课时作业23 空间点、直线、平面之间的位置关系-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

课时作业（二十三） 空间点、直线、平面之间的位置关系 答案见P 1基础训练 1.在正方体ABCD-A1BCD1中，与对角线AC 异面的棱有 A.3条 B.4条 8.若不在同一条直线上的三点A,B,C到平面α的 C.6条 D.8条 距离相等，且A,B,C都在平面a外，则平面ABC 2.已知在两个平面内各有一条直线，并且这两条直 与平面α的位置关系为 线互相平行，那么这两个平面的位置关系是 9.如图所示，在正方体ABCD-A1BC1D1中，M, ( N分别是AB,和BB,的中点，判断下列直线与 A.平行 B.相交 平面的位置关系 C.平行或相交 D.以上都不正确 (1)AM所在的直线与平面ABCD; 3.(选)已知直线a,b都与平面a相交，则a,b的 (2)CN所在的直线与平面ABCD; 位置关系可能是 ( (3)AM所在的直线与平面CDD1C; A.相交 B.平行 (4)CN所在的直线与平面CDDC. C.异面 D.以上都不正确 4.在正方体ABCD-A1BCD中，E,F分别是边 BC,C,D的中点，则直线A1B与直线EF的位置 关系是 () A.相交 B.异面 C.平行 D.无法确定 5.若m,n是两条不重合的直线，a是平面，则下列 命题中正确的是 ( ) A.若m∥n,nCa,则m∥a B.若m∥n,n∥a,则m∥a C.若m∥n,n与a相交，则m与a也相交 10.已知空间四边形ABCD,AB≠AC,AE是 D.若m⊥n,n⊥a,则m∥c △ABC的BC边上的高，DF是△BCD的BC 6.如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体 边上的中线，求证：AE和DF是异面直线. 中，AB与CD的位置关系为 A.相交 B.平行 C.异面 D.无法确定 7.如图，点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上，且 是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线 的一个图是 (填序号). ·203· I能力提升 川拓展探究 1L.已知若不同直线a,b,l与平面a,B,且满足aC 15.(多选)一个正四棱锥的平面展开图如图所示， a,bCB,a∩B=l,a∥l,则“a与b异面”是“b与l 其中E,F,M,N,Q分别为P2A,PD,PD, 相交”的 P,C,PC的中点，关于该正四棱锥，下列四个结 A.充分不必要条件 论中正确的为 () B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12.(多选)下列命题中错误的是 () A.若直线1平行于平面α内的无数条直线，则 l∥a A直线AF与直线BQ是异面直线 B.若直线a在平面a外，则a∥a B.直线BE与直线MN是异面直线 C.若a∥b,bCa,则a∥c C.直线BQ与直线MN共面 D.若直线a∥b,bCa,那么直线a平行于平面a D.直线BE与直线AF是异面直线 内的无数条直线 16.如图，ABCD-AB1CD1是正方体，在图1中， 13.如果空间中的三个平面两两相交，则下列判断 E,F分别是C1D,BB的中点，画出图1，图2 正确的是 (填序号)。 中有阴影的平面与平面ABCD的交线，并给出 ①不可能只有两条交线； 证明. ②必相交于一点： ③必相交于一条直线： ④必相交于三条平行线。 14.如图，已知平面a∩B=l,点A∈a,点B∈a,点 C∈B,且A任1，BC1,直线AB与l不平行，那么 图2 平面ABC与B的交线与l有什么关系？证明你 的结论。 ·204·3.A解析①中若a与a相交，且交点为A,则结论不正确： ③三条直线AB,AD,AA,交于一点A.它们可以确定三个 ②中“a∈a”符号不正确：③中A可以在a内，也可以在a外， 平面（平面ABCD,平面ABBA和平面ADDA1). 故不正确：④中符号“A二a”不正确.故选A项. 答系1,2或3 4.CD解析根据平面的基本性质判定点C和，点D既在平面3内 13.解析对于①，不在同一条直线上的三点确定一个平面，所 又在平面y内，故点C和点D在3与Y的交线上.故选CD项. 以①错误：对于②，一条直线和直线外一个点确定一个平 5.AC解析若三条直线两两相交且共有三个交点，则确定 面，所以②错误：对于③，若空间四点A,B,C,D不共面，则 1个平面：若三条直线两两相交且交于同一，点，则可确定3个 四点构成一个三棱锥，故每三点一定不共线，所以③正确： 或1个平面.