培优训练(5)(范围8.4～8.5)-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

培优训练(五) 答案见P (范围;8.48.5) II基础训练I 6.在正方体ABCD-A.BCD 中,点P是在平面 1.设。,8为两个平面,则g/8的充要条件是 A. B.CD 内的一个定点,经过点P和梭BC将 A.。内有无数条直线与j平行 木块锯开,锯开的面必须平整,共有N种锯法; 则N为 ( B.a内有两条相交直线与8平行 ) C.2 A.0 B.1 D.无数 C.a.③平行于同一条直线 D.g,垂直于同一个平面 7.长方体ABCD-A'B'C'D中,与平面A'B'C'D 2.(参选)已知q,3为平面,A.B,M为点,a为直线 平行的校是 下列推理正确的是 8.如图,在正方体ABCD-A.BCD ) A. AEa,Aéa,Béa,BEa-→aC 中,E为梭BC的中点,F为梭 A.D.上的一点(不包含端点), B.gOg-a,Mea,M-→MEa ....--C C.Aéa,A3>O③-A 且AF-aDF,过点A,E,F作 D.A.B,MEg,A.B.Mc3.且 A.B.M不共线→ 该正方体的截面,若所得截面是五边形,则入的 a,重合 一个可能的取值是 3.(参选)a,b,c是空间中的三条直线,下列说法中 9.如图,平面。/平面8,PA-6,AB-8,BD-5.则 正确的是 C AC- ) A.若a/b,b/c,则a/c B.若a与相交,b与c相交,则a与c也相交 C.若a,b分别在两个相交平面内,则这两条直线 可能平行、相交或异面 D.若a与c相交,6与c异面,则a与互异面 4.在正方体ABCD-A.B.CD 中,E,F分别是 10.如图,E.F,G.H分别是正方体ABCD-A.BCD C.D.BC的中点,则直线A.B与直线EF的位置 关系是 ) 的校BC.CC.CD.AA的中点. C A.相交 B.平行 求证:(1)FG//平面BB.D.D D.无法确定 C.异面 (2)平面BDF/平面B.D.H 5.已知E,F.G.H分别是三校锥A-BCD的 AB,AD.CD.CB上的点(不是顶点),则下列说 法正确的是 A.若直线EF,HG相交,则交点一定在直线 BD上 B.若直线 EF,HG相交,则交点一定在直线 AC上 C.若直线EF,HG异面,则直线EF,HG中必有 一条与直线BD平行 D.若直线EF,HG异面,则直线EF,HG与直线 BD分别相交 .211. II能力提升I 11.(多选)如图所示,P为矩形ABCD所在平面外 一点,矩形对角线的交点为O.M为PB的中 点,给出以下结论,其中正确的是 _ ....B 16.如图所示,正四校锥S-ABCD.SA=SB-$C= SD-2.AB-/②,P为侧校SD上的点,且SP- A.OM//PD 3PD,求: B.OM/平面PAC C.OM//平面PDA D.OM/平面PBA 12.如图,四边形ABCD是空间四边形,E,F,G.H 分别是四边上的点;它们共面,并且AC/平面 EFGH,BD/平面EFGH,AC=a,BD=$,则 (1D)正四梳锥S一ABCD的表面积 当四边形EFGH是菱形时,AE:AB (2)侧校SC上是否存在一点E,使得BE/平面 (用a,6表示). 13.如图所示,在长方体ABCD-A.BCD 中,AB AD-2,AA.-1.一平面截该长方体,所得截面 为OPQRST,其中O.P分别为AD.CD的中 14.平面a/平面3.点A.CEa,点B.DE3.直线AB CD相交于点P.已知AP-8.BP-9.CP-16,则 CD- I拓展探穷I 15.如图,在各梭长均为a的正三校柱ABC A.B.C 中,M.N分别为线段AB,BC上的动 点,且MN/平面ACCA,若M,N的中点S 的轨迹长度为3,则正三楼柱ABC-A.BC 的 体积为 .212.