q一2pg.故选D项. 中取2个球的所有取法为(a,b),(a,1),(a,2),(b,1),(b, 3.B解析记儿童体型合格为事件A,身体关节构造合格为事 2),(1,2), 则PA)=音-=号，PB)=名，PAB)=号， 件B,则PA)=号，P(B)=子，且A,B相互独立，从中任挑 一儿童，这两项至少有一项合格的概率P=1一P(AB)= 因为P(AB)≠P(A)P(B),所以事件A,B不是相互独立事件. 因为事件A,B能同时发生，所以事件A,B不是互斥事件 1-号×=号故选B项 [例题2]解析记事件E为“甲组研发新产品成功”，事件F为 4.B解析因为这位司机在第一、二个交通岗未遇到红灯与在 “乙组研发新产品成功”，由题谈知P(D=号，P(E)=寻， 第三个交通岗遇到红灯是相互独立的，且遇到红灯的概率都 PF)=是，P(F)=号，且事件E与F,E与F,E与F,E 是了，所以未遇到红灯的概率春是1一弓一号，所以遇到红 与下都相互独立.记H={至少有一种新产品研发成功}， 方前已经通过了两个交道岗的概率为号×号×号-易故 则H=ER,于是P(团=P(E)P(F)=}×号-是，放所 选B项， 10.3频率与概率 求的概率P(D=1-P(D=1-号-是 必备知识·基础落实 [变式2]C解析设事件A表示“甲通过听力测试”，事件B表 要点一 示“乙通过听力测试”根据题意知，事件A和B相互独立， 随机性稳定稳定性概率P(A) 且P(A)=2,P(B)=了.记“有且只有一人通过听力测试” [思考]提示(1)可以相等.但因为每次试验的频率是不固定 的，而概率是固定的，故一般是不相等的，但也有可能是相 为事件C,则C=ABUAB,且AB和AB互斥.故P(C)= 等的. P(ABUAB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)= (2)随机事件的概率表明了随机事件发生的可能性的大小， 合×(1-号)+(1-2)×号=合故选C项 但并不表示概率大的事件一定发生，概率小的事件一定不 发生 [例题3]解析(1)记“甲获得合格证书”为事件A,“乙获得合格 要点二 证书”为事件B,“丙获得合格证书”为事件C, 1.(1)随机数(2)伪随机数 P=号×-号，P(B)=是×号=P( 2.蒙特卡洛方法 [思考]提示用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费 号×-号 力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法真正进行.因 此利用计算机进行随机模拟试验就成为一种很重要的替代 因为P(C)>P(B)>P(A),所以丙获得合格证书的可能性 方法，它可以在短时间内多次重复的来做试验，不需要对试 最大 验进行具体操作，可以广泛应用到各个领城 (2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D, [辨析]解析(1)错误，概率是客观存在的，与试验次数无关，而 由题易知三人是否获得合格证书相互独立， 频率与试验次数有关. )-P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)- (2)正确，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会 缩小，即事件A发生的频率∫，(A)会逐渐稳定于事件A发 +号××号+号×号×号-品 生的概率P(A). [变式3]解析(1)记“事件A,B,C只发生两个”为A,则事件 (3)正确，计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机 A,包括三种彼此互斥的情况：ABC,ABC,ABC,由互斥事 数，我们称它们为伪随机数 件概率的加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，得 (4)错误，随机模拟得到的是事件发生的频率，具有不确定 1 性，因此两次随机模拟得到的概率的估计值不一定相等， P(A)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)-12 答案(1)×(2)√/(3)√(4)× 是所以事件A,B.C只发生两个的概率为是 关健能力·素养提升 [例题1]ABC解析A项中降水概率为95%，仍有不降水的可 (2)记“事件A,B,C至多发生两个”为A2,则包括彼此互斥 能，故A项错误；B项中“彩票中奖的概率是1%”表示在设 的三种情况：事件A,B,C一个也不发生，记为A8;事件A, 计彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100张彩票一定 ·301· 有1张会中奖，故B项错误：C项中正面朝上的频率为品， 010,100,100,010,001,100,共7组，所以抛掷这枚硬币三次 概率仍为2，故C项错误；D项中次品率为2%，但50件产 格有两次正面朝上的概率为品-0,35，故选B项。 品中可能没有次品，也可能有1件或2件或3件…次品， 章末复习方案 故D项正确.故选ABC项. [真题1]解杨(1)由题意知，样本空间={(1,1,1)，(1,1,2)， [变式1]D解析一个事件的概率是通过大量的重复试验得 (1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2) 到的，其反映了该随机事件发生的可能性大小，因此在本题 (1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2), 中“抽出10件产品”相当于做了10次试验，而每次试验结 (2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2), 果可能是正品，也可能是次品，故只有D项正确.故选D项 (3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2), [例题2]解析(1)优等品的各个频率如表所示」 (3,3,3)},共有27个样本点.