课时作业27 直线与直线垂直-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

课时作业（二十七） 直线与直线垂直 答案见P 1基础训练‖ 6.在棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D'中，异面 1.和两条异面直线都垂直的直线 直线BD与AA'所成的角的正弦值为 A.有无数条 B.有两条 7.若正方体ABCD-A,B,CD,的棱长为1，则BD C.只有一条 D.不存在 与CD,所成的角为 2.如图所示，在正方体ABCD- 0 8.如图是某个正方体的表面展 A,BCD中，异面直线BD 开图，41,2是两条面对角 与CD所成角的大小是 线，则在正方体中，有下列关 ( 于与2的四个结论：①互 A.30 B.45 相平行：②异面垂直：③异面且夹角为：④相交 C.60° D.90 (填序号). 3.已知正四面体A-BCD中，E是AB的中点，则 且夹角为其中正确的是 异面直线CE与BD所成角的余弦值为() 9.如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点， R得 D,E分别是VB,VC的中点，求异面直线DE与 A君 AB所成的角。 c n9 4.如图，空间四边形ABCD中，E,F分别为AC, BD的中点，若CD=2AB,EF⊥AB,则EF与 CD所成的角为 () A.30 B.45° C.60° D.90° 5.(多选)如图是一个正方体的平面展开图，在原正 方体中，给出下列四个结论，其中正确的结论是 ( A.AB与CD所在直线垂直 B.CD与EF所在直线平行 C.AB与MN所在直线成60°角 D.MN与EF所在直线异面 ·213· 10.如图，已知正方体ABCD-A1BCD: 13.如图，在三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD= (1)求AC1与BC所成角的大小： CD=3,AD=BC=2,点M,N分别是AD,BC (2)若E,F分别为棱AB,AD的中点，求证： 的中点，求异面直线AN,CM所成的角的余 AC⊥EF. 弦值. I能力提升 11.点E,F,G,H分别为空间四边形ABCD中AB, I拓展探究 BC,CD,AD的中点，若AC=BD,且AC与BD 14.平面a过正方体ABCD-A1BCD1的顶点A, 所成角的大小为90°，则四边形EFGH是 a∥平面CB,D,a∩平面ABCD=m,a∩平面 ( ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为() A.梯形 B.空间四边形 A号 B号 C.正方形 D.有一内角为60的菱形 c n9 12.(多选)在正方体ABCD-A1BC1D中，点P在 15.已知两异面直线a,b所成的角为17°，过空间一 线段AD上运动，则异面直线CP与BA:所成 点P作直线l,使得l与a,b的夹角均为9°，那 的角日的可能取值是 么这样的直线1有 () A.0° B.30° A3条 B.2条 C.45 D.60 C.1条 D.0条 ·214·10.证明(1)如图，取BD的中点O,连接GO,OB, @若点P在平面，8之间，别部-器即号-品解得 DP-18,所以CD=CP+DP-34. 因为0G=BC,BE=BG, 所以BE=OG,且BE∥BC∥OG, 答案34或2 所以四边形BEGO为平行四边形，故OB∥EG, 15.解析如图，设AA1,BB,CC的中点分 因为OBC平面BB,DD,EG寸平面BBDD, 别为D,E,F,连接DE,EF,FD,AC.因 所以EG∥平面BBDD. (2)由于BB1∥DD,BB1=DD, 为MN∥平面ACCA,所以AM= 所以四边形BBDD为平行四边形，所以BD∥BD CN.