(2)连接SD 因为F,G分别是DC,SC的中，点，所以FG∥SD 又因为SDC平面BDDB,FG过平面BDDB, 所以FG∥平面BDDB1. D 又EG∥平面BDDB,且EGC平而EFG,FGC平面 EFG,EG∩FG=G,所以平面EFG∥平面BDD,B. 14.B解析取CD的中点N,CC的中 5.A解析若直线EF,HG相交，设EF∩GH=P,则P∈EF, 点R.BC的中点H,连接MN, P∈GH,又EFC平面ABD,GHC平面BCD,所以P是平面 NR,MR,MH,RH,则MN∥BC∥ HR,MH∥AC,所以平面MNRH∥ ABD与平面BCD的公共，点，则必在其交线BD上，即P∈ BD,所以A项正确，B项错误：当E与B重合.F与D不重 平面ABC,所以MPC平面MNRH,线 段MP扫过的图形是△MNR.因为 合，G,H与D,B不重合时，因为GH与BD都在平面BCD AB=2,所以MN=2/2,NR=2,MR=6,所以MN= 内，所以GH与BD相交或平行，无论什么位置，直线EF与 NR+MR,所以∠MRN是直角，所以线段MP长度的取 HG都是异面，所以C,D项均错误.故选A项. 值范围是[6,22].故选B项， 15.解析存在.与平面AMN平行的平面有如图所示的三种 情况 6.B解析因为锯开的而必须平整，故过P的直线【需和BC 共面，此面即为平面PBC,因为BC∥B,C,而BC过平面 ABCD,BCC平面ABCD,故BC∥平面ABGD,而 五为AB的中点EF分别为BC,(C》的中点 BCC平面PBC,平面A:B,CD1∩平面PBC=L,故BC∥l, E为BG的中点 ① @ 故I∥BC,故1唯一即锯法唯一，故选B项. 下面以图①为例进行证明. 连接ME,BD'. 因为四边形ABEM是平行四边形，所以BE∥AM 又BEC平面BDE,AM过平面BDE, 所以AM∥平面BDE. 因为MN是△ABD'的中位线，所以MN∥B'D', 因为四边形BDDB是平行四边形， 7.解析如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，与平面A'B'C'D 所以BD∥B'D',所以MN∥BD. 平行的棱有AB.BC,CD,DA 又BDC平面BDE,MNt平面BDE, 所以MN∥平面BDE. 又AMC平面AMN,MNC平面AMN,且AMOMN=M. 所以平面AMN∥平面BDE 培优训练（五） B 答AB,BC,CD.DA 1.B解析由面面平行的判定定理知，a内有两条相交直线都 8解析首先连接AF,AE,因为平行平面被第三截面所裁时， 与日平行是a∥B的充分条件，由面面平行性质定理知，若a∥ 交线平行，所以当0<入≤1时，如图1，点G在线段B1C上， B,则a内任意一条直线都与B平行，所以a内两条相交直线 截面为平行四边形AEGF:当入>1时，如图2，截面为五边形 都与B平行是α∥3的必要条件.故选B项. AEGHF,故入的一个可能的取值是2（答案不唯一）. 2.ABD解析直线上有两点在一个平面内，则这条直线在这个 平面内，所以A项正确：两个平面相交于一条直线，则公共 部分一定全在这一条直线上，所以B项正确：两个平面的公 共部分不可能只有一个点，所以C项错误：有三个不共线的 B 点属于两个平面的公共部分，则这两个平面重合，所以D项 正确.故选ABD项. 3.AC解析由平行线的传递性知A项正确：若4与b相交，b 与c相交，则a与c可能平行，相交或异面，B项错误：若a与 图1 图2 b在两个相交平面内，则a与b可能相交，平行或并面，C项 答系2（答案不唯一） 正确：若a与c相交，b与c异面，则a与b可能相交、平行或 9.解析因为平面a∥平面A.平面a∩平面PBD=AC,平面门 异面，D项错误.故选AC项. 平面PBD=BD,所以AC∥BD,所以△PAC△PBD,故 4.A解析如图所示，连接DC,由题意得DC∩CD=E,因 部-路B将g8号得AC只 AC PAPA 为DC∥AB,所以D,C,A,B共面，所以直线DC,AB, EF共面，因为EF∩DC=E,所以直线A,B与直线EF的位 置关系是相交.