培优训练(4)(范围8.1～8.3)-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

培优训练（四） 答案见Pa (范围：8.1~8.3) 基础训练川 5.已知正四棱锥V-ABCD中，底面ABCD的面积 1.(多选)下列说法中正确的是 ( 为16，一条侧棱的长为2/11，则该棱锥的高为 A.用一个平面截正方体，截面可能是等边三角形 () B.在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平 A.4 B.6 行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定 C.11 D.16 可当作它的底面 6.茶叶末釉剔刻花经瓶（如图）是 C,棱柱的侧面都是平行四边形，但它的底面一定 西夏时期生产的瓷器，平折广 不是平行四边形 口，口部刮釉，束颈，宽折肩，深 D.在棱柱的面中，至少有两个面互相平行 腹，暗圈足，通体施茶叶末釉，釉 2.如图，△OA'B'是水平放置的△OAB利用斜二 色绿中泛黄，米黄胎，分上下两 测画法得到的直观图，其中OA'=6,OB'=2, 个圈带，上部为开光牡丹花，以 则△OAB的面积是 叶脉纹，弧线纹陪衬，下部由忍冬纹组成一圈，图 案粗犷豪放并有大雅之美感.该件瓷瓶釉色莹 B 润，剔花刀锋犀利，线条流畅，是西夏窑中少见之 物.该瓶高约为30厘米，口径约为9厘米，底径 约为10厘米，内径最大约为18厘米，该瓶的容 A.12 B.62 积约为 () C.6 D.3/2 A.750π毫升 B.1430x毫升 3.某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个 C.2430π毫升 D.2830π毫升 工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球 7.我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者 被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余 下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖 的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个 截面圆的周长为2π，则该球的表面积为() 也.”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如 图所示)，下底面是边长为2的正方形，上棱E℉= 多，EF∥AB,且EF∥平面ABCD,EF与平面 ABCD的距离为2，该刍甍的体积为 A.20x B.16π C.12m D.8π 4.已知一个圆锥的底面半径为2，其侧面面积是底 8.在正四棱柱ABCD-ABCD中，AB=2,AA=3, 面面积的3倍，则该圆锥的体积为 O为上底面ABCD的中心，设正四棱柱ABCD 1容 A:BCD与正四棱锥O-ABCD,的侧面积 分别为5SS,则 ·199 9.如图所示，已知在直角三角形ABC中，AC⊥BC, BC=2,tan∠ABC=22. (1)若以AC为轴，将直角三角形ABC旋转一 周，试说明所得几何体的结构特征并求所得几何 (1)分别写出圆柱的侧面积S和体积V关于x 体的表面积： 的函数关系式： (2)一只蚂蚁在问题(1)形成的几何体上从点B (2)当x为何值时，才能使得圆柱的侧面积S 绕着几何体的侧面爬行一周回到点B,求蚂蚁爬 最大？ 行的最短距离. 拓展探究川 13.《几何原本》里提出：“球的体积(V)与它的直径 (D)的立方成正比”，即V=kD,其中常数k称 I能力提升‖ 为“立圆率”，对于等边圆柱（轴截面是正方形的 10.若圆台的高为4，母线长为5，侧面积为45π，则 圆柱)、正方体也可利用公式V=kD求体积（在 圆台的上、下底面的面积之和为 等边圆柱中，D表示底面圆的直径：在正方体 11.已知正四棱柱ABCD-A,B,CD,中，2AA,= 中，D表示棱长)，设运用此体积公式求得等边 3AB=12,点M是线段BB1的中点，点N是线 圆柱（底面圆的直径为a)、正方体（棱长为a)、 段DD,上靠近D的三等分点，若正四棱柱AB 球（直径为a)的“立圆率”分别为k,k,k,则 CD-A1BCD1被过点A,M,N的平面所截， () 则所得截面的周长为 A.k<k<k B.2<< 12.