设“抽取的卡片上的数字满足 抽取球数目 50 100 200 500 1000 2000 a十b=c”为事件A,则事件A={(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3)}, 优等品数目 45 92 194 470 954 1902 共有3个样本点，所以PA)=号=日，因此“抽取的卡片上 优等品频率 0.90.920.97 0.940.9540.951 的数字满足a十b-(”的概率为日 (2)根据频率与概率的关系，可以认为从这批产品中任取一 (2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B, 个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是0.95. 则事件B={(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3)},共有3个样本点， [变式2]解析总人数为43+182+260+90+62+8=645，根 据公式可计算出选修李老师的高等数学课的人的考试成绩 所以P(B)=1-P(B=1一》=号，固此“抽取的卡片上 27 在各个分数段上的频单依次为晶≈0067，器≈0282。 的教字a,bc不完企相同”的概率为g。 645 器0.403器0.10，g品0096，品0.012 8 [真题2]解析(1)记高一年级2名学生分别为a1,a2,高二年级 2名学生分别为b,b2,则从这4名学生中随机选2名组织 用已有的信息，可以估计出王小慧下学期选修李老师的高 校文艺汇演的样本空间2={(a1,a2),(a1,b),(a1,bz), 等数学课得分的概率如下： (a2,b),(a2,b2),(b,b2)},n()=6,其中这2名学生来自 (1)将“90分以上”记为事件A,则P(A)0.067 不同年级的事件A={(a1,b),(a1,bz),(a2,b),(a2,b2)}, (2)将“60~69分”记为事件B,则P(B)≈0.140. n(A)=4,所以这2名学生来自不同年级的概率P)=音 (3)将“60分以上”记为事件C,则P(C)≈0.067+0.282+ 2 0.403十0.140=0.892. 故选D项 [例题3]解析利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值 (2)从6张卡片中无放回抽取2张的样本空间=《(1,2)， 的随机数，我们用0代表不成活，1至9的数字代表成活，这 (1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) 样可以体现成活率是0.9.因为种植5探，所以每5个随机 (3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},n{2}=15,其中 数作为一组，可产生30组随机数，如下所示： 数字之积是4的倍数的事件A={(1,4),(2,4),(2,6),(3, 69801660977712422961742353151629747 24945575586525874130232243744544344 .4.5.4,6,m=6,故PU0=是=号故达C项 33315271202178258555610174524144134 答案(1)D(2)C 92201703628300594976561733478316624 [真题3]B盛析由题意得，P(甲)=言，P(乙)=言，P(丙) 3034401117 P(T)=号=言，则P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙). 5 这就相当于做了30次试验，在这些数组中，如果恰有一个 0,则表示恰有4棵成活，共有9组这样的数，所以种植5棵 这料的树首拾有4禄成活的概率近似为易-30%。 P(甲T)=需=P甲)P(T),P(乙丙)=需≠P(乙)P(丙). P(丙丁)=0≠P(丙)P(丁).故选B项. [变式3]解析在20组随机数中，表示三天中恰有两天降雨的 [真题4幻解析(1)X=2就是10：10平后，两人又打了2个球 随机数有191,271,932,812,393，共5个，所以这三天中恰 该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分 有两天降雨的概率约为易- 设双方10：10平后的第k个球甲获胜为事件A.(k=1,2, 3,…),则P(X=2)=P(A1A)+P(A2)=P(A)P(A2)+ 俗系十 P(A1)PA)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5. (2)X=4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球 随堂检测·学以致用 该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙 1.D解析合格率是99.99%是指该工厂生产的每件产品合格 各得1分，后两球均为甲得分，因此所求概率为P(X=4且 的可能性大小，即合格的概率，故选D项， 甲获胜)=P(AA.AsA)十P(A1AAA)=P(A1)P(A2)· 2.A解折取到号码为奇数的频率是10+8+6叶18+1=0.53， P(A)P(A)+P(A:)P(Az)P(A)P(A4)=0.5×0.6× 100 0.5×0.4十0.5×0.4×0.5×0.4=0.1. 所以概率的估计值是0.53.故选A项。 [真题5]解析(1)由题知，样本中仅使用A的学生有27十3= 3.AB解析由频率和概率的定义知A,B项正确：C项中，在同 30(人)，仅使用B的学生有24十1=25（人），A,B两种支付 一次试验中，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，故C 方式都不使用的学生有5人.故样本中A,B两种支付方式 项错误；D项中，概率是频率的稳定值，故D项错误.故选 都使用的学生有100一30一25一5=40（人）.估计该校学生 AB项， 4.B解析抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的有010， 中上个月A,B两种支付方式都使用的人数为铝X10=40m ·302