课时作业28 直线与平面垂直的判定-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

分线与直线a',b所成的角均为8.5°，∠EPD的平分线与 所以A1E⊥平面BBDD,连接BE,则∠A1BE是A1B与对 直线a',b所成的角均为81.5°.因为8.5<9°<81.5°，所以 角面BB1DD所成的角.在Rt△A1BE中，因为AE= 与直线a,b所成的角均为9°的直线I有且只有2条，即图中 的直线c,d.故选B项. 是AB,所以∠ABE=30,即AB与对角面B,D,D所成 的角为30 课时作业（二十八） 答案30° 1.C解析l与平面α内的两条直线垂直，如果平面中的两条 9.证明(1)如图所示，取PD的中点E, 直线是平行线，则无法判定直线【平面α，故A项不正确：l 连接AE,NE,因为N为PC的中点， 与平面α内的无数条直线垂直，如果平面中的无数条直线是 E为PD的中点， 平行线，则无法判定直线！⊥平面a,故B项不正确：l与平面 所以NE/CD,且NE=CD, α内的任意一条直线垂直，则由直线与平面垂直的定义知直 线l⊥平面a,故C项正确；l与平面α内的某一条直线垂直， 而AM//CD,且AM-2AB=2CD, 则1可能与平面相交、平行或在平面内，故D项不正确.故选 所以NE∥AM,且NE=AM, C项. 所以四边形AMNE为平行四边形，所以MN∥AE. 2.C解析因为PA⊥平面ABC,斜线PB在平面ABC上的射 又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD, 影为AB,因此∠PBA为直线PB与平面ABC所成的角.在 又因为ABCD为矩形，所以AD⊥CD, △PAB中，∠BAP=90°，PA=AB,所以∠PBA=45°，即直 而AD∩PA=A,所以CD⊥平面PAD, 线PB与平面ABC所成的角为45°.故选C项. 所以CD⊥AE,又AE∥MN,所以MN⊥CD. 3.D解析如图所示，作PDBC于点D,连 (2)由(1)可知CD⊥AE,MN∥AE.又∠PDA=45°， 接AD.因为PA⊥平面ABC,所以PA 所以△PAD为等腰直角三角形.又E为PD的中点， CB.因为PA∩AD=A,所以CB⊥平面 所以AE⊥PD,因为CD∩PD=D,所以AE⊥平面PCD, PAD,所以AD⊥BC.在△ACD中，AB= 又AE∥MN,所以MN⊥平面PCD. AC=5,BC=6,所以点D为BC的中点，所 10.解析如图，设点C在平面α内的射影为点O, 以CD=3,所以AD=4,于是在Rt△PAD中， PA=8,AD=4,所以PD=√8+4=4V5. 故选D项。 4.B解析因为AA⊥平面ABC,BCC平面ABC,所以BCL AA1,图为∠ABC=90°，所以BC⊥AB,又AB∩AA1=A,所 连接AO,MO, 以BCL平面AABB,又AMC平面AA1B1B,所以AM⊥ 则∠CAO=30°，∠CMO就是CM与a所成的角. BC.故选B项. 5.A解析如图，设AB=a,则AA=2a,设 设AC=BC=1,则AB=反，所以CM-号，C0=之 三棱锥C-BDC1的高为h,CD与平 面BDC1所成的角为a.因为VcC,= 所以血∠C0-品-号，所以∠CM0=: gr脚号×是×Ea×3Y2ah-号× 故CM与a所成的角为45°. 11.解析设BF=x,因为AB⊥平面CDF,DFC平面CDF, 名cX2a,解得A=号a,所以s血a 所以AB⊥DF.由已知可得AB=√2，设Rt△AAB的斜 岳-子故选A项 边AB上的高为，则DE-=2九由2X2-h√公+02F,可 6.ABC解析由题意可得CF∥AB,利用线面平行的判定定理 可得CF∥平面PAB,则C项正确：同理可得CD∥平面 以解得6=2，所以DE=得在R△DEB中，BE= PAF,则A项正确：在正六边形ABCDEF中，易得DF⊥ AF,因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥DF,由线面垂直的判 ，得 定定理可得DF⊥平面PAF,则B项正确.故选ABC项. 7.解析取AC的中点E,连接BE,DE.由AB=BC得AC⊥BE x=合，即线段BF的长为分 同理得AC⊥DE,所以AC⊥平面BED.因此AC⊥BD. 俗器分 12.解析(1)证明：因为AB⊥平面BCD,CDC平面BCD,所以 ABI CD. 又因为CD⊥BD,AB∩BD=B,ABC平面ABD,BDC平 面ABD,所以CD⊥平面ABD. (2)由AB⊥平面BCD,得AB⊥BD, 答案垂直 8.