课时作业30 平面与平面垂直的判定-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

课时作业（三十） 平面与平面垂直的判定 答案见P I基础训练 AB,M为BD的中点，则平面EFGH与平面 1.(多选)下列说法中错误的是 ACM () A.如果一个平面内的两条直线平行于另一个平 面，那么这两个平面平行 B.过平面外一点，可以作无数条直线与已知平面 平行 C.过平面外一点只可作一个平面与已知平面 A.相交但不垂直 B.相交且垂直 垂直 C.可能不相交 D.交线与HE不垂直 D.过不在平面内的一条直线可以作无数个平面 7.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC, 与已知平面垂直 ∠BAC=90°，则二面角B-PA-C的大小等于 2.已知二面角a-1-3的大小为60°，m,n为异面直 线，且mLa,nL3,则m,n所成的角为 ( A.30° B.60 C.90 D.120 3.已知两条不同的直线a,b与三个不同的平面a, 3,y,下列能使a⊥3成立的条件是 () 8.如图所示，在四棱锥P-ABCD中， Aa⊥Y,3LY PA⊥底面ABCD,且底面各边都相 B.a∩3=a,b⊥a,bC3 等，M是PC上的一动点，当点M C.a∥3，a∥a 满足 时，平面MBD⊥平面PCD D.a∥a,a⊥3 (只要填写一个正确的条件即可). 4.(多选)如图，PA垂直于正方形 9.如图，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平 ABCD所在的平面，连接PB, 面ABCD,E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平 PC.PD,AC,BD,则下列垂直关 面ABCD. 系正确的是 A.平面PAB⊥平面PBC B.平面PAB⊥平面PAD C.平面PAB⊥平面PCD D.平面PAB⊥平面PAC 5.在正方体ABCD-A,BCD中，截面A:BD与 底面ABCD所成的二面角A,-BD-A的正切 值等于 () A号 B号 C.√2 D.5 6.如图，在空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别 为AB,BC,CD,DA的中点，且DC=BC,AD= ·219· 能力提升川 13.如图，在三棱柱ABC-AB,C,中，侧棱垂直于 10.如图，在正方形ABCD中，E,F分别为BC,CD 底面，AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,点E,F 的中点，H为EF的中点，沿AE,EF,FA将正 分别为AC,BC的中点. 方形折起，使B,C,D重合于点O,构成四面体， (1)求证：平面ABE⊥平面BBCC1: 则在四面体O-AEF中，下列说法正确的序号 (2)求证：CF∥平面ABE: 是 (3)求三棱锥E-ABC的体积. ①AO⊥平面EOF:②AH⊥平面EOF;③AO EF:④AF⊥OE;⑤平面AOE⊥平面AOF, 1L.如图，二面角a-1-3的大小 是60°，线段ABCa,B∈， AB与1所成的角为30°，则 AB与平面3所成的角的正弦值是 12.如图，点E是直角梯形ABCD底边AB的中点， AB=2DC=2BC,将△ADE沿DE所在的直线 折起形成四棱锥A-BCDE. ‖拓展探究‖ 14.如图，P是正方体ABCD- AB,CD中BC1上的动 点，下列说法正确的为 (1)求证：DE⊥平面ABE: (填序号). (2)若二面角A-DE-B的大小为60°，求二面 ①AP⊥B,C:②BP与CD 角A-DC-B的正切值. 所成的角是60°：③Vno,c为定值；①B,P∥平面 DAC:⑤二面角P-AB-C的平面角为45. 15.如图，将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高 AD折成一个二面角B-AD-C,此时∠BAC= 60°，求证：平面BAD⊥平面CAD 个 ·220·13.解析(1)证明:设AD-n,则DC-CB-AD-m,在梯形 课时作业(三十) ABCD中,因为AB/CD,{ABC-60*},所以AB-2m, 所以AC$=AB+BC -2AB·BC· cos 60*-3m},$$$ 1.ACD解对于A项,两个平面可能相交、平行,故A项错 所以AB{}-AC{}+BC^{,所以BC| AC, 误;B项过平面外一点,可作一个与已知平面平行的平面,在 因为FC1平面ABCD,BCC平面ABCD 这个平面内所有过该点的直线都与已知平面平行,故B项正 所以FC|BC. 