8.5.3 平面与平面平行-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

[辨析]解析(1)错误，只有当这条直线在这个平面外时，这条 2.D解析线面平行，则线面无公共，点.对于C项，要注意“无 直线才与这个平面平行： 数”并不代表所有.故选D项. (2)错误，若直线【上有两点到平面a的距离相等，l与平面 a也可能相交 A服由能-需得AC/ER又周为EFC平面DEF, (3)错误，若直线l与平面α平行，则与平面a内的直线可 AC正平面DEF,所以AC∥平而DEF.故选A项. 能平行，也可能异面. 4.A解析由长方体的性质，知EF∥AB.图为ABC平面 (4)错误，两条平行线中的一条直线与一个平面平行，另一 ABCD,EFT平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.因为EFC 条可能在这个平面内. 平面EFGH,平面EFGH∩平面ABCD=GH,所以EF∥ 答累(1)×(2)×(3)×(4)× GH.叉因为EF∥AB,所以GH∥AB.故选A项. 关键能力·素养提升 8.5.3平面与平面平行 [例题1门证明(1)因为四棱锥P-ABCD的底面为平行四边 形，所以BC∥AD 必备知识·基础落实 又因为ADC平面PAD,BC过平面PAD, 要点一 所以BC∥平面PAD. 两条相交直线a∩b=Pa∥ab∥a (2)如图，连接AC,记AC与BD的交点为H,连接MH. 要点二 相交平行a∩y=any=b [辨析]解析(1)错误，一个平面内的两条相交直线与另一个平 面平行，则这两个平面平行 (2)正确，因为两个平面平行，所以这两个平面无公共点，所 以其中一个平面内的直线必和另一个平面无公共点，所以 因为H为平行四边形ABCD对角线的交点， 它们平行 所以H为AC的中点. (3)错误，若两个平面平行，则这两个平面内的直线没有交 又因为M为PC的中点，所以MH为△PAC的中位线， 点，所以它们可能平行或异面. 所以MH∥AP, (4)正确，可以通过面面平行的判定定理证明. 又因为MHC平面MBD,AP过平面MBD, 答系(1)×(2)√(3)×(4)√ 所以AP∥平面MBD. 关键能力·素养提升 [变式1门证明如图，取AB的中点G,连接FG,CG. [例题1]证朋因为F,H分别为CD,PD的中点， 因为F,G分别是BE,AB的中点， 所以FH∥PC,又PCC平面PCE,FH过平面PCE, 所以FGL空AE 所以FH∥平面PCE 因为底面ABCD为矩形，所以AB∥CD,且AB=CD. 又AE=2CD,所以CD=号AE, 又因为E,F分别为AB,CD的中，点， 所以AE∥CF,且AE=CF, 而AE∥CD,所以CDLFG, 所以四边形AECF为平行四边形，所以AF∥CE 所以四边形CDFG为平行四边形，所以DF∥CG 又CEC平而PCE,AF亡平面PCE, 又CGC平面ABC,DF过平面ABC, 所以AF∥平面PCE 所以DF∥平面ABC, 因为FHC平面AFH,AFC平面AFH,FH∩AF=F, [例题2]解析直线1∥平面PAC,证明 所以平面AFH∥平而PCE 如下： [变式1门证朋(1)由正方体的性质得BB∥DD,且BB 如图，连接EF,因为E,F分别是PA, DD,所以四边形BBDD是平行四边形， PC的中点，所以EF∥AC 所以BD∥BD. 又EF亡平而ABC,且ACC平面 又BD对平面BDC,BD,C平面BDC ABC,所以EF∥平面ABC 所以BD∥平面BDC.同理A1D∥平面B1DC, 又EFC平面BEF,平面BEF∩平面ABC=L,所以EF∥I. 而AD∩BD=D,所以平面ABD∥平面BDC 因为I过平面PAC,EFC平面PAC, (2)取BB,的中，点G,连接AG,GF,所以AE∥BG,且AE= 所以直线l∥平面PAC. BG,所以四边形AEBG为平行四边形. [变式]证明如图，连接AC,交BD于 从而得BE∥AG,同理得GF∥AD,且GF=AD,所以四边 点O,连接(OM因为四边形ABCD 形ADFG为平行四边形. 是平行四边形，所以O是AC的中 所以AG∥DF,所以BE∥DF, 点，因为M是P℃的中点，所以OM∥ 所以DF∥平面EBD. AP.又因为OMC平面BDM,AP 同理可得FB∥平面EBD,又DF∩FB=F, 平面BDM,所以AP∥平面BDM 所以平面EBD∥平面FBD. 