解析如图，连接AC交BD于点E,则AC⊥BD,即 因为AB-BD-1,所以SAo- AE⊥BD.又DD⊥AC,即DD⊥AE, 因为M是AD的中点，所以5M=2Sm= D 由(1)知，CD⊥平面ABD, 所以三棱锥C-ABM的高h=CD=1, 因此三棱锥A-MBC的体积VAc=VcM= 3SAw· h= ·337· 13.A解析如图，作BE⊥AD,垂足为E,连接CE. 7.解析因为AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,所以AF∥ DE,又因为AF=DE,则四边形AFED为平行四边形，所以 EF-AD-6. 答率6 8.解析因为DE⊥平面ABC,PA⊥平面ABC,所以DE∥PA. 又D度PC,所以DE丈平面PAC,又PAC平面PAC,所以 因为AD⊥CD,BD⊥CD,AD∩BD=D,所以CD⊥平面 DE∥平面PAC. ADB.因为BEC平面ADB,所以CD⊥BE,文BE⊥AD, 答索平行 AD∩CD=D,所以BE⊥平面ACD,所以∠BCE为直线 9.证明因为PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD, BC与平面ACD所成的角.由题意可知AD=BD=√3， 所以PA⊥BD,PC⊥BD,PC⊥EF. AB=√/AC+BC=2√2.设△ADB中，AB边上的高为h, 又PA∩PC=P,所以BD⊥平面PAC 则h=√(W3)2-(W2)2=1.由AD·BE=AB·h,得BE= 又EF⊥AC,PC∩AC=C,所以EF⊥平面PAC, 2,所以n∠CE-能-厚故选A项 所以EF∥BD,所以瓷-瓷 14.解析(1)证明：连接BD,因为四边形 10.证明如图，连接AC,CD,BD,BD,易 ABCD为菱形，∠BCD=∠BAD-=60°， 知AC∥AC. 所以△BCD为正三角形，因为N为 因为EF⊥AC,所以EF⊥AC. CD的中点，所以BN⊥CD,因为PDI 又EF⊥A1D,A1D∩AC=A1, 平面ABCD,BNC平面ABCD,所以 所以EF⊥平面ACD. PD⊥BN,又PDC平而PCD,CD 因为BB⊥平面ABCD,A1CC平面ABCD, 平面PCD,CD∩PD=D,所以BNI 所以BB1⊥AC. 平面PCD. 又AC⊥BD,BB∩BD=B, (2)假设线段PC上存在一点H满足题意，连接MH,DH, 所以A1C⊥平面BDD1B1, MD.因为四边形MDNB为平行四边形，所以MD∥BN.由 而BDC平面BBDD, (I)知BN⊥平面PCD,所以MD⊥平面PCD,所以∠MHD为 所以AC⊥BD.同理DC⊥BD,又AC1∩DC=C1, MH与平面PCD所成的角.在直角三角形MDH中，DM=3, 所以BD⊥平面ACD.所以EF∥BD, 当DH最小，即DH⊥PC时，∠DHM最大，所以tanDHM= 11.A解析如图，连接AC交BD于点O.在△CCA中，易证 别源-所以DH=反在△DHC中，DH=反， OE∥AC.又因为OEC平面BDE,AC史平面BDE,所以 AC∥平面BDE,所以直线AC与平面BED的距离为点 CD=2,所以CH=√2，所以线段PC上存在点H,即当CH= A到平面BED的距离.连接AE,在三棱锥E-ABD中， 区时，MH与平面PCD所成的最大角的正切值为 Vem=号S%mXBC=号×号×2X2XE=22.在三 课时作业（二十九） 棱锥A-BDE中，BD=2√2，BE=6,DE=√6，所以S△m= 1.D解析依题意可得lCa或l中a,若lCa,显然满足题意，若 是×22XV6P-②=2E.设点A到平面BED的 l中a,则有L∥a,故lCa或l∥a.故选D项. 2.B解析因为直线L⊥AB,l⊥AC,AB∩AC=A,所以↓⊥a, 距离为，剥Ve=号SmX后=号×22Xh-2h 3 同理可得直线m⊥a.由线面垂直的性质定理可得l∥m故 选B项. 2亚，解得h=1.故选A项。 3.C解析依题意，CO=√2，且CO⊥DB,又PO⊥底面ABCD, COC平面ABCD,所以COLPO,文因为PO∩BD=O,PO, BDC平面PBD,所以CO⊥平面PBD,又E是PC的中点， 所以点E到平面PBD的距离为0C-县故选C项。 4.CD解析对于A项，若m∥a,n∥a,则m,n可能平行、相交 或异面，故A项错误；对于B项，若n∥a,m∥B,则a,3可能 相交或平行，故B项错误：对于C项，因为m⊥α，nα，由线 面垂直的性质可知m∥n,故C项正确：对于D项，因为m山 12解析长方体夹在这两个平行平面之间的部分是一个棱柱， a,m⊥B,所以根据线面垂直的几何特征可知a∥B,故D项正 它的底面为平行四边形A'EBE,高为A'D'.