8.6.1 直线与直线垂直-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

数学必修第二册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见P 1.下列说法正确的个数是 B.直线a∥a,a∥B ①夹在两个平行平面间的平行线段长度相等； C.直线aCa,直线bCB,且a∥B,b∥a ②夹在两个平行平面间的等长线段平行；③如 D.α内的任何直线都与B平行 果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那 4.(多选)在正方体ABCD-A1BCD中，E,F, 么它和另一个也平行. G分别是A1B,B1C,BB:的中点，下列给出 A.0 B.1 C.2 D.3 的结论正确的是 () 2.已知直线aCa,给出下列命题： ①若平面a∥平面B,则直线a∥平面： ②若直线a∥平面3，则平面a∥平面3： ③若直线a不平行于平面B,则平面a不平行 于平面B. A.FG∥平面AADD 其中正确的命题是 ( B.EF∥平面BCD A.② B.③ C.①② D.①③ C.FG∥平面BCD 3.平面a与平面B平行的条件可以是 D.平面EFG∥平面BCD, A.α内有无穷多条直线与B平行 提示完成P课时作业（二十六）和P培优训练（五） 8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.1直线与直线垂直 [学习目标]1.了解异面直线所成的角和异面直线互相垂直的概念，2.会求任意两条直线所成的角（重难 点).3.发展逻辑推理、数学运算和直观想象的核心素养， 必备知识基础落实 答案见P 要点一两条直线所成的角 (2)范围：异面直线所成的角α的取值范围是 1.平面内两条直线所成的角 (3)求法：求异面直线所成的角，一般利用平移 平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于 法求解.过某一点找或作平行线，将异面直线 90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角）. 所成的角转化为平面角，最后通过解三角形求 2.异面直线所成的角 角的度数 (1)定义：如图，已知两条异面直线a,b,经过空 3.空间两条直线所成的角 间任一点O分别作直线a'∥a,b∥b,我们把 当两条直线a,b相互平行时，我们规定它们所 直线a'与b所成的角叫做异面直线a与b所 成的角为0°，所以空间两条直线所成的角α的 取值范围是 成的角（或夹角） 要点二异面直线互相垂直 1.定义：如果两条异面直线所成的角是 那么我们就说这两条异面直线互相垂直， 2.表示：直线a与直线b垂直，记作 ·86· 第八章立体几何初步 辨析 所成的角相等，则直线a,c平行. () 判断正误，正确的画“/”，错误的画“X” (3)如果两条平行直线中的一条与某一条直线 (1)已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O 垂直，则另一条直线也与这条直线垂直 分别作直线a'∥a,b∥b,a'与b'所成的角的大 ( 小与点O的选择有关 (4)如果两条直线垂直，则这两条直线相交或 (2)设异面直线a,b所成的角与异面直线c,b 异面。 () 关键能力素养提升 答案见P 探究一 异面直线所成的角 探究二 直线与直线的垂直 答题模板 规律总结 求两条异面直线所成的角的一般步骤 证明两条直线互相垂直，应先构造这两条直 (1)作角：根据两条异面直线所成的角的定 线所成的角，若能证明这个角是直角，便可 义，用平移法作出异面直线所成的角。 得出这两条直线互相垂直 (2)证明：证明作出的角就是要求的角，即证 明所作角的两边分别与两条异面直线平行. 【例题2】如图，在正三棱柱 ABC-A'B'C中，D为棱 (3)计算：求角的值，常在三角形中求解。 AC的中点，AB=BB=2, 【例题1】如图，在直三棱柱 求证：BD⊥AC ABC-ABC中，∠ABC= 90°，AB=BC=AA1=2, 点D是A1C的中点，求异 面直线AD与BC,所成角 的大小。 【变式2】如图，在四棱柱 ABCD-A1BCD中， 侧面都是矩形，底面 ABCD是菱形，且AB= 2√3，∠ABC=120°，若 异面直线AB和AD1所成的角为90°，试求 AA的长度， 【变式1】如图，在三棱柱ABC- A1BC1中，AA1⊥AB, AA⊥AC.若AB=AC= AA1=1,BC=√2，则异面 直线A1C与BC所成的 角为 ·87· 数学必修第二册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见P 1.垂直于同一条直线的两条直线一定 ( 4.如图，在正方体ABCD A.平行 B.相交 A1BCD1中，E,F分别 C.异面 D.以上都有可能 是A1B1,B1C1的中点，求 2.下列三个说法： 证：DB⊥EF ①若直线a,b相交，b,c相交，则a,c相交； ②若a∥b,则a,b与c所成的角相等； ③若a⊥b,b⊥c,则a∥c. 