当AM=CN=0时，MN的中点S 连接HB,DF,取P为DD1中点，连接AP,PF, 为正方形ACC1A1的中心，即AC的中 所以AB∥CD∥PF,AB=CD=PF, 点（设为G点）：当AM=CN=√2a时， 因此四边形ABFP为平行四边形，故有AP∥BF MN的中点S为BB,的中点E,连接GE,易知S点的轨迹 又AH∥PD,AH=PD, 是三角形DEF的高线EG.由于三角形DEF是等边三角 所以四边形AHDP为平行四边形， 形，而EG=√3，所以a=2.故正三校柱ABC-A1BC的体 故AP∥HD,故HD∥BF. 又BD∩HD=D,BDOBF=B, 和为9×2×2=2反 所以平面BDF∥平面B,DH 答索23 11,AC解析因为矩形对角线的交点为O,所以O是BD的中 16.解析(1)在正四棱锥S-ABCD中，SA=SB=SC=SD=2, 点，又因为M为PB的中点，所以OM为△PBD的中位线， 所以OM∥PD,又因为OM中平面PAD,PDC平面PAD, AB=,所以侧面的高√公一(=。 所以OM∥平面PDA,故A,C项正确；OM与平面PAC有 公共点O,与平面PBA有公共点M,故B,D项错误.故选 所以正四棱维S-ABCD的表面积S=4X号X2×+ AC项， 12.解析因为AC∥平面EFGH,AC,EF在平面ABC内，所以 √2XW2=2√7+2. AC∥ER,所以△BEF△BAC,所以-器，同理得 (2)在侧棱SC上存在一点E,使BE∥平面PAC,满足 股肥又周为EF=HG,所以器=B盟所以EH/ BE DH =2理由如下： E BD,所以△AEHO△ABD,所以器-能 ①，同理得 器-器@又周为EH=EF,所以墨得S-能所以 EF_BE AE:EB=a:6,AE AB=a:(a+b). 答案at(a十b) 设AC与BD的交点为O,取SD的中点为Q,因为SP= 13.解析设AT=x,则A1T=1一x,由面面平行的性质可知 3PD,则PQ=PD, PO∥SR,TO∥QR,TS∥PQ,所以△DOP∽△BRS,因为 过Q作PC的平行线交SC于E,连接BQ,BE. DP=OD=1,所以BS=BR=号，所以AS=CR=号， 在△BDQ中，有BQ∥PO, 3 因为POC平面PAC,BQ过平面PAC, 由△MT0n△GaR可得0-器士 CQ故CQ- 2 所以BQ∥平面PAC, 由于器-2，所以瓷-品-2 ，由△ATSn△QP可得器-A,即2 又由于QE∥PC,PCC平面PAC,QEt平面PAC, 所以QE∥平面PAC, 2 解得x= 因为BQ∩QE=Q,所以平面BEQ∥平面PAC, 又BE∈平面BEQ,所以BE∥平面PAC 哈系骨 课时作业（二十七） 14.解析因为直线AB,CD相交于点P,所以A,B,C,D,P共 1.A解析所有与两条异面直线的公垂线平行的直线都与这 面.根据面面平行的性质定理可知，AC∥BD. 两条异面直线垂直，所以有无数条，故选A项。 ①若点P在平面a,的外，则品-品即是-品解得 2.B解析因为CD∥CD,所以异面直线BD与CD所成的 CD=2: 角为∠BDC1,其大小是45°，故选B项. ·335· 3.B解析如图，取AD的中点F,连接 故A1C与BC所成的角为60°. EF,CF,因为E为AB的中点，所以EF∥ D DB,则∠CEF为异面直线BD与CE所 成的角.因为在正四面体A-BCD中，点 E,F分别为AB,AD的中点，所以CE CF.设正四面体的棱长为2a,则EF=a, CE=CF=√(2a)-a=√3a.在△CEF中，由余弦定理得 0F-CS是2X得批选B克 (2)证明：如图，连接BD. 由(1)得AC∥AC, 4.A解析取AD的中点H,连接FH,EH,则EH∥CD, 因为E,F分别为棱AB,AD的中，点，所以EF为△ABD的 FH∥AB.∠FEH是EF与CD所成的角，∠EFH是EF与 中位线，所以EF∥BD. AB所成的角.因为EF⊥AB,所以在△EFH中，∠EFH=90°， 又AC⊥BD,所以EF⊥AC,所以AC⊥EF 因为CD=2AB,所以HE=2HF,所以∠FEH=30°.