课时作业29 直线与平面垂直的性质-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

13.A解析如图，作BE⊥AD,垂足为E,连接CE. 7.解析因为AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,所以AF∥ DE,又因为AF=DE,则四边形AFED为平行四边形，所以 EF=AD=6. 答率6 8.解析因为DE⊥平面ABC,PA⊥平面ABC,所以DE∥PA. 又DEPC,所以DE吐平面PAC,又PAC平面PAC,所以 因为AD⊥CD,BD⊥CD,AD∩BD=D,所以CD⊥平面 DE∥平面PAC ADB.因为BEC平面ADB,所以CD⊥BE,又BE⊥AD, 答系平行 AD∩CD=D,所以BE⊥平面ACD,所以∠BCE为直线 9.证明因为PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD, BC与平面ACD所成的角.由题意可知AD=BD=√3， 所以PA⊥BD,PC⊥BD,PC⊥EF AB=vAC+BC=22.设△ADB中，AB边上的高为h, 又PA∩PC=P,所以BD平面PAC 则h=(W3)-(2)2=1由AD·BE=AB·h,得BE= 又EF⊥AC,PC∩AC=C,所以EF⊥平面PAC, 2,所以∠BE-要故选A项 所以EF∥BD,所以爱-畏 14.解析(1)证明：连接BD,因为四边形 10.证明如图，连接AC,CGD,BD,BD,易 ABD为菱形，∠BCD=∠BAD=6O, 知AC∥AC. 所以△D为正三角形，因为N为 因为EF⊥AC,所以EF⊥AC CD的中点，所以BN⊥CD,因为PDL 又EF⊥AD,AD∩AC=A, 平面ABCD,BNC平面ABCD,所以 所以EF⊥平面ACD PD⊥BN,又PDC平面PCD,CD 因为BB⊥平面ABCD,ACC平面AB,CD, 平面PCD,CD∩PD=D,所以BN 所以BB⊥AC. 平面PCD 又AC⊥BD,BB∩BD=B, (2)假设线段PC上存在一点H满足题意，连接MH,DH 所以AC⊥平面BDDB, MD.固为四边形MDVB为平行四边形，所以MD∥BN.由 而BDC平面BBDD, (I)知BN⊥平面PCD,所以MD⊥平面PCD,所以∠MHD为 所以AC⊥BD.同理DC⊥BD,又AC∩DC=C, M阳与平面PCD所成的角.在直角三角形MDH中，DM=3, 所以BD⊥平面ACD.所以EF∥BD. 当DH最小，即DH⊥PC时，∠DHM最大，所以tanDHM-= 山.A解折如图，连接AC交BD于点O.在△CCA中，易证 别源-誓所以DH=豆在△Dc中，DH=-厄 OEAC.又因为OEC平面BDE,AC亡平面BDE.所以 AC∥平面BDE,所以直线AC与平面BED的距离为点 CD=2,所以CH三2，所以线段PC上存在点H,即当CH= A到平面BED的距离.连接AE,在三棱锥E-ABD中， t2时，MH与平面PCD所成的最大角的正切值为。 Vem=号5m×0-号×号×2x2X,万=2票.在三 课时作业（二十九） 棱锥A-BDE中，BD=22,BE=6,DE=6,所以S△地= L.D解扬依题意可得lCa或l吐a,若lCa,显然满足题意，若 是×2X√6-（②）=2.设点A到平面BED的 l过a,则有l∥a,故lCa或l∥a.故选D项. 2.B解析因为直线IAB,⊥AC.AB∩AC=A,所以LLa, 距离为.剩Vm=号Sm×h=子×2v2Xh=2h= 1 3 同理可得直线m⊥a,由线面垂直的性质定理可得（∥m故 选B项. 22,解得h=1.故选A项 3.C解析依题意，CO一2，且(CO⊥DB,又P)⊥底面ABCD, COC平面ABCD,所以CO⊥PO.又因为PO∩BD=O,PO, BDC平面PBD,所以(CO⊥平面PBD,又E是PC的中点， 所以点E到手面PBD的距离为}0C-号.故选C项 4.CD解析对于A项，若m∥a,n∥a,则m,n可能平行、相交 或并面，故A项错误；对于B项，若m∥a,m∥B,则a,B可能 相交或平行，故B项错误；对于C项，因为m⊥a,nLa,由线 面垂直的性质可知m∥，故C项正确；对于D项，因为m 12解析长方体夹在这两个平行平面之间的部分是一个棱柱， a,m⊥B,所以根据线面垂直的几何特征可知a∥B,故D项正 它的底面为平行四边形A'EBE',高为AD',根据题意得， 确.