确;C项过该点作已知平面的垂线,所有过该直线的平面都 又因为ACOFC=C,ACC平面ACFE,FCC平面ACFE. 与该已知平面垂直,故C项错误;D项当该直线不与已知平 所以BC1平面ACFE 面垂直时,只可作一个乎面与已知平面垂直,故D项错误,故 (2)由(1)可知BC|AC,又因为AD-2, 选ACD项. 则DC-CB-AD-FC-2,所以AC-23 2.B 解由题可知,因为m|a,nB,所以m,n所成的角与 所以Suc-·AC·BC-x2v3X2-23,Vw= 二面角a一l一B所成的角相等或者互补,因为二面角a一 ##2 4#.# 1-B的大小为60{},所以异面直线m,n所成的角为60{},故选 B项。 3.D 对于A项,a与B可能相交或平行;对于B项,当a 因为BCI平面ACFE,CMC平面ACFE,所以BC|CM. 与B相交但不垂直时,也会有bla,bC3;对于C项,a与B可 又 MC-FM+FC-/7 能平行,也可能相交,故A,B,C项均不符合题意,故选D项. 所以$c-·MC·BC-x72-7. 4.AB 因为PA|平面ABCD,四边形ABCD为正方形, 所以PA 1BC,AB |BC,所以BC 1平面PAB,则平面 设点A到平面MBC的距离为d, PABI平面PBC;又AD/BC,故AD1平面PAB,则平面 则· Snc·-×7·d-43-Vwocn PAD1平面PAB.故选AB项. 解得-# 5.C 如图,连接AC交BD于点O,则AO|BD,连接AO 则AO|BD,所以 AOA为二面角A -BD-A的平面角.设 所以点A到平面MBC的距离为421. 14.解如图,设A,B,C在平面。上的 C项. 射影分别为A',B,C',△ABC的重 心为G,连接CG并延长交AB于点 E,又设E,G在平面a上的射影分别 为E',G,则EEAB',GECE' E-(A'A+BB)-(cm), CC-4cm,CG:GE-2:1,在直角梯形EE'C'C中,可求得 GG-3cm.所以△ABC的重心到平面a的距离为3cm. 3cm 6.B 设EH与AM交于点P,CM与FG交于点Q.则PQ 15.解设AB-BC-1,则AC-AC-v②,设AA=a,则 是平面EFGH与平面ACM的交线.又DC-BC,AD-AB,则 AMI BD,CM | BD.所以BD |平面ACM,又EH/BD,所 CC=a,所以AC-a十2, 以EH1平面ACM,所以平面EFGH1平面ACM.故选 所以C.到直线A.C的距离m-AC·CC2a A.C B项. a十2' 7.解因为PA1平面ABC,所以PA AB,PA|AC,所以 因为BC /BC,BCC平面ABC,B C.C平面A.BC. BAC是二面角B-PA-C的平面角,又因为 BAC-90{, 所以BC/平面A.BC, 所以二面角B-PA-C的大小等于90* 所以C 到乎面A.BC的距离等于B 到平面A.BC的距离 答案90” 所以Vn-A-1SAA.n·n. 8.解连接AC,由题意得BD 平面PAC,所以BD PC.所 因为BC1 AB,BC 1BB ,ABOBB =B. 以当DM| PC(或BM |PC)时,有PC |平面MBD,而PCC 所以BC|平面ABBA.,又A.BC乎面ABBA 平面PCD,所以平面MBD|平面PCD. 所以BC|A.B, 警DMI PC(或BM PC) 9.明如图,连接AC,设ACOBD-O,连接OE 所以$=BC·AB-x1-1 #VBcVoAn-s~#m·BC-xixaxi-, a{十T a{+2 因为O为AC的中点,E为PA的中点, 所以EO是△PAC的中位线, 所以EO/PC. ##2#2<2 因为PC|平面ABCD. 所以EO1平面ABCD 故”的取值范围为(2③2). 又因为EO二平面BDE, 所以平面BDE平面ABCD ·339· 10.解析依题意,得OA1OE,OA 1OF,OEOOF=O,OE, 14.解析①AB BC,AB 1 BB,所以AB1平面BB.CC,所以 OF二平面EOF,所以OA1平面EOF,故①正确;由①可知 AB B.C,又BC 1B C,且 ABOBC =B,所以BC1 平面 OA|平面EOF,又AOOAH-A,故AH与平面EOF不垂 ABP,从而AP BC.