其中正确的个数是 A.3 B.2 C.1 D.0 3.(选)如图，在正方体ABCD-A1BCD1中， 4444+4+4444444444+4444444444444444444444044444444 下列直线中与AB异面且所成的角为60°的 直线有 ( A.AC B.AD C.BC D.BD 提示完成P如课时作业（二十七） 8.6.2直线与平面垂直 第一课时直线与平面垂直的判定 [学习目标]1.了解直线与平面垂直的定义和直线与平面所成的角的概念.2.理解直线与平面垂直的判定 定理，并会用定理判定线面垂直（重点）3.能解决简单的线面角问题（难点）.4.发展数学抽象、逻辑推理和 直观想象的核心素养 必备知识基础落实 答案见P 要点一直线与平面垂直的定义 1.自然语言：一般地，如果直线l与平面a内的 直线都 ,我们就说直线1与 平面a互相垂直，记作 直线叫做平 面a的 ,平面a叫做直线1的 画直线1与平面α垂直时，通常把直线画成与 直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫 表示平面的平行四边形的一边垂直. 做 3.符号语言：任意aCa,都有l⊥a→ 2.图形语言：如图所示. 4.点到平面的距离：过一点作 已知平面 的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点 ·88·[变式2]解析如图所示，连接BD, 平面BC1D,相交，所以平面EFG与平面BC:D相交，故D BD,设BD∩AC=M,BD∩ 项错误.故选AC项， AC=O.连接ME,B1O,因为平面 B AB,C∥平面AEC,平面ABCn 8.6空间直线、平面的垂直 平面BDDB=BO,平面AEC∩ 平面BDDB=ME,所以BO∥ 8.6.1直线与直线垂直 ME.又由长方体的性质可知四边形BMDO为平行四边 必备知识·基础落实 形，所以BO∥MD.故点E与点D重合 要点一 答系与点D重合 2.(2)0°<a≤909 [例题3]解析存在点E,且E为棱AB的中点时，DE∥平 3.0°≤a≤90 面AB,C. 要点二 证明如下： L.直角 如图，取BB1的中，点F,连接DF,则 2.a⊥b DF∥BC. [辨析]解杨(1)错误，由等角定理知，'与b所成的角的大小只 因为DF正平而ABC,B1CC平面 由a,b的相互位置来确定，与点O的选择无关， AB,C,所以DF∥平面ABC. (2)错误，结合长方体分析知，，c可能平行，可能相交也可 因为AB的中点为E,连接EF,ED,则 能异面， EF∥AB1. (3)正确，根据直线所成的角的定义与平行线的性质，可得 因为EF过平面ABC,AB1C平面AB1C,所以EF∥平面 两条平行线与同一条直线所成的角相等，因此两条平行线 AB Ci. 中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直 因为DF∩EF=F,所以平面DEF∥平面ABC 线垂直. 而DEC平面DEF,所以DE∥平面AB,C. (4)正确，两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括异面 [变式3]解析(1)如图，连接AB交AB1于点O,连接OD. 垂直. 由棱柱的性质知，四边形A1ABB 答室(1)×(2)×(3)√(4)/ 为平行四边形，所以点O为A1B的 关键能力·素养提升 中点.因为BC,C平面ABC,平面 [例题1门解析如图，取AC的中，点E,连接CE,BE ABC∩平面ABD=OD,BC∥ 平面ABD,所以BC∥OD. 又在△ABC,中，点O为A1B的中 点，所以D为AC的中点.故当 合2-1时，BG∥年面ABD (2)因为平面BCD∥平面ABD,且平面ABC∩平面 BCD=BC1,平面A1BC∩平面AB,D=DO. 所以BC∥DO,同理可得AD∥DC· 因为C1DLAE,所以四边形AEC1D为平行四边形， 所以2-品是-器所以品器 所以CE∥AD, 所以∠BCE(或其补角)为异面直线AD与BC,所成的角. 又合品-1，所以%-1，脚提-1 在R△ABC中，AC=√AB+EC=22,所以BE=EC=√2. 随堂检测·学以致用 在Rt△CCE中，EC,=√CC+EC=√6. 1,B解析①显然正确：②中的两条线段还可能相交或异面， 又BC=22,所以在△BC1E中，BC=BE+EC, 故②错误：③中的直线还可能在另一个平面内，故③错误.故 所以∠BEC1=90°」 选B项. 2.D解标①因为直线aC,平面a∥平面B,所以a内的每一 所以E恶-是宁 条直线都平行于平面B,故①正确：②当平面a与平面3相交 所以∠CE=30,即异面直线AD与BC所成的角为30. 时，仍然可以存在直线a二a使直线a∥平面B,故②错误： [变式1门解标连接AB,由题意得BC∥BC,则∠ACB(或 ③平面内有一条直线不平行于另一个平面，两个平面就不会 其补角)就是异面直线A,C与B1C所成的角，在△ABC 平行，故③正确.故选D项. 