课时作业20 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

9.解析在梯形ABCD中，AB=2,高OD=1.由于梯形ABCD水 建立平面直角坐标系xOy,如图②，在x,y轴上分别取点 平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都 B,C,使AB=A'B'=a,AC=2A'C'=2J2a,过C作CD∥ 不变，则直观图如图所示， Ox轴，且使CD=a,连接AD,BC, 在直观图中，0D'=20D=合，梯 则平行四边形ABCD是直观图正方形A'B'C'D'的原图形. 所以其面积S=AB·AC=a·2√/2a=2√2a2. 形的高E=号，所以可得梯形 A O E B 15.CD解析由题意，在斜二测直观图△A'B'C中，OC=dA' 2OB'=2,所以OB=1,所以在△ABC中，OC=OA=2, ABCD的面积S=号×1+2)×-3， OB=2OB'=2,所以BO是△ABC的中线，A(2,0),B(0, 48 2),C(-2,0),AC=AO+CO=2+2=4,所以AB=BC= 10.解析(1)画轴.如图，画出x轴，y轴，之轴，三轴相交于点O, √22+2严=2√2，因为√AB+BC=√(2√2)+(2√2)2 使∠x0y=45°，∠x0z=90° 4,所以△ABC是等腰直角三角形，A项错误，C项正确； (2)画底面，作水平放置的三角形的直观图△ABC,其中 AO-B,AB-2 cm,Cem SAwe-XACX BO-4.SAuIe-XA'C'XOB'sin 45- √2，所以△ABC的面积是△A'B'C的面积的2，√2倍，B项错误； (3)画侧棱.过A,B,C各点分别作x轴的平行线，并在这些 C△ABc=AB+BC+AC=2V2+2√2+4=4√2+4，D项正 平行线上分别戴取线段AA',BB,CC,使AA=BB=QC= 确，故选CD项. 4 cm. (4)成图.顺次连接A',B,C,并擦去辅助线，将被遮住的 部分改为虚线，得到的图形就是几何体的直观图， 16.解析(1)先画x'轴和y轴，使∠xOy=45°，如图①所示. (2)在原图中作AELx轴，垂足为E(1,0). (3)在x轴上截取OE'=OE,然后作A'E∥y轴，裁取 11.C解析因为A'D'∥y轴，剩由斜二测画法知原图形中有 EA'-EA. AD⊥BC,又AD为BC边上的中线，所以△ABC为等腰三 (④)同理可确定点B,C,D,其中BG=号BG,CH= 角形，则有AB,AC相等且最长，AD最短.故选C项. 12.D解析如图①为实际图形，建立如图所示的平面直角坐 CH.D/F'-DF. 标系zOy. (5)连线成图（去掉辅助线），如图②所示」 C D' 2 OEFG H 如图②，建立平面直角坐标系xOy',使∠xOy=45°，由 ① 直观图的高法知AB=AB=a,0C=0C-得，过C 课时作业（二十） 作C'D⊥gx'于D',则CD=gC=⑤。 1.B解析长方体即为四棱柱，其体积为3×4×5=60(cm).故 2 8a所以 选B项. △ABC的面是S=号·AB·CD=音·a:。 2.C层罚每个面的面积为子×2×2×写-3，所以正四面体 故选D项 的表面积为4√3.故选C项。 3.B解析设正方体的棱长为a,则6a2=96,得a=4,故该正 13解析如图是正方形ABC0的直观图，由A'B平行于x轴，得 方体的体积V=a2=43=64.故选B项. 点B到x'轴的距离等于点A'到x'轴的距离d, 4.A 服霸因为侧面斯是等腰直角三角形，故侧技长为号，所 而0A'=0A=1,∠C0A'=45, 以s+9x号×（停。厂-3，故选A项 4 所以d-0A'-号 d C 5.BD解析依题意知，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以 小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1：3，高之比为1：3，所 器号 以小棱锥与原校锥的侧面积之比为1：9，体积之比为1： 27,即小棱锥与棱台的侧面积之比为1·8，体积之比为1： 14.解析在直观图正方形A'BCD中，分别以AB',A'C所在直线 26.故选BD项. 为x'轴、y轴，如图①，则由AB'=a知A'C=√2a 6解析设正六棱柱的底面边长为acm,则底面上最长的对角 线长为2acm,由√5+(2a)7=13,解得a=6,所以侧面积 为5×6a=5×6×6=180(cm2). 答案180cm 7.层窃V线，=V:soA=号×号×1X1X1=行 0)B OA B 管器行 ·326· 8.解析如图所示，作PO⊥底面ABC,则 点0为正△ABC的中心，PO=E。 6a, 连接AO并延长与BC相交于点D,连 接PD,则BC⊥PD. 所以0D=AD-号×号。=得。 . 所以PD=VP0+0D=之a, 1 13.解析如图所示，连接AB,AC,因为BE=CF, 所以此被维的侧面积为3X受×a 2a 3 所以梯形BEFC的面积等于梯形B,EFC的面积 4 又四棱锥A-BEFC的高与四棱锥A-B1EFC的高相等， 答累子a2 所以V4元=V匹，=2Vx画GC 9解析根据题意，设该棱台的高为h,该正四棱台上底面边长为 设h为直三棱柱ABC-A1BC的高， 18cm,下底面边长为24cm,其体积V=10升=10000cm3, 剥有10000= 18+2理+X2理)，所以A 则V44S=号S644G·A, 又VABC-A BG=SAAS·h=m, 324+576+432≈2.5(cm). 30000 所以VAG=号 答多22.5 故VA码，Sc=VoA,4G一VAA马G= 2 32 10.解析如图，设PO=3,PE是斜高， 所以Ve=立X号m=号 故四棱维A-BEFC的体积为号 14.