故选AC项. 对于④，不共，点的三条两两相交的直线确定一个平面，所以 6.解析点A在直线1上，记作A∈1，直线1在平面a外，记作 ④错误.综上，假命题的个数是3. la,所以题中语句用符号表示为A∈l,la. 答率3 答系A∈l,lda 14证明如图所示，连接GE,HF 7解折若1与a有两个不同的公共，点，则由基本事实2知1C 因为E,G分别为BC,AB的 a,又BEl,所以B∈a,与BEa矛盾，所以l与a有且仅有一 中点，所以GE∥AC 个公共点A, 又DF:FC=DH:HA 答室1 2:3,所以FH∥AC,从而 8解扬当三个平面都平行时，可将空间分成4部分，为最少：当 FH//GE. 三个平面两两垂直时，可将空间分为8个部分，为最多，故 故E,F,H,G四点共面，且四边形EFHG是一个梯形. x=4.y=8,所以y一x=4. 延长GH和EF交于一点O, 答案4 因为GH在平面ABD内，EF在平面BCD内， 9.解析(I)根据题意，A∈a,B任a,A∈1，B∈，画出如图所示的 所以点O既在平面ABD内，又在平面BCD内， 图象 所以，点O在这两个平面的交线上， 而这两个平面的交线是BD,且交线只有这一条，所以点O 在直线BD上 所以EF,GH,BD交于一点. 15.证明(1)因为BGGC=DH:HC=1:2, 所以GH∥BD, 因为E,F分别为AB,AD的中点， (2)根据题意，aCa,bCB,a∥c,b∩c=P,a∩B=c,画出如图 所以EF∥BD,所以EF∥GH. 所示的图象 所以E,F,G,H四点共面. (2)因为G,H不是BC,CD的中点， 所以EF∥GH,且EF≠GH, 所以EG与FH必相交，设交点为M, 因为EGC平面ABC,HFC平面ACD 所以M∈平面ABC,且ME平面ACD, 1O.证朋因为EFC平面BEFD,P∈EF, 因为平面ABC∩平面ACD=AC,所以M∈AC, 所以P∈平面BEFD. 所以EG与HF的交点在直线AC上. 同理，Q∈平面BEFD,所以P,H,QE平面BEFD. 16.解析(1)在正方体ABCD-A:B,CD,中， 连接AC,AC,则P∈AC1,QEAC,H∈AC, 因为AA∥CC, 因为AC∥AC,所以AC与AC确定平面A,ACC, 所以由推论3可知，AA1与CC:可确定平面AACC 所以P,H,QE平面AACC, 所以AM与CC在同一平面内. 所以P,H,Q三点在平面BEFD与平面A1AC℃1的交线 (2)因为点B,C,D不共线，由基本事实1可知，点B,C,D 可确定平面BC1D, 上，故P,H,Q三点共线. 1l.CD解析当a∩a=P时，P∈a,P∈ 所以点B,C,D在同一平面内. (3)如图，因为AC∩BD=O,所以点 a,但a中a,所以A项错误；a∩B=P 时，B项错误：如图，因为a∥b,P∈b, OE平面AC1C,OE平面BC1D. 又C∈平面ACC,C∈平面BCD, 所以P任a.所以直线a与点P确定平面a,又a∥b,所以a 所以平面ACC∩平面BCD=OC. 与b确定平面B,但B经过直线a与点P,所以B与a重合， 连接CD交CD于点E, 所以bCa,故C项正确：两个平面的公共，点必在其交线上， 同理平面ACD∩平面BDC=(OE 故D项正确，故选CD项. 12.解折如图，在正方体ABCD-AB,CD中， 课时作业（二十三） ①A4∩AB=A,AA∩AB=A,直线AB,AB与AA 1.C解杨画一个正方体，可知满足题意的棱有6条.故选 可以确定一个平面（平面ABBA1): C项. 2.C解析当两个平面相交或平行时，在这两个平面内各存在 一条直线，使得这两条直线互相平行，故选C项。 3.ABC解析如图所示，在正方体中取平 面ABCD为平面&，取AA所在直线为直 线a,BB所在直线为直线b,则a∥b:取 AB所在直线为直线b,则4，b相交：取 ②AA∩AB=A,AA∩AD=A,直线AB,AA与AD BC所在直线为直线b,则a,b异面.故三 可以确定两个平面（平面ABBA和平面ADDA): 种情况都有可能.故选ABC项. ·330· 4.A解析如图所示，连接CD,则CD与 直线AF与直线BQ是共面直线，故A项错误：E在过F, CD的交点为，点F,由正方体可得四边形 N,A,B四点的平面外，B和MN都在过F,N,A,B四，点的 A,BCD是平行四边形，在平行四边形 平面内，故直线BE与直线MV是异面直线，故B项正确： A1BCD内，E,F分别是边BC,CD的中 N,Q重合，故直线BQ与直线MV共面，故C项正确：E在 点，所以EF∥BD,所以直线AB与直线 过F,N,A,B四点的平面外，B和AF都在过F,N,A,B四 EF相交.