课时作业31 平面与平面垂直的性质-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

课时作业（三十一） 平面与平面垂直的性质 答案见P I基础训练 6.如图，三棱锥P-ABC的底 1.在长方体ABCD-A:B,CD的棱AB上任取一 面在平面a内，且AC⊥PC, 点E,作EF⊥AB,交A:B:于F,则EF与平面 平面PAC⊥平面PBC,点 A:BCD的关系是 ( P,A,B是定点，则动点C的 A.平行 轨迹是 B.EFC平面AB,CD A.一条线段 B.一条直线 C.相交但不垂直 C.一个圆 D.一个圆，去掉两点 D.相交且垂直 7.如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形 2.如图，三棱锥P-ABC中，平面 所在的平面互相垂直，则c0sa:cosB= PAB⊥平面ABC,PA=PB, AD=DB,则 ( A.PDC平面ABC B.PD平面ABC C.PD与平面ABC相交但不垂直 8.在四棱柱ABCD-AB,CD,中，已知平面 D.PD∥平面ABC AACC⊥平面ABCD,且AB=BC,AD=CD, 3.已知三个不同的平面a,3,y,则下列说法中正确 则BD与CC,的位置关系是 的是 ( 9.如图，P是四边形ABCD所在平面外一点，且四 A.a⊥3，B⊥y,则a∥y 边形ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形， B.a∥B,B⊥Y,则a⊥Y 侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面 C.a∩3-a,3ny=b,a⊥3,3⊥Y,则a⊥b ABCD,G为AD的中点. D.a⊥Ba∩B=a,a⊥b,则b⊥a (1)求证：BG⊥平面PAD: 4.(选)设a,3是两个不同的平面，l是一条直线， (2)求证：AD⊥PB. 以下叙述正确的是 A.若l⊥aa⊥3，则lC3或l∥B B.若l∥a,a∥B,则lC3或l⊥3 C.若l⊥aa∥B,则1L3 D.若l∥a,aLB,则⊥3 5.如图，在斜三棱柱ABC-A1B,C中，∠BAC 90°，BC⊥AC,则C在底面ABC上的射影H 必在 A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC内部 ·221· I能力提升川 ‖拓展探究川 10.三棱锥P-ABC的高为PH,若三个侧面两两 I3.(多选)如图，在四边形ABCD中，AB=AD= 垂直，则H为△ABC的 心 CD=1,BD=√2，BD⊥CD.将四边形ABCD沿 1L.如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正 对角线BD折成三棱锥A-BCD,使平面 方形，侧面VAD是等边三角形，平面VAD⊥底 ABD⊥平面BCD,在三棱锥A-BCD中，下列 面ABCD 结论正确的是 (1)求证：AB⊥平面VAD: (2)求平面VAD与平面VDB所成的二面角的 正切值. A.AC⊥BD B.∠BAC=90 C.CA与平面ABD所成的角为45 D.三棱锥A-BCD的体积为后 14.如图，在长方形ABCD中，AB=2,BC=1,E为 DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点. 现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面 ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为 12.如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠BAD 垂足.设AK=t,求t的取值范围， 受AB=BC-2AD=a,E是AD的中点，0是 AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图2 中△ABE的位置，得到四棱锥A,-BCDE 图1 (1)求证：CD⊥平面AOC: (2)当平面ABE⊥平面BCDE时，四棱锥A, BCDE的体积为36√2，求a的值. ·222·10.解析依题意，得OA⊥OE,OA⊥OF,OE∩OF=O,OE, 14.解析①AB⊥BC,AB⊥BB1,所以AB⊥平面BBCC,所以 OFC平面EOF,所以OA⊥平面EOF,故①正确：由①可知 AB⊥BC,又BC⊥BC,且AB∩BC1=B,所以BC⊥平面 OA⊥平面EOF,又AONAH=A,故AH与平面EOF不垂 ABP,从而AP⊥BC,故①正确：②由于CD∥A1B,并且BC 直，故②错误；由①知，OA⊥平面EOF,又EFC平面EOF, 与A1B的夹角是60°，故BP与CD1所成的角是60°，故② 所以AO⊥EF,故③正确：由①可得AOLOE,又OE⊥OF, 正确；③虽然点P在BC1上运动，但P到AD1的距离始终 AOnOF=O,AO,OFC平面AOF,所以OE⊥平面AOF, 不变，故VrAD,c为定值，故③正确；④因为平面BBC与平 又AFC平面AOF,所以OE⊥AF,故④正确；由④知OE⊥ 面ADC相交，且BP不与交线平行，所以BP与平面 平面AOF,又OEC平面AOE,得平面AOE⊥平面AOF,故 DAC不平行，故④错误；⑤易知二面角P-AB-C是平面 ⑤正确.故填①③④⑤. AD1CB与平面ABCD所成的角，故二面角P-AB-C的 答案①③④⑤ 平面角为45°，故⑤正确， 答案①②③⑤ 11.解析作AO⊥9于点O,作OCL1于 点C,连接OB,则∠ABO为AB与平 15.证明设等腰直角三角形ABC中，AB=AC=a,则BC√2a,所 面B所成的角，且∠ACO=60°.设 以BD-CD=②e 21 BC=a,则在Rt△ABC中，AC 依题意得，在二面角B-AD-C中，B'D⊥AD,CD⊥AD,所 BCtan30°=3，ABa 以∠BDC是二面角B'AD-C的平面角. 00s30 =23C.在R△AC0中，A0 3 连接BC,因为∠BAC=60°，所以BC=a,所以BD2+ AC如-号，号-号所以m☑A0 A0_3 CD=BC2,所以∠BDC=90°， 3 AB 4' 所以平面BAD⊥平面CAD. 紧图 课时作业（三十一） 12.解析(1)证明：在直角梯形ABCD中， 1.D解析由题意得平面ABB1A1⊥平面A1BCD,又平面 因为DC∥BE,且DC=BE, ABBA∩平面ABCD=AB,EFC平面ABBA, 所以四边形BCDE为平行四边形，又∠B=90°，BC=DC, EF⊥AB1,故EF⊥平面ABCD.故选D项. 所以四边形BCDE为正方形，所以DE LEB,DE⊥EA 2.B解析因为PA=PB,AD=DB,所以PD LAB.又因为平 在四棱锥A-BCDE中，DE⊥BE,DE⊥AE, 面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PDC平 又BE∩AE=E,所以DE⊥平面ABE 面PAB,所以PDL平面ABC.故选B项. (2)由(1)知，∠AEB即为二面角A-DE-B的平面角， 3.B解析A项中，a,y可以相交，故A项错误；C项中，如图，a 故∠AEB=60°， 与b不一定垂直，故C项错误：D项中，b仅垂直于a的一条 又因为AE=EB,所以△AEB为等边三角形. 直线a,不能判定bLα，故D项错误.故选B项. 过点A作AF⊥BE于点F,则F为BE的中点 过点F作FGLCD于点G,则G为CD的中点，连接AG. 由(1)得DE LAF,又DE∩BE=E, 所以AF⊥平面BCDE,所以AF⊥FG. 易证AG⊥DC,所以∠AGF即为二面角A-DC-B的平 4.AC解析⊥a,a⊥=l∥B或lCB,A项正确：l∥a,a∥→ 面角。 l∥B或lC3,B项错误；lLa,a∥B→l⊥B,C项正确；若l∥a, 在梯形ABCD中，设AB=2DC=2BC=2, a⊥B,则I与B的位置关系不确定，D项错误.故选AC项. 