故选A项 象号 ·334· 10.证明(1)如图，取BD的中点O,连接GO,OB, 巴若点P在年西8日之间，则部-品中号-品解得 8 DP=18,所以CD=CP+DP=34. 因为OG=BC,BE=BC, 所以BE=OG,且BE∥B,C1∥OG 答系34或2 所以四边形BEGO为平行四边形，故OB∥EG, 15.解析如图，设AA:,BB,CC的中点分1， 因为OBC平面BBDD,EG过平面BBD1D. 别为D,E,F,连接DE,EF,FD,AC.因 所以EG∥平面BBDD, (2)由于BB,∥DD,BB,=DD, 为MN∥平面ACCA:,所以A,M= 所以四边形BBDD为平行四边形，所以BD∥B,D. CN.当AM=CN=0时，MN的中点S 连接HB,DF,取P为DD1中点，连接AP,PF, 为正方形ACC,A,的中心，即A1C的中 所以AB∥CD∥PF,AB=CD=PF, 点（设为G点）：当AM=CN=2a时， 因此四边形ABFP为平行四边形，故有AP∥BF MN的中点S为BB:的中点E,连接GE,易知S点的轨迹 又AH∥PD,AH=PD, 是三角形DEF的高线EG.由于三角形DEF是等边三角 所以四边形AHDP为平行四边形， 形，而EG=√3，所以a=2.故正三棱柱ABC-ABC的体 故AP∥HD,故HD∥BF. 又BD∩HD=D,BDOBF=B. 积为9×公×2=2v意 所以平面BDF∥平面BD,H. 答率23 11.AC解粝因为矩形对角线的交，点为O,所以O是BD的中 16.解扬(1)在正四棱锥S-ABCD中，SA=SB=SC-SD=2, 点，又因为M为PB的中点，所以OM为△PBD的中位线， 所以OM∥PD,又因为OMd平面PAD,PDC平面PAD, AB2,所以侧面的高√公一(=严。 所以OM∥平面PDA,故A,C项正确：OM与平面PAC有 公共，点O,与平面PBA有公共点M,故B,D项错误.故选 AC项. 所以正四技维SD的表面积S=4X2×厄×四 12.解析因为AC∥平面EFGH,AC,EF在平面ABC内，所以 2Xw2=2w7+2. AC∥EF,所以△BEF△BAC,所以既-E,同理释 (2)在侧棱SC上存在一点E,使BE∥平面PAC,满足 影-2理由布下： 盟爬又周为EF=HG,所以器-品所以EH/ BD,所以△AEHD△ABD,所以写部-福 ①，同理得 EFBE AC AB @.又周为EH=F,所以号得部能所以 AE EB=a:b,AE:AB=a:(a+b). 答索a:(a十b) 设AC与BD的交点为O,取SD的中点为Q,因为SP= 13.解折设AT-x,则AT=1一x,由面面平行的性质可知 3PD,则PQ=PD, PO∥SR,TO∥QR,TS∥PQ,所以△DOP△BRS,图为 过Q作PC的平行线交SC于E,连接BQ,BE. DP=OD=l,所以BS=BR=2,所以A:S=CR=号， 在△BIDQ中，有BQ∥PO, 因为POC平面PAC,BQ女平面PAC, 由△A0△GQR可得0-8中C0故CQ 2 所以BQ∥平面PAC, 由千品=2所以器-品=2 兰由△ATS△oP可得得-5脚于 1x 又由于QE∥PC,PCC平面PAC,QE对平面PAC, 3 所以QE∥平面PAC, 解件x=子 因为BQ∩QE=Q,所以平面BEQ∥平面PAC, 又BE∈平面BEQ,所以BE∥平面PAC 图号 课时作业（二十七）》 14.解析因为直线AB,CD相交于点P,所以A,B,C,D,P共 1.A解析所有与两条异面直线的公垂线平行的直线都与这 面，根据面面平行的性质定理可知，AC∥BD. 两条异面直线垂直，所以有无数条.故选A项。 ①若点P在手面0，明的外条，别品器即-品解得 2.B解析图为CD∥CD,所以异面直线BD与CD所成的 CD=2: 角为∠BDC,其大小是45°.故选B项. ·335·