故选A项. 点的平面内，故直线BE与直线AF是异面直线，故D项正 5.C解析在A,B.D项中，直线m还可能在平面a内，所以 确.故选CD项. A,B,D项错误.故选C项 6.C解析将展开图还原为正方体，如图所示 N(O) 16.解析在图1中，设N为CD的中点，因为直线EN∥BF,所以 AB与CD异面.故选C项 BN,E,F四点共面.所以EF与BN相交，设交点为M因为 7.解折①中PQ∥RS,②中RS∥PQ,③中PQ与RS异面， M∈EF,M∈NB,且EFC平面AEF,NBC平面ABCD,所 ④中RS和PQ相交. 以M是平面ABCD与平面AEF的公共，点，又因为，点A是 答案③ 平面ABCD和平面AEF的公共，点，所以AM为两平面的 8解析当AB,C在平面a的同侧时，两平面平行：当A,B,C 交线. 在平面a的两侧时，两平面相交 在图2中，延长DC到点M,使CM=DC,连接BM,CM,则 答蜜平行或相交 CM∥DC∥A:B,所以M在平面ABC内.又因为M在 9.解析(1)AM所在的直线与平面ABCD相交. 平面ABCD内，所以M是平面A,BC与平面ABCD的公 (2)CN所在的直线与平面ABCD相交. 共点，又因为B是平面A1BC与平面ABCD的公共点，所 (3)AM所在的直线与平面CDD1C平行. 以BM是平面A,BC与平面ABCD的交线. (4)CN所在的直线与平面CDDC相交. D. 10.证明由题设条件可知点E,F不重合，设△BCD所在平面 为a,所以DFCa,A任a,E∈a,E任DF,所以AE和DF是 异面直线 图2 课时作业（二十四） 1l.C解析图为aCa,bC3,a∩3=l,a∥L,a与b异面，所以b 与I相交；因为aCa,bC3,a∩B=l,a∥1，b与l相交，所以a L.A解析因为a∥b,b∥c,c∥d,所以由基本事实4可知a∥ 与b异面.所以“a与b异面”是“b与l相交”的充要条件.故 d故选A项. 选C项. 2.A解折因为E,F分别是SN和SP的中点，所以EF∥PN.同 12.ABC解析因为直线1虽与平面a内无数条直线平行，但l 理可证HG∥PN,所以EF∥HG.故选A项. 有可能在平面a内，所以【不一定平行于，所以A项错误； 3.AC解稻由题意知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°，根据 因为直线a在平面&外包括两种情况，即u∥a和a与a相 空间等角定理知，一个角的两边分别平行于另一个角的两 交，所以a和a不一定平行，所以B项错误：因为直线a∥b, 边，则这两个角相等或互补，所以∠PQR=30或150°.故选 bCa,只能说明a和b无公共点，但a可能在平面a内，所以 AC项. a不一定平行于a,所以C项错误：因为直线a∥b,Ca,所以 4.B解析由于E,F分别是BO,CO的中，点，故EF∥BC,图 a二a或a∥a,所以a可以与平面a内的无数条直线平行，所 为和棱BC平行的棱还有3条，即AD,BC,AD,所以共有 以D项正确.故选ABC项. 4条.故选B项. 13.解折三个平面两两相交，所得交线可能有一条：当交线有 5.D解ǖ如图1)，∠AOB=∠AOB且OA∥OA,但OB 两条交于一点时，第三条一定过该点；当交线有两条平行 与OB,不平行，故A,B项撸除：如图(2)，∠AOB= 时，那么第三条交线一定与另外两条平行，故交线可能为一 ∠AOB:且OA∥OA1,此时OB∥OB,故C项排除，故选 条或三条，故只有①正确. D项 答系① 14.解析平面ABC与B的交线与1相交.证明如下： 因为AB与1不平行，且ABCa,lCa,所以AB与l一定相 交.设AB∩l=P,则P∈AB,P∈l.又因为ABC平面 0≤ ABC,lCB,所以P∈平面ABC,P∈A.所以，点P是平面 图11B, 图2 ABC与3的一个公共点，而点C也是平面ABC与3的一个 6.B解析如果a,b都与1平行，根据基本事实4，有a∥b,这 公共，点，且P,C是不同的两点，所以直线PC就是平面 与a,b为异面直线矛盾，故a,b中至多有一条与平行，故选 ABC与3的交线，即平面ABC∩B-PC,而PC∩l=P,所 B项， 以平面ABC与B的交线与1相交. 7.C解析若m∥n,且l∥m,则l∥n,故充分性成立：反之，若 15.BCD解析根据展开图，复原几何体，如图所示.固为F, l∥n,且l∥m,则m∥n,故必要性成立.故“m∥n”是“∥n”的 M,N,Q分别为PD,P,D,PC,PC的中点，所以FN∥ 充要条件，故选C项. CD,又AB∥CD,则FN∥AB,故F,N,A,B四，点共面，故 8.解析(1)因为B,D∥BD,BC∥BC且方向相同，所以 ·331·