则AE-BE-BC=1,则在四棱锥A-BCDE中，AE=BC-1, 5.A解析连接AC,因为AC⊥AB,AC⊥BC,AB∩BC=B, 所以AC⊥平面ABC1,又因为ACC平面ABC,所以平面 所以AF=号，FPG=1,所以mAGF-能-， FG=2 ABC⊥平面ABC,所以C在平面ABC上的射影H必在平 面ABC,与平面ABC的交线AB上.故选A项. 即二西角A-DC-B的正切值为 6.D解析因为平面PAC⊥平面PBC,ACLPC,平面PAC门平 面PBC=PC,ACC平面PAC,所以AC⊥平面PBC.又因为 13.解析(1)证明：在三校柱ABC-A1BC中，BB⊥底面 BCC平面PBC,所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动，点 ABC,所以BB1⊥AB. C的轨迹是以AB为左径的圆，除去A和B两，点.故选D项. 又因为AB⊥BC,且BB∩BC=B, 7.解析由题意，得两个矩形的对角线长分别为5,2√5，所以 所以AB⊥平面BBCC. 5 又因为ABC平面ABE, =5 5干a23cosB=2点，所以cos a cos cos a=- √29 所以平面ABE⊥平面BBCC. 5:2. (2)证明：如图，取AB的中点为G, 答案5：2 连接EG,FG. 8.解析如图所示，在四边形ABCD中，因为AB=BC,AD= 因为G,F分别是AB,BC的中点， CD,所以BD⊥AC因为平面AACC⊥平面ABCD,平面 所以PG∥AC,且FG=号AC, AMCC门平面ABCD=AC,BDC平面ABCD,所以BD⊥平 面AA1CC,又CCC平面AA1C1C,所以BD⊥CC. 因为AC∥AC,且AC=AC, 所以FG∥EC,且FG=EC, 所以四边形FGEC为平行四边形，所以CF∥EC. 又因为EGC平面ABE,C1F过平面ABE, 所以CF∥平面ABE (3)图为AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC, 所以AB=√AC-BC=3. 所以Vsc=专S6·AM=号××3X1X2- 3 答案垂直 ·340 9.证明(1)由题意知△PAD为正三角形，G为AD的中点，所 因为AFC平面ABC,所以DK⊥AF 以PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面 因为MK⊥AF,DK∩MK=K,所以AF⊥平面DMK, ABCD=AD,所以PG⊥平面ABCD,所以PG⊥BG.又因为 因为DMC平面DMK,所以AF⊥DM 四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°，所以△ABD是正三角 与折前的图形对比，可知折前的图形中D,M,K三点共线， 形，所以BG LAD.又AD∩PG=G,所以BGL平面PAD. 且DK⊥AF,所以△DAK△FDA, (2)由(1)知BG⊥AD,PG⊥AD,BG∩PG=G,所以AD⊥平 所以0-架即片-亦所以= 1 面PBG,又PBC平面PBG,所以AD⊥PB. 10解析由三个侧面两两垂直，知三条侧棱两两垂直，则有BCL 由题意得DF∈(1,2)，所以E(号，1). PA,AB⊥PC,CA⊥PB,又由BC⊥PA,PH⊥BC,得BC⊥平 面PAH,则BC⊥AH,同理有AB⊥CH,CA⊥BH,所以H 故t的取值范围为(2,1) 为△ABC高线的交点，即垂心 答率垂 11,解析(1)证明：因为底面ABCD是正方形，所以AB⊥AD. 又因为平面ADL底面ABCD,且平面AD∩底面ABCD= AD,ABC底面ABCD,所以AB⊥平面VAD. (2)如图，取VD的中，点E,连接AE, 培优训练（六） BE.因为△VAD是等边三角形， 1.B解析a∥B,且mCa,则m∥B,所以A项错误；一条直线垂 所以AELVD.AE=9AD 直于平面，则与这条直线平行的直线也垂直于这个平面，所 因为AB⊥平面AD,DC平面AD, 以B项正确：mC3或m∥B或m与B相交均有可能，所以C, D项错误.