中，BC=2.AB=√/AB+AAN=/2,AC=√AC+AAF= 3.D解析当a内有无穷多条直线与3平行时，a与3平行戎相 交，故排除A项：当直线a∥a,a∥3时，a与B平行或相交，故 2,即△ABC为等边三角形，则∠ACB=60°，即异面直线 排除B项：当直线aCa,直线C3,且a∥B,b∥a时，a与B平 AC与B,C所成的角为60 行或相交，故排除C项：当a内的任何直线都与B平行时，由 答系60 两个平面平行的定义可得，这两个平面平行，故选D项。 [例题2]证明如图，取(CC的中点E,连接 4.AC解析因为在正方体ABCD-ABCD中，E,F,G分 BE.DE. 别是AB,BC,BB的中点，所以FG∥BC,因为BC∥ 因为D为AC的中点，所以DEL号AC, AD,所以FG∥AD,因为FG过平面AADD,ADC平面 AADD,所以FG∥平面AADD,故A项正确：因为EF∥ 所以∠BDE(或其补角)就是异面直线 AC,AC与平面BCD相交，所以EF与平面BCD相 BD与AC'所成的角. 因为在正三棱柱ABC-A'BC'中， 交，故B项错误：因为FG∥BC,FG过平面BCD,BC,C平 面BCD,所以FG∥平面BCD,故C项正确：因为EF与 AB=BB'=2. ·286· 所以BD=3×2气3AC=22,BE=/C+CE=5, 3.l⊥a 2 4.垂直于 垂线段垂线段 DE=2,所以BD+DE=BE,所以∠BDE=90°，即BD1 要点二 DE,所以BD⊥AC 1.两条相交直线 [变式2]解析连接CD,AC,由题意得AD∥BC,AD=BC, 3.aCa,bCa,a∩b=P,l⊥a,l⊥b 所以四边形A1BCD是平行四边形， 要点三 所以AB∥CD, 1.射影∠PAO 所以∠ADC(或其补角)为AB和AD1所成的角， 2.90°0°0°≤090 因为异面直线AB和AD1所成的角为90°， [思考]提示点P具有任意性，它是斜线上异于斜足A的任意 所以∠ADC=90°，所以△AD1C是等腰直角三角形. 点，斜线在平面。上的射影是一条直线，它是过斜足和垂足 所以AD=号AC 的一条直线， [辨析]解粉(1)错误，不可能平行， 又底面ABCD是菱形，且AB=2√3，∠ABC=120°， (2)错误，当平面α内的这两条直线相交时，直线1L平面a, 所以AC=2/5×sin60°×2=6， 即1与a垂直：当平面a内的这两条直线平行时，lCa或l八 所以AD-9A4C=3v区. a或l与a垂直或l与a斜交， (3)正确，如图，根据直线与平面所成的角的定义知，一条直 所以AA=AD-AD=V√(3/2)2-(23)产=6. 线与两个平行平面所成的角相等， 随堂检测·学以致用 1.D解析垂直于同一条直线的两条直线有如图所示的儿种 位置关系.故选D项. (4)错误，如图，两个平面与一条直线所成的角相等，这两个 平面不一定平行 2.C解析①错误，若直线a,b相交，b,c相交，则a,c异面、平 行、相交都有可能：②正确，根据平行线的性质和直线所成的 角的定义知②正确：③错误，若a⊥b,b⊥c,则a,c异面、平 答室(1)×(2)×(3)√ (4)× 行、相交都有可能.故选C项 关键能力·素养提升 3.ABC解析由题意，作出几何图形，如图所示. D [例题1]证明(1)因为PA⊥底面ABC,BCC平面ABC,所以 PA⊥BC.因为∠ABC=90°，所以AB⊥BC 又AB∩PA=A,且ABC平面PAB,PAC平面PAB, 所以BCL平面PAB. (2)如图，连接BC,依题意得O 为BC与C的交点.因为侧面 连接AC,BC,则三角形A:BC为正三角形，所以A:C, BBCC为菱形，所以BC⊥BC. BC与AB所成的角均为60°，又易知A:C∥AC,BC∥ 又AO⊥平面BBCC, AD1,且AC,AD均与AB异面，所以AC,AD,符合题意， 所以B,C⊥AO. 同理可得BC也符合题意，而BD不符合题意.故选ABC项. 周为BC∩AO=O,所以B,C⊥平面ABO. 4.证朋如图，连接A,C,B1D. 由于ABC平面ABO,故BC⊥AB. [变式1]证明因为AB为⊙O的直径，所以AM⊥BM, 又PA⊥平面ABM,所以PA⊥BM 因为PA∩AM=A,所以BML平面PAM 又ANC平面PAM.所以BM⊥AN. 又AN⊥PM,且BM∩PM=M. 所以AN⊥平面PBM [例题2]解析(1)如图，过点A作AO 设A,C和BD,相交于点O,取DD的中点G 底面BCD,垂足为，点O,连接OB,OC, 连接OG,A1G,CG,则OG∥BD,EF∥A1C. OD,则OB,(OC,OD分别是AB,AC, 所以∠GOA(或其补角)为异面直线DB,与EF所成的角. AD在平面BCD内的射影，所以 因为GA,=GC,O为AC的中点，所以GO⊥A1C. ∠ADO为直线AD与平面BCD所成 所以异面直线DB与EF所成的角为90°，所以DB⊥EF 的角， 8.6.2直线与平面垂直 因为AB=AC=AD. 所以OB=OC=OD. 第一课时直线与平面垂直的判定 所以O为△BCD的外心。 必备知识·基础落实 因为△BCD为正三角形，且正四面体的边长为a, 要点一 1.任意一条垂直上a垂线垂面垂足 所以00=停×号-号。. ·287·