如图，在半径为103m的半圆形（其中O为圆 C.k<k<k3 D.k<< 心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD,其中点 14.(多选)已知正方体ABCD-A,B,CD,的棱长 C,D在圆弧上，点A,B在半圆的直径上，现将 为2，下列结论正确的是 () 此矩形铝皮ABCD卷成一个以BC为母线的圆 A.该正方体外接球的直径为2√③ 柱形罐子的侧面（注：不计剪裁和拼接损耗），设 B.该正方体内切球的表面积为4π 矩形的边长BC=xm,圆柱的侧面积为Sm, C.若球与正方体的各棱相切，则该球的半径为√2 体积为Vm. D.该正方体外接球的体积为4√ ·200·课时作业(二十一) (1)所求几何体的表面积S-×2+x×2×2x1+-×2x 2/2-(8+4②)n 1.D 解析由题知园柱的底面半径,-1,母线长/一2,则它的 (2)所求几何体的体积V-x2×1+×xx2×2-20- 侧面积S -2-rl-2x×1x2-4π.故选D项$. 2.B 翻因为两个球的表面积之比是1:3,所以两个球的半 14.如图,由已知得,四面体的各条核长都为1,各个面都 径之比是1:③,所以两个球的体积之比为1:(V③).故选B项 是边长为1的正三角形,过A作AO1平面BCD于O,连接 3.B 解因为圆台的上、下底面半径分别为2,4,它的母线长 为8,所以这个圆台的侧面积为n×(2十4)×8-48z.故选 B项. 4.D 正四核柱的外接球的球心为上、下底面的中心连线 的中点,所以球的半径r-一(})+(^)#-1,则球的体 中0O-AO-R-R.O. B-R.BO-. 积vV_.故选D项. 5.B 绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形 所以球的表面积S-4-R-3- 成的曲面围成的几何体为两个底面重合、等体积的圆锥,每 一个圆锥的底面半径和高都是/②,故所求几何体的体积V $××2r-42n,故选B_ 3 6.AB 解将梭长为2的正方体木块切削成一个体积最大的 球时,球的直径等于正方体的校长2,则球的半径R一1,所以 7.解根据圆锥的侧面积公式可得S-x×2×v2+^= 15.D 解因为AB-BC=2,AC= 2(cm}). 2./2.所以AB1BC,如图所示,过 2v5x AC的中点M作平面ABC的垂线 8.解设圈台的上、下底面半径分别为,和R,母线长为1,高 MN,则球心O在直线MN上,设 为h,则上底面的面积为-^}一π,所以r一1,下底面的面积为 OM一h,球的半径为R,则校锥的高 -R-4π,所以R-2,所以侧面积为(R十r)/-6,所以l 的最大值为R十h,因为VpA.- 2.b-3.所以V-x(1*+25+1×2)×/3-73. 1x2x2×(R十h)-2,所以R十h-3.由勾股定理得R{- 73- (3-R)2+2,解得R-11,所以球O的表面积S-4x× 9.设球的半径为r,则半球的表面积St-1×4r^{}+ 6 r*-3rr^},整球的表面积S-4rr^*,所以一个半球的表面积 与原来整球的表面积之比为3;4. 16.要使冰淇淋融化后不会溢出杯子,则必须V一V,因 答3:4 10.解该组合体的表面积S-4x^*+2xrl-4x×1+2x\x1$ 3-10r. ##h-#4×h,依题意得#4×h#4x 3-3 4*,解得h二8,故当圆锥形杯子杯口直径为8cm,高大于或 等于8cm时,冰洪淋融化后不会溢出杯子. 11.D 设球的半径为R,则圆柱、圆锥的底面半径也为R, 又因为S-rl--rvh十, 高为2R,则球的体积V-xR”,园柱的体积Vm核= 当圆锥的高取最小值8cm时,S最小,所以当高为 8cm时,制造的杯子最省材料. 2rR{,锥的体积V- 培优训练(四) 比为2nR:2R:R-3:1:2.故选D. 1.AD翻对于A项,用一个平面截正方体,截面可能是等 12.AD 由截面图可以看出,圆柱的底面直径是球形巧克 边三角形,故正确;对于B项,平行六面体中任意两个相对的 力直径的3倍,即可得R一3r,圆柱的高等于球形巧克力的 面一定可以当作它的底面,故错误;对于C项,平行六面体的 直径,即h-2r,V-4V。-nRb-18xr,则有2V 侧面都是平行四边形,底面也是平行四边形,故错误;对于D 3 项,校柱中至少有两个底面互相平行,故正确,故选AD项. 27V.故选AD项. 2.A 解根据斜二测画法知△OAB为直角三角形,/AOB- 13.解析过点B作BE AD于点E. 90{*},OA-6,OB-20B'-2$X2-4,故△OAB的面积$ 因为AB-22,DAB-45*, 1×6×4-12.故选A项. 所以AF-BE-2,所以DE-1. 则四边形绕着直线AD旋转一周所形成 F-.