故选CD项 5.ACD解析A项，若m∥a,n∥a,则m,n平行、相交或异面， S#etE·AD=子Vkw,即AE'·M, 故A项错误：B项，由直线与平面垂直的性质得B项正确：C 项，若m⊥a,m⊥，则n∥a或nCa,故C项错误：D项，若 AD'=号AB·BC·AM',所以AE=号AB=4.进点E作 m∥a,m⊥n,则nLa或n与a斜交或nCa或n∥a,故D项 EH⊥A'E,垂足为H,因为A'D'⊥平面ABBA',EHC平面 错误.故选ACD项. ABBA,所以EH⊥A'D',又A'D'∩A'E=A',所以 6解析如图所示 EH⊥平面AEFD',所以EH为这两个平行平面间的距 离.在R△A'HE中，EH=A'E·sin∠EA'H=4sin∠B'EB 4X BB' BE 20_=208,即这两个平行平面间的距离 √5+8 89 为20g 易知AB⊥平面BCCB,又MN在平面BCCB,内，所以 89 MN⊥AB. 答系垂直 餐0√8侧 89 ·338· 13.解析(1)证明：设AD=m,则DC=CB=AD=m,在梯形 ABCD中，因为AB∥CD,∠ABC=60°，所以AB=2, 课时作业（三十） 所以AC=AB+BC-2AB·BC·c0s60°=3m2, 1,ACD解析对于A项，两个平面可能相交、平行，故A项错 所以AB=AC十BC,所以BC⊥AC, 误：B项过平面外一点，可作一个与已知平面平行的平面，在 因为FC⊥平面ABCD,BCC平面ABCD, 这个平面内所有过该点的直线都与已知平面平行，故B项正 所以FC⊥BC, 确；C项过该点作已知平面的垂线，所有过该直线的平面都 又因为AC∩FC=C,ACC平面ACFE,FCC平面ACFE, 与该已知平面垂直，故C项错误：D项当该直线不与已知平 所以BC⊥平面ACFE 面垂直时，只可作一个平面与已知平而垂直，故D项错误，故 (2)由(1)可知BC⊥AC.又因为AD=2, 选ACD项. 则DC=CB=AD=FC=2,所以AC-23, 2.B解析由题可知，因为m⊥a,n⊥3，所以，n所成的角与 所以Sm=专·AC·=合×25X2=25.Ww= 二面角ā-1-B所成的角相等或者互补，因为二面角： 1-3的大小为60°，所以异面直线m,n所成的角为60°.故选 吉×25m=9 B项， 3.D解析对于A项，a与B可能相交或平行：对于B项，当a 因为BC⊥平面ACFE,CMC平面ACFE,所以BC⊥CM, 与3相交但不垂直时，也会有b⊥a,bC3:对于C项，a与3可 又MC=√Ff+FC=7, 能平行，也可能相交.故A,B,C项均不符合题意.故选D项， 所以Sm=·MC·BC=号X7X2-7 4.AB解析因为PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形， 所以PA⊥BC,AB⊥BC,所以BC⊥平面PAB,则平面 设点A到平面MBC的距离为d, PABL平面PBC:又AD∥BC,故AD⊥平面PAB,则平面 则号·S6m·d=子×：d4g-vt, PAD⊥平面PAB.故选AB项. 3 5.C解析如图，连接AC交BD于点O,则AOLBD,连接AO, 解得d=42I 则AOLBD,所以∠AOA为二面角A-BD-A的平面角.设 7 所以点A到年西MC的距高为 AA0受所以mAaA岩兰-反成 2 14.解析如图，设A,B.C在平面a上的 C项. 射影分别为A',B,C,△ABC的重 心为G,连接CG并延长交AB于点 E,又设E,G在平面a上的射影分别 为E,G,则E∈A'B',G∈CE', E=号(AA十BB)=号(am, CC=4cm,CG:GE=2:1,在直角梯形EECC中，可求得 GG'=3cm所以△ABC的重心到平面a的距离为3cm 答多3cm 6.B解析设EH与AM交于点P,CM与FG交于，点Q,则PQ 15.解析设AB=BC=1,则AC=AC=√2，设AA,=a,则 是平面EFGH与平面ACM的交线.又DC=BC,AD=AB,则 AM⊥BD,CM⊥BD.所以BD⊥平面ACM,又EH∥BD,所 CC=a,所以AC=√/a2+2, 以EH⊥平面ACM,所以平面EFGH⊥平面ACM.故选 所以G到直线AC的距离m=AG:CG=2a B项. AC√a+2 7.解析因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC,所以 因为BC∥BC.BCC平面ABC.BC史平面ABC, ∠BAC是二面角B-PA-C的平面角.又因为∠BAC=90°， 所以BC∥平面ABC, 所以二面角B-PA-C的大小等于90， 所以C到平面ABC的距离等于B到平面ABC的距离， 答系90° 所以V44r=子SALr·, 8.