解析如图所示，在三棱台ABC AB'C中，O,O分别为上、下底面 的中心，D,D分别是BC,B'C的中 因为S=2S,所以4X号·BC·PE=2BC,所以BC=PE 点，则DD是等腰梯形BCCB 的高， 在R△POE中，P0=3,OE=2BC=号PE,所以9+ 所以S=3X号×(20+30)XDD- (罗)'=PE,所以PE=25.所以Sa=BC=PE= 75Dd.又A'B=20am,AB=30cm,则上、下底面面积之和为 (2√3)=12，Sw=2St=2×12=24,所以S=S度十S= S+S×团+30)=5,5(a.由S=S+s,得 12+24=36. 11.B解析把该多面体补成一个完整的 75DD=325,所以DD=13,3m,又0D=5×20= 3 6 三棱柱，如图所示，棱柱的高为2，底面 三角形长为1的边上的高为号，共你 10g(em,0D-号×30=53(am,所以可得棱台的高h 3 积为宁×1×号×2=竖制去的两个回校维的体积之和为 0-vDD-00-√('-(5- 43(cm),由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V= 言×1X号-号所以谈多西条的体积为号-号-怎故 号S+s+VSS)=9×(s5+9×0x30) 选B项， 1900(cm3). 12.ACD解析如图，在正六棱台ABCDEF-A:BCDE F 15.D解析根据题图分析可知，三角形EFQ的面积不变，为 中，因为AB=2cm,AB=6cm,AA1=5cm,所以侧面的 矩形ABCD面积的子，而当点P变化时，它到平面 梯形AB,A的高即正六被台的斜高为-（号受- ABCD的距离也是变化的，因此会导致四面体体积的变 V瓦，所以捧形ABBA的面积为S=是×2+6)X√页- 化.故四面体P-EFQ的体积与z有关，与x,y无关.故选 D项. 4√2I(cm),故正六枚台的侧面积为6S=6×4√2I= 16.解析设△AEF的面积为S1,△ABC和△A,BC的面积均 24√2I(cm2),故B项错误；由图可知该正六棱台的上底 为S,三棱柱的高为h,总体积为V,由题意知V4马S=V, 面积为6个边长为2的等边三角形组成，所以该正六棱台 =号S+S+SS, 的上底面积为S=6×7×2×2×sin60°=6V3(cm2),故 V=Sh, VgG=V,则 V=V-V, 解得= A项正确：同理下底西积为S,=6X号×6X6×sim60°= 4” 54v3(cm),所以该正六棱台的表面积是6S+S+S2 60√3十24√2I(cm),故C项正确：正六棱台的高为Q0 √52-(6-2)=3(cm),故D项正确.故选ACD项. 器号 ·327·课时作业(二十) 梭柱、校锥、校台的表面积和体积 答案见P2s lI基础训练ll 1.若长方体的长、宽、高分别为3cm,4cm,5cm,则 的侧面积为 ( 长方体的体积为 ) 9.米斗是我国古代官仓、粮栈、米行必备的用具,是 A.27cm{ B. 60 cm{ 称量粮食的量器,如图是一种米斗,可盛米10升 C.64 cm3 D. 125 cm* (1升=1000cm).已知米斗的形状为正四核 2.校长为2的正四面体的表面积为 _ 台,且上口宽为24cm,下口宽为18cm,则高约 A.③ B.4 为___cm(结果保留一位小数). C.4③ D.16 3.正方体的表面积为96,则正方体的体积为 A.486 B. 64 C.16 D.96 4.已知侧面都是等腰直角三角形的正三校锥的底 10.已知正四凌锥的侧面积是底面积的2倍,高为 ( ) 面边长为a,则该三梭锥的表面积是 3,求它的表面积 A3-# B 4 6。 D 2 5.(参选)用平行于校锥底面的平面去截校锥,得到 上、下两部分空间图形,且上、下两部分的高之比 为1:2,则关于上、下两空间图形的说法正确的是 ,_ ) A.侧面积之比为1: B.侧面积之比为1:8 C.体积之比为1:27 D.体积之比为1:26 6.若正六梭柱的高为5cm,最长的对角线长为13cm 则它的侧面积为 7.如图,正方体ABCD-A.B.CD.的校长为1,E 为线段BC上的一点,则三校锥A-DED.的体 积为 ·195. I能力提升] 14.已知一个三梭台的上、下底面分别是边长为20cm 11.如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD 和30cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形 是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF是正 目侧面积等于上、下底面面积之和,求梭台的高 三角形,EF/AB,EF一2,则该多面体的体积为 和体积. ( ) ## A.② 2# D.2 12.(参选)正六校台的上、下底面边长分别是2cm 和6cm,侧校长是5cm,则下列说法正确的是 _ A.该正六楼台的上底面积是6、③cm B.该正六楼台的侧面面积是15cm^{} C.该正六校台的表面积是(603十24v②1)cm lI拓展探究l D.该正六校台的高是3cm 15.如图,正方体ABCD-A.BC.D.的校长为2,动 13.若E,F是直三校柱ABC-A.B.C 的侧楼BB 点E,F在校AB 上,动点P,Q分别在校AD 和CC 上的点,且BE一CF,该三校柱的体积 CD上,若EF=1,AE=x,DQ=y,DP=z(x. 为m,求四校锥A-BEFC的体积 y,z大于零),则四面体P-EFQ的体积( ) A.与x,y,z都有关 B.与x有关,与v,z无关 C.与y有关,与x,z无关 D.与z有关,与x,v无关 16.如图,在三校柱ABC-AB.C中,若E,F分别 为AB,AC的中点,平面EBCF将三校柱分成 .196.