又因为经过AP与点G的平面交平 [例题2]证明因为BE∥AA1,AAC平面AAD,BE丈平面 面BDM于GH,APC平面APGH,所以由线面平行的性质 AAD,所以BE∥平面AAD. 定理得AP∥GH 因为BC∥AD,ADC平面AAD,BC过平面AAD, 随堂检测·学以致用 所以BC∥平面AAD. 1.D解析A项错误，若bCa,a∥h,则a∥a或aCa:B项错 因为BE∩BC=B,BEC平面BCE,BCC平面BCE, 误，若bCa,c∥a,a∥b,a∥c,则a∥a或aCa:C项错误，若满 所以平面BCE∥平面AA:D 足此条件，则a∥a或aCa或a与a相交；D项正确.故远 又因为平面ADCE门平面BCE=EC,平面ADCE∩平面 D项， AAD=AD,所以EC∥A,D. ·285· [变式2]解析如图所示，连接BD, 平面BC1D,相交，所以平面EFG与平面BC:D相交，故D BD,设BD∩AC=M,BD∩ 项错误.故选AC项， AC=O.连接ME,B1O,因为平面 B AB,C∥平面AEC,平面ABCn 8.6空间直线、平面的垂直 平面BDDB=BO,平面AEC∩ 平面BDDB=ME,所以BO∥ 8.6.1直线与直线垂直 ME.又由长方体的性质可知四边形BMDO为平行四边 必备知识·基础落实 形，所以BO∥MD.故点E与点D重合 要点一 答系与点D重合 2.(2)0°<a≤909 [例题3]解析存在点E,且E为棱AB的中点时，DE∥平 3.0°≤a≤90 面AB,C. 要点二 证明如下： L.直角 如图，取BB1的中，点F,连接DF,则 2.a⊥b DF∥BC. [辨析]解杨(1)错误，由等角定理知，'与b所成的角的大小只 因为DF正平而ABC,B1CC平面 由a,b的相互位置来确定，与点O的选择无关， AB,C,所以DF∥平面ABC. (2)错误，结合长方体分析知，，c可能平行，可能相交也可 因为AB的中点为E,连接EF,ED,则 能异面， EF∥AB1. (3)正确，根据直线所成的角的定义与平行线的性质，可得 因为EF过平面ABC,AB1C平面AB1C,所以EF∥平面 两条平行线与同一条直线所成的角相等，因此两条平行线 AB Ci. 中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直 因为DF∩EF=F,所以平面DEF∥平面ABC 线垂直. 而DEC平面DEF,所以DE∥平面AB,C. (4)正确，两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括异面 [变式3]解析(1)如图，连接AB交AB1于点O,连接OD. 垂直. 由棱柱的性质知，四边形A1ABB 答室(1)×(2)×(3)√(4)/ 为平行四边形，所以点O为A1B的 关键能力·素养提升 中点.因为BC,C平面ABC,平面 [例题1门解析如图，取AC的中，点E,连接CE,BE ABC∩平面ABD=OD,BC∥ 平面ABD,所以BC∥OD. 又在△ABC,中，点O为A1B的中 点，所以D为AC的中点.故当 合2-1时，BG∥年面ABD (2)因为平面BCD∥平面ABD,且平面ABC∩平面 BCD=BC1,平面A1BC∩平面AB,D=DO. 所以BC∥DO,同理可得AD∥DC· 因为C1DLAE,所以四边形AEC1D为平行四边形， 所以2-品是-器所以品器 所以CE∥AD, 所以∠BCE(或其补角)为异面直线AD与BC,所成的角. 又合品-1，所以%-1，脚提-1 在R△ABC中，AC=√AB+EC=22,所以BE=EC=√2. 随堂检测·学以致用 在Rt△CCE中，EC,=√CC+EC=√6. 1,B解析①显然正确：②中的两条线段还可能相交或异面， 又BC=22,所以在△BC1E中，BC=BE+EC, 故②错误：③中的直线还可能在另一个平面内，故③错误.故 所以∠BEC1=90°」 选B项. 2.D解标①因为直线aC,平面a∥平面B,所以a内的每一 所以E恶-是宁 条直线都平行于平面B,故①正确：②当平面a与平面3相交 所以∠CE=30,即异面直线AD与BC所成的角为30. 时，仍然可以存在直线a二a使直线a∥平面B,故②错误： [变式1门解标连接AB,由题意得BC∥BC,则∠ACB(或 ③平面内有一条直线不平行于另一个平面，两个平面就不会 其补角)就是异面直线A,C与B1C所成的角，在△ABC 平行，故③正确.