故选B项. 所以AB⊥VD. 2.D解析若m∥，m∥a,则n也可能在a内，故A项错误；若 又因为AB∩AE=A,所以VD⊥平面ABE. a⊥B,m⊥B,则m也可能在a内，故B项错误；若m∥a,m∥ 因为BEC平面ABE,所以VD⊥BE B,则a,B也可能相交，故C项错误；若m⊥a,nLa,根据线面 所以∠AEB就是平面VAD与平面VDB所成的二面角的 垂直的性质定理可知m∥n,故D项正确.故选D项. 平面角，在Rt△BAE中，tan∠AEB=BA-AD-2E 3.C解析在三枚台ABC-A1B,C中，BC∥BC,且BC⊥ AE AD 3 BB,则BC⊥BB,又AB⊥BB,且AB∩BC=B,所以 BB⊥平面ABC,所以∠ABC为A-BB1-C的二面角，因为 所以平面VAD与平面DB所成的二面角的正切值 △ABC为等边三角形，所以∠ABC=60°.故选C项. 为9 4.D解析由题意得CD⊥A1B,CD⊥AA,所以CD⊥平 面AA1B1B,故CD⊥AB,作DF⊥AB交BB于点F,此 12.解折(1)证明：在图1中，因为AB=BC=之AD=a,E是 时AB⊥平面CDF,在矩形ABBA中，AB=A1A,所以四 边形ABBA是正方形，所以AB⊥AB,所以DF∥A1B, AD的中点，∠BAD=受，所以BE⊥AC.所以在图2中， 又D为A1B的中点，所以F为BB1的中点，即BB= 2BF,所以BF=BF,所以A=1.故选D项. BE⊥A1O,BE⊥OC,从而BE⊥平面A1OC 又易得CD∥BE,所以CD⊥平面AOC (2)由已知，平面ABE⊥平面BCDE,且平面A1BE∩平面 BCDE=BE, 又由(1)可得AOLBE,所以AOL平面BCDE, 即AO是四棱锥A1-BCDE的高. 由图1知，A0=号AB-受2，平行四边形BCDE的面积 5.C解析由已知可得AD=√/AB-BD=√4-（23)=2. 因为AD⊥DB,AD⊥DC,DB∩DC=D,DB,DCC平面 S=BC·AB=a,从而四棱雏A1-BCDE的体积V= BCD,所以ADL平面BCD,因为SAm=2×25X2V3X 子5·A0号×G×受=g由号=6，得a 2 6 si血号=3V3,所以Vim=号×S XAD=-号×35× 6.所以a的值为6. 13.BCD解析在三棱锥A-BCD中，取BD的中点O,连接 2=23.因为E为棱AB的中点，所以VDE=VsD= AO,QC因为AB=AD,所以AO BD,又因为平面ABD⊥平 2Vm=×23=5,故选C项 面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以AO⊥平面 6.ABC解析如图，连接BD,AD,由M,N分别为AC,AB BCD,因为CD⊥BD,所以OC不垂直于BD,假设AC⊥ 的中点，知MN∥A1D,而MN吐平面ADD1A1,A1DC平面 BD,又因为AC∩AO=A,所以BD⊥平面AOC,所以BDL ADDA,所以MN∥平面ADDA:,故A项正确；在正方体 OC,与OC不垂直于BD矛盾，所以AC不垂直于BD,A项 ABCD-A1BCD中，AB⊥平面ADDA1,则AB⊥AD, 错误；因为CD⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,所以CD⊥平 因为MN∥A1D,所以MN⊥AB,故B项正确；直线MN与 面ABD,所以CD⊥AD,所以AC=√2，因为AB=1,BC= 平面ABCD所成角等于A1D与平面ABCD所成角，等于 BD+CD=√3，所以AB+AC=BC,所以∠BAC= 45°，故C项正确；而∠ADD为异面直线MN与DD1所成 90°，B项正确；∠CAD为直线CA与平面ABD所成的角， 角，应为45°，故D项错误.故选ABC项. ∠CD-5,C项正确，Vm=号Sm·CD-=号，D项正 确.故选BCD项. 14.解析过，点K作KM⊥AF于点M,连接DM. 图为平面ABD⊥平面ABC,平面ABD∩平面ABC=AB, DK⊥AB,DKC平面ABD,所以DK⊥平面ABC. ·341·