故①正确:②由于CD/A B,并且 BC 直,故②错误;由①知,OA]平面EOF,又EFC平面FOF 与A.B的夹角是60{},故BP与CD:所成的角是60{③},故② 所以AO|EF,故③正确:由①可得AO)OE,又OE)OF 正确;③虽然点P在BC,上运动,但P到AD;的距离始终 AOOOF=O,AO,OFC乎面AOF,所以OE|乎面AOF, 不变,故VpAD.c为定值,故③正确;④因为平面BB.C;与平 又AFC平面AOF,所以OE|AF,故④正确;由④知OEl 面ADC相交,且BP不与交线平行,所以BP与平面 平面AOF,又OEC平面AOE,得平面AOE1平面AOF,故 D.AC不平行,故④错误;易知二面角P-AB-C是平面 正确,故填①③④. AD.C.B与平面ABCD所成的角,故二面角P-AB-C的 智①③④ 平面角为45{},故正确. ①②③ 11.作AO18于点O,作OC11于 15.匪明设等腰直角三角形ABC中,AB-AC-a,则BC-/2a,所 点C,连接OB,则ABO为AB与平 以BD_CD-. 面8所成的角,且ACO一60{,设乙 BC=a,则在Rt△ABC中,AC= B.Ctan 30→,AB-32.在Rt△AC中,AO- 依题意得,在二面角B-AD-C中,BD1AD,CD1AD,所 以 BDC是二面角B'-AD-C的平面角. 300 连接BC,因为 BAC-60*,所以B'C-a,所以BD{+ CD=B'C,所以 BDC-90{} 3 AB4 所以平面BAD1平面CAD. 器#} 课时作业(三士一) 12.解(1)证明:在直角梯形ABCD中, 1.D 解析由题意得平面ABBA 1平面A.BCD,又平面 因为DC/BE,且DC-BE, ABBAO平面ABCD =A. B,EFC平面ABBA 所以四边形BCDE为平行四边形,又/B-90{*},BC-DC. EF A.B,故EF1平面A. B.CD.故选D项. 所以四边形BCDE为正方形,所以DE EB,DE |EA. 2.B 解因为PA=PB,AD=DB,所以PD|AB.又因为平 在四校锥A-BCDE中,DE | BE,DE AE, 面PAB|平面ABC,平面PABO平面ABC=AB,PD二平 又BEOAE一E,所以DEI平面ABE. 面PAB,所以PD 平面ABC故选B项. (2)由(1)知,AEB即为二面角A-DE-B的平面角, 3.B 解A项中,a,>可以相交,故A项错误;C项中,如图,a 故AEB-60*, 与b不一定垂直,故C项错误;D项中,b仅垂直于a的一条 又因为AE一EB,所以△AEB为等边三角形. 直线a,不能判定b|a,故D项错误.故选B项. 过点A作AF|BE于点F,则F为BE的中点。 过点F作FG1CD于点G,则G为CD的中点,连接AG 由(1)得DE AE,又DEOBE=E. 所以AF 平面BCDE,所以AF|FG 易证AG|DC,所以 AGF即为二面角A-DC-B的平 4.AC lla,③l/B或lC③,A项正确;l/a,a/B→ 面角。 l/B或lCB,B项错误;la,a/→lB.C项正确;若l/a 在梯形ABCD中,设AB-2DC-2BC-2, aB,则1与B的位置关系不确定,D项错误,故选AC项。 5.A 解连接AC,因为AC |AB,AC1BC,ABOBC=B, 则AE=BE=BC-1,则在四校锥A-BCDE中,AE=BC=1. 所以AC|平面ABC,又因为ACC平面ABC,所以平面 所以Ar-. ABC I平面ABC,所以C 在平面ABC上的射影H必在平 面ABC;与平面ABC的交线AB上.故选A项. 6.D 解因为平面PAC1平面PBC,ACIPC,平面PACO平 面PBC-PC,ACC平面PAC,所以AC1平面PBC.又因为 13.解(1)证明:在三梭柱ABC-A.BC 中,BB |底面 BC二平面PBC,所以AC |BC.所以 /ACB-90{*}所以动点 ABC,所以BB 1AB C的轨迹是以AB为直径的圆,除去A和B两点,故选D项。 又因为AB|BC,且BBOBC-B. 7.解析由题意,得两个矩形的对角线长分别为5,25,所以 所以AB|平面BBCC cos-- 2,cog2 ,所以cosa.cosB- 又因为AB二平面ABE, 25十4 2 所以平面ABE1平面BBCC. 5:2. (2)证明:如图,取AB的中点为G, 5:2 连接EG,FG. 8.解如图所示,在四边形ABCD中,因为AB一BC,AD 因为G,F分别是AB,BC的中点, CD,所以BD1AC因为平面AA.CC1平面ABCD,平面 所以FG/AC,且FG-AC, AA.CCO平面ABCD=AC,BDC平面ABCD,所以BD1平 面AA.CC,又CCC平面AA.CC,所以BDCC. 因为AC/AC,且AC-AC. 所以FG/EC,且FG-EC, C 所以四边形FGEC 为乎行四边形,所以C.F/EG 又因为EGC平面ABE,CF平面ABE, 所以CF/乎面ABE. (3)因为AA-AC-2,BC-1,AB1BC. f::C 所以AB-AC-BC-/③ 答垂直 .340.