故选 I1.C解析因为，点E,F,G,H分别为空间四边形ABCD中 AB,BC,CD,AD的中点，所以FG∥BD,EH∥BD,HG∥ A项. AC,EF∥AC,所以EH∥FG,HG∥EF,所以四边形 EFGH是平行四边形，又AC与BD所成角的大小为9O°， 所以HG与FG所成角的大小为90°，即FG⊥HG,所以四 边形EFGH是矩形，又AC=BD,FG=2BD,HG=是AC 所以FG=HG,所以四边形EFGH是正方形.故选C项. 5.CD解析画出原正方体如图所示，连接 DN,DM,由图可知AB与CD不垂直，CD 与EF是异面直线，所以A,B项错误：AB∥ DN,MN=DN=DM,所以△DMN为等 边三角形，所以AB与MN所在直线成 60°角，所以C项正确：显然D项也正确. 故选CD项. B 6.解析连接BD,BD.易知BD与AA'所成的角为∠BDD, 12.BCD解析连接CD,因为CD∥BA1,所以CP与BA1所 在RABDD中，LBDD-0-沿-号 BD_2a_6 成的角就是CP与CD1所成的角，即日=∠DCP.当点P 从D1向A运动时，∠DCP从0°增大到60°，但当点P与 D1重合时，CP∥BA1,和CP与BA1为异面直线矛盾，所以 霸 异面直线CP与BA1所成的角0的取值范围是(0°，60门.故 7.解折如图，在正方体ABCD-A1BCD旁补一个同样的正 选BCD项. 方体BEFC-B1EF,C,连接BE,则BE∥CD,易知B1D 13.解析连接ND,取ND的中点为E,连接ME,CE,则ME∥AN, 异面直线AN,CM所成的角即为∠EMC(或其补角)， 与CD1所成的角为∠DBE.连接DE,因为BD=√3，BE √2，DE5,所以BD+BE=DE,所以∠DBE=90 因为△ABC中，AB-AC-3,BC-2,NB=NC-1, 则AN=2√2，所以ME=√2， 答案90° 8解析将展开图还原成正方体，如图所示， 同理可得ND=CM=2√2，则EN=√2， 则B,C两，点重合，故山与2相交，连接 又因为EN⊥NC,所以EC=√EN+NC=√3， AD,则△ABD为正三角形，所以l与l2 所以os∠EVMC-EM+MC-EC-2+8-3 7 2EM·MC 2X2X22 8 的夹角为于国此正确的是④。 14.A解析如图，平面a∥平面CBD, 答案④ 平面a∩平面ABCD=m,平面a∩平 9.解析因为AB是圆O的直径且C在圆O上，所以BC⊥AC 面ABBA=n,延长BA交AE 因为点C是孤AB的中点，所以BC=AC, 于点E,则AE即为平面a与平面 所以∠ABC=45°. ABB1A1的交线n,由题意知， 在△VBC中，因为D,E分别为VB,C的中点， n∥CD,m∥BD,因为△CBD是 所以DE∥BC, 正三角形，所以m,n所成的角为 所以DE与AB所成的角为∠ABC=45. 10.解析(1)如图，连接AC,AB.由几何体ABCD-ABCD是 ∠CD,B=60,则m,n所成角的正孩值为气.故选A项 正方体，知四边形AA1CC为平行四边形，所以AC∥ 15.B解析作a'∥a,b∥b,a'与b相 A1C,从而AC与BC所成的角为∠BCA, 交于点P,如图所示，则∠BPE= 由AB1=AC=B,C,可知∠BCA=60°， : 17°，∠EPD=163°，则∠BPE的平 ·336 分线与直线a',b所成的角均为8.5°，∠EPD的平分线与 所以A1E⊥平面BBDD,连接BE,则∠A1BE是A1B与对 直线a',b所成的角均为81.5°.因为8.5<9°<81.5°，所以 角面BB1DD所成的角.在Rt△A1BE中，因为AE= 与直线a,b所成的角均为9°的直线I有且只有2条，即图中 的直线c,d.故选B项. 是AB,所以∠ABE=30,即AB与对角面B,D,D所成 的角为30 课时作业（二十八） 答案30° 1.C解析l与平面α内的两条直线垂直，如果平面中的两条 9.证明(1)如图所示，取PD的中点E, 直线是平行线，则无法判定直线【平面α，故A项不正确：l 连接AE,NE,因为N为PC的中点， 与平面α内的无数条直线垂直，如果平面中的无数条直线是 E为PD的中点， 平行线，则无法判定直线！