故选D项. 中，BC=2.AB=√/AB+AAN=/2,AC=√AC+AAF= 3.D解析当a内有无穷多条直线与3平行时，a与3平行戎相 交，故排除A项：当直线a∥a,a∥3时，a与B平行或相交，故 2,即△ABC为等边三角形，则∠ACB=60°，即异面直线 排除B项：当直线aCa,直线C3,且a∥B,b∥a时，a与B平 AC与B,C所成的角为60 行或相交，故排除C项：当a内的任何直线都与B平行时，由 答系60 两个平面平行的定义可得，这两个平面平行，故选D项。 [例题2]证明如图，取(CC的中点E,连接 4.AC解析因为在正方体ABCD-ABCD中，E,F,G分 BE.DE. 别是AB,BC,BB的中点，所以FG∥BC,因为BC∥ 因为D为AC的中点，所以DEL号AC, AD,所以FG∥AD,因为FG过平面AADD,ADC平面 AADD,所以FG∥平面AADD,故A项正确：因为EF∥ 所以∠BDE(或其补角)就是异面直线 AC,AC与平面BCD相交，所以EF与平面BCD相 BD与AC'所成的角. 因为在正三棱柱ABC-A'BC'中， 交，故B项错误：因为FG∥BC,FG过平面BCD,BC,C平 面BCD,所以FG∥平面BCD,故C项正确：因为EF与 AB=BB'=2. ·286·第八章立体几何初步 随堂检测学以致用 答案见P 1.能确定直线a与平面a平行的条件是( A.bCa,a∥b B.bCa,c∥a,a∥b,a∥c C.bCa,A,B∈a,C,D∈b,且AC∥BD D.ata,bCa,a∥b A.平行 B.相交 2.如果直线a∥平面a,那么直线a与平面a内的 C.在平面内 D.以上都有可能 ( ) 4.如图，在长方体ABCD- A.一条直线不相交 AB1CD中，E,F分别D B.两条相交直线不相交 是棱AA,和BB的中点， 过EF的平面EFGH分 C.无数条直线不相交 H 别交BC和AD于点G,H,则GH与AB的位 D.任意一条直线不相交 置关系是 3.在空间四边形ABCD中，E,F分别是AB和 A.平行 B.相交 BC上的点，若AE:EB=CF:FB=1:2,则 C.异面 D.平行或异面 对角线AC和平面DEF的位置关系是() 提示完成P课时作业（二十五） 8.5.3平面与平面平行 [学习目标]1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理（重难点）.2.理解并掌握平面与平面平行的性质定 理（重难点）.3.发展数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养 必备知识基础落实 答案见P 要点一平面与平面平行的判定定理 要点二平面与平面平行的性质定理 如果一个平面内的 两个平面平行，如果另一个平面与这两 文字语言 与另一个平面平行，那么这两个平面 文字语言 个平面 ,那么两条交线 平行 8/P 图形语言 图形语言 al/B aCB 符号语言 a∥b bC 符号语言 →3∥a 由平面与平面平行可以得出直线与直 作用 线平行 ·83· 数学必修第二册课堂学案 辨析 必平行于另一个平面. () 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×” (3)若两个平面平行，则这两个平面内的直线 (1)一个平面内的两条直线与另一个平面平 都平行 () 行，则这两个平面平行. (4)如果两个平面分别平行于第三个平面，那 (2)若两个平面平行，其中一个平面内的直线 么这两个平面平行. () 关键能力素养提升 答案见P 探究一 平面与平面平行的判定定理及其 (2)若E,F分别是AA,CC的中点，求证：平 应用 面EBD∥平面FBD, 误区防错 平面与平面平行的判定定理中的平行于一 个平面内的“两条相交直线”是必不可少的. 面面平行的判定定理充分体现了等价转化 思想，即把面面平行转化为线面平行 【例题1】如图，已知四棱锥P-ABCD的底面 ABCD为矩形，E,F,H分别为AB,CD,PD 的中点，求证：平面AFH∥平面PCE 探究二 平面与平面平行的性质定理及其 应用 规律总结 已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何 直线都平行于另一个平面，但是这两个平面 内的所有直线并不一定相互平行，它们可能 是平行直线，也可能是异面直线，但不可能 是相交直线.