根据题意得， 确.故选CD项. 5.ACD解析A项，若m∥a,n∥a,则m,n平行、相交或异面， S#aa·AD=专Vmeo,即AE·AM· 故A项错误：B项，由直线与平面垂直的性质得B项正确：C 项，若mLa,m⊥n,则n∥a或nCa,故C项错误：D项，若 AD'=号AB·BC·A',所以AE'=号AB=4过点E作 m∥a,m⊥n,则n⊥a或n与a斜交或nCa或n∥a,故D项 EH⊥AE,垂足为H,因为A'D⊥平面ABBA',EHC平面 错误.故选ACD项. ABBA',所以EH⊥A'D',又A'D'∩A'E=A',所以 6.解析如图所示. EH⊥平面A'EFD',所以EH为这两个平行平面间的距 离.在Rt△A'HE中，EH=AE·sinEA'H=4sin∠B'EB= 4x邵- 20。=20®，即这两个平行平面间的距离 89 为2089 易知AB⊥平面BCCB,又MN在平面BCC:B内，所以 89 MN⊥AB. 答系垂直 : 登跟2089 89 ·338·课时作业（二十八）直线与平面垂直的判定 答案见P知 I基础训练 6.(多选)如图，已知六棱锥 1.下列条件中，能判定直线1垂直于平面α的是 P-ABCDEF的底面是正六 边形，PA⊥平面ABC,则下 A.1与平面a内的两条直线垂直 列结论正确的是( B.l与平面α内的无数条直线垂直 A.CD∥平面PAF C.l与平面α内的任意一条直线垂直 B.DF⊥平面PAF D.l与平面α内的某一条直线垂直 C.CF∥平面PAB 2.如图，在三棱锥P-ABC中， D.CF⊥平面PAD PA⊥平面ABC,PA=AB,则直 7.空间四边形ABCD的四条边相等，则对角线AC 线PB与平面ABC所成的角为 与BD的位置关系为 ( 8.在正方体ABCD-A:BCD中，面对角线AB A.90 B.60 与对角面BB:D,D所成的角为 C.45 D.30 3.在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面 ABC,PA=8,则P到BC的距离是 A.5 B.2v5 9.如图，已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD C.35 D.45 为矩形，M,N分别是AB,PC的中点. 4.如图，三棱柱ABC-A1BC中， (1)求证：MN⊥CD: AA,⊥底面ABC,∠ABC= (2)若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD. 90°，M为线段BB,上的一动 点，则直线AM与直线BC的 位置关系一定为 () A.平行 B.垂直 C.成30角 D.无法确定 5.已知四棱柱ABCD-A,BCD,中，侧棱AA,⊥ 平面ABCD,且底面ABCD为正方形，AA, 2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于 A号 B号 c号 n号 ·215· 10.等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面a内， ‖拓展探究 若AC与a所成的角为30°，求斜边上的中线 13.如图，已知△ABC是等腰三角形，且∠ACB= CM与a所成的角. 120°，AC=2,点D是AB的中点.将△ACD沿 CD折起，使得AC⊥BC,则此时直线BC与平 面ACD所成角的正弦值为 A.6 3 &③ 3 1能力提升川 c号 n号 1L.如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，侧棱长为2， 14.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为 AC=BC=1,∠ACB=90°，D是AB的中点，F 2的菱形，∠BAD=60°，PD⊥底面ABCD,点 是BB上的动点，AB,DF交于点E要使 M,N分别是棱AB,CD的中点. AB⊥平面CDF,则线段B,F的长为 (1)求证：BN⊥平面PCD: (2)在线段PC上是否存在点H,使得MH与平 面PCD所成的最大角的正切值为：若存在， 请求出点H的位置；若不存在，请说明理由. 12.如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD. CD⊥BD. (1)求证：CD⊥平面ABD: (2)若AB=BD=CD=1,M为AD的中点，求 三棱锥A-MBC的体积. ·216.