⊥平面a,故B项不正确：l与平面 所以NE/CD,且NE=CD, α内的任意一条直线垂直，则由直线与平面垂直的定义知直 线l⊥平面a,故C项正确；l与平面α内的某一条直线垂直， 而AM//CD,且AM-2AB=2CD, 则1可能与平面相交、平行或在平面内，故D项不正确.故选 所以NE∥AM,且NE=AM, C项. 所以四边形AMNE为平行四边形，所以MN∥AE. 2.C解析因为PA⊥平面ABC,斜线PB在平面ABC上的射 又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD, 影为AB,因此∠PBA为直线PB与平面ABC所成的角.在 又因为ABCD为矩形，所以AD⊥CD, △PAB中，∠BAP=90°，PA=AB,所以∠PBA=45°，即直 而AD∩PA=A,所以CD⊥平面PAD, 线PB与平面ABC所成的角为45°.故选C项. 所以CD⊥AE,又AE∥MN,所以MN⊥CD. 3.D解析如图所示，作PDBC于点D,连 (2)由(1)可知CD⊥AE,MN∥AE.又∠PDA=45°， 接AD.因为PA⊥平面ABC,所以PA 所以△PAD为等腰直角三角形.又E为PD的中点， CB.因为PA∩AD=A,所以CB⊥平面 所以AE⊥PD,因为CD∩PD=D,所以AE⊥平面PCD, PAD,所以AD⊥BC.在△ACD中，AB= 又AE∥MN,所以MN⊥平面PCD. AC=5,BC=6,所以点D为BC的中点，所 10.解析如图，设点C在平面α内的射影为点O, 以CD=3,所以AD=4,于是在Rt△PAD中， PA=8,AD=4,所以PD=√8+4=4V5. 故选D项。 4.B解析因为AA⊥平面ABC,BCC平面ABC,所以BCL AA1,图为∠ABC=90°，所以BC⊥AB,又AB∩AA1=A,所 连接AO,MO, 以BCL平面AABB,又AMC平面AA1B1B,所以AM⊥ 则∠CAO=30°，∠CMO就是CM与a所成的角. BC.故选B项. 5.A解析如图，设AB=a,则AA=2a,设 设AC=BC=1,则AB=反，所以CM-号，C0=之 三棱锥C-BDC1的高为h,CD与平 面BDC1所成的角为a.因为VcC,= 所以血∠C0-品-号，所以∠CM0=: gr脚号×是×Ea×3Y2ah-号× 故CM与a所成的角为45°. 11.解析设BF=x,因为AB⊥平面CDF,DFC平面CDF, 名cX2a,解得A=号a,所以s血a 所以AB⊥DF.由已知可得AB=√2，设Rt△AAB的斜 岳-子故选A项 边AB上的高为，则DE-=2九由2X2-h√公+02F,可 6.ABC解析由题意可得CF∥AB,利用线面平行的判定定理 可得CF∥平面PAB,则C项正确：同理可得CD∥平面 以解得6=2，所以DE=得在R△DEB中，BE= PAF,则A项正确：在正六边形ABCDEF中，易得DF⊥ AF,因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥DF,由线面垂直的判 ，得 定定理可得DF⊥平面PAF,则B项正确.故选ABC项. 7.解析取AC的中点E,连接BE,DE.由AB=BC得AC⊥BE x=合，即线段BF的长为分 同理得AC⊥DE,所以AC⊥平面BED.因此AC⊥BD. 俗器分 12.解析(1)证明：因为AB⊥平面BCD,CDC平面BCD,所以 ABI CD. 又因为CD⊥BD,AB∩BD=B,ABC平面ABD,BDC平 面ABD,所以CD⊥平面ABD. (2)由AB⊥平面BCD,得AB⊥BD, 答案垂直 8.解析如图，连接AC交BD于点E,则AC⊥BD,即 因为AB-BD-1,所以SAo- AE⊥BD.又DD⊥AC,即DD⊥AE, 因为M是AD的中点，所以5M=2Sm= D 由(1)知，CD⊥平面ABD, 所以三棱锥C-ABM的高h=CD=1, 因此三棱锥A-MBC的体积VAc=VcM= 3SAw· h= ·337·