-.---B 3.A 解设截面圆半径为r,球的半径为R,则球心到某一截 的封闭几何体为一个底面半径为2,高为 面的距离为正方体校长的一半即2,根据截面圆的周长可得 1的圆柱及一个底面半径为2,高为2的 )” ( $-2xr,则,-1,由题意知R-*+2,即R-1+2-5. 圈锥的组合体. 所以该球的表面积为4nR一20n.故选A项。 .328. 4.D 解设圆锥的母线为l,高为h,由题意可知,圆锥的底面 10.设圆台的两底面半径分别为r,r,则侧面积x(r十 半径为,-②,园锥的侧面积为S=-rl=③rr,所以l r)/-r(r+r)×5-45,所以r+r=9;又因为圆台的 高为4,母线长为5,所以/^}十(r-r)-/F,即16十$(r r?-25,所以(r-r)-9,所以2(rP+r)=(r-r?+ #n.故选D项. (#+r){}-9+81-90,所以rn+r^-45,所以圆台的上、下$$ 底面的面积之和为xr^{}十-r一45-. 5.B 如图,取正方形ABCD的中心O.连接VO,AO.则 鹰45x VO就是正四校锥V-ABCD的高.因为底面ABCD的面积 11.解如图所示,延长CC至Q.使得CQ-1.连接MQ.NQ.则 为16,所以AB-、16-4,所以AO-2v2.又一条侧校长为 截面四边形A.MON为乎行四边形.记MQ与BC交于点R 2/11,所以VO-VA-AO-44-8-6,所以正四 锥 NQ与CD交于点P,则AN-4②,AM-5.MR- ③+3 V-ABCD的高为6.故选B项. 3V2.NP-2”+()#-10. PR-1+()#第-. 故所得截面的周长为A.M+MR十PR+PN+A.N-5+ D 6.B 解若按10厘米为底面直径的圆柱计算得该瓶容积为 30×5×-750(毫升),若按18厘米为底面直径的圆柱计 算得该瓶容积为30×9{×x-2430n(毫升),故该瓶容积介 于750-毫升与2430r毫升之间.故选B项. 7.解析如图,作FN/AE,FM/ED,将多面体被分割为校柱 与校锥两部分,因为EF与平面ABCD的距离为2,所以四枝 1Sax2= 锥F-NBCM的高为2,所以V概推-xrM= 答10+72 ##$×(2-2-#Vs<Sm-× 12.(1)连接OC,因为BC-x.OC-10/3. 所以OB-V(10/3)-. $$2×3-3.所以该刍亮的体积为V=Vy梳攀-x十 设圆柱底面半径为r, ## π 则$=2x300-(0<10③).V-rx= 300r- (0x10/③). $$ )$-2cv$300--2v/300- -2、-(r-150)+22500(0 r10/3). 所以当x*-150,即x-5/6时,圆柱的侧面积S最大。 8.解析在正四校柱ABCD-A.BCD 中,AB-2.AA-3,则 13.A 解设等边圈柱、正方体、球的体积分别为V,V。,V。 正四橡柱ABCD-A.BCD 的侧面积为S=4×2×3 所以V=·(){·a-,V-a,V-$ 24.正四校锥O-ABCD 的斜高为 1+3③=10,所以 正四梳锥O-A:BCD的侧面积为So-4××2×10- ()##,以:#_一 因为吾<<1,所以<k<k,故选A. 14.ABC 若球为正方体的外接球,则外接球直径等于正 3T0 方体的体对角线,即2R-\2十2+2-2③,外接球体积 9.解析(1)在直角三角形ABC中,由BC一2,tan ABC 为nR-4V③π,故A项正确,D项错误;若球为正方体的 22.即tan/ABC-AC AC-22,得AC-4v2,若以AC为轴 内切球,则内切球半径为梭长的一半,故R一1,球的表面积 为4nR{}一4,故B项正确;若球与正方体的各校相切,则球 旋转一周,形成的几何体是以BC一2为半径,AC一4V2为高 的直径等于正方形对角线长,即2R- 2+2-2/②,球的 的圆锥,则AB-、2+(4v②) -6,其表面积为S-πx2+ 半径为R一②,故C项正确.故选ABC项. -×2×6-16%. (2)由问题(1)得几何体是圆锥,要使蚂蚁爬行的距离最短,则 课时作业(二十二) 沿点B的母线把圆锥侧面展开为平面图形(如图),最短距离 1.A 解由平面的概念可知,它是平滑、无厚度、宽窄无限延 展的,是一个抽象概念,①②③都不符合平面的概念,所以都 6 不正确,故选A项. 2.C 解析A项,由不共线的三点确定一个平面知,三角形是 平面图形,故A项不符合题意;B项,圆为平面图形,故B项不 符合题意;C项,当四边形为空间四边形时,不是平面图形 故C项符合题意;D项,梯形的一组对边相互平行,则由两条 平行线确定一个平面知,梯形是平面图形,故D项不符合题 意,故选C项. .329.