平面与平面平行的性质定理提 供了证明线线平行的另一种方法，应用时要 紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面. 利用面面平行的性质定理判断两直线平行 的步骤：(1)找两个平面，使这两个平面分别 经过这两条直线中的一条；(2)判定这两个 平面平行（此条件有时题目会直接给出）： (3)找一个平面，使这两条直线都在这个平 【变式1】如图，已知正方体ABCD-ABCD 面上：(4)由定理得出结论 (1)求证：平面ABD∥平面BD,C: ·84 第八章立体几何初步 【例题2】如图，在四棱柱ABCD- AB,C?若存在，请确定点E的位置：若不存 A1BCD,中，底面ABCD为 在，请说明理由。 梯形，AD∥BC,平面ADCE与 BB交于点E求证：EC∥AD 【变式3】如图，在斜三棱柱 ABC-ABC中，点D D1分别为AC,A,C,上 的点。 【变式2】在长方体ABCD-ABCD中，E为 1)当合2等于何值 棱DD1上的点.当平面AB,C∥平面AEC 时，BC∥平面ABD,? 时，点E的位置是 (2)若平面BCD/平面ABD,求把的值 探究三平行关系的综合应用 规律总结 线线平行、线面平行、面面平行这三种关系 是紧密相连的，可以进行转换.相互间的转 换关系如下 线线平行】 性质定理 学 判定定理 平行 定理 到定定理 我面平行只 判发定理 面面平行 性质定理 【例题3】如图，在三棱柱ABC ABC中，D是棱CC,的 中点，问在棱AB上是否 存在一点E,使DE∥平面 ·85· 数学必修第二册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见Pa 1.下列说法正确的个数是 ( B.直线a∥a,a∥B ①夹在两个平行平面间的平行线段长度相等： C.直线aCa,直线bC3,且a∥3，b∥a ②夹在两个平行平面间的等长线段平行：③如 D.a内的任何直线都与3平行 果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那 4.(多选)在正方体ABCD-A1BCD中，E,F, 么它和另一个也平行. G分别是AB,BC,BB的中点，下列给出 A.0 B.1 C.2 D.3 的结论正确的是 () 2.已知直线aCa,给出下列命题： ①若平面a∥平面B,则直线a∥平面3： ②若直线a∥平面3，则平面a∥平面3： ③若直线a不平行于平面3，则平面a不平行 于平面3. A.FG∥平面AADD 其中正确的命题是 B.EF∥平面BCD A.② B.③ C.①② D.①③ C.FG∥平面BCD 3.平面a与平面B平行的条件可以是 D.平面EFG∥平面BCD A.a内有无穷多条直线与B平行 提示完成Pm课时作业（二十六）和P培优训练（五） 8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.1直线与直线垂直 [学习目标]1，了解异面直线所成的角和异面直线互相垂直的概念，2.会求任意两条直线所成的角（重难 点).3.发展逻辑推理、数学运算和直观想象的核心素养， 必备知识基础落实 答秦见P 要点一两条直线所成的角 (2)范围：异面直线所成的角α的取值范围是 1.平面内两条直线所成的角 (3)求法：求异面直线所成的角，一般利用平移 平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于 法求解.过某一点找或作平行线，将异面直线 90的角称为这两条直线所成的角（或夹角） 所成的角转化为平面角，最后通过解三角形求 2.异面直线所成的角 角的度数 (1)定义：如图，已知两条异面直线a,b,经过空 3.空间两条直线所成的角 间任一点O分别作直线a'∥a,b∥b,我们把 当两条直线a,b相互平行时，我们规定它们所 直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所 成的角为0°，所以空间两条直线所成的角&的 取值范围是 成的角（或夹角） 要点二异面直线互相垂直 1.定义：如果两条异面直线所成的角是 那么我们就说这两条异面直线互相垂直. 2.表示：直线a与直线b垂直，记作 ·86·