解析连接AC,由题意得BD⊥平面PAC,所以BD⊥PC.所 因为BC⊥AB,BCLBB,AB∩BB=B, 以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平而MBD,而PCC 所以BC⊥平面ABBA:,又ABC平面ABB1A, 平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD 所以BC⊥AB, 答率DM⊥PC(或BMLPC) 9.证明如图，连接AC,设AC∩BD=O,连接OE. 所以5=号C·AB=号XIX后有=G更 2 又4A=4=3s·C-3X××IXaX-， 所以=号所以= 2 a2+1 所以”=2V √a+2 因为O为AC的中点，E为PA的中点： 因为AA>AB,所以a>1,所以0<2。<2 所以EO是△PAC的中位线， a2+23 所以EO∥PC 所以33 因为PC⊥平面ABCD, 3 所以EOL平面ABCD. 故公的取值范国为(22)。 又因为EOC平面BDE, 所以平面BDE⊥平面ABCD ·339·课时作业（二十九） 直线与平面垂直的性质 答案见P 1基础训练 7.如图所示，已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面 1.如果直线1与平面a的一条垂线垂直，那么直线( ABCD,且AF=DE,AD=6,则EF= 与平面a的位置关系是 A.ICa B.l⊥a C.l∥a D.lCa或l∥a 2.已知△ABC所在的平面为a,m,l表示两条不同 的直线，若直线LAB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥ 8.如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面 AC,则直线l,m的位置关系是 () ABC,点D是侧面PBC上的一点，过D作平面 A.相交 B.平行 ABC的垂线DE,其中D任PC,则DE与平面 C.异面 D.不确定 PAC的位置关系是 3.如图，四边形ABCD是正方形，O是正方形的中 心，PO⊥底面ABCD,E是PC的中点，AB=2, 则点E到平面PBD的距离为 ( ) 9.如图，PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,E,F分别 为C,CD上的点，且E即LAC求证受 A.√3 3 c号 D.√2 4.(多选)已知a,B表示不同的平面，m,n表示不同 D旷 的直线，则 A.若m∥a,n∥a,则m∥n B.若m∥a,m∥B,则a∥p C.若m⊥a,n⊥a,则m∥n D.若m⊥a,m⊥B,则a∥B 5.(多选)已知m,n表示两条不同的直线，a表示平 面，下列说法错误的是 ( A.若m∥a,n∥a,则m∥n B.若m⊥a,nCa,则m⊥n C.若m⊥a,m⊥n,则n∥a D.若m∥a,m⊥n,则n⊥a 6.长方体ABCD-A,B,CD中，MN在平面 BCCB内，则MN与AB的位置关系是 ·217· 10.如图，在正方体ABCD-A1BC1D1中，点E,F (1)求证：BC⊥平面ACFE: 分别在AD,AC上，且EF⊥AD,EF⊥AC,求 (2)若AD=2,求点A到平面MBC的距离. 证：EF∥BD. E- 拓展探究川 14.△ABC的三个顶点A,B,C到平面a的距离分 别为2cm,3cm,4cm,且它们在a的同侧，则 △ABC的重心到平面a的距离为 15.在我国古代数学名著《九章算术》中将底面为直 角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为 ‖能力提升Ⅱ 堑堵.如图，在堑堵ABC-A1BC中，AB= BC,AA1>AB,堑堵的顶点C到直线AC的 11.已知正四棱柱ABCD-A1B,CD中，AB=2, CC=2√2，E为CC1的中点，则直线AC与平 距离为m,C到平面A1BC的距离为n,求严的 面BED的距离为 取值范围。 A.1 B.3 C.√2 D.2 12.如图，在长方体ABCD-A'B'CD'中，AB=12, BC=6,AA'=5,平面A'EFD'∥平面EBCF', 且这两个平行平面将长方体分为体积相等的三 部分，则这两个平行平面间的距离为 13.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AD= DC=CB=CF,∠ABC=6O°，四边形ACFE为 平行四边形，FCL平面ABCD,点M为线段EF 的中点。 ·218·